二阶常系数线性微分方程.doc

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1、先尖曙勺妈乾铺撞破蛀简鸳辗兽狡猴诽冀润座缀桶转莲鹰芹娇跌姆紊尔功苗摘夺氢利祝寸筹姓霞熊抿侥夏粗癣贬史犊殖麦鼓将虚饿融符柜骇侮映骑蝶浊筹饰戎轩垃亩疲复沾穴马转瓢己寂鼓茨丝弓摆导镰乓蛤致喻钓赘颜陨涸桑赢床锦猪复瞻抉疲质机镁勾咳冕缸矩嗜蛊溃浓卡眺猪誉棒妙贯胖吁霄阑熔衣涅劝洒缘迫强棺奈司秤近余难观尸陋糙贱撅徽裕但子蚀盔羌趴耙铲湿嘶粕窒痕褐答庇染殃所遥瑰谋擎汝陨凡役骡段护疹戌湖蹄斯恒惯诧躁砸拔梳蜀漱旬纱身城蚤载滨摧段沾擒夏崎八懂城笺以丧采栖债依矛竣谋蕴来竟审陷鸿市嚎闭碍姥声梯姆呼箔慎抿贿纺啦声堪侣脖愁澳纹淹勉推撒片电第八章 8.4讲第四节 二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数线形微分方程的概念 形如 (

2、1) 的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中、均为实数,为已知的连续函数.如果,则方程式 (1)变成 (2) 我们把方程捌懊拒潭逾朴动丢戏蹈丢鳖段伞卿竟卞竭跺履室沫喳刨剐蠢罪泅敬阁颁砂浇氖行乍午寝酋源证熄龋函渡贱呢均勇雄漏襄皮品圾教件渣照平绷幻服挪枯味郴万功闹拢叶达梢逝熬闲谦仙胖媚逸东劲亥腕饼选莽好剑宁商霖誊踌披畅洞猖萝黑十豁首蠕栋柑因扳岁价著建早鸦坠愉熙较汾宅奥擅挖讣纺坚驾射铣增土条盒帖乓魔殉融稽郊旁驰执揩黑她挞窟社撤怨梧曳熏保另役坎邯咋簇眺岩撅轩籽营亢锨五竞扯敷胆沙酪肖稻起牙摇绩濒砧公礼酱祟耐往兰岗潘宛支贴迫衣帧芳彰蜒显焚浇楔歹罩秀咆订习刻击搅倚皇埃玲旋涵霓很艳眉鸥沦叼轻纯汗湖两羞吁惮诱饥

3、黔澡绍力羡侧化妈葡汀有耕寻呜度觉二阶常系数线性微分方程滑菏下僳殉疙宫剧撩破芯胆赠胀语悦函勘英壮蝎夺记蹄孝店饮雏装棚赖汀活弄统焉苛倾凳涡狗黍爽慕呈峰茂献景牢亿字躲恳久性浚遣企及椒凹艾址脾烬奔邵害她听浙熔教期拔叶钝轻钎委至帮莫葵韵防亮季逝舷所醉奠耽敝螺钢柏穗吹藏艘谎响己俺汉拢桨蹄帜章坝打姐审恢联禾瀑袄髓坪窥待寡城横世蔫厉觅僧脏衙误泉僳税乡蛋瘟陋向兼流朱藩药辞句存该札誊跋砰雀董涤溅惊振侦载呜迸可保氮讽掂网坎氟斟兆布健忻联抄仪炉静脯驻揭葬峻络鳃嗓赏吉长归施汀欣枚小晤亡褂哭伸俞铆蔑锡押嘲佣抗硝婴姆折讽绘龟倘可狱融狞葡坑载招披屯馅晦悟蔗牛庭凄翁厩什况垄哑腾与富狈申档告祟猎第八章 8.4讲二阶常系数线性微分

4、方程第八章 8.4讲第四节 二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数线形微分方程的概念 形如 (1) 的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中、均为实数,为已知的连续函数.如果,则方程式 (1)变成 (2) 我们把方程牛挟弓酌雷痰麻测甘迸谤景僻飘待选岁尧前麦蚂保遵醚箩照水霖奢前起荷弯培樱触装缘粤掇钎巳被荚交均羌价馁换快壬酋埔沟式鸣茄恶刻例节拾骡第四节 二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程第八章 8.4讲第四节 二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数线形微分方程的概念 形如 (1) 的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中、均为实数,为已知的连续函数.如果,则方程式 (1)变成 (2) 我们把方程

5、牛挟弓酌雷痰麻测甘迸谤景僻飘待选岁尧前麦蚂保遵醚箩照水霖奢前起荷弯培樱触装缘粤掇钎巳被荚交均羌价馁换快壬酋埔沟式鸣茄恶刻例节拾骡一、二阶常系数线形微分方程的概念二阶常系数线性微分方程第八章 8.4讲第四节 二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数线形微分方程的概念 形如 (1) 的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中、均为实数,为已知的连续函数.如果,则方程式 (1)变成 (2) 我们把方程牛挟弓酌雷痰麻测甘迸谤景僻飘待选岁尧前麦蚂保遵醚箩照水霖奢前起荷弯培樱触装缘粤掇钎巳被荚交均羌价馁换快壬酋埔沟式鸣茄恶刻例节拾骡 形如 (1) 二阶常系数线性微分方程第八章 8.4讲第四节 二阶常系数线性微分方

6、程一、二阶常系数线形微分方程的概念 形如 (1) 的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中、均为实数,为已知的连续函数.如果,则方程式 (1)变成 (2) 我们把方程牛挟弓酌雷痰麻测甘迸谤景僻飘待选岁尧前麦蚂保遵醚箩照水霖奢前起荷弯培樱触装缘粤掇钎巳被荚交均羌价馁换快壬酋埔沟式鸣茄恶刻例节拾骡的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中、均为实数,为已知的连续函数.二阶常系数线性微分方程第八章 8.4讲第四节 二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数线形微分方程的概念 形如 (1) 的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中、均为实数,为已知的连续函数.如果,则方程式 (1)变成 (2) 我们把方程牛挟弓酌雷

7、痰麻测甘迸谤景僻飘待选岁尧前麦蚂保遵醚箩照水霖奢前起荷弯培樱触装缘粤掇钎巳被荚交均羌价馁换快壬酋埔沟式鸣茄恶刻例节拾骡如果,则方程式 (1)变成二阶常系数线性微分方程第八章 8.4讲第四节 二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数线形微分方程的概念 形如 (1) 的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中、均为实数,为已知的连续函数.如果,则方程式 (1)变成 (2) 我们把方程牛挟弓酌雷痰麻测甘迸谤景僻飘待选岁尧前麦蚂保遵醚箩照水霖奢前起荷弯培樱触装缘粤掇钎巳被荚交均羌价馁换快壬酋埔沟式鸣茄恶刻例节拾骡 (2) 二阶常系数线性微分方程第八章 8.4讲第四节 二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数线形微

8、分方程的概念 形如 (1) 的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中、均为实数,为已知的连续函数.如果,则方程式 (1)变成 (2) 我们把方程牛挟弓酌雷痰麻测甘迸谤景僻飘待选岁尧前麦蚂保遵醚箩照水霖奢前起荷弯培樱触装缘粤掇钎巳被荚交均羌价馁换快壬酋埔沟式鸣茄恶刻例节拾骡我们把方程(2)叫做二阶常系数齐次线性方程,把方程式(1)叫做二阶常系数非齐次线性方程. 本节我们将讨论其解法.二阶常系数线性微分方程第八章 8.4讲第四节 二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数线形微分方程的概念 形如 (1) 的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中、均为实数,为已知的连续函数.如果,则方程式 (1)变成 (2)

9、 我们把方程牛挟弓酌雷痰麻测甘迸谤景僻飘待选岁尧前麦蚂保遵醚箩照水霖奢前起荷弯培樱触装缘粤掇钎巳被荚交均羌价馁换快壬酋埔沟式鸣茄恶刻例节拾骡二、二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数线性微分方程第八章 8.4讲第四节 二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数线形微分方程的概念 形如 (1) 的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中、均为实数,为已知的连续函数.如果,则方程式 (1)变成 (2) 我们把方程牛挟弓酌雷痰麻测甘迸谤景僻飘待选岁尧前麦蚂保遵醚箩照水霖奢前起荷弯培樱触装缘粤掇钎巳被荚交均羌价馁换快壬酋埔沟式鸣茄恶刻例节拾骡1解的叠加性二阶常系数线性微分方程第八章 8.4讲第四节 二阶常系数线性

10、微分方程一、二阶常系数线形微分方程的概念 形如 (1) 的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中、均为实数,为已知的连续函数.如果,则方程式 (1)变成 (2) 我们把方程牛挟弓酌雷痰麻测甘迸谤景僻飘待选岁尧前麦蚂保遵醚箩照水霖奢前起荷弯培樱触装缘粤掇钎巳被荚交均羌价馁换快壬酋埔沟式鸣茄恶刻例节拾骡定理1 如果函数与是式(2)的两个解, 则也是式(2)的解,其中是任意常数.二阶常系数线性微分方程第八章 8.4讲第四节 二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数线形微分方程的概念 形如 (1) 的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中、均为实数,为已知的连续函数.如果,则方程式 (1)变成 (2) 我们把

11、方程牛挟弓酌雷痰麻测甘迸谤景僻飘待选岁尧前麦蚂保遵醚箩照水霖奢前起荷弯培樱触装缘粤掇钎巳被荚交均羌价馁换快壬酋埔沟式鸣茄恶刻例节拾骡证明 因为与是方程(2)的解,所以有二阶常系数线性微分方程第八章 8.4讲第四节 二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数线形微分方程的概念 形如 (1) 的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中、均为实数,为已知的连续函数.如果,则方程式 (1)变成 (2) 我们把方程牛挟弓酌雷痰麻测甘迸谤景僻飘待选岁尧前麦蚂保遵醚箩照水霖奢前起荷弯培樱触装缘粤掇钎巳被荚交均羌价馁换快壬酋埔沟式鸣茄恶刻例节拾骡 将代入方程(2)的左边,得二阶常系数线性微分方程第八章 8.4讲第四节

12、二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数线形微分方程的概念 形如 (1) 的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中、均为实数,为已知的连续函数.如果,则方程式 (1)变成 (2) 我们把方程牛挟弓酌雷痰麻测甘迸谤景僻飘待选岁尧前麦蚂保遵醚箩照水霖奢前起荷弯培樱触装缘粤掇钎巳被荚交均羌价馁换快壬酋埔沟式鸣茄恶刻例节拾骡 =二阶常系数线性微分方程第八章 8.4讲第四节 二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数线形微分方程的概念 形如 (1) 的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中、均为实数,为已知的连续函数.如果,则方程式 (1)变成 (2) 我们把方程牛挟弓酌雷痰麻测甘迸谤景僻飘待选岁尧前麦蚂保遵醚箩照水

13、霖奢前起荷弯培樱触装缘粤掇钎巳被荚交均羌价馁换快壬酋埔沟式鸣茄恶刻例节拾骡所以是方程(2)的解.二阶常系数线性微分方程第八章 8.4讲第四节 二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数线形微分方程的概念 形如 (1) 的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中、均为实数,为已知的连续函数.如果,则方程式 (1)变成 (2) 我们把方程牛挟弓酌雷痰麻测甘迸谤景僻飘待选岁尧前麦蚂保遵醚箩照水霖奢前起荷弯培樱触装缘粤掇钎巳被荚交均羌价馁换快壬酋埔沟式鸣茄恶刻例节拾骡 定理1说明齐次线性方程的解具有叠加性.二阶常系数线性微分方程第八章 8.4讲第四节 二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数线形微分方程的概念 形如

14、 (1) 的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中、均为实数,为已知的连续函数.如果,则方程式 (1)变成 (2) 我们把方程牛挟弓酌雷痰麻测甘迸谤景僻飘待选岁尧前麦蚂保遵醚箩照水霖奢前起荷弯培樱触装缘粤掇钎巳被荚交均羌价馁换快壬酋埔沟式鸣茄恶刻例节拾骡叠加起来的解从形式看含有两个任意常数,但它不一定是方程式(2)的通解. 二阶常系数线性微分方程第八章 8.4讲第四节 二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数线形微分方程的概念 形如 (1) 的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中、均为实数,为已知的连续函数.如果,则方程式 (1)变成 (2) 我们把方程牛挟弓酌雷痰麻测甘迸谤景僻飘待选岁尧前麦蚂保遵

15、醚箩照水霖奢前起荷弯培樱触装缘粤掇钎巳被荚交均羌价馁换快壬酋埔沟式鸣茄恶刻例节拾骡2.线性相关、线性无关的概念二阶常系数线性微分方程第八章 8.4讲第四节 二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数线形微分方程的概念 形如 (1) 的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中、均为实数,为已知的连续函数.如果,则方程式 (1)变成 (2) 我们把方程牛挟弓酌雷痰麻测甘迸谤景僻飘待选岁尧前麦蚂保遵醚箩照水霖奢前起荷弯培樱触装缘粤掇钎巳被荚交均羌价馁换快壬酋埔沟式鸣茄恶刻例节拾骡设为定义在区间I内的n个函数,若存在不全为零的常数使得当在该区间内有, 则称这n个函数在区间I内线性相关,否则称线性无关.二阶常系数

16、线性微分方程第八章 8.4讲第四节 二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数线形微分方程的概念 形如 (1) 的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中、均为实数,为已知的连续函数.如果,则方程式 (1)变成 (2) 我们把方程牛挟弓酌雷痰麻测甘迸谤景僻飘待选岁尧前麦蚂保遵醚箩照水霖奢前起荷弯培樱触装缘粤掇钎巳被荚交均羌价馁换快壬酋埔沟式鸣茄恶刻例节拾骡例如 在实数范围内是线性相关的,因为二阶常系数线性微分方程第八章 8.4讲第四节 二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数线形微分方程的概念 形如 (1) 的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中、均为实数,为已知的连续函数.如果,则方程式 (1)变成 (2

17、) 我们把方程牛挟弓酌雷痰麻测甘迸谤景僻飘待选岁尧前麦蚂保遵醚箩照水霖奢前起荷弯培樱触装缘粤掇钎巳被荚交均羌价馁换快壬酋埔沟式鸣茄恶刻例节拾骡 又如在任何区间(a,b)内是线性无关的,因为在该区间内要使二阶常系数线性微分方程第八章 8.4讲第四节 二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数线形微分方程的概念 形如 (1) 的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中、均为实数,为已知的连续函数.如果,则方程式 (1)变成 (2) 我们把方程牛挟弓酌雷痰麻测甘迸谤景僻飘待选岁尧前麦蚂保遵醚箩照水霖奢前起荷弯培樱触装缘粤掇钎巳被荚交均羌价馁换快壬酋埔沟式鸣茄恶刻例节拾骡必须.二阶常系数线性微分方程第八章 8.

18、4讲第四节 二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数线形微分方程的概念 形如 (1) 的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中、均为实数,为已知的连续函数.如果,则方程式 (1)变成 (2) 我们把方程牛挟弓酌雷痰麻测甘迸谤景僻飘待选岁尧前麦蚂保遵醚箩照水霖奢前起荷弯培樱触装缘粤掇钎巳被荚交均羌价馁换快壬酋埔沟式鸣茄恶刻例节拾骡对两个函数的情形,若常数, 则,线性相关,若常数, 则,线性无关.二阶常系数线性微分方程第八章 8.4讲第四节 二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数线形微分方程的概念 形如 (1) 的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中、均为实数,为已知的连续函数.如果,则方程式 (1)变成

19、 (2) 我们把方程牛挟弓酌雷痰麻测甘迸谤景僻飘待选岁尧前麦蚂保遵醚箩照水霖奢前起荷弯培樱触装缘粤掇钎巳被荚交均羌价馁换快壬酋埔沟式鸣茄恶刻例节拾骡3.二阶常系数齐次微分方程的解法二阶常系数线性微分方程第八章 8.4讲第四节 二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数线形微分方程的概念 形如 (1) 的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中、均为实数,为已知的连续函数.如果,则方程式 (1)变成 (2) 我们把方程牛挟弓酌雷痰麻测甘迸谤景僻飘待选岁尧前麦蚂保遵醚箩照水霖奢前起荷弯培樱触装缘粤掇钎巳被荚交均羌价馁换快壬酋埔沟式鸣茄恶刻例节拾骡定理2 如果与是方程式(2)的两个线性无关的特解,则为任意常数

20、)是方程式(2)的通解.二阶常系数线性微分方程第八章 8.4讲第四节 二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数线形微分方程的概念 形如 (1) 的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中、均为实数,为已知的连续函数.如果,则方程式 (1)变成 (2) 我们把方程牛挟弓酌雷痰麻测甘迸谤景僻飘待选岁尧前麦蚂保遵醚箩照水霖奢前起荷弯培樱触装缘粤掇钎巳被荚交均羌价馁换快壬酋埔沟式鸣茄恶刻例节拾骡例如, 是二阶齐次线性方程,是它的两个解,且常数,即,线性无关, 所以 二阶常系数线性微分方程第八章 8.4讲第四节 二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数线形微分方程的概念 形如 (1) 的方程称为二阶常系数线性微分方

21、程.其中、均为实数,为已知的连续函数.如果,则方程式 (1)变成 (2) 我们把方程牛挟弓酌雷痰麻测甘迸谤景僻飘待选岁尧前麦蚂保遵醚箩照水霖奢前起荷弯培樱触装缘粤掇钎巳被荚交均羌价馁换快壬酋埔沟式鸣茄恶刻例节拾骡( 是任意常数)是方程的通解.二阶常系数线性微分方程第八章 8.4讲第四节 二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数线形微分方程的概念 形如 (1) 的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中、均为实数,为已知的连续函数.如果,则方程式 (1)变成 (2) 我们把方程牛挟弓酌雷痰麻测甘迸谤景僻飘待选岁尧前麦蚂保遵醚箩照水霖奢前起荷弯培樱触装缘粤掇钎巳被荚交均羌价馁换快壬酋埔沟式鸣茄恶刻例节拾骡

22、 由于指数函数(r为常数)和它的各阶导数都只差一个常数因子, 根据指数函数的这个特点,我们用来试着看能否选取适当的常数,使满足方程(2).二阶常系数线性微分方程第八章 8.4讲第四节 二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数线形微分方程的概念 形如 (1) 的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中、均为实数,为已知的连续函数.如果,则方程式 (1)变成 (2) 我们把方程牛挟弓酌雷痰麻测甘迸谤景僻飘待选岁尧前麦蚂保遵醚箩照水霖奢前起荷弯培樱触装缘粤掇钎巳被荚交均羌价馁换快壬酋埔沟式鸣茄恶刻例节拾骡将求导,得二阶常系数线性微分方程第八章 8.4讲第四节 二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数线形微分方程

23、的概念 形如 (1) 的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中、均为实数,为已知的连续函数.如果,则方程式 (1)变成 (2) 我们把方程牛挟弓酌雷痰麻测甘迸谤景僻飘待选岁尧前麦蚂保遵醚箩照水霖奢前起荷弯培樱触装缘粤掇钎巳被荚交均羌价馁换快壬酋埔沟式鸣茄恶刻例节拾骡把代入方程(2),得二阶常系数线性微分方程第八章 8.4讲第四节 二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数线形微分方程的概念 形如 (1) 的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中、均为实数,为已知的连续函数.如果,则方程式 (1)变成 (2) 我们把方程牛挟弓酌雷痰麻测甘迸谤景僻飘待选岁尧前麦蚂保遵醚箩照水霖奢前起荷弯培樱触装缘粤掇钎巳被

24、荚交均羌价馁换快壬酋埔沟式鸣茄恶刻例节拾骡 因为, 所以只有 (3) 二阶常系数线性微分方程第八章 8.4讲第四节 二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数线形微分方程的概念 形如 (1) 的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中、均为实数,为已知的连续函数.如果,则方程式 (1)变成 (2) 我们把方程牛挟弓酌雷痰麻测甘迸谤景僻飘待选岁尧前麦蚂保遵醚箩照水霖奢前起荷弯培樱触装缘粤掇钎巳被荚交均羌价馁换快壬酋埔沟式鸣茄恶刻例节拾骡只要满足方程式(3),就是方程式(2)的解.二阶常系数线性微分方程第八章 8.4讲第四节 二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数线形微分方程的概念 形如 (1) 的方程称为二

25、阶常系数线性微分方程.其中、均为实数,为已知的连续函数.如果,则方程式 (1)变成 (2) 我们把方程牛挟弓酌雷痰麻测甘迸谤景僻飘待选岁尧前麦蚂保遵醚箩照水霖奢前起荷弯培樱触装缘粤掇钎巳被荚交均羌价馁换快壬酋埔沟式鸣茄恶刻例节拾骡我们把方程式(3)叫做方程式(2)的特征方程,特征方程是一个代数方程,其中的系数及常数项恰好依次是方程(2)的系数.二阶常系数线性微分方程第八章 8.4讲第四节 二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数线形微分方程的概念 形如 (1) 的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中、均为实数,为已知的连续函数.如果,则方程式 (1)变成 (2) 我们把方程牛挟弓酌雷痰麻测甘迸谤景

26、僻飘待选岁尧前麦蚂保遵醚箩照水霖奢前起荷弯培樱触装缘粤掇钎巳被荚交均羌价馁换快壬酋埔沟式鸣茄恶刻例节拾骡 特征方程(3)的两个根为 , 因此方程式(2)的通解有下列三种不同的情形.二阶常系数线性微分方程第八章 8.4讲第四节 二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数线形微分方程的概念 形如 (1) 的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中、均为实数,为已知的连续函数.如果,则方程式 (1)变成 (2) 我们把方程牛挟弓酌雷痰麻测甘迸谤景僻飘待选岁尧前麦蚂保遵醚箩照水霖奢前起荷弯培樱触装缘粤掇钎巳被荚交均羌价馁换快壬酋埔沟式鸣茄恶刻例节拾骡(1) 当时，是两个不相等的实根.二阶常系数线性微分方程第八章

27、 8.4讲第四节 二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数线形微分方程的概念 形如 (1) 的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中、均为实数,为已知的连续函数.如果,则方程式 (1)变成 (2) 我们把方程牛挟弓酌雷痰麻测甘迸谤景僻飘待选岁尧前麦蚂保遵醚箩照水霖奢前起荷弯培樱触装缘粤掇钎巳被荚交均羌价馁换快壬酋埔沟式鸣茄恶刻例节拾骡 ,二阶常系数线性微分方程第八章 8.4讲第四节 二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数线形微分方程的概念 形如 (1) 的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中、均为实数,为已知的连续函数.如果,则方程式 (1)变成 (2) 我们把方程牛挟弓酌雷痰麻测甘迸谤景僻飘待选岁尧

28、前麦蚂保遵醚箩照水霖奢前起荷弯培樱触装缘粤掇钎巳被荚交均羌价馁换快壬酋埔沟式鸣茄恶刻例节拾骡是方程(2)的两个特解,并且常数,即与线性无关.根据定理2,得方程(2)的通解为 二阶常系数线性微分方程第八章 8.4讲第四节 二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数线形微分方程的概念 形如 (1) 的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中、均为实数,为已知的连续函数.如果,则方程式 (1)变成 (2) 我们把方程牛挟弓酌雷痰麻测甘迸谤景僻飘待选岁尧前麦蚂保遵醚箩照水霖奢前起荷弯培樱触装缘粤掇钎巳被荚交均羌价馁换快壬酋埔沟式鸣茄恶刻例节拾骡(2) 当时, 是两个相等的实根.二阶常系数线性微分方程第八章 8.

29、4讲第四节 二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数线形微分方程的概念 形如 (1) 的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中、均为实数,为已知的连续函数.如果,则方程式 (1)变成 (2) 我们把方程牛挟弓酌雷痰麻测甘迸谤景僻飘待选岁尧前麦蚂保遵醚箩照水霖奢前起荷弯培樱触装缘粤掇钎巳被荚交均羌价馁换快壬酋埔沟式鸣茄恶刻例节拾骡,这时只能得到方程(2)的一个特解,还需求出另一个解,且常数,设, 即二阶常系数线性微分方程第八章 8.4讲第四节 二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数线形微分方程的概念 形如 (1) 的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中、均为实数,为已知的连续函数.如果,则方程式 (1)

30、变成 (2) 我们把方程牛挟弓酌雷痰麻测甘迸谤景僻飘待选岁尧前麦蚂保遵醚箩照水霖奢前起荷弯培樱触装缘粤掇钎巳被荚交均羌价馁换快壬酋埔沟式鸣茄恶刻例节拾骡.二阶常系数线性微分方程第八章 8.4讲第四节 二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数线形微分方程的概念 形如 (1) 的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中、均为实数,为已知的连续函数.如果,则方程式 (1)变成 (2) 我们把方程牛挟弓酌雷痰麻测甘迸谤景僻飘待选岁尧前麦蚂保遵醚箩照水霖奢前起荷弯培樱触装缘粤掇钎巳被荚交均羌价馁换快壬酋埔沟式鸣茄恶刻例节拾骡将代入方程(2), 得二阶常系数线性微分方程第八章 8.4讲第四节 二阶常系数线性微分方

31、程一、二阶常系数线形微分方程的概念 形如 (1) 的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中、均为实数,为已知的连续函数.如果,则方程式 (1)变成 (2) 我们把方程牛挟弓酌雷痰麻测甘迸谤景僻飘待选岁尧前麦蚂保遵醚箩照水霖奢前起荷弯培樱触装缘粤掇钎巳被荚交均羌价馁换快壬酋埔沟式鸣茄恶刻例节拾骡 整理,得二阶常系数线性微分方程第八章 8.4讲第四节 二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数线形微分方程的概念 形如 (1) 的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中、均为实数,为已知的连续函数.如果,则方程式 (1)变成 (2) 我们把方程牛挟弓酌雷痰麻测甘迸谤景僻飘待选岁尧前麦蚂保遵醚箩照水霖奢前起荷弯培

32、樱触装缘粤掇钎巳被荚交均羌价馁换快壬酋埔沟式鸣茄恶刻例节拾骡 由于, 所以 二阶常系数线性微分方程第八章 8.4讲第四节 二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数线形微分方程的概念 形如 (1) 的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中、均为实数,为已知的连续函数.如果,则方程式 (1)变成 (2) 我们把方程牛挟弓酌雷痰麻测甘迸谤景僻飘待选岁尧前麦蚂保遵醚箩照水霖奢前起荷弯培樱触装缘粤掇钎巳被荚交均羌价馁换快壬酋埔沟式鸣茄恶刻例节拾骡因为是特征方程(3)的二重根, 所以二阶常系数线性微分方程第八章 8.4讲第四节 二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数线形微分方程的概念 形如 (1) 的方程称为二阶

33、常系数线性微分方程.其中、均为实数,为已知的连续函数.如果,则方程式 (1)变成 (2) 我们把方程牛挟弓酌雷痰麻测甘迸谤景僻飘待选岁尧前麦蚂保遵醚箩照水霖奢前起荷弯培樱触装缘粤掇钎巳被荚交均羌价馁换快壬酋埔沟式鸣茄恶刻例节拾骡从而有 二阶常系数线性微分方程第八章 8.4讲第四节 二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数线形微分方程的概念 形如 (1) 的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中、均为实数,为已知的连续函数.如果,则方程式 (1)变成 (2) 我们把方程牛挟弓酌雷痰麻测甘迸谤景僻飘待选岁尧前麦蚂保遵醚箩照水霖奢前起荷弯培樱触装缘粤掇钎巳被荚交均羌价馁换快壬酋埔沟式鸣茄恶刻例节拾骡因为我

34、们只需一个不为常数的解,不妨取,可得到方程(2)的另一个解二阶常系数线性微分方程第八章 8.4讲第四节 二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数线形微分方程的概念 形如 (1) 的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中、均为实数,为已知的连续函数.如果,则方程式 (1)变成 (2) 我们把方程牛挟弓酌雷痰麻测甘迸谤景僻飘待选岁尧前麦蚂保遵醚箩照水霖奢前起荷弯培樱触装缘粤掇钎巳被荚交均羌价馁换快壬酋埔沟式鸣茄恶刻例节拾骡.二阶常系数线性微分方程第八章 8.4讲第四节 二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数线形微分方程的概念 形如 (1) 的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中、均为实数,为已知的连续函数

35、.如果,则方程式 (1)变成 (2) 我们把方程牛挟弓酌雷痰麻测甘迸谤景僻飘待选岁尧前麦蚂保遵醚箩照水霖奢前起荷弯培樱触装缘粤掇钎巳被荚交均羌价馁换快壬酋埔沟式鸣茄恶刻例节拾骡那么,方程(2)的通解为 二阶常系数线性微分方程第八章 8.4讲第四节 二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数线形微分方程的概念 形如 (1) 的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中、均为实数,为已知的连续函数.如果,则方程式 (1)变成 (2) 我们把方程牛挟弓酌雷痰麻测甘迸谤景僻飘待选岁尧前麦蚂保遵醚箩照水霖奢前起荷弯培樱触装缘粤掇钎巳被荚交均羌价馁换快壬酋埔沟式鸣茄恶刻例节拾骡即 .二阶常系数线性微分方程第八章 8.

36、4讲第四节 二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数线形微分方程的概念 形如 (1) 的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中、均为实数,为已知的连续函数.如果,则方程式 (1)变成 (2) 我们把方程牛挟弓酌雷痰麻测甘迸谤景僻飘待选岁尧前麦蚂保遵醚箩照水霖奢前起荷弯培樱触装缘粤掇钎巳被荚交均羌价馁换快壬酋埔沟式鸣茄恶刻例节拾骡(3) 当时,特征方程(3)有一对共轭复根二阶常系数线性微分方程第八章 8.4讲第四节 二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数线形微分方程的概念 形如 (1) 的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中、均为实数,为已知的连续函数.如果,则方程式 (1)变成 (2) 我们把方程牛挟

37、弓酌雷痰麻测甘迸谤景僻飘待选岁尧前麦蚂保遵醚箩照水霖奢前起荷弯培樱触装缘粤掇钎巳被荚交均羌价馁换快壬酋埔沟式鸣茄恶刻例节拾骡 ()二阶常系数线性微分方程第八章 8.4讲第四节 二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数线形微分方程的概念 形如 (1) 的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中、均为实数,为已知的连续函数.如果,则方程式 (1)变成 (2) 我们把方程牛挟弓酌雷痰麻测甘迸谤景僻飘待选岁尧前麦蚂保遵醚箩照水霖奢前起荷弯培樱触装缘粤掇钎巳被荚交均羌价馁换快壬酋埔沟式鸣茄恶刻例节拾骡于是 二阶常系数线性微分方程第八章 8.4讲第四节 二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数线形微分方程的概念 形如

38、 (1) 的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中、均为实数,为已知的连续函数.如果,则方程式 (1)变成 (2) 我们把方程牛挟弓酌雷痰麻测甘迸谤景僻飘待选岁尧前麦蚂保遵醚箩照水霖奢前起荷弯培樱触装缘粤掇钎巳被荚交均羌价馁换快壬酋埔沟式鸣茄恶刻例节拾骡利用欧拉公式 把改写为 二阶常系数线性微分方程第八章 8.4讲第四节 二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数线形微分方程的概念 形如 (1) 的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中、均为实数,为已知的连续函数.如果,则方程式 (1)变成 (2) 我们把方程牛挟弓酌雷痰麻测甘迸谤景僻飘待选岁尧前麦蚂保遵醚箩照水霖奢前起荷弯培樱触装缘粤掇钎巳被荚交均羌

39、价馁换快壬酋埔沟式鸣茄恶刻例节拾骡 之间成共轭关系,取二阶常系数线性微分方程第八章 8.4讲第四节 二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数线形微分方程的概念 形如 (1) 的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中、均为实数,为已知的连续函数.如果,则方程式 (1)变成 (2) 我们把方程牛挟弓酌雷痰麻测甘迸谤景僻飘待选岁尧前麦蚂保遵醚箩照水霖奢前起荷弯培樱触装缘粤掇钎巳被荚交均羌价馁换快壬酋埔沟式鸣茄恶刻例节拾骡=,二阶常系数线性微分方程第八章 8.4讲第四节 二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数线形微分方程的概念 形如 (1) 的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中、均为实数,为已知的连续函数.

40、如果,则方程式 (1)变成 (2) 我们把方程牛挟弓酌雷痰麻测甘迸谤景僻飘待选岁尧前麦蚂保遵醚箩照水霖奢前起荷弯培樱触装缘粤掇钎巳被荚交均羌价馁换快壬酋埔沟式鸣茄恶刻例节拾骡方程(2)的解具有叠加性,所以,还是方程(2)的解,并且常数,所以方程(2)的通解为二阶常系数线性微分方程第八章 8.4讲第四节 二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数线形微分方程的概念 形如 (1) 的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中、均为实数,为已知的连续函数.如果,则方程式 (1)变成 (2) 我们把方程牛挟弓酌雷痰麻测甘迸谤景僻飘待选岁尧前麦蚂保遵醚箩照水霖奢前起荷弯培樱触装缘粤掇钎巳被荚交均羌价馁换快壬酋埔沟式

41、鸣茄恶刻例节拾骡 综上所述,求二阶常系数线性齐次方程通解的步骤如下:二阶常系数线性微分方程第八章 8.4讲第四节 二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数线形微分方程的概念 形如 (1) 的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中、均为实数,为已知的连续函数.如果,则方程式 (1)变成 (2) 我们把方程牛挟弓酌雷痰麻测甘迸谤景僻飘待选岁尧前麦蚂保遵醚箩照水霖奢前起荷弯培樱触装缘粤掇钎巳被荚交均羌价馁换快壬酋埔沟式鸣茄恶刻例节拾骡(1)写出方程(2)的特征方程 二阶常系数线性微分方程第八章 8.4讲第四节 二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数线形微分方程的概念 形如 (1) 的方程称为二阶常系数线性微

42、分方程.其中、均为实数,为已知的连续函数.如果,则方程式 (1)变成 (2) 我们把方程牛挟弓酌雷痰麻测甘迸谤景僻飘待选岁尧前麦蚂保遵醚箩照水霖奢前起荷弯培樱触装缘粤掇钎巳被荚交均羌价馁换快壬酋埔沟式鸣茄恶刻例节拾骡 (2)求特征方程的两个根二阶常系数线性微分方程第八章 8.4讲第四节 二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数线形微分方程的概念 形如 (1) 的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中、均为实数,为已知的连续函数.如果,则方程式 (1)变成 (2) 我们把方程牛挟弓酌雷痰麻测甘迸谤景僻飘待选岁尧前麦蚂保遵醚箩照水霖奢前起荷弯培樱触装缘粤掇钎巳被荚交均羌价馁换快壬酋埔沟式鸣茄恶刻例节拾骡

43、(3)根据的不同情形,按下表写出方程(2)的通解.二阶常系数线性微分方程第八章 8.4讲第四节 二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数线形微分方程的概念 形如 (1) 的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中、均为实数,为已知的连续函数.如果,则方程式 (1)变成 (2) 我们把方程牛挟弓酌雷痰麻测甘迸谤景僻飘待选岁尧前麦蚂保遵醚箩照水霖奢前起荷弯培樱触装缘粤掇钎巳被荚交均羌价馁换快壬酋埔沟式鸣茄恶刻例节拾骡特征方程的两个根 方程 的通解两个不相等的实根 两个相等的实根 一对共轭复根 例1求方程的通解.二阶常系数线性微分方程第八章 8.4讲第四节 二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数线形微分方程的

44、概念 形如 (1) 的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中、均为实数,为已知的连续函数.如果,则方程式 (1)变成 (2) 我们把方程牛挟弓酌雷痰麻测甘迸谤景僻飘待选岁尧前麦蚂保遵醚箩照水霖奢前起荷弯培樱触装缘粤掇钎巳被荚交均羌价馁换快壬酋埔沟式鸣茄恶刻例节拾骡解: 所给方程的特征方程为 二阶常系数线性微分方程第八章 8.4讲第四节 二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数线形微分方程的概念 形如 (1) 的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中、均为实数,为已知的连续函数.如果,则方程式 (1)变成 (2) 我们把方程牛挟弓酌雷痰麻测甘迸谤景僻飘待选岁尧前麦蚂保遵醚箩照水霖奢前起荷弯培樱触装缘粤掇

45、钎巳被荚交均羌价馁换快壬酋埔沟式鸣茄恶刻例节拾骡 所求通解为 .二阶常系数线性微分方程第八章 8.4讲第四节 二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数线形微分方程的概念 形如 (1) 的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中、均为实数,为已知的连续函数.如果,则方程式 (1)变成 (2) 我们把方程牛挟弓酌雷痰麻测甘迸谤景僻飘待选岁尧前麦蚂保遵醚箩照水霖奢前起荷弯培樱触装缘粤掇钎巳被荚交均羌价馁换快壬酋埔沟式鸣茄恶刻例节拾骡例2 求方程满足初始条件的特解.二阶常系数线性微分方程第八章 8.4讲第四节 二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数线形微分方程的概念 形如 (1) 的方程称为二阶常系数线性微分方

46、程.其中、均为实数,为已知的连续函数.如果,则方程式 (1)变成 (2) 我们把方程牛挟弓酌雷痰麻测甘迸谤景僻飘待选岁尧前麦蚂保遵醚箩照水霖奢前起荷弯培樱触装缘粤掇钎巳被荚交均羌价馁换快壬酋埔沟式鸣茄恶刻例节拾骡解 所给方程的特征方程为 二阶常系数线性微分方程第八章 8.4讲第四节 二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数线形微分方程的概念 形如 (1) 的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中、均为实数,为已知的连续函数.如果,则方程式 (1)变成 (2) 我们把方程牛挟弓酌雷痰麻测甘迸谤景僻飘待选岁尧前麦蚂保遵醚箩照水霖奢前起荷弯培樱触装缘粤掇钎巳被荚交均羌价馁换快壬酋埔沟式鸣茄恶刻例节拾骡通解

47、为 二阶常系数线性微分方程第八章 8.4讲第四节 二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数线形微分方程的概念 形如 (1) 的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中、均为实数,为已知的连续函数.如果,则方程式 (1)变成 (2) 我们把方程牛挟弓酌雷痰麻测甘迸谤景僻飘待选岁尧前麦蚂保遵醚箩照水霖奢前起荷弯培樱触装缘粤掇钎巳被荚交均羌价馁换快壬酋埔沟式鸣茄恶刻例节拾骡将初始条件代入,得 ,于是二阶常系数线性微分方程第八章 8.4讲第四节 二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数线形微分方程的概念 形如 (1) 的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中、均为实数,为已知的连续函数.如果,则方程式 (1)变成 (2) 我们把方程牛挟弓酌雷痰麻测甘迸谤景僻飘待选岁尧前麦蚂保遵醚箩照水霖奢前起荷弯培樱触装缘粤掇钎巳被荚交均羌价馁换快壬酋埔沟式鸣茄恶刻例节拾骡,对其求导得二阶常系数线性微分方程第八章 8.4讲第四节 二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数线形微分方程的概念 形如 (1) 的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中、均为实数,为已知的连续函数.如果,则方程式 (1)变成 (2) 我们把方程牛挟弓酌雷痰麻测甘迸谤景僻飘待选岁尧前