2、第2章 机械优化设计的基本概念和数学模型.pdf

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1、2 2 2 2-1 1 1 1 优化设计问题的实例优化设计问题的实例优化设计问题的实例优化设计问题的实例优化设计包括：（1）将实际问题加以数学描述，形成数学模型；（2）选用适当的优化方法和计算程序运算求解。优化设计包括：（1）将实际问题加以数学描述，形成数学模型；（2）选用适当的优化方法和计算程序运算求解。已知：制造一体积为100已知：制造一体积为100m3 3，长度不小于5，长度不小于5m，不带上 盖的箱盒，试确定箱盒的长，不带上 盖的箱盒，试确定箱盒的长x1 1，宽，宽x2 2，高，高x3 3，使箱盒 用料最省。，使箱盒 用料最省。x1x2x3实例实例实例实例1 1 1 1、箱盒的优化设计

2、、箱盒的优化设计、箱盒的优化设计、箱盒的优化设计分析：分析：（1）箱盒的表面积的表达式；（2）设计参数确定：长（1）箱盒的表面积的表达式；（2）设计参数确定：长x1 1，宽，宽x2 2，高，高x3 3；（3）设计约束条件：（a）体积要求；（b）长度要求；（3）设计约束条件：（a）体积要求；（b）长度要求；x1x2x3实例实例实例实例1 1 1 1、箱盒的优化设计（续）、箱盒的优化设计（续）、箱盒的优化设计（续）、箱盒的优化设计（续）123,x x x122313min2()Sx xx xx x123123500100 xxxx x x设计参数设计参数：设计目标：约束条件：设计目标：约束条件：数

3、学模型数学模型某工厂生产A和B两种产品，A产品单位价格P某工厂生产A和B两种产品，A产品单位价格PA A 万元，B 产品单位价格为P万元，B 产品单位价格为PB B 万元。每生产一个单位A产品需消耗 煤a万元。每生产一个单位A产品需消耗 煤aC C 吨，电a吨，电aE E 度，人工a度，人工aL L 个人日；每生产一个单位B产 品需消耗煤b个人日；每生产一个单位B产 品需消耗煤bC C 吨，电b吨，电bE E 度，人工b度，人工bL L 个人日。现有可利用 生产资源煤C吨，电E度，劳动力L个人日，欲找出其最 优分配方案，使产值最大个人日。现有可利用 生产资源煤C吨，电E度，劳动力L个人日，欲找

4、出其最 优分配方案，使产值最大。实例实例实例实例2 2 2 2、最大产值生产资源分配问题、最大产值生产资源分配问题、最大产值生产资源分配问题、最大产值生产资源分配问题分析：分析：（1）产值的表达式；（）产值的表达式；（2）设计参数确定：）设计参数确定：A 产品个数产品个数xA，B 产品个数产品个数xB；（；（3）设计约束条件：（）设计约束条件：（a）生产资源煤约束（）生产资源煤约束（C吨）；（吨）；（b）生产资源电约束（）生产资源电约束（E度）；（度）；（b）生产资源劳动力约束（）生产资源劳动力约束（L个人日）；个人日）；实例实例实例实例2 2 2 2、最大产值生产资源分配问题（续）、最大产值

5、生产资源分配问题（续）、最大产值生产资源分配问题（续）、最大产值生产资源分配问题（续）数学模型数学模型：,ABxxmaxAABBPP xP x设计参数：设计目标：约束条件：设计参数：设计目标：约束条件：实例实例实例实例2 2 2 2、最大产值生产资源分配问题（续）、最大产值生产资源分配问题（续）、最大产值生产资源分配问题（续）、最大产值生产资源分配问题（续）CACBEAEBLALBa xb xCa xb xEa xb xL煤的约束条件煤的约束条件电的约束条件电的约束条件人工的约束条件人工的约束条件已知：传动比已知：传动比i,转速转速n,传动功率传动功率P，大小齿轮的材料，试设计该齿轮副，使其重

6、量最轻。，大小齿轮的材料，试设计该齿轮副，使其重量最轻。分析：分析：（1）圆柱齿轮的体积）圆柱齿轮的体积(v)与重量与重量(w)的表达；（的表达；（2）设计参数确定：模数）设计参数确定：模数(m)，齿宽，齿宽(b)，齿数，齿数(Z1)；（；（3）设计约束条件：（）设计约束条件：（a）大齿轮满足弯曲强度要求；（）大齿轮满足弯曲强度要求；（b）小齿轮满足弯曲强度要求；（）小齿轮满足弯曲强度要求；（c）齿轮副满足接触疲劳强度要求；（）齿轮副满足接触疲劳强度要求；（d）齿宽系数要求；（）齿宽系数要求；（e）最小齿数要求。）最小齿数要求。实例实例实例实例3 3 3 3、直齿圆柱齿轮副的优化设计、直齿圆柱

7、齿轮副的优化设计、直齿圆柱齿轮副的优化设计、直齿圆柱齿轮副的优化设计数学模型数学模型1,m z b2211min()()4Wb mzmiz设计参数：设计目标：约束条件：设计参数：设计目标：约束条件：1122111 0 0 01.20170FFFFHHbmzz大齿轮强度要求小齿轮强度要求接触疲劳强度要求齿宽系数要求最小齿数要求大齿轮强度要求小齿轮强度要求接触疲劳强度要求齿宽系数要求最小齿数要求综上所述，这些问题的综上所述，这些问题的共同点共同点都是：在满足设计要求和条件的情况下，使目标的参数 达到最优，即最优参数。都是：在满足设计要求和条件的情况下，使目标的参数 达到最优，即最优参数。一个优化设

8、计问题应包括：一个优化设计问题应包括：合理选择一组独立的参数合理选择一组独立的参数设计变量；设计变量；有一个或几个需要满足最佳的设计目标，它是设计变量的函数有一个或几个需要满足最佳的设计目标，它是设计变量的函数目标函数；目标函数；所取设计变量必须满足一定的限制条件所取设计变量必须满足一定的限制条件约束条件。上述三者共同描述的优化设计问题就是优化设 计的数学模型。约束条件。上述三者共同描述的优化设计问题就是优化设 计的数学模型。2-2 优化设计的数学模型2-2 优化设计的数学模型优化设计的数学模型是描述实际优化问题的设计 内容、变量关系、有关设计条件和意图的数学表达 式，是进行优化设计的基础。1

9、.优化设计的数学模型是描述实际优化问题的设计 内容、变量关系、有关设计条件和意图的数学表达 式，是进行优化设计的基础。1.1.1.设计变量设计变量设计变量设计变量用一些设计常数和取值不同的设计变量来表示不同的设计方案，这些设计常数和设计变量称为设计参数。用一些设计常数和取值不同的设计变量来表示不同的设计方案，这些设计常数和设计变量称为设计参数。设计参数设计参数几何参数：物理参数：性能参数：几何参数：物理参数：性能参数：设计变量必须是独立的参数设计变量必须是独立的参数设计变量实际上是一组变量，可用一个列向量表 示。设计变量的个数称为优化设计的维数，如设计变量实际上是一组变量，可用一个列向量表 示

10、。设计变量的个数称为优化设计的维数，如n个设 计变量，则称为个设 计变量，则称为n维设计问题。维设计问题。1212,Tnnxxx xxxx按照产品设计变量的取值特点，设计变量可分为按照产品设计变量的取值特点，设计变量可分为连续变量：连续变量：例如轴径、轮廓尺寸等；例如轴径、轮廓尺寸等；离散变量：离散变量：例如各种标准规格等。例如各种标准规格等。图1-1 设计变量所组成的设计空间（a）二维设计问题（b）三维设计问题只有图1-1 设计变量所组成的设计空间（a）二维设计问题（b）三维设计问题只有两个设计变量两个设计变量的二维设计问题可用图示的 平面直角坐标表示；有的二维设计问题可用图示的 平面直角坐

11、标表示；有三个设计变量三个设计变量的三维设计问题可用图示的空 间直角坐标表示。的三维设计问题可用图示的空 间直角坐标表示。设计空间的维数表征设计的自由度，设计变量愈 多，则设计的自由度愈大、可供选择的方案愈多，设 计愈灵活，但难度亦愈大、求解亦愈复杂。设计空间的维数表征设计的自由度，设计变量愈 多，则设计的自由度愈大、可供选择的方案愈多，设 计愈灵活，但难度亦愈大、求解亦愈复杂。小型设计问题：小型设计问题：一般含有2一般含有210个设计变量；10个设计变量；中型设计问题：中型设计问题：101050个设计变量；50个设计变量；大型设计问题：大型设计问题：50个以上的设计变量。目前已能解决200个

12、设计变量的大型最优化设计 问题。50个以上的设计变量。目前已能解决200个设计变量的大型最优化设计 问题。如何选定设计变量如何选定设计变量？确定设计变量时应注意以下几点：（1）抓主要，舍次要。对产品性能和结构影响大的参数可取为设计变量，影响小的可先根据经验取为试探性的常量，有的甚至 可以不考虑。（2）根据要解决设计问题的特殊性来选择设计变量。例如，圆柱螺旋拉压弹簧的设计变量有4个，即 钢丝直径确定设计变量时应注意以下几点：（1）抓主要，舍次要。对产品性能和结构影响大的参数可取为设计变量，影响小的可先根据经验取为试探性的常量，有的甚至 可以不考虑。（2）根据要解决设计问题的特殊性来选择设计变量。

13、例如，圆柱螺旋拉压弹簧的设计变量有4个，即 钢丝直径d，弹簧中径，弹簧中径D，工作圈数，工作圈数n和自由高度和自由高度H。在 设计中，将材料的许用剪切应力和剪切模量。在 设计中，将材料的许用剪切应力和剪切模量等作为 设计常量。在给定径向空间内设计弹簧，则可把弹簧 中径等作为 设计常量。在给定径向空间内设计弹簧，则可把弹簧 中径D作为设计常量。作为设计常量。（3）设计变量应该是独立的；（4）用设计变量来阐述设计问题应该是用最少的数量；（3）设计变量应该是独立的；（4）用设计变量来阐述设计问题应该是用最少的数量；2.约束条件2.约束条件优化设计不仅要使设计指标达到最优，同时还需 要满足一些附加的设

14、计条件，这些条件对设计变量取 值的相互关系及其大小加以限制，在优化设计中叫做 优化设计不仅要使设计指标达到最优，同时还需 要满足一些附加的设计条件，这些条件对设计变量取 值的相互关系及其大小加以限制，在优化设计中叫做 约束条件或设计约束约束条件或设计约束。约束按其数学表达形式分为：约束按其数学表达形式分为：(2)不等式约束(2)不等式约束()0hx()0gx(1)等式约束(1)等式约束按照约束的性质可分为：按照约束的性质可分为：性能约束：性能约束：根据性能要求而建立的条件。例如，选择某些结构必须满足受力的强度、刚度或稳定性等要求；根据性能要求而建立的条件。例如，选择某些结构必须满足受力的强度、

15、刚度或稳定性等要求；边界约束：边界约束：对设计变量的取值范围加以限制的约束称作边界约束。例如，允许机床主轴选择的尺寸范围，对轴 段长度的限定范围就属于边界约束。对设计变量的取值范围加以限制的约束称作边界约束。例如，允许机床主轴选择的尺寸范围，对轴 段长度的限定范围就属于边界约束。按照约束函数与设计变量之间的关系可分为：按照约束函数与设计变量之间的关系可分为：隐式约束：隐式约束：约束函数与设计变量之间没有明显的函数关系。如：某些复杂结构的性能约束函数（变形、应力、频率等），需要通过有限元等方法计算求得。约束函数与设计变量之间有明显的函数关系；约束函数与设计变量之间没有明显的函数关系。如：某些复杂

16、结构的性能约束函数（变形、应力、频率等），需要通过有限元等方法计算求得。约束函数与设计变量之间有明显的函数关系；显式约束：显式约束：3.目标函数3.目标函数优化设计实质上是通过改变设计变量，得到不同 的目标函数值，比较目标函数值的大小来衡量设计方 案的优劣，从而选出最优方案，故目标函数也叫做评 价函数。在构造目标函数时，应注意目标函数必须包含全部 设计变量，所有的设计变量必须包含在约束函数中。为了对设计进行定量评价，必须构造包含设计变 量的评价函数，它是优化的目标，称为目标函数，以 优化设计实质上是通过改变设计变量，得到不同 的目标函数值，比较目标函数值的大小来衡量设计方 案的优劣，从而选出最

17、优方案，故目标函数也叫做评 价函数。在构造目标函数时，应注意目标函数必须包含全部 设计变量，所有的设计变量必须包含在约束函数中。为了对设计进行定量评价，必须构造包含设计变 量的评价函数，它是优化的目标，称为目标函数，以 f(x)表示。)表示。),.,()(21nxxxfXf在机械设计中，可作为在机械设计中，可作为参考目标函数参考目标函数的有：体积最小、重量最轻、效率最高、承载能力最 大、结构运动精度最高、振幅或噪声最小、成本最 低、耗能最小、动负荷最小等等。在建立优化设计的数学模型时，一般将目标函数 的求优表示为求极大或极小，分别表示为：的有：体积最小、重量最轻、效率最高、承载能力最 大、结构

18、运动精度最高、振幅或噪声最小、成本最 低、耗能最小、动负荷最小等等。在建立优化设计的数学模型时，一般将目标函数 的求优表示为求极大或极小，分别表示为：)(maxmax)(XfXf或)(minmin)(XfXf或只有一个目标函数，称为只有一个目标函数，称为单目标函数单目标函数。有多个目标函数时，称为有多个目标函数时，称为多目标函数多目标函数的最优化问题。在实际工程设计问题中，常常会遇到在多目 标函数的某些目标之间存在矛盾的情况，这就要 求设计者正确处理各目标函数之间的关系。在一般的机械最优化设计中的最优化问题。在实际工程设计问题中，常常会遇到在多目 标函数的某些目标之间存在矛盾的情况，这就要 求

19、设计者正确处理各目标函数之间的关系。在一般的机械最优化设计中,多目标函数的情况较 多。目标函数愈多，设计的综合效果愈好，但问题的 求解亦愈复杂。多目标函数的情况较 多。目标函数愈多，设计的综合效果愈好，但问题的 求解亦愈复杂。4.优化设计问题一般数学形式：4.优化设计问题一般数学形式：满足约束条件：满足约束条件：12,TnXx xx()minF X()0(1,2,)kh Xkl()0(1,2,)jgXjm12min()(),.()01,2,()01,2,nnjkF XF xxxXRst gXjmh Xkl，求设计变量向量使目标函数求设计变量向量使目标函数对于最优化问题一般可作如下分类：对于最优

20、化问题一般可作如下分类：如按设计变量的性质分：如按设计变量的性质分：连续变量、离散变量、整数变量按规划问题分为：二次规划、几何规划、随机规划等。连续变量、离散变量、整数变量按规划问题分为：二次规划、几何规划、随机规划等。约束无约束动态问题非线性规划线性规划维问题一维问题非线性问题线性问题无约束问题静态问题最优化问题约束问题n5、优化问题的分类与优化方法的简介5、优化问题的分类与优化方法的简介5、优化问题的分类与优化方法的简介5、优化问题的分类与优化方法的简介优化方法：求解优化数学模型的方法直接法优化方法：求解优化数学模型的方法直接法:单纯形法单纯形法,鲍威尔法等。解析法鲍威尔法等。解析法:梯度

21、法梯度法,共轭梯度法共轭梯度法,牛顿法牛顿法,变尺度法等变尺度法等约束非线性优化问题约束非线性优化问题直接法：复合形法、可行方向法间接法：惩罚函数法、约束消元法用约束线性优化法：逼近规划法直接法：复合形法、可行方向法间接法：惩罚函数法、约束消元法用约束线性优化法：逼近规划法无约束非线 性优化问题无约束非线 性优化问题6.建模实例6.建模实例1）根据设计要求，应用专业范围内的现行理论和经验等，对优化对象进行分析。2）对结构诸参数进行分析，以确定设计的原始参数、设计常数和设计变量。3）根据设计要求，确定并构造目标函数和相应的约束条件，有时要构造多目标函数。4）必要时对数学模型进行规范化，以消除诸组

22、成项间由于量纲不同等原因导致的数量悬殊的影响。建立优化设计问题的数学模型一般步骤：1）根据设计要求，应用专业范围内的现行理论和经验等，对优化对象进行分析。2）对结构诸参数进行分析，以确定设计的原始参数、设计常数和设计变量。3）根据设计要求，确定并构造目标函数和相应的约束条件，有时要构造多目标函数。4）必要时对数学模型进行规范化，以消除诸组成项间由于量纲不同等原因导致的数量悬殊的影响。建立优化设计问题的数学模型一般步骤：建立优化设计问题的数学模型一般步骤：建立优化设计问题的数学模型一般步骤：否是问题分析问题分析建立数学模型建立数学模型选择优化方法选择优化方法编写计算机程序编写计算机程序准备初始数

23、据，上机计算准备初始数据，上机计算确定最优设计方案确定最优设计方案方案评价与决策方案评价与决策优化设计流程优化设计流程优化设计流程优化设计流程7 7、优化设计步骤的框图：、优化设计步骤的框图：、优化设计步骤的框图：、优化设计步骤的框图：图解分析法应用实例机械优化设计问题来源于生产实际。现在举典型实例来说明优化设计的基本问 题。图1-1所示的人字架由两个钢管构成，其顶点受外力 2F=3 N。人字架的跨度2B=152cm,钢管壁厚T=0.25cm,钢管材料的弹性模量E=2.1 Mpa，材料密度=7.8/，许用压应力=420MPa。求在钢管压应力不超过许用压应力 和失稳临界应力 的条件下，人字 架的

24、高h和钢管平均直径D，使钢管总质量m为最小。510510310 kg3myye图2-2 人字架的受力人字架的优化设计问题归结 为：TxDH使结构质量 minm x 但应满足强度约束条件 yx稳定约束条件 ex钢管所受的压力12221()FLF BhFhh失稳的临界力22eEIFL钢管所受的压应力12221F BhFATDh钢管的临界应力222228eeE TDFABh强度约束条件 yx可以写成1222yF BhTDh稳定约束条件 ex可以写成1222222228F BhE TDTDhBh人字架的总质量1222,22m D hALTD Bh这个优化问题是以D和h为设计变量的二 维问题，且只有两个

25、约束条件，可以用 解析法求解。除了解析法外，还可以采用作图法求解。1-3人字架优化设计的图解五、优化问题的几何解释无约束优化：在没有限制的条件下，对设计 变量求目标函数的极小点。其极小点在目标函数等值面的中心。约束优化：在可行域内对设计变量求目标函数 的极小点。其极小点在可行域内或在可行域边界上。第四节优化设计问题的基本解法求解优化问题的方法：解析法数值法数学模型复杂时不便求解可以处理复杂函数及没有数学表达式的优化设计问题数值迭代法的数值迭代法的基本思路：基本思路：基本思路：基本思路：是进行反复的数值迭 代。这种方法的求优过程大致可归纳为以下步骤：（1）是进行反复的数值迭 代。这种方法的求优过

26、程大致可归纳为以下步骤：（1）、初选一个尽可能靠近最小点的初始点 初选一个尽可能靠近最小点的初始点 X(0）0），从，从X（0）（0）出发按照一定的原则寻找可行方向出发按照一定的原则寻找可行方向S(0)(0)和初始步长和初始步长a(0)(0)，得，得X（1）（1）点；（点；（2）、得到新点）、得到新点X(1)，按照可行方向，按照可行方向S(1)和初始步 长和初始步 长a(1)，得，得X(2)点，以此类推，最终达到目标最优值。3点，以此类推，最终达到目标最优值。3 3 3、优化设计的数值解法优化设计的数值解法优化设计的数值解法优化设计的数值解法在中间过程中每一步的迭代形式为：在中间过程中每一步的

27、迭代形式为：11()()kkkkkkSffkxxxx =0,1,2,X（k）称第称第k步迭代点，亦为第步迭代点，亦为第k步设计方案；步设计方案；a（k）第第k步迭代计算的步长；步迭代计算的步长；S（k）第第k步迭代计算的探索方向。步迭代计算的探索方向。图1-11 寻求极值点的搜索过程迭代计算机逐步逼近最优点过程示意图用迭代法逐步逼近最优点的搜索过程如图所示。迭代计算机逐步逼近最优点过程示意图用迭代法逐步逼近最优点的搜索过程如图所示。每次迭代所得新点的目标函数均应满足函数 值下降的要求：每次迭代所得新点的目标函数均应满足函数 值下降的要求：1()()kkffxx1kkkkSxx（1 1 1 1）

28、选择搜索方向）选择搜索方向）选择搜索方向）选择搜索方向（2 2 2 2）确定步长因子）确定步长因子）确定步长因子）确定步长因子（3）给定收敛准则（3）给定收敛准则*limkkxx收敛：迭代法要解决的问题：收敛：迭代法要解决的问题：算法的收敛性与终止准则算法的收敛性当迭代算法产生的点列所对应的函 数值严格地单调递减，并且最终收敛于 最优化问题的极小点时，称此迭代算法 具有收敛性。点列向极小点逼近的速度 称为算法的收敛速度。好的收敛性，快的收敛速度。收敛性收敛性是指某种迭代程序产生的序列),1,0(kxk满足：*1limxxkkpmxx收敛的必要和充分条件是：对于任意指定的实数0,都存在一个只与相关而与无关的自然数N，使得当两 自然数m，pN时，满足收敛速度*lim*1xxxxkkk)1,0(1当=1时，称算法具有线性收敛性当12时，称算法具有超线性收敛性当=2时，称算法具有二次收敛性终止准则（1）点距准则当迭代点间的距离充分小，并且小于给 定的收敛精度。一般取10e-6.（2）值差准则函数值之差充分小。（3）梯度准则梯度等于0。梯度的模小于给定精度的 点就是近似最优点。