电磁场与电磁波PPT.ppt

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1、电磁场与电磁波PPT现在学习的是第1页，共62页1.1 场的概念场的概念 1.1.1 矢性函数矢性函数 在二维空间或三维空间内的任一点P，它是一个既存在大小(或称为模)又有方向特性的量，故称为实数矢量，用黑体A表示，而白体A表示A的大小(即A的模)。若用几何图形表示，它是从该点出发画一条带有箭头的直线段，直线段的长度表示矢量A的模，箭头的指向表示该矢量A的方向。矢量一旦被赋予物理单位，便成为具有物理意义的矢量，如电场强度E、磁场强度H、速度v等等。现在学习的是第2页，共62页 若某一矢量的模和方向都保持不变，此矢量称为常矢，如某物体所受到的重力。而在实际问题中遇到的更多的是模和方向或两者之一会

2、发生变化的矢量，这种矢量我们称为变矢，如沿着某一曲线物体运动的速度v等。设t是一数性变量，A为变矢，对于某一区间Ga,b内的每一个数值t,A都有一个确定的矢量A(t)与之对应，则称A为数性变量t的矢性函数。记为 现在学习的是第3页，共62页 而G为A的定义域。矢性函数A(t)在直角坐标系中的三个坐标分量都是变量t的函数，分别为Ax(t)、Ay(t)、Az(t)，则矢性函数A(t)也可用其坐标表示为 其中ex、ey、ez为x轴、y轴、z轴正向单位矢量。现在学习的是第4页，共62页1.1.2 标量场和矢量场标量场和矢量场 如果在某一空间区域内的每一点，都对应着某个物理量的一个确定的值，则称在此区域

3、内确定了该物理量的一个场。换句话说，在某一空间区域中，物理量的无穷集合表示一种场。如在教室中温度的分布确定了一个温度场，在空间电位的分布确定了一个电位场。场的一个重要的属性是它占有一定空间，而且在该空间域内，除有限个点和表面外，其物理量应是处处连续的。若该物理量与时间无关，则该场称为静态场；若该物理量与时间有关，则该场称为动态场或称为时变场。现在学习的是第5页，共62页 在研究物理系统中温度、压力、密度等在一定空间的分布状态时，数学上只需用一个代数变量来描述，这些代数变量(即标量函数)所确定的场称为标量场，如温度场T(x,y,z)、电位场(x,y,z)等。然而在许多物理系统中，其状态不仅需要确

4、定其大小，同时还需确定它们的方向，这就需要用一个矢量来描述，因此称为矢量场，例如电场、磁场、流速场等等。现在学习的是第6页，共62页标量场(x,y,z)的等值面方程为 图 1-1 矢量场的矢量线 现在学习的是第7页，共62页 例例1-1 求数量场=(x+y)2-z通过点M(1,0,1)的等值面方程。解解：点M的坐标是x0=1,y0=0,z0=1，则该点的数量场值为=(x0+y0)2-z0=0。其等值面方程为 或 现在学习的是第8页，共62页例例1-2 求矢量场A=xy2ex+x2yey+zy2ez的矢量线方程。解：解：矢量线应满足的微分方程为 从而有 解之即得矢量方程 c1和c2是积分常数。现

5、在学习的是第9页，共62页1.2 标量场的方向导数和梯度标量场的方向导数和梯度1.2.1 标量场的方向导数标量场的方向导数 图 1-2 方向导数的定义 现在学习的是第10页，共62页 设M0是标量场=(M)中的一个已知点，从M0出发沿某一方向引一条射线l,在l上M0的邻近取一点M，MM0=，如图1-2所示。若当M趋于M0时(即趋于零时)，的极限存在，则称此极限为函数(M)在点M0处沿l方向的方向导数，记为 现在学习的是第11页，共62页 若函数=(x,y,z)在点M0(x0,y0,z0)处可微，cos、cos、cos为l方向的方向余弦，则函数在点M0处沿l方向的方向导数必定存在，且为 证明：M

6、点的坐标为M(x0+x,y0+y,z0+z)，由于函数在M0处可微，故 现在学习的是第12页，共62页两边除以，可得 当趋于零时对上式取极限，可得 现在学习的是第13页，共62页 例例1-3 求数量场 在点M(1,1,2)处沿l=ex+2ey+2ez方向的方向导数。解：解：l方向的方向余弦为 现在学习的是第14页，共62页而 数量场在l方向的方向导数为 在点M处沿l方向的方向导数 现在学习的是第15页，共62页1.2.2 标量场的梯度标量场的梯度 标量场(x,y,z)在l方向上的方向导数为 在直角坐标系中，令 现在学习的是第16页，共62页 矢量l是l方向的单位矢量，矢量G是在给定点处的一常矢

7、量。由上式显然可见，当l与G的方向一致时，即cos(G,l)=1 时，标量场在点M处的方向导数最大，也就是说沿矢量G方向的方向导数最大，此最大值为 现在学习的是第17页，共62页 在标量场(M)中的一点M处，其方向为函数(M)在M点处变化率最大的方向，其模又恰好等于最大变化率的矢量G，称为标量场(M)在M点处的梯度，用grad(M)表示。在直角坐标系中，梯度的表达式为 梯度用哈密顿微分算子的表达式为 现在学习的是第18页，共62页 设c为一常数，u(M)和v(M)为数量场，很容易证明下面梯度运算法则的成立。现在学习的是第19页，共62页 例例1-4 设标量函数r是动点M(x,y,z)的矢量r=

8、xex+yey+zez的模，即 ，证明：证：证：因为 现在学习的是第20页，共62页所以 现在学习的是第21页，共62页例例1-5 求r在M(1，0，1)处沿l=ex+2ey+2ez方向的方向导数。解：解：由例1-2知r的梯度为 点M处的坐标为x=1,y=0,z=1,所以r在M点处的梯度为 r在M点沿l方向的方向导数为 现在学习的是第22页，共62页而 所以 现在学习的是第23页，共62页 例例 1-6 已 知 位 于 原 点 处 的 点 电 荷 q在 点 M(x,y,z)处 产 生 的 电 位 为 ，其中矢径r为r=xex+yey+zey，且已知电场强度与电位的关系是E=-，求电场强度E。解

9、：解：根据f(u)=f(u)u的运算法则，现在学习的是第24页，共62页1.3 矢量场的通量和散度矢量场的通量和散度 1.3.1 矢量场的通量矢量场的通量 将曲面的一个面元用矢量dS来表示，其方向取为面元的法线方向，其大小为dS，即 n是面元法线方向的单位矢量。n的指向有两种情况：对开曲面上的面元，设这个开曲面是由封闭曲线l所围成的，则选定绕行l的方向后，沿绕行方向按右手螺旋的拇指方向就是n的方向，如图1-3(a)所示；现在学习的是第25页，共62页图 1-3 法线方向的取法 现在学习的是第26页，共62页 将曲面S各面元上的AdS相加，它表示矢量场A穿过整个曲面S的通量，也称为矢量A在曲面S

10、上的面积分：如果曲面是一个封闭曲面，则 现在学习的是第27页，共62页1.3.2 矢量场的散度矢量场的散度 称此极限为矢量场A在某点的散度，记为divA，即散度的定义式为 现在学习的是第28页，共62页 矢量场A的散度可表示为哈密顿微分算子与矢量A的标量积，即 现在学习的是第29页，共62页1.3.3 散度定理散度定理 现在学习的是第30页，共62页 例例1-7 已知矢量场r=xex+yey+zez，求由内向外穿过圆锥面x2+y2=z2与平面z=H所围封闭曲面的通量。解：解：现在学习的是第31页，共62页 例例1-8 在坐标原点处点电荷产生电场，在此电场中任一点处的电位移矢量为 求穿过原点为球

11、心、R为半径的球面的电通量(见图 1-4)。图 1-4 例 1-8 图 现在学习的是第32页，共62页解：解：由于球面的法线方向与D的方向一致，所以 现在学习的是第33页，共62页 例例1-9 原点处点电荷q产生的电位移矢量 ，试求电位移矢量D的散度。解：解：现在学习的是第34页，共62页 例例 1-10 球面S上任意点的位置矢量为r=xex+yey+zez，求 解：解：根据散度定理知 而r的散度为 所以 现在学习的是第35页，共62页1.4 矢量场的环量和旋度矢量场的环量和旋度 在力场中，某一质点沿着指定的曲线c运动时，力场所做的功可表示为力场F沿曲线c的线积分，即 现在学习的是第36页，共

12、62页图 1-5 矢量场的环量 现在学习的是第37页，共62页1.4.2 矢量场的旋度矢量场的旋度 现在学习的是第38页，共62页现在学习的是第39页，共62页现在学习的是第40页，共62页1.4.3 斯托克斯定理斯托克斯定理 因为旋度代表单位面积的环量，因此矢量场在闭合曲线c上的环量等于闭合曲线c所包围曲面S上旋度的总和，即 此式称为斯托克斯定理或斯托克斯公式。它将矢量旋度的面积分变换成该矢量的线积分，或将矢量A的线积分转换为该矢量旋度的面积分。式中dS的方向与dl的方向成右手螺旋关系。现在学习的是第41页，共62页 例例1-11 求矢量A=-yex+xey+cez(c是常数)沿曲线(x-2

13、)2+y2=R2,z=0的环量(见图 1-6)。图 1-6 例 1-11 图 现在学习的是第42页，共62页解：解：由于在曲线l上z=0，所以dz=0。现在学习的是第43页，共62页 例例1-12 求矢量场A=x(z-y)ex+y(x-z)ey+z(y-x)ez在点M(1，0，1)处的旋度以及沿n=2ex+6ey+3ez方向的环量面密度。解：解：矢量场A的旋度 现在学习的是第44页，共62页在点M(1，0，1)处的旋度 n方向的单位矢量 在点M(1，0，1)处沿n方向的环量面密度 现在学习的是第45页，共62页 例例 1-13 在坐标原点处放置一点电荷q，在自由空间产生的电场强度为 求自由空间

14、任意点(r0)电场强度的旋度E。现在学习的是第46页，共62页解：解：现在学习的是第47页，共62页1.5 圆柱坐标系与球坐标系圆柱坐标系与球坐标系 1.5.1 圆柱坐标系圆柱坐标系 图图 1-7 圆柱坐标系圆柱坐标系 现在学习的是第48页，共62页现在学习的是第49页，共62页现在学习的是第50页，共62页哈密顿微分算子的表示式为 拉普拉斯微分算子 2的表示式为 现在学习的是第51页，共62页1.5.2 球面坐标系球面坐标系 图图 1-8 球面坐标系球面坐标系 现在学习的是第52页，共62页现在学习的是第53页，共62页故拉梅系数分别为 现在学习的是第54页，共62页哈密顿微分算子的表示式为

15、 拉普拉斯微分算子 2的表示式为 现在学习的是第55页，共62页 例例1-14 在一对相距为l的点电荷+q和-q的静电场中，当距离rl时，其空间电位的表达式为 求其电场强度E(r,)。解：解：在球面坐标系中，哈密顿微分算子的表达式为 现在学习的是第56页，共62页因为 现在学习的是第57页，共62页1.6 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理 亥姆霍兹定理的简单表达是：若矢量场F在无限空间中处处单值，且其导数连续有界，而源分布在有限空间区域中，则矢量场由其散度和旋度唯一确定，并且可以表示为一个标量函数的梯度和一个矢量函数的旋度之和，即 假设在无限空间中有两个矢量函数F和G，它们具有相同的散度和旋度。但这两

16、个矢量函数不等，可令 现在学习的是第58页，共62页 由于矢量F和矢量G具有相同的散度和旋度，根据矢量场由其散度和旋度唯一确定，那么矢量g应该为零矢量，也就是矢量F与矢量G是同一个矢量。因为F=G，所以 同样由于 G=F，所以 现在学习的是第59页，共62页由矢量恒等式 =0,可令 在无限空间中一个既有散度又有旋度的矢量场，可表示为一个无旋场Fd(有散度)和一个无散场Fc(有旋度)之和：现在学习的是第60页，共62页 对于无旋场Fd来说，Fd=0，但这个场的散度不会处处为零。因为，任何一个物理场必然有源来激发它，若这个场的旋涡源和通量源都为零，那么这个场就不存在了。因此无旋场必然对应于有散场，根据矢量恒等式 =0，可令(负号是人为加的)对于无散场Fc,Fc=0，但这个场的旋度不会处处为零，根据矢量恒等式(A)=0，可令 现在学习的是第61页，共62页静电场的基本方程是 对于各向同性的媒质，电通量密度和电场强度的关系为D=E，因而式(1-52)可改写为(1-52)现在学习的是第62页，共62页