六年级奥数.数论.整除问题(ABC级).学生版.doc

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1、1/14知识框架一、整除的定义：当两个整数 a 和 b（b0），a 被 b 除的余数为零时（商为整数），则称 a 被 b 整除或 b 整除 a，也把 a叫做 b 的倍数，b 叫 a 的约数，记作 b|a，如果 a 被 b 除所得的余数不为零，则称 a 不能被 b 整除，或 b 不整除 a，记作 b a.二、常见数字的整除判定方法1.一个数的末位能被 2 或 5 整除，这个数就能被 2 或 5 整除；一个数的末两位能被 4 或 25 整除，这个数就能被 4 或 25 整除；一个数的末三位能被 8 或 125 整除，这个数就能被 8 或 125 整除；2.一个位数数字和能被 3 整除，这个数就能被

2、 3 整除；一个数各位数数字和能被 9 整除，这个数就能被 9 整除；3.如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被 11 整除，那么这个数能被 11 整除；4.如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被 7、11 或 13 整除，那么这个数能被 7、11 或 13 整除；5.如果一个数从数的任何一个位置随意切开所组成的所有数之和是 9 的倍数，那么这个数能被 9 整除；6.如果一个数能被 99 整除，这个数从后两位开始两位一截所得的所有数（如果有偶数位则拆出的数都有两个数字，如果是奇数位则拆出的数中若干个有两个数字还有一个是一位数）的和是 99 的倍数，这个数一

3、定是 99 的倍数。7.若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的 2 倍，如果差是 7 的倍数，则原数能被7 整除。如果差太大或心算不易看出是否 7 的倍数，就需要继续上述截尾、倍大、相减、验差的过程，直到能清楚判断为止。例如，判断 133 是否 7 的倍数的过程如下：13327，所以 133 是 7的倍数；又例如判断 6139 是否 7 的倍数的过程如下：61392595，595249，所以 6139 是7 的倍数，余类推。8.若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加个位数的 4 倍，如果和是 13 的倍数，则原数能被13 整除。如果和太大或心算不易看出是否 13 的倍数，

4、就需要继续上述截尾、倍大、相加、验差的过程，直到能清楚判断为止。数的整除2/149.若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的 5 倍，如果差是 17 的倍数，则原数能被17 整除。如果差太大或心算不易看出是否 17 的倍数，就需要继续上述截尾、倍大、相减、验差的过程，直到能清楚判断为止。10.若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的 2 倍，如果和是 19 的倍数，则原数能被19 整除。如果和太大或心算不易看出是否 19 的倍数，就需要继续上述截尾、倍大、相加、验差的过程，直到能清楚判断为止。11.若一个整数的末三位与 3 倍的前面的隔出数的差能被 17 整除，则这

5、个数能被 17 整除。12.若一个整数的末三位与 7 倍的前面的隔出数的差能被 19 整除，则这个数能被 19 整除.13.若一个整数的末四位与前面 5 倍的隔出数的差能被 23(或 29)整除，则这个数能被 23 整除。【备注】（以上规律仅在十进制数中成立.）三、整除性质性质 1如果数 a 和数 b 都能被数 c 整除，那么它们的和或差也能被 c 整除即如果 ca，cb，那么 c(ab)性质 2如果数 a 能被数 b 整除，b 又能被数 c 整除，那么 a 也能被 c 整除即如果 ba，cb，那么 ca用同样的方法，我们还可以得出：性质 3如果数 a 能被数 b 与数 c 的积整除，那么 a

6、 也能被 b 或 c 整除即如果 bca，那么 ba，ca性质 4如果数 a 能被数 b 整除，也能被数 c 整除，且数 b 和数 c 互质，那么 a 一定能被 b与 c 的乘积整除即如果 ba，ca，且(b，c)=1，那么 bca例如：如果 312，412，且(3，4)=1，那么(34)12性质 5如果数 a 能被数 b 整除，那么 am 也能被 bm 整除如果 ba，那么 bmam（m 为非 0 整数）；性质 6如果数 a 能被数 b 整除，且数 c 能被数 d 整除，那么 ac 也能被 bd 整除如果 ba，且 dc，那么 bdac；四、其他重要结论1、能被 2 和 5，4 和 25，8

7、 和 125 整除的数的特征是分别在这个数的未一位、未两位、未三位上。我们可以概括成一个性质：未 n 位数能被2n(或5n)整除的数，本身必能被2n(或5n)整除；反过来，末 n 位数不能被2n(或5n)整除的数，本身必不能被2n(或5n)整除。例如，判断 19973216、91688169 能否能被16 整除，只需考虑未四位数能否被 16（因为 16=42）整除便可，这样便可以举一反三，运用自如。2、利用连续整数之积的性质：任意两个连续整数之积必定是一个奇数与一个偶数之积，因此一定可被 2 整除；任意三个连续整数之中至少有一个偶数且至少有一个是 3 的倍数，所以它们之积一定可以被 2 整除，

8、也可被 3 整除，所以也可以被 23=6 整除。3/14这个性质可以推广到任意个整数连续之积。3、一个奇位数，原序数与反序数的差一定是 99 的倍数，一个偶位数，原序数与反序数的差一定是 9 的倍数。4、100113117；abcabcabc1001，abcabc这样的数一定能被 7、11、13 整除。5、9992737;111337;117913;1337481;719133;71391等等。数的整除概念、性质及整除特征为解决一些整除问题带来了很大方便，在实际问题中应用广泛。要学好数的整除问题，就必须找到规律，牢记上面的整除性质，不可似是而非。【例【例 1 1】975 935 972，要使这

9、个连乘积的最后 4 个数字都是 0，那么在方框最小应填什么数？【巩固】【巩固】从 50 到 100 的这 51 个自然数的乘积的末尾有多少个连续的 0？【例【例 2 2】把若干个自然数 1、2、3、连乘到一起，如果已知这个乘积的最末十三位恰好都是零，那么最后出现的自然数最小应该是多少？【巩固】【巩固】201 202203300的结果除以10，所得到的商再除以10重复这样的操作，在第_次除以10时，首次出现余数.重难点例题精讲4/14【例【例 3 3】11 个连续两位数的乘积能被 343 整除，且乘积的末 4 位都是 0，那么这 11 个数的平均数是多少？【巩固】【巩固】用 19 这九个数字组成

10、三个三位数(每个数字都要用)，每个数都是 4 的倍数。这三个三位数中最小的一个最大是。【例【例 4 4】在方框中填上两个数字，可以相同也可以不同，使 432是 9 的倍数.请随便填出一种，并检查自己填的是否正确。【巩固】【巩固】一个六位数2727口口被 3 除余 l，被 9 除余 4，这个数最小是。5/14【例【例 5 5】连续写出从 1 开始的自然数，写到 2008 时停止，得到一个多位数：1120072008，请说明：这个多位数除以 3，得到的余数是几？为什么？【巩固】【巩固】1420082009 除以 9，商的个位数字是_。【例【例 6 6】1 至 9 这 9 个数字，按图所示的次序排成

11、一个圆圈请你在某两个数字之间剪开，分别按顺时针和逆时针次序形成两个九位数(例如，在 1 和 7 之间剪开，得到两个数是193426857和758624391)如果要求剪开后所得到的两个九位数的差能被396整除，那么剪开处左右两个数字的乘积是多少?【巩固】【巩固】207，2007，20007，等首位是2，个位是7，中间数字全部是0的数字中，能被27整除而不被81整除的最小数是。三、7、11、13 系列6/14【例【例 7 7】一个 4 位数，把它的千位数字移到右端构成一个新的 4 位数.已知这两个 4 位数的和是以下 5 个数的一个：9865；9866；9867；9868；9869.这两个 4

12、位数的和到底是多少?【巩固】【巩固】88888ab ab ab ab ab是 77 的倍数，则ab最大为_?【例【例 8 8】三位数的百位、十位和个位的数字分别是5，a和b，将它连续重复写2008次成为：20095555abab abab个.如果此数能被 91 整除，那么这个三位数5ab是多少？【巩固】【巩固】称一个两头（首位与末尾）都是1的数为“两头蛇数”。一个四位数的“两头蛇数”去掉两头，得到一个两位数，它恰好是这个“两头蛇数”的约数。这个“两头蛇数”是。（写出所有可能）7/14【例【例 9 9】学生问数学老师的年龄老师说：“由三个相同数字组成的三位数除以这三个数字的和，所得结果就是我的年

13、龄。”老师今年岁。【巩固】【巩固】已知两个三位数abc与def的和abcdef能被 37 整除，试说明：六位数abcdef也能被 37 整除【例【例 1010】一个 4 位数，把它的千位数字移到右端构成一个新的 4 位数.再将新的 4 位数的千位数字移到右端构成一个更新的四位数，已知最新的4位数与最原先的4位数的和是以下5个数的一个：9865；9867；9462；9696；9869.这两个 4 位数的和到底是多少?【巩固】【巩固】一个六位数各个数字都不相同，且这个数字能被 17 整除，则这个数最小是_？【例【例 1111】在六位数 1111 中的两个方框各填入一个数字，使此数能被 17 和 1

14、9 整除，那么方框中的两位数是多少?8/14【巩固】【巩固】将数字 4，5，6，7，8，9 各使用一次，组成一个被 667 整除的 6 位数，那么，这个 6 位数除以 667 的结果是多少？【例【例 1212】若4232bcd，试问abcd能否被 8 整除?请说明理由【巩固】【巩固】证明abcde能被 6 整除，那么2()abcde也能被 6 整除【例【例 1313】甲、乙两个三位数的乘积是一个五位数，这个五位数的后四位为 1031如果甲数的数字和为10，乙数的数字和为 8，那么甲乙两数之和是_【巩固】【巩固】有 5 个不同的正整数，它们中任意两数的乘积都是 12 的倍数，那么这 5 个数之和

15、的最小值是_9/14【例【例 1414】某住宅区有 12 家住户，他们的门牌号分别是 1，2，12他们的依次是 12 个连续的六位自然数，并且每家的都能被这家的门牌号整除，已知这些的首位数字都小于 6，并且门牌号是 9的这一家的也能被 13 整除，问：这一家的是什么数？【巩固】【巩固】用数字 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9 拼成一个十位数。要求前 1 位数能被 2 整除，前 2位数能被 3 整除，前 9 位数能被 10 整除已知最高位数为 8这个十位数是【例【例 1515】在六位数ABCDEF中，不同的字母表示不同的数字，且满足A，AB，ABC，ABCD，ABCDE，ABCDEF依次能

16、被 2，3，5，7，11，13 整除则ABCDEF的最小值是；已知当ABCDEF取得最大值时0C，6F，那么ABCDEF的最大值是_【巩固】【巩固】有一个九位数abcdefghi的各位数字都不相同且全都不为 0，并且二位数ab可被 2 整除，三位数abc可被 3 整除，四位数abcd可被 4 整除，依此类推，九位数abcdefghi可被 9 整除请10/14问这个九位数abcdefghi是多少？【例【例 1616】N 是一个各位数字互不相等的自然数，它能被它的每个数字整除N 的最大值是【巩固】【巩固】a，b，c，d各代表一个不同的非零数字，如果abcd是13的倍数，bcda是11的倍数，cda

17、b是9的倍数，dabc是7的倍数，那么abcd是。【随练【随练 1】若 9 位数 20082008 能够被 3 整除，则里的数是_【随练【随练 2】六位数2008能被 99 整除，是多少？课堂检测11/14【随练【随练 3】应当在如下的问号“？”的位置上填上哪一个数码，才能使得所得的整数5050666?555个6个5可被 7整除？【随练【随练4】王老师在黑板上写了这样的乘法算式:12345679(),然后说道:“只要同学们告诉我你们喜欢 1,2,3,4,5,6,7,8,9 中的哪个数，我在括号里填上适当的乘数，右边的积一定全由你喜欢的数字组成。”小明抢着说：“我喜欢 3。”王老师填上乘数“27

18、”结果积就出现九个 3；12345679(27)333333333小宇举手说：“我喜欢 7。”只见王老师填上乘数“63”，积久出现九个7：12345679(63)777777777，小丽说：“我喜欢8。”那么算式中应填上的乘数是.【随练【随练 5】有四个非零自然数,a b c d，其中cab，dbc.如果a能被 2 整除，b能被 3 整除，c能被 5 整除，d能被 7 整除，那么d最小是【作业【作业 1】一个收银员下班前查账时发现：现金比账面记录少了 153 元，她知道实际收钱不会错，只能是记账时有一个数点错了小数点，那么记错的那笔帐实际收到的现金是_元。家庭作业12/14【作业【作业 2】一

19、个五位数恰好等于它各位数字和的 2007 倍，则这个五位数是【作业【作业 3】一个 19 位数997777044444个个能被 13 整除，求的数字【作业【作业 4】已知四十一位数555999（其中 5 和 9 各有 20 个）能被 7 整除，那么中间方格的数字是多少？【作业【作业 5】一位后勤人员买了 72 本笔记本，可是由于他吸烟不小心，火星落在帐本上，把这笔帐的总数烧去两个数字.帐本是这样的：72 本笔记本，共67.9元(为被烧掉的数字)，请把处数字补上，并求笔记本的单价.13/14【作业【作业 6】小红为班里买了 33 个笔记本。班长发现购物单上没有表明单价，总金额的字迹模糊，只看到9

20、3元，班长问小红用了多少钱，小红只记得不超过 95 元，她实际用了元。【作业【作业 7】1 87 2aa是 2008 的倍数a _【作业【作业 8】有 15 位同学，每位同学都有编号，他们是 1 号到 15 号，1 号同学写了一个自然数，其余各位同学都说这个数能被自己的编号数整除1 号作了检验：只有编号连续的两位同学说的不对，其余同学都对，问：说的不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数？如果告诉你 1号写的数是五位数，请找出这个数【作业【作业 9】若四位数9 8a a能被 15 整除，则a代表的数字是多少？【作业【作业 10】06 这 7 个数字能组成许多个没有重复数字的 7 位数，其中有些是 55 的倍数，最大的一个是（）。14/14学生对本次课的评价特别满意满意一般家长意见及建议家长签字：教学反馈