第六章定积分的几何应用优秀课件.ppt

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1、1第1页，本讲稿共44页类似地类似地,若若而在而在 b 的左邻域内无界的左邻域内无界,则定义则定义而在点而在点 a 的右邻域内无界的右邻域内无界,存在存在,若极限若极限a,b 上的反常积分上的反常积分,记作记作则称则称此极限为函数此极限为函数 f(x)在在 无界函数的反常积分无界函数的反常积分无界点常称无界点常称 为为瑕点瑕点第2页，本讲稿共44页而在点而在点 c 的的邻域内无界邻域内无界,则定义则定义第3页，本讲稿共44页说明说明:(1)有时通过换元有时通过换元,反常积分和常义积分可以互反常积分和常义积分可以互相转化相转化.例如例如,(2)当一题同时含两类反常积分时当一题同时含两类反常积分时

2、,应划分积分区间应划分积分区间,分别讨论每一区间上的反常积分分别讨论每一区间上的反常积分.第4页，本讲稿共44页不存在不存在例例解解第5页，本讲稿共44页第六章第六章 定积分的应用定积分的应用第一节第一节 元素法元素法第6页，本讲稿共44页在在第第五五章章，我我们们学学习习了了定定积积分分的的概概念念和和定定积积分分的的计计算算，本本章章我我们们将将研研究究如如何何利利用用定定积积分分作作为为工工具具来解决一些实际问题中有关的计算来解决一些实际问题中有关的计算:实际问题实际问题化为积分模型化为积分模型 计算定积分计算定积分。1.什么类型的问题可化为积分模型什么类型的问题可化为积分模型?2.如何

3、化成积分模型如何化成积分模型?第7页，本讲稿共44页回顾回顾曲边梯形求面积的问题曲边梯形求面积的问题一、问题的提出一、问题的提出ab xyo第8页，本讲稿共44页面积表示为定积分的步骤如下面积表示为定积分的步骤如下（3）求和，得求和，得A的近似值的近似值第9页，本讲稿共44页ab xyo（4）求极限，得求极限，得A的精确值的精确值面面积积元元素素第10页，本讲稿共44页第11页，本讲稿共44页具体问题表示为定积分的一般步骤：具体问题表示为定积分的一般步骤：第12页，本讲稿共44页这个方法通常叫做这个方法通常叫做元素法元素法应用方向：应用方向：几何上几何上:平面图形的面积；体积；平面图形的面积；

4、体积；平面曲线的弧长；平面曲线的弧长；物理上物理上:功；水压力；引力等功；水压力；引力等第13页，本讲稿共44页小结小结元素法的实质是元素法的实质是:在小的范围内以常量代在小的范围内以常量代替变量替变量,求和取得近似值求和取得近似值,再取极限得到精再取极限得到精确值确值第14页，本讲稿共44页第六章第六章 定积分的应用定积分的应用第二节第二节 定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用第15页，本讲稿共44页曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积一、平面图形的面积一、平面图形的面积1 直角坐标系情形直角坐标系情形第16页，本讲稿共44页第17页，本讲稿共44页解解两曲线的交点两

5、曲线的交点面积元素面积元素选选 为积分变量为积分变量第18页，本讲稿共44页例例2 解解第19页，本讲稿共44页解解两曲线的交点两曲线的交点选选 为积分变量为积分变量第20页，本讲稿共44页于是所求面积于是所求面积说明：注意各积分区间上被积函数的形式说明：注意各积分区间上被积函数的形式问题：问题：积分变量只能选积分变量只能选 吗？吗？第21页，本讲稿共44页解解两曲线的交点两曲线的交点选选 为积分变量为积分变量第22页，本讲稿共44页如果曲边梯形的曲边为参数方程如果曲边梯形的曲边为参数方程曲边梯形的面积曲边梯形的面积第23页，本讲稿共44页解解椭圆的参数方程椭圆的参数方程由对称性知总面积等于由

6、对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积倍第一象限部分面积第24页，本讲稿共44页面积元素面积元素曲边扇形的面积曲边扇形的面积2、极坐标系情形、极坐标系情形第25页，本讲稿共44页解解由对称性知总面积由对称性知总面积=4倍第一象倍第一象限部分面积限部分面积第26页，本讲稿共44页解解利用对称性知利用对称性知第27页，本讲稿共44页例例7解解第28页，本讲稿共44页第29页，本讲稿共44页求在直角坐标系下、参数方程形式下、求在直角坐标系下、参数方程形式下、极坐标系下平面图形的面积极坐标系下平面图形的面积.（注意恰当的（注意恰当的选择积分变量选择积分变量有助于简化积分有助于简化积分运算）运算）小结小

7、结第30页，本讲稿共44页 旋转体旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴旋转轴圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台1、旋转体的体积、旋转体的体积二二 体积体积第31页，本讲稿共44页xyo旋转体的体积为旋转体的体积为第32页，本讲稿共44页解解直线直线 方程为方程为第33页，本讲稿共44页第34页，本讲稿共44页解解第35页，本讲稿共44页第36页，本讲稿共44页例例3.计算摆线计算摆线的一拱与的一拱与 y0所围成的图形分别绕所围成的图形分别绕 x 轴轴,y 轴旋转而成的立体体积轴旋转而成的立体体积.解解:绕绕 x 轴旋转而成的体积为轴旋转而成的体积为利用对称性利用对称性第37页，本讲稿共44页绕绕 y 轴旋转而成的体积为轴旋转而成的体积为注意上下限注意上下限注意上下限注意上下限!第38页，本讲稿共44页解解解解例例4第39页，本讲稿共44页第40页，本讲稿共44页第41页，本讲稿共44页“柱壳法柱壳法柱壳法柱壳法”第42页，本讲稿共44页解解体积元素为体积元素为第43页，本讲稿共44页练练 习习第44页，本讲稿共44页