2021-2022学年江苏省南通市海安市高二上学期期末数学试题解析.doc

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1、2021-2022学年江苏省南通市海安市高二上学期期末数学试题一、单选题1已知全集，（）ABCD【答案】C【分析】根据条件可得，则，结合条件即可得答案.【详解】因为，所以，则，又，所以，即.故选：C2已知为虚数单位，复数满足为纯虚数，则的虚部为（）ABCD【答案】D【分析】先设，代入化简，由纯虚数定义求出，即可求解.【详解】设，所以，因为为纯虚数，所以，解得，所以的虚部为：.故选：D.3已知中心在坐标原点，焦点在轴上的双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（）ABCD【答案】A【分析】根据离心率求出的值，再根据渐近线方程求解即可.【详解】因为双曲线焦点在轴上，所以渐近线方程为：，又因为双曲线离心率

2、为，且，所以，解得，即渐近线方程为：.故选：A.4如图1所示，抛物面天线是指由抛物面（抛物线绕其对称轴旋转形成的曲面）反射器和位于其焦点上的照射器（馈源，通常采用喇叭天线）组成的单反射面型天线，广泛应用于微波和卫星通讯等，具有结构简单方向性强工作频带宽等特点.图2是图1的轴截面，两点关于抛物线的对称轴对称，是抛物线的焦点，是馈源的方向角，记为.焦点到顶点的距离与口径的比为抛物面天线的焦径比，它直接影响天线的效率与信噪比等.若馈源方向角满足，则该抛物面天线的焦径比为（）ABCD2【答案】B【分析】建立平面直角坐标系，利用题设条件得到得点坐标，代入抛物线方程化简即可求解【详解】建立如图所示的平面直

3、角坐标系，设抛物线的方程为（）在中，则所以则所以，所以将代入抛物线方程中得所以或即或（舍）当时，故选：B5设，直线，则“”是“”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由可求得实数的值，再利用充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.【详解】若，则，解得或，因此，“”是“”的充分不必要条件.故选：A.6如图，是函数的部分图象，且关于直线对称，则（）ABCD【答案】C【分析】先根据条件确定为函数的极大值点，得到的值，再根据图像的单调性和导数几何意义得到和的正负即可判断.【详解】根据题意得，为函数部分函数的极大值点，所以，又因为函数在单调递增，由图

4、像可知处切线斜率为锐角，根据导数的几何意义，所以，又因为函数在单调递增，由图像可知处切线斜率为钝角，根据导数的几何意义所以.即.故选：C.7在平面直角坐标系中，椭圆的左右焦点分别为，过且垂直于轴的直线与交于，两点，与轴交于点，则的离心率为（）ABCD【答案】B【分析】由题意结合几何性质可得为等腰三角形，且，所以，求出的长，结合椭圆的定义可得答案.【详解】如图，由题意轴，轴，则 又为的中点，则为的中点，又，则为等腰三角形，且，所以将代入椭圆方程得，即所以 ，则 由椭圆的定义可得，即则椭圆的离心率 故选：B8在数列中抽取部分项（按原来的顺序）构成一个新数列，记为，再在数列插入适当的项，使它们一起能

5、构成一个首项为1，公比为3的等比数列.若，则数列中第项前（不含）插入的项的和最小为（）A30B91C273D820【答案】C【分析】先根据等比数列的通项公式得到，列出数列的前6项，将其中是数列的项的所有数去掉即可求解.【详解】因为是以1为首项、3为公比的等比数列，所以，则由，得，即数列中前6项分别为：1、3、9、27、81、243，其中1、9、81是数列的项，3、27、243不是数列的项，且，所以数列中第7项前（不含）插入的项的和最小为.故选：C.二、多选题9方程，表示的曲线可能为（）A两条直线B圆C椭圆D双曲线【答案】ACD【分析】先求出的范围，根据的范围分类各判断即可.【详解】因为，所以；

6、所以当时，方程表示双曲线；所以当时，方程表示两条直线；所以当时，方程可化为： ，因为，所以方程表示焦点在的椭圆.故选：ACD.10存在，使得的是（）ABCD【答案】BCD【分析】题干条件等价于函数在定义域内存在极值点即可，将选项中的函数求导，判断极值点即可.【详解】根据题意，存在，使得等价于函数在定义域内存在极值点即可；对于A选项：，所以恒成立，故在定义域内单调递增，无极值点，故A错误；对于B选项：，所以，令，解得，令，解得，所以在单调递增，在单调递减，所以为极大值点，故B正确；对于C选项：，所以，令，解得，令，解得，所以在单调递增，在单调递减，所以为极大值点，故C正确；对于D选项：，所以，令

7、，解得，令，解得，所以在单调递增，在单调递减，所以为极小值点，故D正确；故选：BCD.11已知，圆，则（）A当时，两圆相交B两圆可能外离C两圆可能内含D圆可能平分圆的周长【答案】AB【分析】首先得出两圆的圆心和半径，然后将圆心距与半径之和、之差作比较，即可判断ABC，若圆平分圆的周长，则两圆的公共弦所在直线过点，然后通过计算可判断D.【详解】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，所以，当时，所以两圆相交，故A正确；因为，所以两圆可能外离，不能内含，故B正确C错误；圆的一般方程为，所以两圆的公共弦所在直线方程为，若圆平分圆的周长，则直线过点，所以，此方程无解，所以圆不能平分圆的周长，故D错误；

8、故选：AB12过轴上一点作函数的图象的切线，则切线的条数可能为（）A0B1C2D3【答案】BCD【分析】对函数求导，设切点坐标为，写出切线方程，设轴上一点，代入切线方程后由方程零点个数可得到结论.【详解】由题意知，设切点为，则切线方程为，设轴上一点，代入切线方程，得，即，该方程有可能有一个，两个或三个零点，所以可作切线的条数为1,2或3条，故选：BCD.三、填空题13经过点，的直线的倾斜角为_.【答案】【分析】根据两点间斜率公式得到斜率，再根据斜率确定倾斜角大小即可.【详解】根据两点间斜率公式得：，所以直线的倾斜角为：.故答案为：14写出一个同时具有性质 的函数_.（不是常值函数）， 为偶函数

9、； .【答案】（答案不唯一）【分析】利用导函数周期和奇偶性构造导函数，再由导函数构造原函数列举即可.【详解】由知函数的周期为，则，同时满足为偶函数，所以满足条件.故答案为：（答案不唯一）.15过抛物线的焦点的直线交抛物线于点、，且点的横坐标为，过点和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点，则的面积为_.【答案】【分析】不妨设点为第一象限内的点，求出点的坐标，可求得直线、的方程，求出点、的坐标，可求得以及点到直线的距离，利用三角形的面积公式可求得的面积.【详解】不妨设点为第一象限内的点，设点，其中，则，可得，即点，抛物线的焦点为，所以，直线的方程为，联立，解得或，即点，所以，直线的方程为，抛物线的准

10、线方程为，联立，可得点，点到直线的距离为，因此，.故答案为：.四、双空题16如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的算法九章商功中，后人称之为“三角垛”.已知某“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球设各层（从上往下）球数构成一个数列，则_，_.【答案】 【分析】根据，得到，利用累加法和等差数列求和公式求出，再利用裂项抵消法进行求和.【详解】因为，以上个式子累加，得，则；因为，所以.故答案为：，.五、解答题17在，这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并解答.在中，内角，的对边分别为，且_.(1)求角的大小；(2)已知，点在边上，且，求线段的长.注：如果选择多个条件分别解答，按

11、第一个解答计分.【答案】(1)(2)【分析】（1）若选，则根据正弦定理，边化角，结合二倍角公式，求得，可得答案；若选，则根据余弦定理和三角形面积公式，将化简，求得，可得答案；若选，则切化弦，化简可得到的值，求得答案；（2）由余弦定理求出，进而求得,设 ， ，在 中用余弦定理列出方程，求得答案.【详解】(1)若选，则根据正弦定理可得：，由于 , ，故 ，则 ；若选，则 ，即 ，则 ，而，故 ；若选，则，即，则 ，而，故 ；(2)如图示： ,故 ，故 ,在 中，设 ，则 ，则 ，即 ，解得 ，或（舍去）故.18已知数列是公差不为0的等差数列，数列是公比为2的等比数列，是，的等比中项，.(1)求数列

12、，的通项公式；(2)求数列的前项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据是，的等比中项，且，由求解；（2）由（1）得到，再利用错位相减法求解.【详解】(1)解：因为是，的等比中项，且，所以，解得，所以；(2)由（1）得，所以，则，两式相减得，所以.19已知圆，点.(1)若，半径为的圆过点，且与圆相外切，求圆的方程；(2)若过点的两条直线被圆截得的弦长均为，且与轴分别交于点、，求.【答案】(1)或(2)【分析】（1）设圆心，根据已知条件可得出关于、的方程组，解出、的值，即可得出圆的方程；（2）分析可知直线、的斜率存在，设过点且斜率存在的直线的方程为，即，利用勾股定理可得出，可知直线、的斜率、是

13、关于的二次方程的两根，求出、的坐标，结合韦达定理可求得的值.【详解】(1)解：设圆心，圆的圆心为，由题意可得，解得或，因此，圆的方程为或.(2)解：若过点的直线斜率不存在，则该直线的方程为，圆心到直线的距离为，不合乎题意.设过点且斜率存在的直线的方程为，即，由题意可得，整理可得，设直线、的斜率分别为、，则、为关于的二次方程的两根，由韦达定理可得，在直线的方程中，令，可得，即点在直线的方程中，令，可得，即点，所以，解得.20在平面直角坐标系中，已知点，轴于点，是线段上的动点，轴于点，于点，与相交于点.(1)判断点是否在抛物线上，并说明理由；(2)过点作抛物线的切线交轴于点，过抛物线上的点作抛物线

14、的切线交轴于点，以此类推，得到数列，求，及数列的通项公式.【答案】(1)在抛物线上，理由见解析(2), ,.【分析】（1）根据直线的方程设出点的坐标，利用已知条件求出点的坐标即可判断点是否在抛物线上；（2）设出直线的直线方程，与抛物线联立，令，即可求出，同理可以求出，设出直线的直线方程，与抛物线联立，令即可求出的方程，若令，即，故数列是首项，公比为的等比数列，即可求出数列的通项公式.【详解】(1)由已知条件得直线的方程为，设点，则，由直线的方程为可得点的坐标为，点满足抛物线，则点是否在抛物线上；(2)设的直线方程为，将直线与抛物线联立得，解得，的直线方程为，则，即，由此可知，设的直线方程为，将

15、直线与抛物线联立得，解得，的直线方程为，则，即，由此可知设点，设的直线方程为，将直线与抛物线联立得，其中，即，解得，直线的方程为，即，令得，即直线过点，则直线的斜率为，直线的方程也可以表示为，即，令，即，则，即数列是首项，公比为的等比数列，故.21在平面直角坐标系中，已知点，点满足，记点的轨迹为.(1)求的方程；(2)已知，是经过圆上一点且与相切的两条直线，斜率分别为，直线的斜率为，求证：为定值.【答案】(1)；(2)证明见解析.【分析】（1）根据双曲线的定义可得答案；（2）设，过点的的切线方程为，联立此直线与双曲线的方程消元，然后由可得，即可得到，然后可证明.【详解】(1)因为，所以点的轨迹

16、是以为焦点的双曲线的右支，所以，所以，所以的方程为(2)设，则，设过点的的切线方程为，联立可得由可得，所以所以22已知函数.(1)求函数的极值；(2)是否存在实数，对任意的正数，都有成立？若存在，求出，的所有值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)极小值为：，无极大值(2)，【分析】（1）先求导求单调性，再判断极值点求极值即可；（2）易知，只需要为函数和的公切线即可，求出公切线，代入后分别证明和成立即可.【详解】(1)由题意知：，令，解得，令，解得，所以函数在单调递增，在单调递减，所以为函数的极小值点，即极小值为：，无极大值.(2)设，易知，所以点是和的公共点，要使成立，只需要为函数和的公切线

17、即可，由（1）知，所以在点处的切线为：，同理可得在点处的切线为：，由题意知为同一条直线，所以解得，即等价于；下面证明这个式子成立：首先证明等价于，设，所以，恒成立，所以在单调递增，易知，所以当时，当时，所以在单调递减，在单调递增，所以，故不等式成立，即成立；再证明：等价于，设，所以，所以当时，当时，所以在单调递增，在单调递减，所以，故不等式成立，即成立；综上所述，存在，使得成立.故：，.【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.第 18 页 共 18 页