第5章误差理论精选PPT.ppt

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1、第5章误差理论第1页，本讲稿共40页第一节、测量误差概述第一节、测量误差概述一、测量误差的定义一、测量误差的定义任何一个观测量，客观上总是存在着一个能代表其真正大小的任何一个观测量，客观上总是存在着一个能代表其真正大小的数值，这一数值就称为该观测量的真值，并以数值，这一数值就称为该观测量的真值，并以X表示。设对表示。设对某量观测某量观测n次，其观测值为次，其观测值为L1，L2，Ln，则真误差则真误差i定义如下：定义如下：（i=1,2,3,ni=1,2,3,n）第2页，本讲稿共40页二、测量误差的来源二、测量误差的来源(一一)人为因素人为因素观测时由于观测者的感觉器官的鉴别能力存在局限性，在仪器

2、观测时由于观测者的感觉器官的鉴别能力存在局限性，在仪器的对中、整平、照准、读数等方面都会产生误差。同时，观测的对中、整平、照准、读数等方面都会产生误差。同时，观测者的技术熟练程度也会对观测结果产生一定影响。者的技术熟练程度也会对观测结果产生一定影响。(二二)仪器因素仪器因素测量中使用的仪器和工具，在设计、制造、安装和校正等方面测量中使用的仪器和工具，在设计、制造、安装和校正等方面不可能十分完善，致使测量结果产生误差。不可能十分完善，致使测量结果产生误差。(三三)外界条件的影响外界条件的影响观测过程中的外界条件，如温度、湿度、风力、阳光、大气折观测过程中的外界条件，如温度、湿度、风力、阳光、大气

3、折光、烟雾等时刻都在变化，必将对观测结果产生影响。光、烟雾等时刻都在变化，必将对观测结果产生影响。第3页，本讲稿共40页观测条件:人、仪器和外界条件，通常称为观测条件。观测条件相同的各次观测，称为等精度观测；观测条件不相同的各次观测，称为非等精度观测。在观测结果中，有时还会出现错误，称之为粗差。粗差在观测结果中是不允许出现的，为了杜绝粗差，除认真仔细作业外，还必须采取必要的检核措施。第4页，本讲稿共40页三、测量误差的分类例：例：误差误差 处理方法处理方法 钢尺尺长误差钢尺尺长误差 ld 计算改正计算改正 钢尺温度误差钢尺温度误差 lt 计算改正计算改正 水准仪视准轴误差水准仪视准轴误差I 操

4、作时抵消操作时抵消(前后视等距前后视等距)经纬仪视准轴误差经纬仪视准轴误差C 操作时抵消操作时抵消(盘左盘右取平均盘左盘右取平均)1.1.系统误差系统误差-在相同观测条件下，对某量进行一系列观测，若在相同观测条件下，对某量进行一系列观测，若出现的误差在数值、符号上都保持不变，或按一定的规律变化，出现的误差在数值、符号上都保持不变，或按一定的规律变化，这种误差称为系统误差。这种误差称为系统误差。测量误差按性质分为：系统误差和偶然误差测量误差按性质分为：系统误差和偶然误差第5页，本讲稿共40页2.2.偶然误差偶然误差在相同的观测条件下，对某量进行一系列的在相同的观测条件下，对某量进行一系列的观测，

5、如果观测误差的符号和大小都不一致，表面上没有任观测，如果观测误差的符号和大小都不一致，表面上没有任何规律性，这种误差称为偶然误差。何规律性，这种误差称为偶然误差。例：估读数、气泡居中判断、瞄准、对中等误差，导致例：估读数、气泡居中判断、瞄准、对中等误差，导致观测值产生误差观测值产生误差 。第6页，本讲稿共40页 例例如如，对对三三角角形形的的三三个个内内角角进进行行测测量量，由由于于观观测测值值含含有有偶偶然然误误差差，三三角角形形各各内内角角之之和和l不不等等于于其其真真值值180。用用X表表示示真真值值，则则l与与X的差值的差值称为真误差（即偶然误差），即称为真误差（即偶然误差），即四、四

6、、偶然误差的特性偶然误差的特性偶然误差从表面上看没有任何规律性，但是随着对同一量观偶然误差从表面上看没有任何规律性，但是随着对同一量观测次数的增加，大量的偶然误差就表现出一定的统计规律性，测次数的增加，大量的偶然误差就表现出一定的统计规律性，观测次数越多，这种规律性越明显。观测次数越多，这种规律性越明显。第7页，本讲稿共40页在某测区，等精度观测了在某测区，等精度观测了358个三角形的内个三角形的内 角之和，得角之和，得到到358个三角形闭合差个三角形闭合差 i(偶然误偶然误 差，也即真误差差，也即真误差)，然，然后对三角形闭合差后对三角形闭合差 i 进行分析。分析结果表明，当观进行分析。分析

7、结果表明，当观测次数很多时，偶然测次数很多时，偶然 误差的出现，呈现出统计学上的误差的出现，呈现出统计学上的规律性。而且，观测次数越多，规律性越明显。规律性。而且，观测次数越多，规律性越明显。第8页，本讲稿共40页用频率直方图表示的偶然误差统计用频率直方图表示的偶然误差统计：频率直方图的中间高、两边低，并向横轴逐渐逼近频率直方图的中间高、两边低，并向横轴逐渐逼近,对对称于称于y轴。轴。频率直方图中，每一条形的面积表示误差出现在该区间的频频率直方图中，每一条形的面积表示误差出现在该区间的频率率k/n，而所有条形的总面积等于，而所有条形的总面积等于1。各条形顶边中点连线经各条形顶边中点连线经光滑后

8、的曲线形状，表现光滑后的曲线形状，表现出偶然误差的普遍规律出偶然误差的普遍规律 误差统计直方图第9页，本讲稿共40页偶然误差的四个特性：偶然误差的四个特性：（1）在在一一定定观观测测条条件件下下，偶偶然然误误差差的的绝绝对对值值有有一一定定的的限限值值，或者说，超出该限值的误差出现的概率为零；或者说，超出该限值的误差出现的概率为零；(有界性有界性)（2）绝绝对对值值较较小小的的误误差差比比绝绝对对值值较较大大的的误误差差出出现现的的概概率率大大；(趋向性趋向性)（3）绝对值相等的正、负误差出现的概率相同）绝对值相等的正、负误差出现的概率相同(对称性对称性)（4）同同一一量量的的等等精精度度观观

9、测测，其其偶偶然然误误差差的的算算术术平平均均值值，随随着着观观测次数测次数n n的无限增大而趋于零，的无限增大而趋于零，(抵偿性抵偿性)即即式中式中 偶然误差的代数和，偶然误差的代数和，第10页，本讲稿共40页偶然误差具有正态分布的特性偶然误差具有正态分布的特性当观测次数当观测次数n n无限增多无限增多(n(n)、误差区间误差区间d d 无限缩小无限缩小(d d 0)0)时，各矩形的顶边就连成一条时，各矩形的顶边就连成一条光滑的曲线，这条曲线称为光滑的曲线，这条曲线称为“正态分布曲线正态分布曲线”，又称为，又称为“高高斯误差分布曲线斯误差分布曲线”。所以偶然所以偶然误差具有正态分布的特性。误

10、差具有正态分布的特性。误差统计直方图第11页，本讲稿共40页 在相同的观测条件下，对某量进行多次观测，为了在相同的观测条件下，对某量进行多次观测，为了鉴定观测结果的精确程度，必须有一个衡量精度的标准。鉴定观测结果的精确程度，必须有一个衡量精度的标准。在测量工作中，常采用以下几种标准评定测量成果的精在测量工作中，常采用以下几种标准评定测量成果的精度。度。中误差中误差 相对中误差相对中误差 极限误差极限误差 第二节第二节 精度评定的标准精度评定的标准第12页，本讲稿共40页一、中误差一、中误差 设在相同的观测条件下，对某量进行n次重复观测，其观测值为l1，l2，ln，相应的真误差为1，2，n。则观

11、测值的中误差m为：式中式中 真误差的平方和真误差的平方和，第13页，本讲稿共40页 例例5-1 设设有有甲甲、乙乙两两组组观观测测值值，各各组组均均为为等等精精度度观观测测，它它们们的的真真误差分别为：误差分别为：甲组：乙组：试计算甲、乙两组各自的观测精度。试计算甲、乙两组各自的观测精度。解:第14页，本讲稿共40页 中误差所代表的是某一组观测值的精度。m m1 1小于小于m m2 2,说明第一组观测值的误差分布比较集中，说明第一组观测值的误差分布比较集中，其精度较高；相对地，第二组观测值的误差分布比其精度较高；相对地，第二组观测值的误差分布比 较离散，其精度较低：较离散，其精度较低：m m1

12、 1=2.72.7 是第一组观测值的中误差；是第一组观测值的中误差；m m2 2=3.63.6 是第二组观测值的中误差。是第二组观测值的中误差。第15页，本讲稿共40页二、相对中误差二、相对中误差测测量量工工作作中中，有有时时仅仅用用中中误误差差还还不不能能完完全全表表达达观观测测结结果果的的精精度度。还还需需采采用用另另一一种种衡衡量量精精度度的的方方法法，这这就就是是相相对对中中误误差差或或相相对对误误差差，它它是是中中误误差差的的绝绝对对值值与与观观测测值值的的比比值值，通通常常用用分分子子为为1 1的分数形式表示的分数形式表示 例例 丈量两段距离，丈量两段距离，D1=100m，m1=1

13、cm和和D2=30m，m2=1cm，试计算两段距离的相对中误差。试计算两段距离的相对中误差。解第16页，本讲稿共40页三、极限误差 在在一一定定观观测测条条件件下下，偶偶然然误误差差的的绝绝对对值值不不应应超超过过的的限限值值，称称为极限误差，也称限差或容许误差。为极限误差，也称限差或容许误差。或 如果某个观测值的偶然误差超过了容许误差，就可以认为该观如果某个观测值的偶然误差超过了容许误差，就可以认为该观测值含有粗差，应舍去不用或返工重测。测值含有粗差，应舍去不用或返工重测。第17页，本讲稿共40页 第三节第三节 误差传播定律误差传播定律在实际测量工作中在实际测量工作中，某些未知量往往不能直接

14、测得，而是由某些未知量往往不能直接测得，而是由某些直接观测值通过一定的函数关系间接计算而得。由于直接某些直接观测值通过一定的函数关系间接计算而得。由于直接观测值含有误差，因而它的函数必然要受其影响而存在误差，观测值含有误差，因而它的函数必然要受其影响而存在误差，阐述观测值中误差与函数中误差之间关系的定律，称为误差传阐述观测值中误差与函数中误差之间关系的定律，称为误差传播定律。播定律。现就线性与非线性两种函数形式分别讨论如下。现就线性与非线性两种函数形式分别讨论如下。第18页，本讲稿共40页 一、线性函数一、线性函数 线性函数的一般形式为：线性函数的一般形式为：Z=k1x1k2x2knxn 式中

15、式中x1、x2xn为独立观测值，其中误差分别为为独立观测值，其中误差分别为m1、m2mn，k1、k2kn为常数。为常数。设函数设函数Z的中误差为的中误差为mz，下面来推导两者中误差的关系。为推下面来推导两者中误差的关系。为推导简便，先以两个独立观测值进行讨论，则上式为：导简便，先以两个独立观测值进行讨论，则上式为：Z=k1x1k2x2（）（）若若x1和和x2的真误差为的真误差为x1和和x2，则函数则函数Z必有真误差必有真误差Z即：即：第19页，本讲稿共40页由上两式由上两式（）、）（）、）相减可得：相减可得：若对观测值均进行了若对观测值均进行了n次观测，可得：次观测，可得：（）（）第20页，本

16、讲稿共40页将上式等号两边平方求和，并处以将上式等号两边平方求和，并处以n，则得：则得：由于由于x1、x2均为独立观测值的偶然误差，因此乘积均为独立观测值的偶然误差，因此乘积x1x2也必然呈现偶然性，根据偶然误差的第四特性，有：也必然呈现偶然性，根据偶然误差的第四特性，有：根据中误差的定义，得中误差的关系式：根据中误差的定义，得中误差的关系式：推广之，可得线性函数中误差的关系式推广之，可得线性函数中误差的关系式第21页，本讲稿共40页二、非线性函数二、非线性函数 非线性函数即一般函数，其形式为：非线性函数即一般函数，其形式为：式中式中Xi 具有真误差具有真误差i时，函数时，函数Z相应地产生真误

17、差相应地产生真误差z。这些真这些真误差都是一个小值，误差都是一个小值，由数学分析可知，变量的误差与函数的误差由数学分析可知，变量的误差与函数的误差之间的关系，可以近似地用函数的全微分来表达。之间的关系，可以近似地用函数的全微分来表达。为此，求函数为此，求函数的全微分，以真误差的全微分，以真误差“”替代微分的符号替代微分的符号“d”，得：得：第22页，本讲稿共40页是函数对各个变量所取得偏导数，以观测值代入所算出的数值，是函数对各个变量所取得偏导数，以观测值代入所算出的数值，它们是常数，因此，上式是线性函数的真误差关系式，按线性它们是常数，因此，上式是线性函数的真误差关系式，按线性函数的真误差关

18、系可得：函数的真误差关系可得：第23页，本讲稿共40页应用误差传播定律求观测值函数中误差时，可归纳为如下三步：应用误差传播定律求观测值函数中误差时，可归纳为如下三步：1 1）应根据问题的性质列出函数关系式）应根据问题的性质列出函数关系式。2 2）对函数式进行全微分，获得函数的真误差与观测值之间）对函数式进行全微分，获得函数的真误差与观测值之间的关系式。的关系式。3 3）写出函数的中误差与观测值中误差之间的关系式。）写出函数的中误差与观测值中误差之间的关系式。第24页，本讲稿共40页 1.倍数函数的中误差 设有函数式 (x为观测值，K为x的系数)全微分 得中误差式例：量得：地形图上两点间长度例：

19、量得：地形图上两点间长度68.5mm 0.2mm,计算该两点实地距离计算该两点实地距离S及其中误差及其中误差ms：解：列函数式解：列函数式 求全微分求全微分 中误差式中误差式三三.几种常用函数的中误差应用举例几种常用函数的中误差应用举例 第25页，本讲稿共40页.和或差函数的中误差和或差函数的中误差 函数式：函数式：全微分：全微分：中误差式：中误差式：当等精度观测时：当等精度观测时：上式可写成：上式可写成：例：测定A、B间的高差 ，共连续测了9站。设测量 每站高差的中误差 ，求总高差 的中 误差 。解：第26页，本讲稿共40页直线直线AB的长度的长度D=206.125m0.003m，方位角，方

20、位角=11945004，求，求B直线直线的坐标增量中误差。的坐标增量中误差。解解 坐标增量的函数式为坐标增量的函数式为 .非线性函数的中误差非线性函数的中误差设设mx、my、mD、ma分别为分别为x、y、D及及的中的中误差。将上两式对误差。将上两式对D及及求偏导数，得：求偏导数，得：第27页，本讲稿共40页应用时应注意几点：应用时应注意几点：1.上式写出的规律是：将偏导数值平方，把真误差换成中上式写出的规律是：将偏导数值平方，把真误差换成中误差平方。误差平方。2.各项的单位要统一；各项的单位要统一；3.观测值必须是独立的观测值，即函数式等号右边的各自观测值必须是独立的观测值，即函数式等号右边的

21、各自变量应互相独立，不包含共同的误差。变量应互相独立，不包含共同的误差。第28页，本讲稿共40页观测值函数中误差公式汇总 观测值函数中误差公式汇总观测值函数中误差公式汇总 函数式函数式 函数的中误差函数的中误差一般函数倍数函数倍数函数 和差函数和差函数 线性函数线性函数 算术平均值算术平均值 第29页，本讲稿共40页第四节第四节 等（同）精度直接观测平差等（同）精度直接观测平差 观测值的算术平均值观测值的算术平均值(最或是值最或是值)用观测值的改正数用观测值的改正数v v计算观测值的计算观测值的 中误差中误差 (即即:白塞尔公式白塞尔公式)算术平均值的相对中误差算术平均值的相对中误差第30页，

22、本讲稿共40页前面，我们介绍了等精度观测下的观测和不等精度观测。无论那一种观测，为确定一个未知量的大小，一般都对未知量进行多余观测，观测值之间就出现了矛盾。进行平差的目的，就是对观测数据进行处理，求得未知量的最或是值（或最可靠值），同时评定观测值及最或是值的精度。如何进行平差，下面先举一个例子来说明平差应遵循的原则。第31页，本讲稿共40页 一个三角形的三个内角a、b、c，只要观测其中任意两个，三个角值就可以确定，因此，必要观测数为2个。一般三个都测，就有一个多余观测。所测三个角之和应满足三角形内角和条件（称为图形条件），但一般a+b+c180，则产生闭合差f为：f=a+b+c-180为了消除

23、闭合差以满足图形条件，求得各角的最或是值，就必须在每一角加一改正数。一个方程有三个未知数，有很多组解，因而需要确定一组最佳值。第32页，本讲稿共40页当时，得到的改正数是最合理的。时，得到的改正数是最合理的。一、求最或是值设对某量进行设对某量进行n n次等精度观测，观测值为次等精度观测，观测值为（i i=、2、n n），），最或是值为最或是值为 ，为观测值的改正数，则有：为观测值的改正数，则有：左式等号两边平左式等号两边平方求和，得方求和，得 第33页，本讲稿共40页由上式可知，观测值的算术平均值就是最或是值。由上式可知，观测值的算术平均值就是最或是值。第34页，本讲稿共40页二、观测值的中误

24、差二、观测值的中误差式式中中i=L Li-X X（i i=1、2、n n）。由由于于真真值值一一般般难难以以知知道道，可可用用观观测测值值的的改改正正数数来来推推求求，为此，将为此，将i=L Li-X X 与式与式 相加，得：相加，得：将上式等号两边自乘取和，得：将上式等号两边自乘取和，得：上式等号两边再除以上式等号两边再除以n，第35页，本讲稿共40页上式中 是最或是值（算术平均值）的真误差，也难以求得，通常以算术平均值的中误差 代替，算术平均值的中误差公式为 ，则：再将上式代入可得：经整理可得上式也叫白塞尔公式上式也叫白塞尔公式第36页，本讲稿共40页三、算术平均值的中误差三、算术平均值的

25、中误差根根据据误误差差传传播播定定律律，等等精精度度观观测测由由观观测测值值中中误误差差m求求得算术平均值的中误差得算术平均值的中误差 为：为：第37页，本讲稿共40页第38页，本讲稿共40页第39页，本讲稿共40页1.1.某某 一一 三三 角角 形形，三三 边边 长长 度度 分分 别别 为为 a=30m0.00a=30m0.00，b=40m0.03b=40m0.03米米，c=50c=50米米0.040.04米米，试试求求该该三三角角形形周周长长s s及及其中误差其中误差m ms s。2.2.水水准准测测量量，每每站站高高差差中中误误差差m mh h5mm5mm，从从已已知知点点推推算算高程，要求中误差高程，要求中误差22cmcm，问最多可设多少站？问最多可设多少站？3.3.在在等等精精度度观观测测中中，对对某某角角观观测测4 4个个测测回回，求求得得其其平平均均值值的的中中误误差差为为2020，若若欲欲使使平平均均值值的的中中误误差差小小于于1515，至少应观测多少测回？，至少应观测多少测回？4.4.在在1 1：500500图图上上量量得得一一圆圆的的半半径径R R28.43mm28.43mm，已已知知量量测测中中误误差差mRmR0.05mm0.05mm，求该圆周长及其中误差。求该圆周长及其中误差。第40页，本讲稿共40页