第7章 频率变换精选PPT.ppt

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1、第第7章章 频率变换频率变换第1页，本讲稿共45页1 频率概述频率概述前述的处理方法：利用图像的视觉性质，直观、好理解。频率的处理方法：利用图像的分布变化特性，不直观、难理解。第2页，本讲稿共45页1 频率概述频率概述声音与图像的频率频率低频率高图像上代表粗略部分。图像上代表细微部分。第3页，本讲稿共45页1 频率概述频率概述声音的频率处理：用音调控制器。把高音调低：声音发闷；把低音调低：声音发尖。图像的频率处理：傅立叶变换（FT）。去掉高频成分：消除细微部分，图像变模糊；去掉低频成分：消除粗略部分，留下图像边缘。第4页，本讲稿共45页1 频率概述频率概述Jean Baptiste Josep

2、h Fourier(17681830)第5页，本讲稿共45页频率变换的基础：2 频率变换概述频率变换概述任意波形能够表现为单纯的正弦波的和。第6页，本讲稿共45页2 频率变换概述频率变换概述正弦波可由幅度（大小）A和相位来确定。频率变换的基础第7页，本讲稿共45页右图(b)、(c)、(d)、(e)的四个波形可表示为：2 频率变换概述频率变换概述频率f幅度A图形；频率f相位图形。频率变换的基础实现了空间域到频率域的变换。第8页，本讲稿共45页空间域到频率域的变换，属于正交变换的一种。2 频率变换概述频率变换概述傅立叶变换（FT）：第9页，本讲稿共45页复数形式可以同时表示幅度A和相位。复数是由实

3、部和虚部两部分的组合表示的数。用如下公式表示：用复数函数F(u)表示：2 频率变换概述频率变换概述傅立叶变换复数表示：第10页，本讲稿共45页其中，角频率=2u。这就是所有频率处理都要用到的非常重要的基础公式。2 频率变换概述频率变换概述傅立叶变换公式：第11页，本讲稿共45页2 频率变换概述频率变换概述计算机的领域与数学领域的不同：计算机 信号格式：数值范围：不连的数字信号 连续的模拟信号一定有限 可以无限离散傅里叶变换（DFT:Discrete Fourier Transform）。在计算机领域受到限制的傅里叶变换被称为：第12页，本讲稿共45页DFT可通过把傅立叶变换公式变为离散值来导出

4、。3 离散傅里叶变换离散傅里叶变换一维傅立叶变换（DFT）假定输入信号为x(0)、x(1)、x(2)、x(N-1)共N个离散值，那么变换到频率域的结果（复数）也是N个离散值X(0)、X(1)、X(2)、X(N-1)：第13页，本讲稿共45页离散傅立叶变换公式：3 离散傅里叶变换离散傅里叶变换一维傅立叶变换（DFT）其中，k=0,1,2,N-1；n=0,1,2,N-1；IDFT为一维离散傅里叶逆变换或一维离散傅里叶反变换（inverse discrete Fourier Transform）。与一般傅里叶变换相比：积分运算被求和运算所代替。W被称为旋转算子。第14页，本讲稿共45页复数领域有欧拉

5、公式：3 离散傅里叶变换离散傅里叶变换一维傅立叶变换（DFT）旋转算子可以用欧拉公式来置换如下：把上式代入离散傅立叶变换公式，就只有三角函数和求和运算，从而能够用计算机进行计算。但是其计算量相当大。因此快速傅立叶变换（FFT）被提出。第15页，本讲稿共45页二维图像的傅立叶变换特点：3 离散傅里叶变换离散傅里叶变换二维傅里叶变换（1）具有水平和垂直两个方向上的频率；（2）常把频率平面的中心作为直流分量；（3）二维频谱图的特性：幅度特性以幅度轴对称；相位特性以中心点对称。第16页，本讲稿共45页二维FFT计算过程：3 离散傅里叶变换离散傅里叶变换二维傅里叶变换可通过水平方向的一维FFT和垂直方向

6、的一维FFT来实现，即按照下图所示的处理框图来实现二维FFT。第17页，本讲稿共45页3 离散傅里叶变换离散傅里叶变换例：图像的二维傅立叶变换示例。I1=imread(lena.bmp);%读入一幅图像subplot(2,2,1),imshow(I1),title(图像1);%显示图像1F1=fft2(I1);%对图像1进行傅立叶变换F2=fftshift(F1);%频谱中心化F3=log(abs(F2);%对频谱的幅度取对数subplot(2,2,2),imshow(F3,),title(图像1的频谱);%显示图像1的频谱I2=imread(girl.bmp);%读入另一幅图像subplot

7、(2,2,3,replace),imshow(I2),title(图像2);%显示图像2F4=fft2(I2);%对原始图像2进行傅立叶变换F5=fftshift(F4);%频谱中心化F6=log(abs(F5);%对频谱的幅度取对数subplot(2,2,4),imshow(F6,),title(图像2的频谱);第18页，本讲稿共45页3 离散傅里叶变换离散傅里叶变换例：绘制一个圆形的二值图像，并对其进行傅立叶函数的示例。f=zeros(40,40);%创建一个4040的0矩阵for i=1:40 for j=1:40d=sqrt(i-20)2+(j-20)2);%求取中心在(20,20)处

8、的圆的半径值if(d=10)%创建一个半径在10以内像素点值为1的圆 f(i,j)=1;end endendfigure,subplot(1,2,1),imshow(f);title(图像);F=fft2(f);%对f进行快速傅立叶变换F1=fftshift(F);%对直流分量（零频率系数）中心化F2=log(abs(F1);%对幅值取对数subplot(1,2,2),imshow(F2,-1 5);title(频谱);%小于-1显示为黑，大于5显示为白，其余显示为中间灰色colorbar(vert);%加标尺第19页，本讲稿共45页3 离散傅里叶变换离散傅里叶变换colormap(jet);

9、%设置jet颜色。The colors begin with dark blue,range through shades of blue,cyan,green,yellow and red,and end with dark red.可用hot,cool,pink,flag,copper,bone,gray等替代jet。第20页，本讲稿共45页线性变换：设x是N1的向量，T是一个NN的矩阵，则线性变换定义为：4 其他频率变换其他频率变换线性变换、酉变换、正交变换变换的结果y是输入元素的一阶和构成的，实际上结果向量的每个元素yi是输入向量x和T的第i行的点积。当T是非奇异的，逆变换存在，即第2

10、1页，本讲稿共45页酉变换、正交变换4 其他频率变换其他频率变换线性变换、酉变换、正交变换酉变换：当T是酉矩阵（unitary matrix）时。酉矩阵 T-1（逆）=T*T（共轭转置）或 TT*T=T*TT=I。正交变换：如果酉矩阵的所有元素都是实数时。正交矩阵 T-1（逆）=TT（转置）或 TTT=TTT=I。第22页，本讲稿共45页线性变换的一般形式：4 其他频率变换其他频率变换线性变换、酉变换、正交变换(x,y;u,v)是变换的核函数，可以看作是一个N2N2的块矩阵，每行有N个块，共有N行，每个块是一个NN的矩阵。块由u,v索引，块内由x,y索引。第23页，本讲稿共45页可分离的、对称

11、的酉变换（图像通常采用）4 其他频率变换其他频率变换线性变换、酉变换、正交变换酉变换的核矩阵的行向量构成了N维向量空间的一组基，它们是彼此正交的，即第24页，本讲稿共45页4 其他频率变换其他频率变换正弦型变换以正弦型函数为基函数的变换包括傅立叶变换、余弦变换、Hartley变换等。余弦变换（DCT）是傅立叶变换的特例，即f(x,y)为偶函数时傅立叶变换的计算只有余弦项。余弦变换（DCT）第25页，本讲稿共45页4 其他频率变换其他频率变换正弦型变换二维DCT定义为：余弦变换（DCT）第26页，本讲稿共45页4 其他频率变换其他频率变换正弦型变换二维逆变换IDCT定义为：余弦变换（DCT）第2

12、7页，本讲稿共45页4 其他频率变换其他频率变换正弦型变换DCT的核矩阵为：与DFT不同的是，DCT是实值的，在图像编码领域有广泛的应用。可以用快速傅立叶变换算法实现快速离散余弦变换。MATLAB中进行二维离散余弦变换的函数为dct2。余弦变换（DCT）第28页，本讲稿共45页4 其他频率变换其他频率变换例：图像的二维余弦变换示例。I1=imread(lena.bmp);%读入一幅图像subplot(2,2,1),imshow(I1),title(图像1);%显示图像1C1=dct2(I1);%对图像1进行离散余弦变换C2=log(abs(C1);%对频谱的幅度取对数subplot(2,2,2

13、),imshow(C2,),title(图像1的频谱);I2=imread(girl.bmp);%读入另一幅图像subplot(2,2,3),imshow(I2),title(图像2);%显示图像2C4=dct2(I2);%对图像2进行离散余弦变换C5=log(abs(C4);%对频谱的幅度取对数subplot(2,2,4),imshow(C5,),title(图像2的频谱);第29页，本讲稿共45页 Hartley变换4 其他频率变换其他频率变换二 维 离 散Hartley变 换（DHT，Discrete Hartley Transform）为基函数为正弦型变换第30页，本讲稿共45页 Ha

14、rtley变换4 其他频率变换其他频率变换二维离散Hartley逆变换二维DHT的核矩阵为正弦型变换DHT实际上是DFT的另一种计算方法，由于它避免了复数计算，从而可以大大地减少计算量。第31页，本讲稿共45页 沃尔什-哈达玛变换4 其他频率变换其他频率变换为了减少计算量，还有一类图像变换采用方波型基函数，即沃尔什-哈达玛变换（WHT,Walsh-Hardamard Transform）。沃尔什-哈达玛变换变换是对称的、可分离的酉变换，它的核矩阵中只有+1和-1两种元素。它的维数N=2n，其中n是整数。离散沃尔什-哈达玛变换变换为方波型变换逆变换为第32页，本讲稿共45页 沃尔什-哈达玛变换4

15、 其他频率变换其他频率变换核矩阵HN按如下方式构造：方波型变换最小阶（N2）的核矩阵为：利用这个迭代性质求解N阶（N=2n）的哈达玛变换矩阵，便给出快速沃尔什-哈达玛变换算法WHT。第33页，本讲稿共45页滤波处理的目的：5 滤波处理滤波处理使某些频率通过，使某些频率阻断。让我们通过设定右图所示的参数a和b的值，使a以上、b以下的频率（斜线表示的频率）通过，其它的频率阻断来进行滤波处理。第34页，本讲稿共45页5 滤波处理滤波处理例：小于40的频率通过，其余的频率阻断的MATLAB程序示例。I=imread(lena.bmp);%读入一幅BMP灰度图像figure,subplot(2,2,1)

16、,imshow(I);title(原始图像);%把图形窗口划分为22显示区域，在左上角的区域显示图像IF=fft2(I);%傅立叶变换F1=fftshift(F);%频谱中心化F2=log(abs(F1);%为了显示F1的幅值对其取对数subplot(2,2,2),imshow(F2,);title(频谱);%在右上角的区域显示频谱F2第35页，本讲稿共45页5 滤波处理滤波处理M,N=size(F1);%获取频谱F1的高度和宽度m=round(M/2);n=round(N/2);%四舍五入取整for i=1:M for j=1:Nd=sqrt(i-m)2+(j-n)2);%求取到频谱中心的距

17、离if(d=40)F3(i,j)=F1(i,j);%注意不要用取对数的幅值！else F3(i,j)=0;%大于40频率阻断 end end end第36页，本讲稿共45页5 滤波处理滤波处理F4=log(abs(F3);%对F3的幅值取对数subplot(2,2,3),imshow(F4,);title(低通滤波后频谱);%在左下角的区域显示频谱F4F3=ifftshift(F3);%频谱反中心化I1=ifft2(F3);%傅立叶反变换I2=uint8(real(I1);%取幅值并转换成8位无符号整数subplot(2,2,4),imshow(I2);title(低通滤波后图像);%在右下角

18、的区域显示图像I2第37页，本讲稿共45页5 滤波处理滤波处理第38页，本讲稿共45页5 滤波处理滤波处理这种滤波处理，可以被认为是滤波器的频率和图像的频率相乘的处理，实际上变更这个滤波器的频率特性可以得到各种各样的处理。假定输入图像为f(i,j)，则图像的频率F(u,v)变为：如果滤波器的频率特性表示为S(u,v)，则处理后图像g(i,j)表示为：第39页，本讲稿共45页5 滤波处理滤波处理在此，假定S(u,v)经IDFT得到s(i,j)，那么上式将变形为：这个 符号被称为卷积运算（convolution）。图像上（空间域）的卷积运算 =频率域的乘积运算。第40页，本讲稿共45页频率变换结束

19、！FunctionsTerms第41页，本讲稿共45页MATLAB Functionszeros:双精度类全0矩阵fft2:得到二维FFTfftshift:FFT变换频谱的中心化colormap:设置色图colorbar:对图像增加颜色条返回dct2:得到二维DCTround:四舍五入取整real:复数实部第42页，本讲稿共45页Terms返回Spatial:空间的Spatial domain:空间域Frequency:频率High frequency:高频Frequency variable:频率变量Frequency domain:频域Low frequency:低频Fourier tra

20、nsform:傅立叶变换第43页，本讲稿共45页Terms返回Fourier spectrum:傅立叶频谱One(Two)-dimensional Fourier transform:一(二)维傅立叶变换Discrete Fourier transform(DFT):离散傅立叶变换Fast Fourier transform(FFT):快速傅立叶变换Inverse Fourier transform:傅立叶逆变换Amplitude:幅度，幅值Phase:相位Orthogonal:正交第44页，本讲稿共45页Terms返回Complex number:复数Amplitude characteristic:幅值特性Phase characteristic:相位特性Sampling frequency:采样频率Sampling theorem:采样定理Filtering:滤波Convolution:卷积Image transmission:图像传输Homomorphic filtering:同态滤波第45页，本讲稿共45页