无穷积分的性质与收敛判别讲稿.ppt

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1、返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页关于无穷积分的性质与收敛判别第一页，讲稿共三十八页哦返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页一、无穷积分的性质第二页，讲稿共三十八页哦返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页第三页，讲稿共三十八页哦返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页证证极限的柯西准则极限的柯西准则,此等价于此等价于收敛的充要条件是收敛的充要条件是:(无穷积分收敛的柯西准则无穷积分收敛的柯西准则)无穷积分无穷积分 定理定理11.111.1第四页，讲稿共三十八页哦返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页性质性质1为任意常数为任意常数,则则 即即根

2、据反常积分定义根据反常积分定义,容易导出以下性质容易导出以下性质1 和性质和性质2.第五页，讲稿共三十八页哦返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页性质性质2第六页，讲稿共三十八页哦返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页h(x)在任意在任意 a,u上可积上可积,且且证证 因为因为收敛收敛,由柯西准则的必要性由柯西准则的必要性,例例1 1,f(x),g(x),若若第七页，讲稿共三十八页哦返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页再由柯西准则的充分性再由柯西准则的充分性,第八页，讲稿共三十八页哦返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页若无穷积分若无穷积分以下定理可用

3、来判别一般函数无穷积分的收敛性以下定理可用来判别一般函数无穷积分的收敛性.何何有限区间有限区间 a,u上可积上可积,性质性质3 3 (绝对收敛的无穷积分必收敛绝对收敛的无穷积分必收敛)若若 f 在任在任第九页，讲稿共三十八页哦返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页因此因此再由柯西准则的充分性再由柯西准则的充分性,又对任意又对任意 证证由柯西准则的必要性由柯西准则的必要性,对对因因第十页，讲稿共三十八页哦返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页收敛的无穷积分收敛的无穷积分不一定是绝对收敛的不一定是绝对收敛的.例例2的收敛性的收敛性.判别判别解解 由于由于第十一页，讲稿共三十八页

4、哦返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页二、非负函数无穷积分的收敛判别法引理引理(非负函数无穷积分的判别法非负函数无穷积分的判别法)设定义在设定义在 上的非负函数上的非负函数 f 在任何在任何收敛的充要条件是收敛的充要条件是:第十二页，讲稿共三十八页哦返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页证证设设增增函数的收敛判别准则函数的收敛判别准则,从而从而 F(u)是单调递增的是单调递增的由单调递由单调递第十三页，讲稿共三十八页哦返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页非负函数非负函数 f,g 在任何有限区间在任何有限区间 a,u 上可积上可积,且且定理定理11.2(比较判别

5、法比较判别法)设定义在设定义在 上的两个上的两个存在存在 满足满足第十四页，讲稿共三十八页哦返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页证证 由非负函数无穷积分的判别法由非负函数无穷积分的判别法,第二个结论是第一个结论的逆否命题第二个结论是第一个结论的逆否命题,因此也成立因此也成立.第十五页，讲稿共三十八页哦返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例3 判别判别的收敛性的收敛性.解解显然显然第十六页，讲稿共三十八页哦返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页设设 f(x),g(x)是是 上的非负连续函数上的非负连续函数.证证 例例4 4 证证 由于由于 第十七页，讲稿共三十

6、八页哦返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页推论推论1 1 设非负函数设非负函数 f 和和 g 在任何在任何 a,u 上可积上可积,且且第十八页，讲稿共三十八页哦返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页证证 即即 第十九页，讲稿共三十八页哦返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页第二十页，讲稿共三十八页哦返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页推论推论2 设设 f 是定义在是定义在 上的非负函数上的非负函数,在任何在任何限区间限区间 a,u 上可积上可积.推论推论3设设 f 是定义在是定义在 上的非负函数上的非负函数,在任何有在任何有说明说明:推论推论3 3是

7、推论是推论2 2的极限形式的极限形式.第二十一页，讲稿共三十八页哦返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例5 讨论讨论的收敛性的收敛性(k 0).解解(i)第二十二页，讲稿共三十八页哦返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页Ex1解解所给广义积分收敛所给广义积分收敛Ex2解解根据柯西极限审敛法根据柯西极限审敛法，所给广义积分发散，所给广义积分发散第二十三页，讲稿共三十八页哦返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页Ex3解解根据柯西极限审敛法根据柯西极限审敛法，所给广义积分发散，所给广义积分发散第二十四页，讲稿共三十八页哦返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前

8、页第二十五页，讲稿共三十八页哦返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页证证Ex6:Ex6:用比较审敛法证明：用比较审敛法证明：即即收敛收敛.第二十六页，讲稿共三十八页哦返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页Ex7解解所以所给广义积分收敛所以所给广义积分收敛.第二十七页，讲稿共三十八页哦返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页三、一般函数无穷积分的判别法狄利克雷狄利克雷判别法和阿贝尔判别法判别法和阿贝尔判别法.定理定理11.3(狄利克雷判别法）狄利克雷判别法）证证故故第二十八页，讲稿共三十八页哦返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页使得使得因此因此,由柯西准则

9、，由柯西准则，第二十九页，讲稿共三十八页哦返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页证证 证法证法1定理定理11.4(阿贝尔判别法阿贝尔判别法)由由 g 的单调性的单调性,用积分第二中值定理，对于任意的用积分第二中值定理，对于任意的 使得使得第三十页，讲稿共三十八页哦返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页由柯西准则由柯西准则,第三十一页，讲稿共三十八页哦返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页证法证法2由狄利克雷判别法由狄利克雷判别法收敛收敛,所以所以第三十二页，讲稿共三十八页哦返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例6的收敛性的收敛性.收敛收敛.解解由狄利克雷判别法推知由狄利克雷判别法推知另一方面，另一方面，第三十三页，讲稿共三十八页哦返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页狄利克雷判别狄利克雷判别法条件法条件,是收敛的；是收敛的；第三十四页，讲稿共三十八页哦返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页类似可证类似可证:第三十五页，讲稿共三十八页哦返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页当x+时,被积函数即使不趋于0,甚至无界,无穷积分仍有可能收敛.第三十六页，讲稿共三十八页哦返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页感谢大家观看第三十八页，讲稿共三十八页哦