利用函数与方程的思想解希望杯试题两例(王文新).docx

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利用函数与方程的思想解“希望杯”试题两例（王文新）第十一届“希望杯”数学邀请赛高一第1试的第5、 第25题， 体现了邀请赛的宗旨提高学生的创新精神及高考应试能力。比较深入地考查了函数与方程的思想。现说明如下。题5 定义域为R的函数f(x), g(x)都有反函数，并且函数f(x+1)和g(x-2)的图象关于直线y=x对称，若g(5)=1999，那么f(6)=( )（A） 1999。 （B） 2000。 （C） 2001。 （D） 2002。此题固然可由数形结合求解，但用函数与方程的思想求解更为准确迅速。解 因为g(5)=1999，所以g(1999)=5,即 g(2001-2)=5, 即（2001，5）是方程y=g(x-2)的解。由f(x+1)与g(x-2)的图象关于直线y=x对称，可知f(x+1)与g(x-2)互为反函数。故点（2001，5）关于直线y=x的对称点（5，2001）在f(x+1)的图象上。即 （5，2001）是方程y=f(x+1)的解，所以f(5+1)=2001，即f(6)=2001。选（C）。题25 已知则的取值范围是 ，的取值范围是 。此题若单纯用三角变换及不等式求解，则较麻烦，不妨转换成二次函数的最值问题。解 由所以 设 易知 即 即 同理，由 即有 易知 注 第25题的原答案（0，）有误，不妨取 可得则由取，显然满足0；<2。