电磁场与电磁波课件.ppt

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1、电磁场与电磁波课件现在学习的是第1页，共48页场的基本概念1.什么是场？重力场、温度场、电磁场、a.从数学角度：场是给定区域内各点数值的集合，这些数值规定了该区域内一个特定量的特性。比如：T 是温度场中的物理量，T 就是温度场 b.从物理角度：场是遍及一个被界定的或无限扩展的空间内的，能够产生某种物理效应的特殊的物质，场是具有能量的。现在学习的是第2页，共48页2.场的分类 a.按物理量的性质分：标量场：描述场的物理量是标量。矢量场：描述场的物理量是矢量。b.按场量与时间的关系分：静态场：场量不随时间发生变化的场。动态场：场量随时间的变化而变化的场。动态场也称为时变场。现在学习的是第3页，共4

2、8页一、矢量和标量的定义一、矢量和标量的定义1.标量：标量：只有大小，没有方向的物理量。矢量表示为：所以：一个矢量就表示成矢量的模与单位矢量的乘积。其中：为矢量的模，表示该矢量的大小。为单位矢量，表示矢量的方向，其大小为1。2.矢量：矢量：不仅有大小，而且有方向的物理量。如:力 、速度 、电场 等如：温度 T、长度 L 等现在学习的是第4页，共48页例1：在直角坐标系中，x 方向的大小为 6 的矢量如何表示？图示法：力的图示法：现在学习的是第5页，共48页二、矢量的运算法则1.加法加法:矢量加法是矢量的几何和,服从平行四边形规则。a.满足交换律：b.满足结合律：现在学习的是第6页，共48页三个

3、方向的单位矢量用 表示。根据矢量加法运算：所以：在直角坐标系下的矢量表示:其中：现在学习的是第7页，共48页矢量：模的计算：单位矢量：方向角与方向余弦：在直角坐标系中三个矢量加法运算：现在学习的是第8页，共48页2.减法：换成加法运算逆矢量：和 的模相等，方向相反，互为逆矢量。在直角坐标系中两矢量的减法运算：推论：任意多个矢量首尾相连组成闭合多边形，其矢量和必为零。现在学习的是第9页，共48页3.3.乘法：乘法：（1）标量与矢量的乘积：方向不变，大小为|k|倍方向相反，大小为|k|倍（2）矢量与矢量乘积分两种定义a.标量积（点积）：两矢量的点积含义：一矢量在另一矢量方向上的投影与另一矢量模的乘

4、积，其结果是一标量。现在学习的是第10页，共48页在直角坐标系中，已知三个坐标轴是相互正交的，即有两矢量点积：结论:两矢量点积等于对应分量的乘积之和。推论1：满足交换律推论2：满足分配律推论3：当两个非零矢量点积为零,则这两个矢量必正交。现在学习的是第11页，共48页推论1：不服从交换律：推论2：服从分配律：推论3：不服从结合律：推论4：当两个非零矢量叉积为零，则这两个矢量必平行。b.矢量积（叉积）：含义：两矢量叉积，结果得一新矢量，其大小为这两个矢量组成的平行四边形的面积，方向为该面的法线方向，且三者符合右手螺旋法则。现在学习的是第12页，共48页在直角坐标系中，两矢量的叉积运算如下：两矢量

5、的叉积又可表示为：xyzo现在学习的是第13页，共48页（3）三重积：三个矢量相乘有以下几种形式：矢量，标量与矢量相乘。标量，标量三重积。矢量，矢量三重积。a.标量三重积法则：在矢量运算中,先算叉积,后算点积。定义：含义：标量三重积结果为三矢量构成的平行六面体的体积。现在学习的是第14页，共48页注意：先后轮换次序。推论：三个非零矢量共面的条件。在直角坐标系中：b.矢量三重积：现在学习的是第15页，共48页例2：求：中的标量 a、b、c。解：则：设现在学习的是第16页，共48页例3：已知求：确定垂直于 、所在平面的单位矢量。解：已知所得矢量垂直于 、所在平面。现在学习的是第17页，共48页已知

6、A点和B点对于原点的位置矢量为 和 ，求：通过A点和B点的直线方程。例4：其中：k 为任意实数。xyzCAB解：在通过A点和B点的直线方程上，任取一点C，对于原点的位置 矢量为 ，则现在学习的是第18页，共48页三、矢量微分元：线元、面元、体元例：其中：和 称为微分元。1.直角坐标系在直角坐标系中，坐标变量为(x,y,z)，如图，做一微分体元。线元：面元：体元：现在学习的是第19页，共48页2.圆柱坐标系在圆柱坐标系中，坐标变量为 ，如图，做一微分体元。线元：面元：体元：现在学习的是第20页，共48页3.球坐标系在球坐标系中，坐标变量为 ，如图，做一微分体元。线元：面元：体元：现在学习的是第2

7、1页，共48页a.在直角坐标系中，x,y,z 均为长度量，其拉梅系数均为1，即：b.在柱坐标系中，坐标变量为 ,其中 为角度，其对应的线元 ，可见拉梅系数为：c.在球坐标系中，坐标变量为 ，其中 均为 角度，其拉梅系数为：注意：现在学习的是第22页，共48页 在正交曲线坐标系中，其坐标变量 不一定都是长度，其线元必然有一个修正系数，这些修正系数称为拉梅系数，若已知其拉梅系数 ，就可正确写出其线元、面元和体元。体元：线元：面元：正交曲线坐标系：现在学习的是第23页，共48页四、标量场的梯度四、标量场的梯度1.标量场的等值面可以看出：标量场的函数是单值函数，各等值面是互不 相交的。以温度场为例：热

8、源等温面现在学习的是第24页，共48页b.梯度定义：标量场中某点梯度的大小为该点最大的方向导数，其方向为该点所在等值面的法线方向。数学表达式：2.标量场的梯度a.方向导数：空间变化率，称为方向导数。为最大的方向导数。标量场的场函数为现在学习的是第25页，共48页计算：在直角坐标系中：所以：梯度也可表示：现在学习的是第26页，共48页在柱坐标系中：在球坐标系中：在任意正交曲线坐标系中：在不同的坐标系中，梯度的计算公式：在直角坐标系中：现在学习的是第27页，共48页五、矢量场的散度五、矢量场的散度1.1.矢线（场线）：矢线（场线）：在矢量场中，若一条曲线上每一点的切线方向与场矢量在该点的方向重合，

9、则该曲线称为矢线。2.2.通量：通量：定义：如果在该矢量场中取一曲面S，通过该曲面的矢线量称为通量。表达式：若曲面为闭合曲面：+-现在学习的是第28页，共48页讨论：讨论：a.如果闭合曲面上的总通量 说明穿出闭合面的通量大于穿入曲面的通量，意味着闭合面内存在正的通量源。b.如果闭合曲面上的总通量 说明穿入的通量大于穿出的通量，那么必然有一些矢线在曲面内终止了，意味着闭合面内存在负源或称沟。c.如果闭合曲面上的总通量说明穿入的通量等于穿出的通量。现在学习的是第29页，共48页3.3.散度：散度：a.定义：矢量场中某点的通量密度称为该点的散度。b.表达式：c.散度的计算：在直角坐标系中，如图做一封

10、闭曲面，该封闭曲面由六个平面组成。矢量场 表示为：现在学习的是第30页，共48页在 x方向上：计算穿过 和 面的通量为因为：则：在 x 方向上的总通量：现在学习的是第31页，共48页在 z 方向上,穿过 和 面的总通量：整个封闭曲面的总通量：同理：在 y方向上,穿过 和 面的总通量：现在学习的是第32页，共48页该闭合曲面所包围的体积：通常散度表示为：4.4.散度定理：散度定理：物理含义：穿过一封闭曲面的总通量等于矢量散度的体积分。现在学习的是第33页，共48页柱坐标系中：球坐标系中：正交曲线坐标系中：直角坐标系中：常用坐标系中，散度的计算公式现在学习的是第34页，共48页六、矢量场的旋度六、

11、矢量场的旋度1.1.环量环量：在矢量场中，任意取一闭合曲线，将矢量沿该曲线积分称之为环量。可见：环量的大小与环面的方向有关。2.2.旋度旋度:定义：一矢量其大小等于某点最大环量密度，方向为该环 的法线方向，那么该矢量称为该点矢量场的旋度。表达式：现在学习的是第35页，共48页旋度计算：以直角坐标系为例，一旋度矢量可表示为：场矢量：其中：为x 方向的环量密度。旋度可用符号表示：现在学习的是第36页，共48页其中：可得：同理：所以：旋度公式：现在学习的是第37页，共48页为了便于记忆，将旋度的计算公式写成下列形式:类似地，可以推导出在广义正交坐标系中旋度的计算公式：对于柱坐标、球坐标，已知其拉梅系

12、数，代入公式即可写出旋度的计算公式。现在学习的是第38页，共48页3.3.斯托克斯定理：斯托克斯定理：物理含义：物理含义：一个矢量场旋度的面积分等于该矢量沿此曲面周界的曲线一个矢量场旋度的面积分等于该矢量沿此曲面周界的曲线积分。积分。现在学习的是第39页，共48页七、重要的场论公式七、重要的场论公式1.1.两个零恒等式两个零恒等式 任何标量场梯度的旋度恒为零。任何矢量场的旋度的散度恒为零。现在学习的是第40页，共48页在圆柱坐标系中：在球坐标系中：在广义正交曲线坐标系中：2.2.拉普拉斯算子拉普拉斯算子 在直角坐标系中：现在学习的是第41页，共48页3.3.常用的矢量恒等式常用的矢量恒等式 现

13、在学习的是第42页，共48页8 8、亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理 亥亥姆姆霍霍兹兹定定理理：若若矢矢量量场场 在在无无限限空空间间中中处处处处单单值值，且且其其导导数数连连续续有有界界，而而源源分分布布在在有有限限空空间间区区域域中中，则则矢矢量量场场由由其其散散度度和和旋旋度度唯唯一一确确定定，并并且且可可以以表表示示为为一一个个标标量量函函数数的的梯梯度度和和一一个个矢矢量量函函数数的的旋旋度度之之和和，即即 证证明明：假假设设在在无无限限空空间间中中有有两两个个矢矢量量函函数数 和和 ，它它们们具具有有相同的散度和旋度。但这两个矢量函数不等，令相同的散度和旋度。但这两个矢量函数不等，令 现在

14、学习的是第43页，共48页 要证明矢量场要证明矢量场由其散度和旋度由其散度和旋度唯一唯一确定确定，即矢量即矢量 和矢量和矢量是同一矢量，是同一矢量，应该为零矢量。应该为零矢量。因为因为 和和 有相同的散度和旋度有相同的散度和旋度现在学习的是第44页，共48页由矢量场论中梯度的散度恒等于零由矢量场论中梯度的散度恒等于零,令令 由在无限空间中拉普拉斯方程解的有限性及由在无限空间中拉普拉斯方程解的有限性及 函数的任意函数的任意性，知性，知 只能是一个常数，即只能是一个常数，即 ，。现在学习的是第45页，共48页无源（散）场与无旋场无源（散）场与无旋场无源（散）场无源（散）场 若一矢量场若一矢量场 中

15、，其散度中，其散度处处处处为零，即为零，即则该场称为则该场称为无散场无散场，有，有由矢量场论知：旋度的散度等于零，所以由矢量场论知：旋度的散度等于零，所以（称为矢势）称为矢势）现在学习的是第46页，共48页无旋场无旋场 若一矢量场若一矢量场 中，其旋度中，其旋度处处处处为零，即为零，即则该场称为则该场称为无旋场无旋场，有，有由矢量场论知：梯度的旋度等于零，所以由矢量场论知：梯度的旋度等于零，所以 称为标（位）势称为标（位）势现在学习的是第47页，共48页 一一般般而而言言，在在无无限限空空间间中中一一个个既既有有散散度度又又有有旋旋度度的的矢矢量量场场，可表示为一个无旋场可表示为一个无旋场 和一个无散场和一个无散场 之和，之和，即即 现在学习的是第48页，共48页