例说三角形中线等分面积的应用(4页).doc

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1、-第 1 页例说三角形中线例说三角形中线等分面积的应用等分面积的应用-第 2 页例说三角形中线等分面积的应用例说三角形中线等分面积的应用如图 1，线段 AD 是ABC 的中线，过点 A 作 AEBC，垂足为 E，则 SABD12BDAE，SADC12DCAE，因为 BDDC，所以 SABDSADC。因此，三角形的中线把ABC 分成两个面积相等的三角形.利用这一性质，可以解决许多有关面积的问题。一、求图形的面积一、求图形的面积例例 1、如图 2，长方形 ABCD 的长为 a，宽为 b，E、F 分别是 BC 和 CD 的中点，DE、BF 交于点 G，求四边形 ABGD 的面积.分析分析：因为 E、

2、F 分别是 BC 和 CD 的中点，则连接 CG 后，可知GF、GE 分别是DGC、BGC 的中线，而由 S=S=4ab，可得 S=S，所以DGF、CFG、CEG、BEG 的面积相等，问题得解。解解：连接 CG，由 E、F 分别是 BC 和 CD 的中点，所以 S=S=4ab，从而得 S=S，可得DGF、CFG、CEG、BEG 的面积相等且等于314ab=12ab，因此S四边形=ab412ab=32ab。例例 2、在如图 3 至图 5 中，ABC 的面积为 a（1）如图 2,延长ABC 的边 BC 到点 D，使 CD=BC，连结 DA若ACD 的面积为 S1，则 S1=_（用含 a 的代数式表

3、示）；（2）如图 3，延长ABC 的边 BC 到点 D，延长边 CA 到点 E，使 CD=BC，AE=CA，连结DE若DEC 的面积为 S2，则 S2=_（用含 a 的代数式表示），并写出理由；（3）在图4的基础上延长 AB 到点 F，使BF=AB，连结FD，FE，得到DEF（如图6）若阴影部 分的面积为 S3，则 S3=_（用含 a 的代数式表示）发现：像上面那样，将ABC 各边均顺次延长一倍，连结所得端点，得到DEF（如图图 1图 2ABCDE图 4DEABCF图 5图 3ABCD-第 3 页6），此时，我们称ABC 向外扩展了一次可以发现，扩展一次后得到的DEF 的面积是原来ABC 面积

4、的_倍应用：去年在面积为 10m2的ABC 空地上栽种了某种花卉今年准备扩大种植规模，把ABC 向外进行两次扩展，第一次由ABC 扩展成DEF，第二次由DEF 扩展成MGH（如图 5）求这两次扩展的区域（即阴影部分）面积共为多少 m2？分析分析：从第 1 个图可以发现 AC 就是ABD 的中线，第 2 个图通过连接 DA，可得到ECD 的中线 DA，后面扩展的部分都可以通过这样的方法得到三角形的中线，从而求出扩展部分的面积，发现规律。解解：（1）由 CD=BC，可知 AC 就是ABD 的中线，中线 AC 将ABD 的分成两个三角形ABC、ACD，这两个三角形等底等高，所以它们的面积相等；所以

5、S1=a；（2）若连接 DA，则 DA 就是ECD 的中线，中线 AD 将ECD 分成CDA、EDA，它们的面积相等；所以 S2=2a；（3）根据以上分析，可知BFD、CED、EAF 面积都为 2a；所以 S2=6a；发现：由题意可知扩展一次后的DEF 的面积是 SDEF=S3+SABC=6a+a=7a；即扩展一次后的DEF 的面积是原来ABC 面积的 7 倍。应用：由以上分析可知扩展一次后 S总1=7a，扩展二次后 S总2=S总1=72a，扩展三次后 S总3=S总2=73a，拓展区域的面积：（721）10=480（m2）说明说明：本题是从一个简单的图形入手，逐步向复杂的图形演变，引导我们逐步

6、进行探索，探索出有关复杂图形的相关结论，这是我们研究数学问题的一种思想方法：从特殊到一般的思想。所以我们在平时的学习中，要注意领会数学思想和方法，使自己的思维不断升华。二二、巧分三角形、巧分三角形例例 3、如图 7，已知ABC，请你用两种不同的方法把它分成面积之比为 1:2:3 的三个三角形.分析分析：可以把三角形先两等份，再把其中一个再两等份，所以联想到作三角形的中线。图 6DEABCFHMG图 7图 8图 9-第 4 页解解：方法 1：取 BC 的中点 E，然后在 BE 上取点 D，使 BD13BE，则 AD、AE 把ABC分成面积之比为 1:2:3 的三个三角形（如图 8）.方法 2：在

7、 BC 边上截取 DC31BC，连结 AD，然后取 AB 的中点 P，连结 BP、CP，则PAC、PAB、PBC 的面积之比为 1:2:3（如图 9）.想一想想一想：方法 2 中，这三个三角形的面积之比为什么是 1:2:3？二、巧算式子的值二、巧算式子的值例例 2在数学活动中，小明为了求2341111122222n的值（结果用 n 表示），设计了如图 10 所示的几何图形.请你利用这个几何图形求2341111122222n的值.分析分析：由数据的特征：后面的数为前面一个数的21，联想到将三角形的面积不断的平分，所以可以构造如图 10 的图形进行求解。解解：如图 10，设大三角形的面积为 1，然后不断的按顺序作出各个三角形的中线，根据三角形的中线把它分成两个面积相等的三角形可知，图中三角形除了最后一个小三角形，其余部分的面积为234111111222222nn，因此2341111111222222nn.说明说明：此题运用“数形结合思想”，借助三角形的面积来求数的运算，简捷、巧妙.图 10