效用函数.pptx

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1、,效用函数,刘孔柏,目 录,第一节效用及效用函数概述第二节效用函数决策模式第三节效用函数类型第四节决策方案的敏感性分析,假如你打算买台笔记本电脑，你会选择哪个牌子的？,1.1效用及效用函数概述,在经济学中效用（utility）：商品或劳务满足人的欲望或需要的能力。效用完全是消费者的一种主观心理感受。满足程度越高，效用越大；满足程度越低，效用越小。,在决策理论中，效用是概念，反映决策方案的结果值满足和实现决策者愿望和倾向的程度。 效用也是量值，可以用具体的方法测定，并作为决策分析的依据,决策问题的每种结果对于决策人都有一定的效用，效用是在有风险的情况下决策人对结果的爱好（偏好）的量化，各种结果的

2、效用的集合就是效用函数。效用函数主要用于解决随机决策问题，在进行决策分析时，主要步骤分别是：,（1）事态体的概念具有两种或两种以上的有限个可能结果的方案（或事情），称为事态体。设事态体的n个可能结果值为o1，o2，o3，on，相应出现的概率为p1，p2，pn，并且 ，则事态体记作T=（p1，o1；p2，o2，pn, on ）当n=2时，称T为简单事态体，即T=(p1，o1；1-p，o2),1.2基本概念与符号,例：某公司研究研制一种新产品，投入市场有一定风险。根据市场预测，该产品在市场看好的情况下，可以获利20万，在市场前景较差时，将亏损5万，市场看好和市场较差的概率分别是0.6和0.4，可表

3、示为T=(0.6,20;0.4,-5),（3）设两个简单事态体T1,T2具有相同的结果值o1 o2，即T1=（p1,o1；1-p1,o2）T2=(p2,o1；1-p2,o2)，并假定o1 o2 1，若p1=p2 ，则称事态体T1无差异与T2，记作T1T2 2，若p1 p2 ，则称事态体T1优于T2，记作T1 T2反之，称事态体T1劣于T2，记作T1 T2。,1.2基本概念与符号,(2) 事态体的比较（严格序“ ”） 设o1，o2是事态体T的任意两个结果值，根据决策目标和决策者的偏好，o1和o2有如下关系：1、o1 o2 2、 o1 o2 3、 o1o2 4、o1 o2 5、o1 o2,1.2基

4、本概念与符号,（4）设有两个简单事态体T1,T2，仅具有一个相同结果值，另一个结果值不相同，即T1=（p1,o1；1-p1,o2）T2=(p2,o1；1-p2,o2)，其中o2 o1 o0若p1=p2 ，则称事态体T1优于T2，记作T1 T2若T1T2 ，则一定有p1 p2 另外还具有连通性、传递性、复合性、相对有序性。,1.2基本概念与符号,1.2基本概念与符号,2效用函数决策模式,一、效用测定,标准效用测定方法（简称VM方法）冯诺依曼与莫根斯坦设有决策系统,其结果值集合为O=o1，o2，on，记o* max o1，o2，on o。min o1，o2，on 用标准效用测定法测定结果值oj(j

5、=1,2, ,n)的效用值u(oj)，其步骤如下：设u(o*)=1,u(o。)=0； 建立简单事态体（x， o* ，1-x， o。 ），其中x称为可调概率通过反复提问，不断改变可调概率值x，让决策者权衡比较，当x=pj 时，得到无差异关系oj （pj， o* ，1- pj， o。） 测得结果值oj的效用u(oj)= pj u(o*)+（ 1- pj ）u(o。)= pj,例：某公司试制某种新产品，根据市场预测，畅销时可获利10万元，滞销时将亏损1万元，该公司另有一个无风险方案，即如果生产某种老产品，可以获利5万元。,不妨设o* =10， o。 =-1，这个风险方案可表示为事态体（p， o* ，

6、1- p， o。 ）设o=5，于是有o* o o。 需要测定效用值u(o)，经过反复提问，让公司决策者反复对比和权衡，当p=0.8时，决策者偏好风险方案，当p=0.5时，决策者偏好无风险方案，当p=0.6时决策者对两种方案无所偏好，即确定无差异关系式o （ 0.6， o* ，0.4， o。）因此效用值u(o)=0.6,二、效用函数值（1）效用函数表的制作对于决策问题的结果值集合，先用标准效用测定法找出一个基准效用值，这就是效用值等于0.5的结果值，称之为确定当量o 。即：构造简单事态体(0.5, o*;0.5, o。)用标准效用测定方法，得到该事态体的确定当量o，使得o (0.5, o*;0.

7、5, o。) 其余效用值无须测定，而是按比例用线性内插的方法，用同一个标准计算得到。可以得到效用曲线u(o)上的三个已知点（ o。,0）( o,0.5)（ o*,1）,为了使效用曲线规范化，下面对结果值进行归一化处理。归一化公式：,则得到x(o0)=0,x(o*)=1,归一化变换后，效用曲线上的三个已知点对应于变换后的三个已知点(0,0),(,0.5),(1,1)，在坐标平面上用横轴表示归一化值x，用纵轴表示效用函数值u(x)，就可以粗略地画出相应的效用函数曲线。,为了较精确地绘出效用函数曲线，仅有上述三个点还远远不够，还需要补充足够的点，为此将纵轴效用函数值区间0,1，划分为4等份，相应地得

8、到4个效用值0.25,0.5,0.75,1相应的横坐标值依此记为x0.25,x0.5,x0.75,x*,按照效用函数的构造假设，根据统一标准用线性内插方法计算其他效用函数值，即按下列比例关系式计算x0.25和x0.75,于是可以得到:,在实际应用中，为了使用方便，将对应于不同权衡指标值的效用函数值编制成表格，便于使用查找，这种表格称之为效用函数表。实际构造效用函数时，取n=6定出效用曲线上的26（64）个点，效用函数的精度已经足够。书后附表6给出了n=6对于不同的权衡指标值(0.5)的效用函数值。,查表方法将条件结果值oj归一化处理利用标准效用测定法，确定决策者的确定当量，归一化得到权衡指标值

9、，并在效用函数表中找到相应的(0.5)列若能够直接查到xj值，则该x值所在同一行位于u(xj)列的数值，即为所需查找的效用函数值u(xj)；否则找出同一列中相邻近值两个值x1，x2，用线性内插法计算,如下：,效用函数是单调增加函数，有u(x1)u(xj) u(x2),例：某企业欲投产一种新产品，有三种方案可供选择。假设市场划分为三种状态，即市场畅销、一般、滞销，三种方案在不同的市场状态下所获利润额，根据预测分析可以表示决策矩阵（单位：万元）,根据标准效用法测定，该企业的决策者认为，某风险方案盈利20万元和亏损5万元的机会各占一半，等价于稳获利4.5万元的无风险方案。求该企业决策者效用矩阵。,确

10、定当量o=4.5，即o(0.5,o*;0.5, o。)o* =20 o。=-5 。于是权衡指标值,将结果值归一化处理，即：,得到归一化决策矩阵：,查效用函数表，将归一化矩阵的xij转化为相应的效用值u(xij)，不能直接查到的取其邻近值，得到相应效用值，用线性内插法得出结果：,（2）幂函数型效用曲线幂函数y=ta (0a1),求出幂函数型效用函数的拟合表达式，,（3）对数函数型效用曲线y=lnt (0t+),三、进行决策树分析根据各种状态与相应的效用值画出决策树图，计算各方案的期望效用值，然后进行修枝选方案。,某公司准备引进某新设备进行生产，这种新设备具有一定的先进性，但该公司尚未试用过，预测

11、应用时成功的概率为0.8，失败的概率为0.2。现有三种方案可供选择：方案I，应用老设备，可稳获4万元收益；方案II，先在某一车间试用新设备，如果成功，可获7万元收益，如果失败则将亏损2万元；方案III，全面推广使用新设备，如果成功，可获12万元收益，如果失败则亏损10万元，试问该公司应采取哪种方案？,例题,解：（1）如果采用货币期望值标准，可画出决策树如下图：方案I的损益值为4（万元）方案II的损益值为：70.8+（-2）0.2=5.2（万元）方案III的损益值为120.8+（-10）0.2=7.6（万元）,以损益值为标准的决策树,（2）求决策者的效用曲线。 规定最大收益（12万元）时，效用值

12、为1，亏损最大（-10万元）时，效用值为0，用标准测定法向决策者提出一系列问题，找出对应于若干损益值的效用值，即可绘制出该决策者对此决策的效用曲线，如下图所示。,1.0,由此可见，以效用值作为决策标准，应选方案I。,|,1,0.94,0.98,0.7,1.0,0,0.94,0.924,0.8,方案I,方案II,方案III,2,3,例 决策人面临图中决策树所示的选择：确定收入礼品1000元；参与一次抽奖：有50%的机会得0元，50%的机会得2500元。,有人选确定性的1000元的收入。抽奖的期望值虽大，风险也大，实际价值还不如保险的1000元。,而有人认为礼品不如抽奖，因为抽奖提供了获得2500

13、元的机会。,这个例子说明：决策人的风险态度影响其对后果的实际价值判断。,3.效用函数类型,（1）中立型效用函数设有效用函数u=u(x)，若x1x2 有:,当结果值增加时，效用值按相同比例增加，决策者效用值增加的速度稳定，表明对风险的态度平和，既不对有利结果特别追求，也不对不利结果谨慎从。这时，可以直接用结果值进行评价方案。,则称为中立型效用函数，对应的效用曲线是一条直线。,（2）保守型效用函数设有效用函数u=u(x)，若x1x2 ，有:,则称为保守型效用函数，对应的效用曲线是一条上凸曲线,效用值随结果值的增加而增加，但增加的速度逐渐由快至慢。反映了决策者随结果值增加越来越谨慎，对风险持厌恶态度

14、。当效用函数上凸得越厉害，则表示决策者对风险保守的程度越突出。,(3)冒险型效用函数设有效用函数u=u(x)，若x1x2 ，有:,则称为冒险型效用函数，对应的效用曲线是一条下凸曲线。效用值随结果值增加而增加，但增加的速度随之逐渐加快。,反映决策者喜欢冒险，乐于大胆尝试的个性。随着结果值增加，对市场变化充满信心，敢于冒险追求高额利润。效用曲线下凸越厉害，表示决策者越富冒险性。,4.决策方案的敏感性分析,风险决策分析的主要评价指标是期望效用或期望收益，期望值直接依赖于自然状态的概率，而自然状态的概率往往估计不准，一旦自然状态产生大的偏差，会导致原来的最满意方案产生变化。因此有必要分析为决策所用的数

15、据在多大范围内变动，原来的最满意方案继续有效，这种分析称为灵敏度分析。对状态或条件损益值数据的变动是否影响最优方案的选择进行的分析叫做敏感度分析。,某工厂打算在甲和乙两种产品中选择一种进行生产。根据以往的经验，如果市场不发生变化的情况下，生产甲产品，可获得利润50万元；生产乙产品，要亏损15万元。如果在市场条件发生变化的情况下，生产甲产品，会亏损20万；而生产乙产品，可获得利润100万元。根据以往的资料，预测市场不发生变化的概率是0.7，发生变化的概率是0.3。问应如何决定生产哪种产品？,例题：,（1）列收益表,自然状态,状态概率,生产方案,（2）计算各方案的期望收益：1） 生产甲产品：500

16、.7(-20)0.3=29（万元）；生产乙产品(-15)0.71000.3=19.5（万元） 2）显然，生产甲产品为最优方案。假设市场不发生变化的概率从0.7变到0.8，这时两方案的期望利润： 生产甲产品：500.8(-20)0.2=36（万元）；生产乙产品：(-15)0.81000.2=8（万元）3）显然，生产甲产品仍为最优方案。再假设市场不发生变化的概率由0.7变到0.6，两方案的期望利润为：生产甲产品：500.6(-20)0.4=22（万元）；生产乙产品：(-15)0.61000.4=31（万元） 这时，生产乙产品为最优方案。,1）由上述例题可以看出，一个方案从最优方案转化为非最优方案，

17、在这个转变过程中有一个概率值点，这个概率值点称为转折概率。最优方案的转化，都有转折概率。2）设P代表市场不发生变化的概率，(1-P)则表示市场发生变化的概率，令这两个方案的期望收益值相等，可得到转折概率。,对于多自然状态、多方案的转折概率的计算是比较复杂的，这里只用多方案、二自然状态下灵敏度分析的一般结论。1）设有一风险决策问题，其可行动方案ai（i=1,2, ,m）,自然状态的概率为p和1-p，各方案的合意度向量为：,3）除了方案aio以外的其他方案ai（iio）必存在概率值：,2）设aio是最满意方案，即方案aio的合意度：,4）使得当状态概率值p在允许范围内变化到pi时，方案ai与最满意

18、方案aio优劣程度相同。当状态概率值p的变化越过pi时（不论大于还是小于），方案ai优于原最满意方案aio。称pi为最满意方案的转折概率。,5）显然，转折概率的个数等于m-1，如果希望最满意方案不变化，p的变化不能越过所有的pi，因此最满意方案aio稳定的条件是,其中表示状态概率的允许误差。这个原理称为转折概率原理。,例题：某外贸公司准备从国外进口一批轿车，现需决定在A、B两种品牌中选哪一种，所获得的收益依赖于未来一年内国内轿车市场的需求情况。如果一年内国内轿车市场需求不减，进口A种轿车可获利100万元，进口B种轿车可获利75万元，如果需求减少，则进口A种轿车要亏损20万元，进口B种轿车仍获利

19、10万元，。预计一年内国内轿车市场需求不减的概率为0.6，需求减少的概率为0.4.试对此问题进行决策，并进行灵敏度分析。,自然状态,状态概率,投资方案,设决策矩阵为,利用标准测定法，得q=28万，于是求出权衡指标值=0.4得到归一化决策矩阵：,查表求出各条件利润值的效用函数值u(q11)=1.0000 u(q12)=0.000 u(q21)=0.8837 u(q22)=0.3705,根据得到的效用值画出决策树图，计算各方案的合意度,可见h1h2,方案B优于方案A，由于对市场需求的预测会有误差，还需要对最满意方案进行灵敏度分析，由公式计算出转折概率p=0.7611,最满意方案B的稳定性条件为：状态概率p=p(1)的允许误差满足：,即国内轿车市场需求不减的概率p的变动范围在0.1611之内时，最满意方案是稳定的，也就是：当p0.7611时，方案A优于方案B，这时进口品牌A的轿车更令人满意,在实际工作中，我们需要把概率值和损益值等因素在可能发生的范围内作几次不同的变动，并反复的计算，看所得到的期望损益值是否相差很大，是否影响最优方案的选择。如果这些数据稍加变动，而最优方案不变，则这个方案是比较稳定的，即灵敏度不高，决策可靠性大。反之，如果那些数据稍加变动，最优方案就从原来的变到另外一个，则这个方案是不稳定的，即灵敏度高，决策可靠性小，需要进一步分析和研究改进措施。,