专题资料（2021-2022年）初中一对一精品辅导讲义：一元一次方程的应用问题.doc

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1、课课题题一元一次方程的应用问题一元一次方程的应用问题授课日期及时段授课日期及时段教学目的教学目的1、掌握列方程解应用题的一般步骤;2、掌握诸如行程问题、等积变形、调配问题、利率问题、工程问题这些常见的数量关系，列出方程。教学内容教学内容一、问题解决：一、问题解决：（一）检查并讲评上次布置的作业上次作业是关于一元一次方程的习题，包括一元一次方程的概念、简单计算等，检查学生完成情况，对作业进行讲解。（二）处理学生日校布置的作业，讲解疑难问题查看学生日校作业完成质量，对其错题进行点拨，解决学生日校作业中的疑难问题。二、知识点梳理：二、知识点梳理：（一）一元一次方程的应用问题包括：1、行程问题：（1）

2、相遇问题：快行距慢行距原距（2）追及问题：快行距慢行距原距（3）航行问题：顺水（风）速度静水（风）速度水流（风）速度逆水（风）速度静水（风）速度水流（风）速度2、工程问题：工程问题的基本量有：工作量、工作效率、工作时间。关系式为：工作量=工作效率工作时间工作时间=工作效率=3、利润问题：利润每个期数内的利息本金100%利息本金利率期数（二）一元一次方程解实际应用问题的一般步骤：1、审题：分析题意，找出题中的数量关系及其关系；2、设元：选择一个适当的未知数用字母表示（例如 x）；3、列方程：根据相等关系列出方程；4、解方程：求出未知数的值；5、检验：检验求得的值是否正确和符合实际情形，并写出三、

3、例题讲解：三、例题讲解：考点考点 1:1:一元一次方程在行程问题上的应用一元一次方程在行程问题上的应用例 1：某队伍 450 米长，以每分钟 90 米速度前进，某人从排尾到排头取东西后，立即返回排尾，速度为 3 米/秒。问往返共需多少时间？解：这一问题实际上分为两个过程：从排尾到排头的过程是一个追及过程，相当于最后一个人追上最前面的人；从排头回到排尾的过程则是一个相遇过程，相当于从排头走到与排尾的人相遇。在追及过程中，设追及的时间为 x 秒，队伍行进（即排头）速度为 90 米/分=1.5 米/秒，则排头行驶的路程为 1.5x 米；追及者的速度为 3 米/秒，则追及者行驶的路程为 3x 米。由追

4、及问题中的相等关系“追赶者的路程被追者的路程=原来相隔的路程”，有：3x1.5x=450 x=300 在相遇过程中，设相遇的时间为 y 秒，队伍和返回的人速度未变，故排尾人行驶的路程为 1.5y 米，返回者行驶的路程为 3y 米，由相遇问题中的相等关系“甲行驶的路程+乙行驶的路程=总路程”有：3y+1.5y=450 y=100，故往返共需的时间为 x+y=300+100=400（秒）答：往返时间共需要 400 秒变式：变式：有一火车以每分钟 600 米的速度要过完第一、第二两座铁桥，过第二铁桥比过第一铁桥需多 5 秒，又知第二铁桥的长度比第一铁桥长度的 2 倍短 50 米，试求各铁桥的长解：设

5、第一铁桥的长为 x 米，那么第二铁桥的长为（2x-50）米，过完第一铁桥所需的时间为600 x分则过完第二铁桥所需的时间为250600 x分依题意，可列出方程600 x+560=250600 x解方程 x+50=2x-50 得 x=1002x-50=2100-50=150答：第一铁桥长 100 米，第二铁桥长 150 米考点考点 2 2：一元一次方程在利润问题上的应用：一元一次方程在利润问题上的应用例 1：某家电商场计划用 9 万元从生产厂家购进 50 台电视机已知该厂家生产 3种不同型号的电视机，出厂价分别为 A 种每台 1500 元，B 种每台 2100 元，C 种每台 2500 元（1）

6、若家电商场同时购进两种不同型号的电视机共 50 台，用去 9 万元，请你研究一下商场的进货方案（2）若商场销售一台 A 种电视机可获利 150 元，销售一台 B 种电视机可获利 200 元，销售一台 C 种电视机可获利 250 元，在同时购进两种不同型号的电视机方案中，为了使销售时获利最多，你选择哪种方案？解：按购 A，B 两种，B，C 两种，A，C 两种电视机这三种方案分别计算，设购 A 种电视机 x 台，则 B 种电视机 y 台（1）当选购 A，B 两种电视机时，B 种电视机购（50-x）台，可得方程1500 x+2100（50-x）=90000即 5x+7（50-x）=3002x=50

7、x=2550-x=25当选购 A，C 两种电视机时，C 种电视机购（50-x）台，可得方程 1500 x+2500（50-x）=90000+5（50-x）=1800 得 x=35 所以 50-x=15当购 B，C 两种电视机时，C 种电视机为（50-y）台可得方程 2100y+2500（50-y）=9000021y+25（50-y）=900，4y=350，不合题意由此可选择两种方案：一是购 A，B 两种电视机 25 台；二是购 A 种电视机 35 台，C 种电视机 15 台（2）若选择（1）中的方案，可获利15025+25015=8750（元）若选择（1）中的方案，可获利15035+25015

8、=9000（元）90008750故为了获利最多，选择第二种方案变式变式：一牛奶制品厂现有鲜奶 9 吨，若在市场上直接销售鲜奶，每吨可获利 500 元；若将鲜奶制成奶粉销售，每加工1 吨鲜奶可获利 2000 元；若将鲜奶制成酸奶销售，每加工 1 吨鲜奶可获利 1200 元。该厂的生产能力是：若专门生产奶粉，则每天可用去鲜奶 1 吨；若专门生产酸奶，则每天可用去鲜奶 3 吨，由于受设备和人员的限制，奶粉和酸奶不能同时生产，为保证生产质量，这批鲜奶必须在不超过 4 天的时间内全部销售或加工完毕，请问：你能设计出哪几种生产方案？哪种生产方案获利最大，最大利润是多少？解：生产方案如下：（1）将 9 吨鲜

9、奶全部制成酸奶，则可获利 12009=10800（元）。（2）4 天内全部生产奶粉，则有鲜奶得不到加工而浪费，且利润仅为20004=80000（元）（3）4 天中，用 x 天生产酸奶，用(4-x)天生产奶粉，并保证 9 吨鲜奶如期加工完毕。由题意，得 3x+（4-x）1=9解得 x=2.54-X=1.5(天)故在 4 天中,用 2.5 天生产酸奶,用 1.5 天生产奶粉,则 2.531200+1.512000=12000(元)答：第 3 种方案获利最大，最大利润为 12000 元。考点考点 3 3：一元一次方程在工程问题上的应用：一元一次方程在工程问题上的应用例 1：加工某种工件，甲单独作要

10、20 天完成，乙只要 10 就能完成任务，现在要求二人在 12 天内完成任务。问乙需工作几天后甲再继续加工才可正好按期完成任务？解：将全部任务的工作量看作整体 1，由甲、乙单独完成的时间可知，甲的工作效率为，乙的工作效率为，设乙需工作 x 天，则甲再继续加工（12x）天，乙完成的工作量为，甲完成的工作量为，依题意有+=1 x=8答：乙需要工作 8 天后再继续加工才可以正好按期完成任务。变式变式：一水池装有甲、乙、丙三个水管，加、乙是进水管，丙是排水管，甲单独开需 10 小时注满一池水，乙单独开需 6 小时注满一池水，丙单独开 15 小时放完一池水。现在三管齐开，需多少时间注满水池？解：由题设可

11、知，甲、乙、丙工作效率分别为、（进水管工作效率看作正数，排水管效率则记为负数），设小时可注满水池，则甲、乙、丙的工作量分别为，、，由三水管完成整体工作量 1，有+1 x=5答：需 5 小时注满水池。四、随堂练习：四、随堂练习：练习 1：汽车从 A 地到 B 地，若每小时行驶 40km，就要晚到半小时：若每小时行驶 45km，就可以早到半小时。求 A、B 两地的距离。分析：先出发后到、后出发先到、快者要早到慢者要晚到等问题，我们通常都称其为“先后问题”。在这类问题中主要考虑时间量，考察两者的时间关系，从相隔的时间上找出相等关系。解：设 A、B 两地的路程为 x km，速度为 40 km/小时，则

12、时间为小时；速度为 45 km/小时，则时间为小时，又早到与晚到之间相隔 1 小时，故有=1 x=360练习 2：收割一块麦地，每小时割 4 亩，预计若干小时割完。收割了后,改用新式农具收割，工作效率提高到原来的 1.5 倍。因此比预计时间提前 1 小时完工。求这块麦地有多少亩？解：设麦地有 x 亩，即总工作量为 x 亩，改用新式工具前工作效率为 4 亩/小时，割完 x 亩预计时间为小时，收割亩工作时间为/4=小时；改用新式工具后，工作效率为 1.54=6 亩/小时，割完剩下亩时间为/6=小时，则实际用的时间为（+）小时，依题意“比预计时间提前 1 小时完工”有（+）=1 x=36答：这块麦地

13、有 36 亩。练习 3：某商店先在广州以每件 15 元的价格购进某种商品 10 件，后来又到深圳以每件 12.5 元的价格购进同样商品40 件。如果商店销售这种商品时，要获利 12，那么这种商品的销售价应定多少？解：设销售价每件 x 元，销售收入则为（10+40）x 元，而成本（进价）为（510+4012.5），利润率为 12，利润为（510+4012.5）12。由关系式有（10+40）x（510+4012.5）=（510+4012.5）12x=14.56答：这种商品的销售价应该定 14.56 元。五、课堂小结：五、课堂小结：这节课学习了哪些内容呢？1、如何利用一元一次方程解决实际生活中的行程

14、问题；2、如何利用一元一次方程解决实际生活中的利润问题；3、如何利用一元一次方程解决实际生活中的工程问题。六、课后习题：六、课后习题：1、国家规定存款利息的纳税办法是：利息税=利息20，银行一年定期储蓄的年利率为 1.98，今年小刚取出一年到期的本金及利息时，缴纳了 3.96 元利息税，则小刚一年前存入银行的钱为.2、某种商品因换季准备打折出售，如果按定价七五折出售，则赔 25 元，而按定价的九折出售将赚 20 元。问这种商品的定价是多少？3、甲、乙两人从相距为 180 千米的 A，B 两地同时出发，甲骑自行车，乙骑摩托车，沿同一条路线相向匀速行驶.已知甲的速度为 15 千米/时，乙的速度为4

15、5 千米/时.经过多少时间两人相遇？4、小明把压岁钱按定期一年存入银行.到期支取时，扣除利息税后小明实得本利和为 507.92 元.问小明存入银行的压岁钱有多少元？5、小明，小颖二人分别后，沿着铁轨反向而行，此时，一列火车匀速地向小明迎面驶来，列车在小明身旁开过，用了 15 秒；然后在小颖身旁开过用了 17 秒.已知两.人的步行速度都是 3.6 千米4,时，问这列火车有多长?6、某工厂现有某种原料库存 1200 吨，可以用来生产 A，B 两种产品.每生产 1 吨 A 种产品需这种原料 2 吨，生产费用 1000 元；每生产 1 吨 B 种产品需这种原料 2.5 吨，生产费用 900 元.可用来

16、生产这两种产品的资金为 53 万元.问 A，B 两种产品各生产多少吨才能使库存原料和资金恰好用完?答案：1、1000 元2、300 元3、3 小时4、500 元5、255 米6、A 种产品生产 350 吨，B 种产品生产200 吨.When you are old and grey and full of sleep,And nodding by the fire,take down this book,And slowly read,and dream of the soft lookYour eyes had once,and of their shadows deep;How many

17、loved your moments of glad grace,And loved your beauty with love false or true,But one man loved the pilgrim soul in you,And loved the sorrows of your changing face;And bending down beside the glowing bars,Murmur,a little sadly,how love fledAnd paced upon the mountains overheadAnd hid his face amid

18、a crowd of stars.The furthest distance in the worldIs not between life and deathBut when I stand in front of youYet you dont know thatI love you.The furthest distance in the worldIs not when I stand in front of youYet you cant see my loveBut when undoubtedly knowing the love from bothYet cannot be t

19、ogether.The furthest distance in the worldIs not being apart while being in loveBut when I plainly cannot resist the yearningYet pretending you have never been in my heart.The furthest distance in the worldIs not struggling against the tidesBut using ones indifferent heartTo dig an uncrossable river

20、For the one who loves you.倚窗远眺，目光目光尽处必有一座山，那影影绰绰的黛绿色的影，是春天的颜色。周遭流岚升腾，没露出那真实的面孔。面对那流转的薄雾，我会幻想，那里有一个世外桃源。在天阶夜色凉如水的夏夜，我会静静地，静静地，等待一场流星雨的来临许下一个愿望，不乞求去实现，至少，曾经，有那么一刻，我那还未枯萎的，青春的，诗意的心，在我最美的年华里，同星空做了一次灵魂的交流秋日里，阳光并不刺眼，天空是一碧如洗的蓝，点缀着飘逸的流云。偶尔，一片飞舞的落叶，会飘到我的窗前。斑驳的印迹里，携刻着深秋的颜色。在一个落雪的晨，这纷纷扬扬的雪，飘落着一如千年前的洁白。窗外，是未被污染的银白色世界。我会去迎接，这人间的圣洁。在这流转的岁月里，有着流转的四季，还有一颗流转的心，亘古不变的心。