2021_2021学年高中数学课时素养评价十一3.4反证法含解析北师大版选修1_.doc

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1、课时素养评价十一反证法 (20分钟50分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾,这个矛盾可以是与已知条件矛盾;与假设矛盾;与定义、公理、定理矛盾;与事实矛盾.其中正确的为()A.B.C.D.【解析】选D.利用已知定义、定理、公理等基本原理逐步推证出一个与命题的条件或已证明的定理或公认的简单事实相矛盾的结论,以此说明原假设的结论不成立,从而肯定原命题的结论成立的方法称为反证法.与已知条件矛盾;正确.与假设矛盾;正确.与定义、公理、定理矛盾;正确.与事实矛盾.正确.2.小方,小明,小马,小红四人参加完某项比赛,当问到四人谁得第一时,回答如下:小方:“我得第一名

2、”;小明:“小红没得第一名”;小马:“小明没得第一名”;小红:“我得第一名”.已知他们四人中只有一人说真话,且只有一人得第一名.根据以上信息可以判断出得第一名的人是()A.小明B.小马C.小红D.小方【解析】选A.假设第一名是小方,则小方、小明、小马说的都是真话,小红说的是假话,不合题意;假设第一名是小明,则只有小明说的是真话,另外三人说的都是假话,符合题意;假设第一名是小马,则小方、小红说的都是假话,小马、小明说的是真话,不合题意;假设第一名是小红,则小方、小明说的是假话,小马和小红说的是真话,不合题意.3.已知a,b是异面直线,直线c平行于直线a,那么直线c与b的位置关系为 ()A.一定是

3、异面直线B.一定是相交直线C.不可能是平行直线D.不可能是相交直线【解析】选C.假设cb,而由ca,可得ab,这与a,b异面矛盾,故c与b不可能是平行直线.4.已知x10,x11且xn+1=(n=1,2,),试证:数列xn对任意的正整数n都满足xnxn+1,当此题用反证法否定结论时应为()A.对任意的正整数n,有xn=xn+1B.存在正整数n,使xn=xn+1C.存在正整数n,使xnxn+1D.存在正整数n,使xnxn+1【解析】选D.任意的否定为存在,xnxn+1的否定为xnxn+1.二、填空题(每小题5分,共10分)5.命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是

4、_.【解析】“至少有一个”的否定是“没有一个”.答案:没有一个是三角形或四边形或五边形6.命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的否定是_.【解析】“最多”的反面是“最少”,故本题的否定是:三角形中最少有两个内角是直角.答案:“三角形中最少有两个内角是直角”三、解答题(每小题10分,共20分)7.设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)中,a,b,c均为整数,且f(0),f(1)均为奇数.求证f(x)=0无整数根.【证明】设f(x)=0有一个整数根k,则ak2+bk=-c.又因为f(0)=c,f(1)=a+b+c均为奇数,所以a+b为偶数,当k为偶数时,显然与式矛盾;当k为奇数时,设k=2

5、n+1(nZ),则ak2+bk=(2n+1)(2na+a+b)为偶数,也与式矛盾,故假设不成立,所以方程f(x)=0无整数根.8.已知函数f(x)=ax+(a1),用反证法证明方程f(x)=0没有负数根.【证明】假设方程f(x)=0有负数根,设为x0(x0-1).则有x01,所以01,所以0-1.解上述不等式,得x02.这与假设x00矛盾.故方程f(x)=0没有负数根. (15分钟30分)1.(5分)用反证法证明命题“设a,b为实数,则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时,要作的假设是()A.方程x3+ax+b=0没有实根B.方程x3+ax+b=0至多有一个实根C.方程x3+ax+b=0至

6、多有两个实根D.方程x3+ax+b=0恰好有两个实根【解析】选A.结论“方程x3+ax+b=0至少有一个实根”的假设是“方程x3+ax+b=0没有实根.”2.(5分)设x,y,z均为正数,a=x+,b=y+,c=z+,则a,b,c三个数()A.至少有一个不大于2B.都小于2C.至少有一个不小于2D.都大于2【解析】选C.假设a,b,c都小于2,则a+b+c6,而a+b+c=x+y+z+=+2+2+2=6,与a+b+c6矛盾,所以a,b,c都小于2错误.所以a,b,c三个数至少有一个不小于2.3.(5分)若a,b,c,d都是有理数,都是无理数,且a+=b+,则a与b,c与d之间的数量关系为_.【

7、解析】假设ab,令a=b+m(m是不等于零的有理数),于是b+m+=b+,所以m+=,两边平方整理得=.左边是无理数,右边是有理数,矛盾,因此a=b,从而c=d.答案:a=b,c=d4.(5分)某班有49位学生,用反证法证明:至少有5位学生的生日在同一个月.完善下列证明过程:【证明】假设至多只有_位学生的生日在同一个月,即生日同在1,2,3,12月的学生人数都不超过_人,所以该班学生总数m_人,与该班有49位学生的条件矛盾,所以假设不成立,原命题成立.【解析】“至少有5位学生的生日在同一个月”的否定为“至多只有4位学生的生日在同一个月”,即生日同在1,2,3,12月的学生人数都不超过4人,所以

8、该班学生总数m412=48人.答案:44485.(10分)已知f(x)=x2+px+q.(1)求证:f(1)+f(3)-2f(2)=2.(2)求证:|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于.【证明】(1)f(1)+f(3)-2f(2)=(1+p+q)+(9+3p+q)-2(4+2p+q)=2.(2)假设|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于不成立,则|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于,则|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|2,而|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|f(1)+f(3)-2f(2)=2,这与|f(1)|+2|f(2)|+

9、|f(3)|2相矛盾,从而假设不成立,原命题成立,|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于.1.某市在今年高中学生足球联赛分组中,通过抽签方式,把甲、乙、丙、丁四支队伍分到编号为1,2,3,4的四个小组中作为种子队(每组有且只有一个种子队).A,B,C,D四位学生进行如下预测:A预测:乙队在第1小组,丙队在第3小组;B预测:乙队在第2小组,丁队在第3小组;C预测:丁队在第4小组,丙队在第2小组;D预测:甲队在第4小组,丙队在第3小组.如果A,B,C,D四位学生每人的预测都只对了一半,那么在第3小组和第4小组的种子队分别是()A.丁在第3小组,丙在第4小组或甲在第3小组,丁在第

10、4小组B.丙在第3小组,丁在第4小组或甲在第3小组,丁在第4小组C.丁在第3小组,丙在第4小组或丁在第3小组,甲在第4小组D.丙在第3小组,丁在第4小组或丁在第3小组,甲在第4小组【解析】选D.A,B,C,D四位学生每人的预测都只对了一半,假设丁在第3小组,由B的预测可得乙不在第2小组,由C的预测可得丙在第2小组,由A的预测可得乙在第1小组,由D的预测可得甲在第4小组,符合题意,可得甲在第4小组,乙在第1小组,丙在第2小组,丁在第3小组;假设丁在第4小组,由B的预测可得乙在第2小组,由C的预测可得丙不在第2小组,由A的预测可得丙在第3小组,由D的预测可得甲不在第4小组,符合题意,可得甲在第1小

11、组,乙在第2小组,丙在第3小组,丁在第4小组.2.设an是公比为q的等比数列.(1)推导数列an的前n项和公式.(2)设q1,证明数列an+1不是等比数列.【解析】 (1)设数列an的前n项和为Sn,当q=1时,Sn=a1+a1+a1=na1.当q1时,Sn=a1+a1q+a1q2+a1qn-1,qSn=a1q+a1q2+a1qn,由-得(1-q)Sn=a1-a1qn所以Sn=,综上所述,Sn=(2)假设an+1是等比数列,则对任意的kN*,(ak+1+1)2=(ak+1)(ak+2+1),+2ak+1+1=akak+2+ak+ak+2+1,q2k+2a1qk=a1qk-1a1qk+1+a1qk-1+a1qk+1,因为a10,所以2qk=qk-1+qk+1.因为q0,所以q2-2q+1=0,所以q=1,这与已知矛盾.所以假设不成立,故数列an+1不是等比数列.