电磁场理论第十周.ppt

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1、电磁场理论第十周课件电磁场理论第十周课件现在学习的是第1页，共80页Reviewn nTo address BVP using the method of complex functionTo address BVP using the method of complex functionn nThe method of complex potentialThe method of complex potentialn nConformal mappingConformal mappingn nThe method of complex potentialThe method of compl

2、ex potentialn nTwo forms of the complex potential(potential in the real part or Two forms of the complex potential(potential in the real part or imaginary part)imaginary part)n nUsing the complex potential to get the electric field intensity Using the complex potential to get the electric field inte

3、nsity(two formulas)(two formulas)n nTips:find the similarity between isopotential line,e line and the Tips:find the similarity between isopotential line,e line and the graphs of the complex function(real and imag part);choose graphs of the complex function(real and imag part);choose appropriate func

4、tion;determine the coefficientsappropriate function;determine the coefficients现在学习的是第2页，共80页Reviewn nConformal mapping methodConformal mapping methodn nProperties of the conformal mapping methodProperties of the conformal mapping methodn nQuantities unchanged in the mapping process(angle,equation fo

5、rm,Quantities unchanged in the mapping process(angle,equation form,potential,charge,capacitance)potential,charge,capacitance)n nQuantities changed:angle when WQuantities changed:angle when W(z)=0;source;electrical intensity;(z)=0;source;electrical intensity;shape of the domain;shape of the domain;n

6、nTips:be familiar with the elementary functions of complex variables,Tips:be familiar with the elementary functions of complex variables,esp.the graphs concerned with the real and imag part.esp.the graphs concerned with the real and imag part.n nChoose the function;calculate in the W plane;change th

7、e variables Choose the function;calculate in the W plane;change the variables back to the original Z plane.back to the original Z plane.现在学习的是第3页，共80页电磁场理论第十周讲稿电磁场理论第十周讲稿4.8 复变函数法复变函数法作业作业：436，37，38现在学习的是第4页，共80页4.8 复变函数法n n概述 n n1、复变函数及其性质 n n2、复势函数法n n例题n n3、保角变换n n4、许瓦兹克利斯多菲变换n n例题现在学习的是第5页，共80页

8、概概 述述复变函数法是求解边界形状比较复杂的复变函数法是求解边界形状比较复杂的二维场二维场二维场二维场的一种有的一种有效方法。效方法。它是利用复变函数中一类称之为解析函数特有的性质来求它是利用复变函数中一类称之为解析函数特有的性质来求解二维静态场。解二维静态场。应用方式有应用方式有两种两种：一是直接利用解析函数的实部或虚：一是直接利用解析函数的实部或虚部作为待求场的解；另一种是利用解析函数的保角部作为待求场的解；另一种是利用解析函数的保角变换性质将一个形状较为复杂的二维势场转化为新变换性质将一个形状较为复杂的二维势场转化为新的坐标系下边界形状较为简单的势场，求解后再代的坐标系下边界形状较为简单

9、的势场，求解后再代回到原平面的变量中。回到原平面的变量中。现在学习的是第6页，共80页一、复变函数及其性质 1、复变数与复变函数、复变数与复变函数复变数复变数复变函数复变函数式中实变数 、均为x、y的单值函数。2、解析函数与柯西、解析函数与柯西-黎曼条件黎曼条件解析函数解析函数 复变函数的导数和实数的定义相似，即其导数为现在学习的是第7页，共80页一、复变函数及其性质 一个复变函数如在某区域内所有的点都存唯一的导一个复变函数如在某区域内所有的点都存唯一的导数，则称为在该区域的解析函数。它是复变函数中数，则称为在该区域的解析函数。它是复变函数中最重要的一类。最重要的一类。柯西柯西柯西柯西-黎曼条

10、件黎曼条件黎曼条件黎曼条件解析函数满足解析函数满足称为柯西称为柯西-黎曼条件黎曼条件 ，可以证明，可以证明此条件是关于为解此条件是关于为解析函数的必要条件析函数的必要条件 。现在学习的是第8页，共80页一、复变函数及其性质 3 3、解析函数的性质、解析函数的性质、解析函数的性质、解析函数的性质(1)(1)调和性调和性将柯西将柯西-黎曼条件分别对黎曼条件分别对x x、y y求导得求导得即即 同理同理这一性质称为调和性，相应的这一性质称为调和性，相应的 、称为调和函数。称为调和函数。或共轭调和函数。或共轭调和函数。现在学习的是第9页，共80页一、复变函数及其性质（2 2）正交性）正交性）正交性）正

11、交性 即即上式说明，上式说明，和和 的曲线相正交。的曲线相正交。（3 3）保角性）保角性）保角性）保角性设在设在z z平面内有两条过平面内有两条过 点的简单光滑曲线点的简单光滑曲线C C 、，它们经过它们经过 变换到变换到t t 平面的像分别为平面的像分别为 。现在学习的是第10页，共80页一、复变函数及其性质 以 表示C、在 点的切线与x轴正向夹角，而以 表示 在 点的切线与x轴正向夹角，如下图CyxZ平面t平面现在学习的是第11页，共80页一、复变函数及其性质 根据导数定义，在 时，有复数相除时，对应的辐角相减，故现在学习的是第12页，共80页一、复变函数及其性质 上式表明两曲线均旋转相同

12、的角上式表明两曲线均旋转相同的角 。故在平面上两曲。故在平面上两曲线的交角不变，即变换具有保角性质线的交角不变，即变换具有保角性质.另外，由另外，由可以说明，对可以说明，对 附近任一给定的小线段附近任一给定的小线段 ，在，在t t平面平面上附近有一与之对应的小线段上附近有一与之对应的小线段 ，其长度被，其长度被“放大放大”了了 倍，且旋转了角倍，且旋转了角 ,上述性质因而称为上述性质因而称为保角变换保角变换保角变换保角变换。现在学习的是第13页，共80页一、复变函数及其性质 保保角角变变换换把把z z平平面面上上的的每每个个点点、弧弧线线或或区区域域以以对对应应的的方方式式变换到变换到t t平

13、面上，且两线间夹角及其旋转方向均不变。平面上，且两线间夹角及其旋转方向均不变。如如z z平平面面上上两两相相互互正正交交曲曲线线对对应应电电场场中中的的电电力力线线和和等等势势线线，则则变变换换到到平平面面上上两两曲曲线线仍仍相相互互正正交交，且且其其有有相相同同的的物物理理意义。意义。这这样样，借借助助于于复复变变函函数数的的保保角角变变换换特特性性，有有可可能能把把一一个个给给定定的的、其其场场域域几几何何特特征征比比较较复复杂杂的的两两维维场场问问题题变变换换为为另另一一个个场场域域几几何何特特征征比比较较简简单单的的两两维维场场问问题。题。现在学习的是第14页，共80页二、复势函数法静

14、态场的标量势函数在无源区满足拉普拉斯方程静态场的标量势函数在无源区满足拉普拉斯方程;复变函数中解析函数的重要性质是实部和虚部均满足拉普复变函数中解析函数的重要性质是实部和虚部均满足拉普拉斯方程，因而代表一个平面场。拉斯方程，因而代表一个平面场。不同的解析函数的实部和虚部代表不同的几何图形，如果不同的解析函数的实部和虚部代表不同的几何图形，如果某一解析函数的实部和虚部代表几何图形与所求的边界某一解析函数的实部和虚部代表几何图形与所求的边界问题相吻合，则解析函数可作为待求势函数的解。问题相吻合，则解析函数可作为待求势函数的解。现在学习的是第15页，共80页二、复势函数法1、复势、复势用复变函数的实

15、部或虚部作为势函数，称为复势。复势。即 或为了进一步求得场强的表达式，设 为势函数或电位函数，为通量函数，可得（第一种情况）现在学习的是第16页，共80页二、复势函数法或由复电势的导数得现在学习的是第17页，共80页二、复势函数法即如果选 ，则所以：现在学习的是第18页，共80页二、复势函数法现在学习的是第19页，共80页二、复势函数法下面考虑 的物理意义。计算穿过曲线AB的通量。左手定则：线元方向、外法线。xyBAdln现在学习的是第20页，共80页二、复势函数法上式表明，函数 确为静电场的通量函数。应用时：1、选择曲线的“正方向”（左手）；2、观察通量函数的位置；3、使用“前前后后”的规则

16、。一个小例子。只要找到复势函数就可以给出电势分布。但，寻找需要的复势没有一定的方法，而必须根据解析函数所代表的曲线族的特征来选取相应的函数作为复势。现在学习的是第21页，共80页二、复势函数法用复势函数法求解势场边值问题的基本思想：用复势函数法求解势场边值问题的基本思想：（1 1）找到一个复势函数，使它的实部或虚部在）找到一个复势函数，使它的实部或虚部在Z Z平面平面所描绘的曲线能与边值问题中等势线或力线相重合。所描绘的曲线能与边值问题中等势线或力线相重合。实际上总是先研究一系列已知的解析函数在实际上总是先研究一系列已知的解析函数在Z Z平面所平面所描绘出实部或虚部的曲线，然后凭我们对所求问题

17、的描绘出实部或虚部的曲线，然后凭我们对所求问题的力线和等势线的了解，找出适合与那种类型的势场边力线和等势线的了解，找出适合与那种类型的势场边值问题，再选取相应的解析函数；值问题，再选取相应的解析函数；（2 2）对相应的势场进行分析计算。所以这种方法要）对相应的势场进行分析计算。所以这种方法要求我们知道常见的一些解析函数的实部和虚部的曲线求我们知道常见的一些解析函数的实部和虚部的曲线现在学习的是第22页，共80页例 题例：夹角为例：夹角为 的两半无限大平面上电势分别为的两半无限大平面上电势分别为求求 内电势和电场强度。内电势和电场强度。分析：我们知道，对数函数中分析：我们知道，对数函数中 曲线表

18、示曲线表示r r=常数的一族圆；常数的一族圆；曲线表示曲线表示 =常数的径向平面族。常数的径向平面族。现在学习的是第23页，共80页解：设 ，则选 r=1时，则选 则例 题现在学习的是第24页，共80页例 题或现在学习的是第25页，共80页n n如图所示，在坐标原点处放置一个无限长的带电直导线，其电荷线密度为 ，用复势函数法确定其周围的电势及通量函数分布AxyBEOn现在学习的是第26页，共80页（高斯定理）现在学习的是第27页，共80页n n在原点处放置一无限长的电流I，试用复势函数法确定其周围的势函数和通量函数 xyABOH现在学习的是第28页，共80页例 题由安培环路定律现在学习的是第2

19、9页，共80页Z平面上夹角为 ()的两半无限大合成的角形域变换为w平面上的上半平面，则变换为 当 对应变换则现在学习的是第30页，共80页复电势则 取虚轴的通量为零和实轴 的电势为零,则二常数为零即 若 则故现在学习的是第31页，共80页例例 求扇形电阻片的电阻求扇形电阻片的电阻现在学习的是第32页，共80页则故因通量为故现在学习的是第33页，共80页三、保角变换从复变函数的知识可知：如果函数u(x,y)在z平面上是拉普拉斯的解，通过保角变换后变成 、的函数，此函数在t平面上仍满足拉普拉斯方程；xyOZ平面Ot平面现在学习的是第34页，共80页三、保角变换n n角度不变；角度不变；n n方程形

20、式不变；方程形式不变；n n电势不变；电势不变；n n总电荷不变；总电荷不变；n n电容不变；电容不变；n n线度改变；线度改变；n n源的强度改变；源的强度改变；n n电场强度改变；电场强度改变；n n边界形状改变；边界形状改变；n n导数为导数为0 0处角度改变；处角度改变；现在学习的是第35页，共80页三、保角变换常见的几种保角变换常见的几种保角变换常见的几种保角变换常见的几种保角变换1 1、幂函数变换、幂函数变换令令则则该变换的特点是把该变换的特点是把z z平面的圆周变换成平面的圆周变换成t t平面的圆周。平面的圆周。特别是单位圆周变换成单位圆周特别是单位圆周变换成单位圆周 ；把以原点

21、为顶点；把以原点为顶点的角形域变换成以原点为顶点的角形域，但其张角为的角形域变换成以原点为顶点的角形域，但其张角为原来的的原来的的n n倍。倍。现在学习的是第36页，共80页讨论变换若均匀场是t平面上具有平行于两坐标轴的直线族，则此变换将t平面的正实轴变换成z平面上的正实轴，其负实轴却因负值的方根变成z平面上的正虚轴，这样t平面的上半平面变换成z平面的第一象限，如图所示。三、保角变换 y xz平面t平面现在学习的是第37页，共80页三、保角变换 由 得表明平行于 轴的直线族将变换为等轴双曲线，而平行于 轴的直线族变换为与之相互垂直的另一等轴曲线族。的实轴与x、y轴重合，表示电势为零。=常数表示

22、等势线，常数表示通量线。现在学习的是第38页，共80页n n例例 求角形域中线电荷的电势求角形域中线电荷的电势采用极坐标系，w平面上的电势为现在学习的是第39页，共80页以 代入得现在学习的是第40页，共80页当 时，有其中现在学习的是第41页，共80页当 时，有与镜像法的结果相同。现在学习的是第42页，共80页2、对数变换 对数变换是常用的一种变换。对数变换是指数变换的逆变换。研究指数变换令 ，得可知：z平面上的直线常数变换到t 平面上的圆周 常数，而直线y常数变换成射线 常数。因此，指数变换的特点是：把水平的带形城变换成角形区域。三、保角变换 t平面z平面xy现在学习的是第43页，共80页

23、三、保角变换对于变换对于变换取极坐标系取极坐标系则则故故而复电位而复电位即即可见：在可见：在t t 平面上平面上 常数的直线在常数的直线在z z平面表示一族平面表示一族圆；圆；常数表示一族径向射线。常数表示一族径向射线。t平面 yxz平面现在学习的是第44页，共80页下面我们着重阐明三种基本场。下面我们着重阐明三种基本场。（1 1）线电流场线电流场今在原点给一纵向电流今在原点给一纵向电流I I,当从当从0 0变至变至 时，线电时，线电流的标量磁位流的标量磁位 的变化为的变化为与安培环流定律与安培环流定律比较可得比较可得故复电位故复电位三、保角变换三、保角变换现在学习的是第45页，共80页 （2

24、 2）线电荷源线电荷源 若将通量函数与势函数互换，则复电位若将通量函数与势函数互换，则复电位 此时，此时，常数与电力线相合，表达了环绕电荷常数与电力线相合，表达了环绕电荷 的路径切割所有由电荷散发出来的通量线。而的路径切割所有由电荷散发出来的通量线。而 常数与线电荷的等势面相合。常数与线电荷的等势面相合。三、保角变换三、保角变换现在学习的是第46页，共80页 故故 复电位复电位 (3)(3)两个半无限大等势平面的场两个半无限大等势平面的场 3.3.三角函数变换三角函数变换 现在研究三角函数变换现在研究三角函数变换 三、保角变换三、保角变换00现在学习的是第47页，共80页三、保角变换将其展开得

25、将其展开得即即将两式平方相加、相减得将两式平方相加、相减得可可见见：常常数数表表出出一一族族椭椭圆圆其其半半焦焦距距为为c c；半半长长轴轴为为 而而 =常常数数表表出出一一族族共共焦焦双双曲曲线线，其其半半焦距也为焦距也为c c，半实轴为，半实轴为 。现在学习的是第48页，共80页三、保角变换因此，在t平面上任一平行于 轴的直线变换为平面上的椭圆，任一平行于 轴的直线变换为z平面上的一条双曲线。t平面z平面 yx现在学习的是第49页，共80页例题例题n n椭圆同轴线内导体的外表面与外导体的内表面为共焦椭圆柱面。若内导体外表面的半长、短轴分别为a1、b1，外导体内表面的半长、短轴分别为a2、b

26、2，两导体间填充介电常数为的介质。试求此椭圆同轴线单位长度的电容。a1a2b2b1xy现在学习的是第50页，共80页例题解：设内外两导体间电势为 .由于所给问题的边界与反正弦函数的实部所表示的曲线(即共焦椭圆)重合，故令则故现在学习的是第51页，共80页例题两板间的电压为极板上单位长度的电量为电容为现在学习的是第52页，共80页例题解法解法2：用保角变换法：用保角变换法由于等势面为椭圆，故可采用反正弦由于等势面为椭圆，故可采用反正弦 或反余弦函数变换来进行计算。或反余弦函数变换来进行计算。yx现在学习的是第53页，共80页例题将将z平面上的椭圆变成平面上的椭圆变成t平面上的直线区域，平面上的直

27、线区域，其宽度为其宽度为 。其间的电势仍满足。其间的电势仍满足所以，利用平行板电容器计算公式，得单所以，利用平行板电容器计算公式，得单位长度的电容为位长度的电容为其中其中现在学习的是第54页，共80页反三角变换的延伸反三角变换的延伸z平面 yxx yz平面 yx现在学习的是第55页，共80页4.分式线形变换分式线形变换一般形式一般形式(1)直线变换和偶极子直线变换和偶极子 研究反演变换研究反演变换 将其有理化得将其有理化得三、保角变换三、保角变换现在学习的是第56页，共80页故有故有故有故有得得得得当当当当 、为常数时，在平面上各为一族圆。即：平面为常数时，在平面上各为一族圆。即：平面为常数时

28、，在平面上各为一族圆。即：平面为常数时，在平面上各为一族圆。即：平面上平行两坐标轴的直线变换成上平行两坐标轴的直线变换成上平行两坐标轴的直线变换成上平行两坐标轴的直线变换成z z平面的圆族。平面的圆族。平面的圆族。平面的圆族。、为为为为常数的两族圆均与轴相切与原点，如下图。常数的两族圆均与轴相切与原点，如下图。常数的两族圆均与轴相切与原点，如下图。常数的两族圆均与轴相切与原点，如下图。三、保角变换三、保角变换现在学习的是第57页，共80页这一场图与偶极子的通量线及等势线组成的场图这一场图与偶极子的通量线及等势线组成的场图这一场图与偶极子的通量线及等势线组成的场图这一场图与偶极子的通量线及等势线

29、组成的场图是相同的。反演变换将均匀场是相同的。反演变换将均匀场是相同的。反演变换将均匀场是相同的。反演变换将均匀场(平面平面平面平面)与偶极子场与偶极子场与偶极子场与偶极子场联系起来了。联系起来了。联系起来了。联系起来了。三、保角变换三、保角变换z平面t平面现在学习的是第58页，共80页(2)圆的变换圆的变换t平面上圆心在平面上圆心在 ，半径为，半径为r的圆，其方程为的圆，其方程为经变换经变换得得整理得整理得三、保角变换三、保角变换现在学习的是第59页，共80页此为此为z平面上的圆方程。其半径为平面上的圆方程。其半径为 ，圆心，圆心为为 ，它是由它是由t平面上半径为平面上半径为r，圆心在，圆心

30、在 的圆变换的圆变换得来的得来的.如如 ，变换后的圆全位于，变换后的圆全位于z平面的右平面的右半平面内。半平面内。如如 ，此圆在，此圆在t平面上通过原点，变换到平面上通过原点，变换到z平面上为一直线，表示为平面上为一直线，表示为 三、保角变换三、保角变换现在学习的是第60页，共80页保角变换保角变换现在学习的是第61页，共80页如如如如 ，变换后的圆，其圆心位于负实，变换后的圆，其圆心位于负实，变换后的圆，其圆心位于负实，变换后的圆，其圆心位于负实轴上，图形仍可能延展到右半平面上。轴上，图形仍可能延展到右半平面上。轴上，图形仍可能延展到右半平面上。轴上，图形仍可能延展到右半平面上。因此，如因此

31、，如因此，如因此，如z z平面上原点选取合适，有可能将任意平面上原点选取合适，有可能将任意平面上原点选取合适，有可能将任意平面上原点选取合适，有可能将任意两个非同心圆变换为两个非同心圆变换为两个非同心圆变换为两个非同心圆变换为t t平面上两同心圆。平面上两同心圆。平面上两同心圆。平面上两同心圆。z z平面的平面的平面的平面的这两个非同心圆可以是一个圆在另一个圆内，这两个非同心圆可以是一个圆在另一个圆内，这两个非同心圆可以是一个圆在另一个圆内，这两个非同心圆可以是一个圆在另一个圆内，两圆偏心；也可以是一个圆在另一个圆之外；两圆偏心；也可以是一个圆在另一个圆之外；两圆偏心；也可以是一个圆在另一个圆

32、之外；两圆偏心；也可以是一个圆在另一个圆之外；甚至可以是一个圆靠近蜕化为直线的另一个圆。甚至可以是一个圆靠近蜕化为直线的另一个圆。甚至可以是一个圆靠近蜕化为直线的另一个圆。甚至可以是一个圆靠近蜕化为直线的另一个圆。若某场的边界属于上述三种情况之一，则用变若某场的边界属于上述三种情况之一，则用变若某场的边界属于上述三种情况之一，则用变若某场的边界属于上述三种情况之一，则用变换法可求解附有适当边界条件的同心圆边界所换法可求解附有适当边界条件的同心圆边界所换法可求解附有适当边界条件的同心圆边界所换法可求解附有适当边界条件的同心圆边界所对应的场。对应的场。对应的场。对应的场。三、保角变换三、保角变换现

33、在学习的是第62页，共80页5.简单的儒可夫斯基变换简单的儒可夫斯基变换取取式中式中A、a均为常数，此式可改写为均为常数，此式可改写为得得三、保角变换三、保角变换现在学习的是第63页，共80页三、保角变换三、保角变换常数，对应椭圆，焦点为常数，对应双曲线，焦点为 ，对应两条射线；，对应一个线段。现在学习的是第64页，共80页 将将t和和z分分别别写写成成实实部部和和虚虚部部的的形形式式，便便可可以以证证明明，此变换能将此变换能将t平面实轴上大于平面实轴上大于 和小于和小于 部部分分变变换换为为z平平面面的的实实轴轴；而而t平平面面实实轴轴上上 一一段段 则则变变换换到到z平平面面上上，成成为为

34、圆圆心心在在z0，半半径为径为a的一个圆。的一个圆。三、保角变换三、保角变换z平面a-ayxt平面现在学习的是第65页，共80页 更一般的变换式为更一般的变换式为 它它可可以以将将t t平平面面实实轴轴上上大大于于 和和小小于于 的的区区域域变变为为z平平面面的的实实轴轴；t平平面面实实轴轴上上一一段段 则则变变换换到到z平面上椭圆平面上椭圆，其方程为，其方程为三、保角变换三、保角变换现在学习的是第66页，共80页用许瓦兹克利斯多菲变换可将用许瓦兹克利斯多菲变换可将z平面上的多角平面上的多角形区域边界变换为形区域边界变换为t平面上的实轴，将多角形内平面上的实轴，将多角形内域变换为平面的上半平面

35、，如图所示域变换为平面的上半平面，如图所示。四、许瓦兹克利斯多菲变换四、许瓦兹克利斯多菲变换t平面abcdOz平面ABCDyx现在学习的是第67页，共80页 在在在在平平平平面面面面的的的的实实实实轴轴轴轴上上上上线线线线段段段段abab，bcbc，,cd,cd，分分分分别别别别和和和和平平平平面面面面上上上上多多多多角角角角形形形形的的的的边边边边界界界界ABAB，BCBC，CDCD，对对对对应应应应；实实实实轴轴轴轴上上上上的的的的点点点点a a，b b，c c，d d分分分分别别别别和和和和多多多多角角角角形形形形顶顶顶顶点点点点A A，B B，C C，D D，对应；上半平面与多角形内的

36、空间相对应。对应；上半平面与多角形内的空间相对应。对应；上半平面与多角形内的空间相对应。对应；上半平面与多角形内的空间相对应。实实实实际际际际计计计计算算算算时时时时，是是是是采采采采取取取取把把把把平平平平面面面面的的的的实实实实轴轴轴轴变变变变为为为为平平平平面面面面的的的的多多多多角角角角形形形形边界的方法。变换函数由积分下式而得边界的方法。变换函数由积分下式而得边界的方法。变换函数由积分下式而得边界的方法。变换函数由积分下式而得四、许瓦兹克利斯多菲变换四、许瓦兹克利斯多菲变换现在学习的是第68页，共80页 是多角形的内角，式中乘积项的数目是多角形的内角，式中乘积项的数目与多角形边界顶点

37、的个数相同。与多角形边界顶点的个数相同。实际变换中，将变换中的内角实际变换中，将变换中的内角 用用它们外角它们外角 代之，从而给出了在平面上的边界在有关各顶代之，从而给出了在平面上的边界在有关各顶点上旋转的角度。这样，变换变为点上旋转的角度。这样，变换变为四、许瓦兹克利斯多菲变换四、许瓦兹克利斯多菲变换现在学习的是第69页，共80页四、许瓦兹克利斯多菲变换该方向的辐角直接确定了描绘多角形边界的该方向的辐角直接确定了描绘多角形边界的dz单元的斜率，即平面上边界的变化，此辐角为单元的斜率，即平面上边界的变化，此辐角为现在讨论当现在讨论当t从一从一 变至变至 时，时，dz方向的变化方向的变化 当当

38、时，上式中时，上式中 均为均为负实数，其辐角均等于负实数，其辐角均等于 ，因此，因此现在学习的是第70页，共80页四、许瓦兹克利斯多菲变换为常数，在为常数，在z平面上给出一条直线。平面上给出一条直线。当当t 经过点经过点a未到达点未到达点b时，时，变为正实数，其变为正实数，其辐角为零，得辐角为零，得现在学习的是第71页，共80页四、许瓦兹克利斯多菲变换表示线段表示线段dz的倾角增加了的倾角增加了 ，对应，对应z平面上边界平面上边界旋转角旋转角 ，仍得一条直线。而当，仍得一条直线。而当t经过经过b点时，点时，从负变正从负变正.，arg 从从 变为变为0，此时，此时辐角为辐角为 即在即在z平面上边

39、界旋转角平面上边界旋转角 ，以后，以后t在在b、c之间所之间所对应平面上的线段就保持此方问不变。对应平面上的线段就保持此方问不变。现在学习的是第72页，共80页四、许瓦兹克利斯多菲变换依次类推，可将整个多角形描出。可见依次类推，可将整个多角形描出。可见 决定在决定在z平面上倾角发生变换的位置。平面上倾角发生变换的位置。显然变换函数不包括显然变换函数不包括 点此点虽然对点此点虽然对应平面上的某一顶点。应平面上的某一顶点。变换的模决定变换的模决定dt的的“放大放大”倍数，也决定了由倍数，也决定了由t平平面实轴上的线段变换到面实轴上的线段变换到z平面上的线段长度。平面上的线段长度。须适当选择常数须适

40、当选择常数 的值，以使经变换所的值，以使经变换所得多角形与设定的多角形一致。得多角形与设定的多角形一致。现在学习的是第73页，共80页例 题例例 将将t平面上的实轴变换为平面上的实轴变换为W平面上的两平面上的两 无限长平行线。无限长平行线。W平面ABCt平面abc现在学习的是第74页，共80页例 题我们把我们把W平面上的两平行线想象为相交于无穷平面上的两平行线想象为相交于无穷远处远处C点，且右侧分别延伸至无穷远处点，且右侧分别延伸至无穷远处A和和B点。点。这样，在这样，在W平面上，我们得到的是内角为零的平面上，我们得到的是内角为零的角形结构角形结构 ，。在平面上，令。在平面上，令a、b、c各点

41、分别与各点分别与W平面上的平面上的A,B,C点对应。则点对应。则现在学习的是第75页，共80页例 题积分得积分得易证，在这种变换下，易证，在这种变换下，W平面上平面上 常数与常数与常数的直线分别变为常数的直线分别变为t平面上以原点为中心的圆平面上以原点为中心的圆族和射线族；族和射线族；特别是，特别是，W平面上的平面上的CA对应于对应于 ，变换至平面，变换至平面上的上的ca，则对应于由，则对应于由C点发出、角度为点发出、角度为 的射线。的射线。由此可知由此可知 ，故，故现在学习的是第76页，共80页例题例题n n如果将t平面上的实轴变换为z平面上的直角二面角，则又是一种什么情况呢？设该直角二面角

42、与第一象限的两坐标轴重合。现在学习的是第77页，共80页总结总结n n1、镜像法适用于平面平面和圆形导体圆形导体边界，以及介质间的平面边界，其关键是镜像的个数个数、大小大小和位置位置，原场源处待求区域的势或场在撤去边界后，使其介质充满整个区域，由原场源及其镜像共同确定。n n2、分离变量法可使拉普拉斯偏微分方程分离为几个常微分方程，其通解是这几现在学习的是第78页，共80页总结总结 个微分方程解的乘积，其中的分离常数分离常数和积积分常数都由边界条件分常数都由边界条件（包括自然边界条件）确定确定，由此得到原方程和相应边界条件的特解特解。直角坐标系、圆柱坐标系及球坐标系分别适用于矩形域、圆柱形域及球形域，或其一部分区域。n n3、格林函数法适用于求解势函数的泊松方程和拉普拉斯方程。待求势函数由包现在学习的是第79页，共80页总结总结 括格林函数的积分方程给出，即由给定场源场源和边值条件边值条件及格林函数格林函数可求得待求势函数势函数，而格林函数可由相同边界的镜像法得出。故格林函数法可解决平面、矩形和圆形导体边界势函数问题。n n4、复变函数法仅适用于平行平面场平行平面场。由保角变保角变换函数换函数将复杂边界变换为简单边界，由复势复势函数函数求得复杂边界的势或场。现在学习的是第80页，共80页