电磁场与电磁波时变电磁场.ppt

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1、电磁场与电磁波时变电磁场1现在学习的是第1页，共56页 本章内容本章内容 4.1 波动方程波动方程 4.2 电磁场的位函数电磁场的位函数 4.3 电磁能量守恒定律电磁能量守恒定律 4.4 惟一性定理惟一性定理 4.5 时谐电磁场时谐电磁场2现在学习的是第2页，共56页4.1 波动方程波动方程 在无源空间中，设媒质是线性、各向同性且无损耗的均匀媒质，在无源空间中，设媒质是线性、各向同性且无损耗的均匀媒质，则有则有 无源区的波动方程无源区的波动方程 波动方程波动方程 二二阶矢量阶矢量偏偏微分方程，微分方程，揭示电磁场的揭示电磁场的波动性波动性。麦克斯韦方程麦克斯韦方程 一阶矢量偏微分方程组，描述电

2、场与磁场一阶矢量偏微分方程组，描述电场与磁场 间的相互转化关系。（较复杂）间的相互转化关系。（较复杂）麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组 波动方程。（较简单）波动方程。（较简单）问题的引入问题的引入电磁波动方程电磁波动方程3现在学习的是第3页，共56页同理可得同理可得 推证推证电磁场波动方程电磁场波动方程 在无源空间中，在无源空间中，。设媒质是线性、各向同。设媒质是线性、各向同性且无损耗的均匀媒质，则有性且无损耗的均匀媒质，则有4现在学习的是第4页，共56页 在在直直角角坐坐标标系系中中，波波动动方方程程可可以以分分解解成成三三个个标标量量方方程程，每每个个方方程只含有一个方向上的场分量。程只含有一

3、个方向上的场分量。波波动动方方程程的的解解是是在在空空间间中中沿沿一一个个特特定定方方向向传传播播的的电电磁磁波波。研研究究电电磁磁波波的的传传播播问问题题都都可可归归结结为为在在给给定定的的边边界界条条件件和和初初始始条条件件下下，求解波动方程的解。求解波动方程的解。5现在学习的是第5页，共56页4.2 电磁场的位函数电磁场的位函数 讨论内容讨论内容 位函数的性质位函数的性质 位函数的定义位函数的定义 位函数的规范条件位函数的规范条件 位函数的微分方程位函数的微分方程6现在学习的是第6页，共56页引入位函数来描述时变电磁场，使一些问题的分析得到简化。引入位函数来描述时变电磁场，使一些问题的分

4、析得到简化。引入位函数的意义引入位函数的意义 时变电磁场中时变电磁场中位函数的定义位函数的定义电磁场的电磁场的矢量位矢量位电磁场的电磁场的标量位标量位7现在学习的是第7页，共56页 位函数的不唯一性位函数的不唯一性 满满足足下下列列变变换换关关系系的的两两组组位位函函数数 和和 能能描描述述同同一一个个电磁场问题。电磁场问题。即即也就是说，对一给定的电磁场可用不同的位函数来描述。也就是说，对一给定的电磁场可用不同的位函数来描述。原因原因：未规定：未规定 的散度。的散度。为任意标量函数为任意标量函数8现在学习的是第8页，共56页除了利用洛仑兹条件外，另一种常用的是库仑规范条件，即除了利用洛仑兹条

5、件外，另一种常用的是库仑规范条件，即 在电磁理论中，通常采用洛仑兹规范条件，即在电磁理论中，通常采用洛仑兹规范条件，即 位函数的规范条件位函数的规范条件 造成位函数的不确定性（不唯一性）的原因就是没有规定造成位函数的不确定性（不唯一性）的原因就是没有规定 的散度。的散度。利用位函数的不确定性，可通过规定利用位函数的不确定性，可通过规定 的散度使位函数满足的方程得以的散度使位函数满足的方程得以简化。简化。9现在学习的是第9页，共56页 位函数满足的微分方程位函数满足的微分方程10现在学习的是第10页，共56页同样同样 达郎贝尔方程达郎贝尔方程11现在学习的是第11页，共56页 以上方程是在应用以

6、上方程是在应用“洛仑兹条件洛仑兹条件”下所得到的。下所得到的。位函数满足的方程在形式上是对称的，且比较简单，易求解；位函数满足的方程在形式上是对称的，且比较简单，易求解；解的物理意义非常清楚，明确反映出电磁波具有有限传播速度；解的物理意义非常清楚，明确反映出电磁波具有有限传播速度；矢量位只决定于矢量位只决定于J，标量位只决定于，标量位只决定于，这对求解方程特别有利。这对求解方程特别有利。电磁位函数只是简化时变电磁场分析求解的一种辅助函数，应电磁位函数只是简化时变电磁场分析求解的一种辅助函数，应用不同的规范条件，矢量位用不同的规范条件，矢量位 A 和标量位和标量位 的解也不相同，但最终的解也不相

7、同，但最终得到的电磁场矢量得到的电磁场矢量E、H是相同的。是相同的。注意：注意：12现在学习的是第12页，共56页 静态场与时变场中位函数的比照静态场与时变场中位函数的比照静态场（静电场静态场（静电场、恒定磁场）恒定磁场）时变电磁场时变电磁场特点：电场特点：电场、磁场相互独立磁场相互独立特点：电场特点：电场、磁场是一个整体磁场是一个整体矢量磁位标量电位库仑规范电磁场的矢量位电磁场的标量位洛仑兹规范泊松方程达郎贝尔方达郎贝尔方程程13现在学习的是第13页，共56页4.3 电磁能量守恒定律电磁能量守恒定律 讨论内容讨论内容 能流密度矢量能流密度矢量 S 电磁能量守恒原理电磁能量守恒原理 坡印廷矢量

8、坡印廷矢量及其特点及其特点 电磁能量电磁能量的流动的流动14现在学习的是第14页，共56页电磁能量的定向流动形成电磁能量的定向流动形成“能流能流”，类似于，类似于“水流水流”。电磁能量的流动电磁能量的流动 定性分析：定性分析：15现在学习的是第15页，共56页电场能量密度电场能量密度：磁场能量密度磁场能量密度：电磁场能量密度电磁场能量密度：空间区域空间区域V中的电磁能量中的电磁能量：特点特点：当场随时间变化时，空间各点的电磁场能量密度也要随：当场随时间变化时，空间各点的电磁场能量密度也要随 时间改变，从而引起电磁能量流动。时间改变，从而引起电磁能量流动。定量分析：定量分析：16现在学习的是第1

9、6页，共56页 能能流流密密度度矢矢量量又又称称“坡坡印印廷廷矢矢量量”，用用 表表示示，其其单单位位为为W/mW/m2 2(瓦瓦/米米2 2)。坡印廷矢量坡印廷矢量=能流密度矢量能流密度矢量=功率密度矢量功率密度矢量 为为了了描描述述能能量量的的流流动动状状况况，引引入入“能能流流密密度度矢矢量量”，其其方方向向表表示示能能量量的的流流动动方方向向，其其大大小小表表示示“单单位位时时间间”内内穿穿过过与与能能量量流流动动方方向向相相垂直的垂直的“单位面积单位面积”的能量。的能量。能流密度矢量能流密度矢量17现在学习的是第17页，共56页进入体积进入体积V的能量体积的能量体积V内增加的能量体积

10、内增加的能量体积V内损耗的能量内损耗的能量 电磁能量守恒关系（定性描述）：电磁能量守恒关系（定性描述）：电磁能量守恒原理电磁能量守恒原理坡坡印廷定理印廷定理 前提假设：前提假设：假设闭合曲面假设闭合曲面 S S 包围的体积包围的体积 V V 中无中无外加源，其中媒质是线性和各向同性的，外加源，其中媒质是线性和各向同性的，且参数不随时间变化。且参数不随时间变化。18现在学习的是第18页，共56页其中其中：单位时间内体积单位时间内体积V 中所增加中所增加 的电磁能量。的电磁能量。单位时间内电场对体积单位时间内电场对体积V中的电流所做的功；中的电流所做的功；在导电媒质中，即为体积在导电媒质中，即为体

11、积V内总的损耗功率。内总的损耗功率。通过曲面通过曲面S 进入体积进入体积V 的电磁功率。的电磁功率。积分形式积分形式：微分形式微分形式：坡印廷定理（能量守恒原理的数学表示）：坡印廷定理（能量守恒原理的数学表示）：19现在学习的是第19页，共56页在线性和各向同性的媒质中，当参数都不随时间变化时，则有在线性和各向同性的媒质中，当参数都不随时间变化时，则有将以上两式相减，得到将以上两式相减，得到由由 推证推证20现在学习的是第20页，共56页即可得到坡印廷定理的微分形式即可得到坡印廷定理的微分形式再利用矢量恒等式再利用矢量恒等式：在在任任意意闭闭曲曲面面S 所所包包围围的的体体积积V上上，对对上上

12、式式两两端端积积分分，并并应应用用散散度度定定理理，即即可得到坡印廷定理的积分形式可得到坡印廷定理的积分形式 物理意义：物理意义：单位时间内，通过曲面单位时间内，通过曲面S 进入体积进入体积V的电磁能量等于的电磁能量等于 体积体积V 中所增加的电磁场能量与损耗的能量之和。中所增加的电磁场能量与损耗的能量之和。21现在学习的是第21页，共56页 定义：定义：(W/m2)物理意义物理意义：的方向的方向 电磁能量传输的方向电磁能量传输的方向 的大小的大小 通过垂直于能量传输方通过垂直于能量传输方 向的单位面积的电磁功率向的单位面积的电磁功率 描述时变电磁场中电磁能量传输的一个重要物理量描述时变电磁场

13、中电磁能量传输的一个重要物理量 坡印廷矢量（电磁能流密度矢量）坡印廷矢量（电磁能流密度矢量）22现在学习的是第22页，共56页 S(r,t)=E(r,t)H(r,t)S(r,t)=E(r,t)H(r,t)由由于于式式中中的的E(r,t)E(r,t)和和H(r,t)H(r,t)都都是是瞬瞬时时值值，所所以以能能流流密密度度S(r,t)S(r,t)也也是是瞬瞬时时值值，只只有有当当E(r,t)E(r,t)和和H(r,t)H(r,t)同同时时达达到到最最大大值值时时，S(r,t)S(r,t)才才能达到最大。若某一时刻，能达到最大。若某一时刻，E(r,t)E(r,t)或或H(r,t)H(r,t)为零，

14、则为零，则S(r,t)=0S(r,t)=0。坡印廷矢量的特点坡印廷矢量的特点 S S既既垂垂直直于于E E也也垂垂直直于于H H，又又因因为为E E和和H H自自身身也也是是相相互互垂垂直直的的，因因此此，S S、H H、E E三三者者是是相相互互垂垂直直，且且成成右手螺旋关系右手螺旋关系。23现在学习的是第23页，共56页 例例4.3.1 同轴线的内导体半径为同轴线的内导体半径为a、外导体的内半径为、外导体的内半径为b，其间填充均，其间填充均匀的理想介质。设内外导体间的电压为匀的理想介质。设内外导体间的电压为U，导体中流过的电流为，导体中流过的电流为I。（。（1）在导体为理想导体的情况下，计

15、算同轴线中传输的功率；（在导体为理想导体的情况下，计算同轴线中传输的功率；（2）当导体的电导率）当导体的电导率为有限值时，计算通过内导体表面进入每单位长度内导体的功率。为有限值时，计算通过内导体表面进入每单位长度内导体的功率。同轴线同轴线24现在学习的是第24页，共56页 解：解：（1）在内外导体为理想导体的情况下，电场和磁场只存在于内）在内外导体为理想导体的情况下，电场和磁场只存在于内外导体之间的理想介质中，内外导体表面的电场无切向分量，只有电场外导体之间的理想介质中，内外导体表面的电场无切向分量，只有电场的径向分量。利用高斯定理和安培环路定理，容易求得内外导体之间的的径向分量。利用高斯定理

16、和安培环路定理，容易求得内外导体之间的电场和磁场分别为电场和磁场分别为内外导体之间任意横截面上的坡印廷矢量内外导体之间任意横截面上的坡印廷矢量25现在学习的是第25页，共56页电磁能量在内外导体之间的介质中沿轴方向流动，即由电源流向负载，如电磁能量在内外导体之间的介质中沿轴方向流动，即由电源流向负载，如图所示。图所示。穿过任意横截面的功率为穿过任意横截面的功率为同轴线中的电场、磁场和坡印廷矢量同轴线中的电场、磁场和坡印廷矢量（理想导体情况）（理想导体情况）26现在学习的是第26页，共56页 （2）当导体的电导率）当导体的电导率为有限值时，导体内部存在沿电流方向的电为有限值时，导体内部存在沿电流

17、方向的电场场内内根据边界条件，在内导体表面上电场的切向分量连续，即根据边界条件，在内导体表面上电场的切向分量连续，即因此，在内导体表面外侧的电场为因此，在内导体表面外侧的电场为内磁场则仍为磁场则仍为内导体表面外侧的坡印廷矢量为内导体表面外侧的坡印廷矢量为同轴线中的电场、磁场和坡印廷矢量同轴线中的电场、磁场和坡印廷矢量（非理想导体情况）（非理想导体情况）27现在学习的是第27页，共56页式中式中 是单位长度内导体的电阻。由此可见，进入内导体中是单位长度内导体的电阻。由此可见，进入内导体中功率等于这段导体的焦耳损耗功率。功率等于这段导体的焦耳损耗功率。由此可见，内导体表面外侧的坡由此可见，内导体表

18、面外侧的坡印廷矢量既有轴向分量，也有径印廷矢量既有轴向分量，也有径向分量，如图所示。向分量，如图所示。进入每单位进入每单位长度内导体的功率为长度内导体的功率为 以上分析表明电磁能量是由电磁场传输的，导体仅起着定向引导电磁能流以上分析表明电磁能量是由电磁场传输的，导体仅起着定向引导电磁能流的作用。当导体的电导率为有限值时，进入导体中的功率全部被导体所吸收，的作用。当导体的电导率为有限值时，进入导体中的功率全部被导体所吸收，成为导体中的焦耳热损耗功率。成为导体中的焦耳热损耗功率。同轴线中的电场、磁场和坡印廷矢量同轴线中的电场、磁场和坡印廷矢量（非理想导体情况）（非理想导体情况）28现在学习的是第2

19、8页，共56页4.4 惟一性定理惟一性定理 在以闭曲面在以闭曲面S为边界的有界区域为边界的有界区域V 内，内，如果给定如果给定t0 时刻的电场强度和磁场强度时刻的电场强度和磁场强度的初始值，并且在的初始值，并且在 t 0 时，给定边界面时，给定边界面S上的电场强度的切向分量或磁场强度的切向分量，那么，在上的电场强度的切向分量或磁场强度的切向分量，那么，在 t 0 时，区时，区域域V 内的电磁场由麦克斯韦方程惟一地确定。内的电磁场由麦克斯韦方程惟一地确定。惟一性定理的表述惟一性定理的表述 在分析有界区域的时变电磁场问题时，常常需要在给定的初始条件和边界在分析有界区域的时变电磁场问题时，常常需要在

20、给定的初始条件和边界条件下，求解麦克斯韦方程。那么，在什么定解条件下，有界区域中的麦克斯条件下，求解麦克斯韦方程。那么，在什么定解条件下，有界区域中的麦克斯韦方程的解才是惟一的呢？这就是麦克斯韦方程的解的惟一问题。韦方程的解才是惟一的呢？这就是麦克斯韦方程的解的惟一问题。惟一性问题惟一性问题29现在学习的是第29页，共56页 惟一性定理的证明惟一性定理的证明 利用反证法对惟一性定理给予证明。假设区域利用反证法对惟一性定理给予证明。假设区域内的解不是惟内的解不是惟一的，那么至少存在两组解一的，那么至少存在两组解 、和和 、满足同样的满足同样的麦克斯韦方程，且具有相同的初始条件和边界条件。麦克斯韦

21、方程，且具有相同的初始条件和边界条件。则在区域则在区域V 内内 和和 的初始值为零；在边界面的初始值为零；在边界面S 上电场强度上电场强度 的切的切向分量为零或磁场强度向分量为零或磁场强度 的切向分量为零，且的切向分量为零，且 和和 满足麦克斯满足麦克斯韦方程韦方程令令30现在学习的是第30页，共56页根据坡印廷定理，应有根据坡印廷定理，应有所以所以由于场的初始值为零，将上式两边对由于场的初始值为零，将上式两边对 t 积分，可得积分，可得根据根据 和和 的边界条件，上式左端的被积函数为的边界条件，上式左端的被积函数为31现在学习的是第31页，共56页上式中两项积分的被积函数均为非负的，要使得积

22、分为零，必有上式中两项积分的被积函数均为非负的，要使得积分为零，必有（证毕）（证毕）即即 惟一性定理指出了获得惟一解所必须满足的条件，为电磁场惟一性定理指出了获得惟一解所必须满足的条件，为电磁场 问题的求解提供了理论依据，具有非常重要的意义和广泛的问题的求解提供了理论依据，具有非常重要的意义和广泛的 应用。应用。32现在学习的是第32页，共56页4.5 时谐电磁场时谐电磁场 复矢量的麦克斯韦方程复矢量的麦克斯韦方程 时谐电磁场的复数表示时谐电磁场的复数表示 复电容率和复磁导率复电容率和复磁导率 时谐场的位函数时谐场的位函数 亥姆霍兹方程亥姆霍兹方程 平均能流密度矢量平均能流密度矢量33现在学习

23、的是第33页，共56页 时谐电磁场的概念时谐电磁场的概念 如果场源以一定的角频率随时间呈时谐（正弦或余弦）变化，则如果场源以一定的角频率随时间呈时谐（正弦或余弦）变化，则所产生电磁场也以同样的角频率随时间呈时谐变化。这种以一定角频所产生电磁场也以同样的角频率随时间呈时谐变化。这种以一定角频率作时谐变化的电磁场，称为时谐电磁场或正弦电磁场。率作时谐变化的电磁场，称为时谐电磁场或正弦电磁场。研究时谐电磁场具有重要意义研究时谐电磁场具有重要意义 在工程上，应用最多的就是时谐电磁场。在工程上，应用最多的就是时谐电磁场。广播、电视和通信广播、电视和通信 的载波等都是时谐电磁场。的载波等都是时谐电磁场。任

24、意的时变场在一定的条件下可通过傅里叶分析方法展开为不任意的时变场在一定的条件下可通过傅里叶分析方法展开为不 同频率的时谐场的叠加。同频率的时谐场的叠加。4.5.1 时谐电磁场的复数表示时谐电磁场的复数表示34现在学习的是第34页，共56页 时谐电磁场可用复数方法来表示，使得大多数时谐电磁场问题的分析时谐电磁场可用复数方法来表示，使得大多数时谐电磁场问题的分析得以简化。得以简化。设设 是是一一个个以以角角频频率率 随随时时间间t t 作作正正弦弦变变化化的的场场量量，它它可可以以是是电电场场或或者者磁磁场场，也也可可以以是是电电荷荷或或电电流流等等物物理理量量，它它的的时时域域表表达达式式（即即

25、它它与与时间的关系）如下：时间的关系）如下：其中其中时间因子时间因子空间相位因子空间相位因子 利用欧拉公式利用欧拉公式式中的式中的A0为振幅、为振幅、为与坐标有关的相位因子。为与坐标有关的相位因子。实数表示法或实数表示法或瞬时表示法瞬时表示法（时域形式）（时域形式）复数表示法复数表示法复振幅复振幅 时谐电磁场的时谐电磁场的复数表示复数表示35现在学习的是第35页，共56页 复数形式只是一种数学表示方式，不代表真实的场。复数形式只是一种数学表示方式，不代表真实的场。按照此方法，矢量场的各分量按照此方法，矢量场的各分量Ei（i 表示表示x、y 或或 z）可表示成）可表示成 各分量合成以后，电场强度

26、为各分量合成以后，电场强度为 有关复数表示的进一步说明有关复数表示的进一步说明复矢量复矢量 真实场是复数式的实部，即瞬时表达式（时域表达式）。真实场是复数式的实部，即瞬时表达式（时域表达式）。由于时间因子是默认的，有时它不用写出来，只用与坐标有由于时间因子是默认的，有时它不用写出来，只用与坐标有 关的部分就可表示复矢量。关的部分就可表示复矢量。36现在学习的是第36页，共56页 例例4.5.1 将下列场矢量的瞬时值形式写为复数形式将下列场矢量的瞬时值形式写为复数形式（2）解：解：（1）由于）由于（1）所以所以37现在学习的是第37页，共56页（2）因为）因为 故故 所以所以 38现在学习的是第

27、38页，共56页 例例4.5.2 已知电场强度复矢量已知电场强度复矢量解解其中其中kz和和Exm为实常数。写出电场强度的瞬时矢量为实常数。写出电场强度的瞬时矢量总结：总结：电磁场时域形式电磁场时域形式 电磁场复数形式电磁场复数形式 39现在学习的是第39页，共56页4.5.2 复矢量的麦克斯韦方程（复矢量的麦克斯韦方程（麦克斯韦方程的复数形式）麦克斯韦方程的复数形式）麦克斯韦方程组的麦克斯韦方程组的标准时域形式标准时域形式其中：其中：均为时域形式（瞬时表达形式），即均为时域形式（瞬时表达形式），即40现在学习的是第40页，共56页以方程以方程 为例，推导为例，推导Maxwell 方程的复数形式

28、。方程的复数形式。将将 代入上式，可得代入上式，可得 将将 、与与 交换次序，得交换次序，得上式对任意上式对任意 t 均成立。令均成立。令 t0，得，得同同理理，可可获获得得其其它它3个个方程的复数形式方程的复数形式41现在学习的是第41页，共56页从从形形式式上上讲讲，只只要要把把微微分分算算子子 用用 代代替替，就就可可以以把把时时谐谐电电磁磁场场的的场场量量之之间间的的时时域域关关系系，转转换换为为复复矢矢量量之之间间关关系系。从从而而，得得到到复复数形式的麦克斯韦方程。数形式的麦克斯韦方程。略去略去“.”和下标和下标m42现在学习的是第42页，共56页实际的介质都存在损耗：实际的介质都

29、存在损耗：导电媒质导电媒质当电导率有限时，存在欧姆损耗。当电导率有限时，存在欧姆损耗。电介质电介质受到极化时，可能存在电极化损耗。受到极化时，可能存在电极化损耗。磁介质磁介质受到磁化时，可能存在磁化损耗。受到磁化时，可能存在磁化损耗。损耗的大小与媒质性质、随时间变化的频率有关。一些媒质损耗的大小与媒质性质、随时间变化的频率有关。一些媒质 的损耗在低频时可以忽略，但在高频时就不能忽略。的损耗在低频时可以忽略，但在高频时就不能忽略。4.5.3 复电容率（介电常数）和复磁导率复电容率（介电常数）和复磁导率 导电媒质的导电媒质的“等效复介电常数等效复介电常数”（复电容率）（复电容率）其中其中 称为导电

30、媒质的等效复介电常数或复电容率。称为导电媒质的等效复介电常数或复电容率。对于介电常数为对于介电常数为 、电导率为、电导率为 的导电媒质，有的导电媒质，有43现在学习的是第43页，共56页 电介质的电介质的等效等效复介电常数复介电常数 同时存在电极化损耗和欧姆损耗的介质同时存在电极化损耗和欧姆损耗的介质 磁介质的复磁导率磁介质的复磁导率 对对于于存存在在电电极极化化损损耗耗的的电电介介质质，有有 ，称称为为等等效效复复介介电电常常数数或或复复电电容容率率。其其虚虚部部为为大大于于零零的的数数，表表示示电电介介质质的的电电极极化化损损耗。在高频情况下，实部和虚部都是频率的函数。耗。在高频情况下，实

31、部和虚部都是频率的函数。对于同时存在电极化损耗和欧姆损耗的电介质，等效复介电常数为对于同时存在电极化损耗和欧姆损耗的电介质，等效复介电常数为 对对于于磁磁性性介介质质，复复磁磁导导率率数数为为 ，其其虚虚部部为为大大于于零零的的数，表示磁介质的磁化损耗。数，表示磁介质的磁化损耗。44现在学习的是第44页，共56页 损耗角正切损耗角正切 导电媒质导电性能的相对性导电媒质导电性能的相对性电介质电介质导电媒质导电媒质磁介质磁介质 弱导电媒质和良绝缘体弱导电媒质和良绝缘体 一般导电媒质一般导电媒质 良导体良导体 工工程程上上通通常常用用损损耗耗角角正正切切来来表表示示媒媒质质的的损损耗耗特特性性，其其

32、定定义义为为复复介电常数或复磁导率的虚部与实部之比，即有介电常数或复磁导率的虚部与实部之比，即有 导导电电媒媒质质的的导导电电性性能能具具有有相相对对性性，在在不不同同频频率率情情况况下下，导导电电媒媒质质具有不同的导电性能。具有不同的导电性能。45现在学习的是第45页，共56页导电媒质导电媒质理想介质理想介质4.5.4 亥姆霍兹方程亥姆霍兹方程 在在时时谐谐时时情情况况下下，将将 、，即即可可得得到到复复矢矢量量的的波波动动方方程程，称为亥姆霍兹方程。称为亥姆霍兹方程。瞬时形式瞬时形式复数形式复数形式46现在学习的是第46页，共56页4.5.5 时谐场的位函数时谐场的位函数 在在时时谐谐情情

33、况况下下，矢矢量量位位和和标标量量位位以以及及它它们们满满足足的的方方程程都都可可以以表表示示成成复复数数形式。形式。洛仑兹条件洛仑兹条件达朗贝尔方程达朗贝尔方程瞬时形式瞬时形式复数形式复数形式位函数定义位函数定义47现在学习的是第47页，共56页4.5.6 平均能量密度和平均能流密度矢量平均能量密度和平均能流密度矢量 注意：注意：“二次式二次式”本身没有复数形式，只有时域形式；本身没有复数形式，只有时域形式；其中的场量必须是实数形式（即时域形式）才有意义，不能将复其中的场量必须是实数形式（即时域形式）才有意义，不能将复 数形式的场量数形式的场量E、H直接代入公式计算。必须先将直接代入公式计算

34、。必须先将E、H转换成转换成时域时域 形式后，再代入相应公式计算形式后，再代入相应公式计算。电磁场能量密度和能流密度的表达式中都包含了场量的平方电磁场能量密度和能流密度的表达式中都包含了场量的平方 关系，这种关系式称为关系，这种关系式称为“二次式二次式”。瞬时形式瞬时形式48现在学习的是第48页，共56页 二次式的时间平均值二次式的时间平均值 在时谐电磁场中，常常要在时谐电磁场中，常常要关心关心二次式二次式在一个时间周期在一个时间周期 T 中的中的 平均值，即平均值，即平均能流密度矢量平均能流密度矢量平均电场能量密度平均电场能量密度平均磁场能量密度平均磁场能量密度 在在时时谐谐电电磁磁场场中中

35、，二二次次式式的的时时间间平平均均值值可可以以直直接接由由复复矢矢量量（矢矢量量的的复数形式）计算，有复数形式）计算，有49现在学习的是第49页，共56页则平均能流密度矢量为则平均能流密度矢量为 如果电场和磁场都用复数形式给出，即有如果电场和磁场都用复数形式给出，即有 时间平均值与时间无关时间平均值与时间无关例如：某正弦电磁场的电场强度和磁场强度例如：某正弦电磁场的电场强度和磁场强度都用实数形式给出都用实数形式给出50现在学习的是第50页，共56页 具有普遍意义，不仅适用于正弦电磁场，也适用于其他具有普遍意义，不仅适用于正弦电磁场，也适用于其他 时变电磁场；而时变电磁场；而 只适用于时谐电磁场

36、。只适用于时谐电磁场。在在 中中，和和 都是实数形式且是都是实数形式且是 时间的函数，所以时间的函数，所以 也是时间的函数，反映的是能流也是时间的函数，反映的是能流密度密度 在某一个瞬时的取值；而在某一个瞬时的取值；而 中的中的 和和 都是复矢量，与时间无关，所以都是复矢量，与时间无关，所以 也也与时间无与时间无 关，反映的是能流密度在一个时间周期内的平均取值。关，反映的是能流密度在一个时间周期内的平均取值。利利用用 ，可可由由 计算计算 ，但不能直，但不能直 接由接由 计算计算 ，也就是说，也就是说 关于关于 和和 的几点说明的几点说明51现在学习的是第51页，共56页 解解：（1）由得）由

37、得（2）电场和磁场的瞬时值为）电场和磁场的瞬时值为 例例4.5.4已知无源的自由空间中，电磁场的电场强度复矢量为已知无源的自由空间中，电磁场的电场强度复矢量为 ，其中，其中k 和和 E0 为常数。求：为常数。求：（1）磁场强度复矢量）磁场强度复矢量 ；（；（2）瞬时坡）瞬时坡印廷矢量印廷矢量 ；（；（3）平均坡印廷矢量）平均坡印廷矢量 。52现在学习的是第52页，共56页 （3）平均坡印廷矢量为）平均坡印廷矢量为或直接积分，得或直接积分，得瞬时坡印廷矢量为瞬时坡印廷矢量为53现在学习的是第53页，共56页 例例4.5.5 已知真空中电磁场的电场强度和磁场强度矢量分别为已知真空中电磁场的电场强度和磁场强度矢量分别为解解:(1)由于由于(2)所以所以其中其中E0、H0 和和 k 为常数。求：为常数。求：(1)w 和和 wav；(2)S 和和 Sav。54现在学习的是第54页，共56页例例4.5.6 已知截面为已知截面为 的矩形金属波导中电磁场的复矢量为的矩形金属波导中电磁场的复矢量为式中式中H0、都是常数。试求：（都是常数。试求：（1）瞬时坡印廷矢量；）瞬时坡印廷矢量；（2）平均坡印廷矢量。）平均坡印廷矢量。解解：（1）和和 的瞬时值为的瞬时值为55现在学习的是第55页，共56页（2）平均坡印廷矢量）平均坡印廷矢量所以瞬时坡印廷矢量所以瞬时坡印廷矢量56现在学习的是第56页，共56页