矩阵分析课件.ppt

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1、关于矩阵分析现在学习的是第1页，共146页1.1线性空间线性空间一、线性空间的概念一、线性空间的概念几何空间和几何空间和n 维向量空间的回顾维向量空间的回顾推广思想：推广思想：抽象出线性运算的本质，在任意研究对象的集合上抽象出线性运算的本质，在任意研究对象的集合上抽象出线性运算的本质，在任意研究对象的集合上抽象出线性运算的本质，在任意研究对象的集合上定义具有线性运算的代数结构。定义具有线性运算的代数结构。定义具有线性运算的代数结构。定义具有线性运算的代数结构。定义定义1.1（P.1）要点：要点：要点：要点：集合集合集合集合VV与数域与数域与数域与数域F F 向量的加法和数乘向量运算向量的加法和

2、数乘向量运算向量的加法和数乘向量运算向量的加法和数乘向量运算 运算的性质刻画运算的性质刻画运算的性质刻画运算的性质刻画现在学习的是第2页，共146页常见的线性空间常见的线性空间F F n n=X=X=（x x1，x2 2，x xn n）T：x F F 运算运算运算运算：向量加法和数乘向量：向量加法和数乘向量：向量加法和数乘向量：向量加法和数乘向量F F m n=A=A=aijm n：aij ij FF；运算运算运算运算：矩阵的加法和数乘矩阵：矩阵的加法和数乘矩阵：矩阵的加法和数乘矩阵：矩阵的加法和数乘矩阵R R m n n；C C mm n n。Pn nx=p(x)=x=p(x)=：a ai

3、RR运算运算：多项式的加法和数乘：多项式的加法和数乘：多项式的加法和数乘：多项式的加法和数乘CCa a，b b=f=f（x x）：）：）：）：f f（x x）在在a，b 上连续上连续上连续上连续 运算运算运算运算：函数的加法和数乘：函数的加法和数乘：函数的加法和数乘：函数的加法和数乘eg5eg5：V=RV=R+，F=RF=R，a b b=abab，a=aa=a F=RF=R或或或或C C现在学习的是第3页，共146页线性空间的一般性的观点：线性空间的一般性的观点：线性空间的一般形式：线性空间的一般形式：V V（F F），），），），元素被统称为向量：元素被统称为向量：元素被统称为向量：元素被统

4、称为向量：，线性空间的简单性质（共性）：线性空间的简单性质（共性）：定理定理1.1：V（F）具有性质：具有性质：（1）V V（F F）中的零元素是惟一的。中的零元素是惟一的。（2）V（F）中任何元素的负元素是惟一的。中任何元素的负元素是惟一的。（3）数零和零元素的性质：）数零和零元素的性质：0=0，k0=0，k=0=0 或或k=0（4）=（1）数数数数0 0向量向量向量向量0 0现在学习的是第4页，共146页二、线性空间的基和维数二、线性空间的基和维数向量的线性相关与线性无关：向量的线性相关与线性无关：定义形式和向量空间定义形式和向量空间定义形式和向量空间定义形式和向量空间R Rn n中的定义

5、一样。中的定义一样。中的定义一样。中的定义一样。有关性质与定理和有关性质与定理和有关性质与定理和有关性质与定理和R Rn n中的结果一样。中的结果一样。例题例题1证明证明C0，1空间中的向量组空间中的向量组ex，e2x，e3x，enx，x 0，1线性无关。线性无关。现在学习的是第5页，共146页二、线性空间的基和维数二、线性空间的基和维数基与维数的概念：基与维数的概念：基与维数的概念：基与维数的概念：P.2P.2，定义定义定义定义1 1.2 2常见线性空间的基与维数：常见线性空间的基与维数：常见线性空间的基与维数：常见线性空间的基与维数：F Fn n，自然基自然基自然基自然基 e e1 1，e

6、2，,e,en n，dim Fn n=n=nR Rm n n，自然基自然基自然基自然基 E Eij，dim R Rmm n n=mm n n。P Pnnx x ，自然基自然基自然基自然基11，x，x2 2，x x3,x,xn-1，dimdimP Pnnx x =n=nCaCa，bb，11，x x，x x2，x x3xxn-1n-1 Ca,bCa,b，dim dim Ca，b=约定：约定：VVn n（F F）表示数域表示数域表示数域表示数域F F上的上的上的上的 n n 维线性空间。维线性空间。维线性空间。维线性空间。只研究有限维线性空间。只研究有限维线性空间。只研究有限维线性空间。只研究有限维

7、线性空间。现在学习的是第6页，共146页三、坐标三、坐标1定义定义1.3（P.3)设设 1，2，n是空间是空间的一组基，的一组基，的一组基，的一组基，=，则，则x1，x2，xn是是 在基在基 i下的坐标。下的坐标。例例1：求求R2 2中向量中向量在基在基Eij下下的坐标。的坐标。要点：要点：要点：要点：坐标与基有关坐标与基有关坐标与基有关坐标与基有关坐标的表达形式坐标的表达形式坐标的表达形式坐标的表达形式现在学习的是第7页，共146页例例2设空间设空间P4x的两组基为：的两组基为：1，x，x2，x3和和1，（，（x-1）1，（，（x-1）2，（，（x-1）3求求f（x）=2+3x+4x2+x3

8、在这两组基下的坐标在这两组基下的坐标。归纳归纳归纳归纳：任何线性空间任何线性空间任何线性空间任何线性空间VnF在任意一组基下的坐标属于在任意一组基下的坐标属于在任意一组基下的坐标属于在任意一组基下的坐标属于F Fnn。每一个常用的线性空间都有一组每一个常用的线性空间都有一组每一个常用的线性空间都有一组每一个常用的线性空间都有一组“自然基自然基自然基自然基”，在这组基，在这组基，在这组基，在这组基下，向量的坐标容易求得。下，向量的坐标容易求得。下，向量的坐标容易求得。下，向量的坐标容易求得。求坐标方法的各异性。求坐标方法的各异性。求坐标方法的各异性。求坐标方法的各异性。现在学习的是第8页，共14

9、6页2、线性空间线性空间Vn（F）与与Fn的同构的同构坐标关系坐标关系坐标关系坐标关系Vn（F）Fn基基基基 1 1，2 2，。，。，。，。n 由此建立一个一一对应关系由此建立一个一一对应关系 VVn n（F F），），），），X F Fn n，（）=X=X（1 1+2 2）=（1 1）+（2 2）（k k ）=k=k （）在关系在关系 下，线性空间下，线性空间Vn（F）和和Fn同构。同构。现在学习的是第9页，共146页同构的性质同构的性质定理定理1.3:Vn（F）中向量中向量 1，2，n线线性相关性相关它们的坐标它们的坐标X1,X2,Xn在在Fn中中线性相关。线性相关。同构保持线性关系不变。

10、同构保持线性关系不变。应用应用：借助于空间借助于空间Fn中已经有的结论和方法研究中已经有的结论和方法研究一般线性空间的线性关系。一般线性空间的线性关系。现在学习的是第10页，共146页例题例题2设设R2 2中向量组中向量组Ai1讨论讨论Ai的线性相关性的线性相关性.2求向量组的秩和极大线性无关组求向量组的秩和极大线性无关组.3把其余的向量表示成极大线性无关组的把其余的向量表示成极大线性无关组的线性组合线性组合.现在学习的是第11页，共146页四、基变换和坐标变换四、基变换和坐标变换讨论：讨论：不同的基之间的关系不同的基之间的关系同一个向量在不同基下坐标之间的关系同一个向量在不同基下坐标之间的关

11、系同一个向量在不同基下坐标之间的关系同一个向量在不同基下坐标之间的关系基变换公式基变换公式设空间中有两组基：设空间中有两组基：过渡矩阵过渡矩阵过渡矩阵过渡矩阵C的性质：的性质：的性质：的性质：C C为非奇异矩阵为非奇异矩阵为非奇异矩阵为非奇异矩阵C的第的第的第的第i i列是列是列是列是 i i 在基在基在基在基 i i 下的坐标下的坐标则则过过过过渡渡渡渡矩矩矩矩阵阵阵阵现在学习的是第12页，共146页2坐标变换公式坐标变换公式已知已知空间中两组基：空间中两组基：满足满足:;讨论讨论X和和Y的关系的关系X=CYX=CY123现在学习的是第13页，共146页例题例题4、已知空间已知空间R中两组基

12、中两组基（I）Eij（II）；）；1.求从基（求从基（I）到基（到基（II）的过渡矩阵的过渡矩阵C。2.求向量求向量在基（在基（II）的坐标的坐标Y。例题例题3、（P6例题例题11）现在学习的是第14页，共146页1.1五、五、子空间子空间概述：概述：线性空间线性空间Vn（F）中，向量集合中，向量集合V可以可以有集合的运算和关系：有集合的运算和关系：Wi V，W1 W2，W1 W2，问问题题：这这些些关关系系或或运运算算的的结结果果是是否否仍仍然然为为线线性空间性空间？现在学习的是第15页，共146页1、子空间的概念定定义义：设设集集合合W Vn（F），W，如如果果W中中的的元元素素关关于于V

13、n（F）中中的的线线性性运运算算为为线线性性空空间，则称间，则称W是是Vn（F）的子空间的子空间。判别方法：判别方法：定理定理15W是子空间是子空间W对对Vn（F）的线性运算封闭的线性运算封闭。子空间本身就是线性空间。子空间本身就是线性空间。子空间本身就是线性空间。子空间本身就是线性空间。子空间的判别方法可以作为判别线性空间的方法子空间的判别方法可以作为判别线性空间的方法现在学习的是第16页，共146页重要的子空间：重要的子空间：设设向向量量组组 1，2，m Vn（F），由它们的一切线性组合生成的子空间：由它们的一切线性组合生成的子空间：L 1，2，m=矩阵矩阵A F mn，两个子空间：两个子

14、空间：A的零空间：的零空间：N（A）=X：AX=0 F n，A的列空间：的列空间：R（A）=LA1，A2，A n F m，Ai为为A的第的第i列。列。现在学习的是第17页，共146页2、子空间的子空间的“交空间交空间”与与“和空间和空间”讨讨论论：设设设设WW 1 1 V Vn n（F F），WW2 2 V Vn n（F F），且且且且都都都都是是是是子子子子空空空空间，则间，则间，则间，则WW1 1 WW2 2和和和和WW1 1 W2 2是否仍然是子空间？是否仍然是子空间？是否仍然是子空间？是否仍然是子空间？1.1.（1 1）交空间交空间 交集：交集：交集：交集：WW1 1 WW2 2=WW

15、1 1 而且而且而且而且 WW2 2 V Vn n（F F）定理定理定理定理1616 WW1 1 WW2 2是子空间，被称为是子空间，被称为是子空间，被称为是子空间，被称为“交空间交空间交空间交空间”（2 2）和空间）和空间）和空间）和空间和的集合：和的集合：和的集合：和的集合：WW1 1WW2 2=X=X1 1X X2 2 X X1 1 WW1 1，X X2 2 WW2 2，WW1 1 WW2 2 W W1 1WW2 2定理定理定理定理1616 WW1 1WW2 2是子空间，被称为是子空间，被称为是子空间，被称为是子空间，被称为“和空间和空间和空间和空间”，WW1 1 WW2 2不一定是子空

16、间，不一定是子空间，不一定是子空间，不一定是子空间，WW1 1 WW2 2 W W1 1WW2 2 现在学习的是第18页，共146页例例17设设R3中的子空间中的子空间W1=Le1，W2=Le2 求和空间求和空间求和空间求和空间WW1 1W2 2。比较：集合比较：集合比较：集合比较：集合WW1 WW2 2和集合和集合WW1 1WW2 2。如果如果如果如果WW1 1=L=L 1 1，2，mm，WW2 2=L 1，2 2，k k，则则WW1 1WW2 2=L=L 1 1，2，mm，1，2 2，kk 现在学习的是第19页，共146页3、维数公式、维数公式子空间的包含关系子空间的包含关系：dimWW1

17、 1 WW22 dimdimWi dimdimWW1 1WW22 dimdimV Vn（F F）。）。）。）。定理定理17：dimWW1dimW2=dimdim（W1W2）dim（WW1 1 W2 2）证明：证明：证明：证明：现在学习的是第20页，共146页4、子空间的直和、子空间的直和分析分析：如果如果dimdim（WW1 1 WW2 2）0 0，则则dim（WW1 1WW2 2）dimdimWW1 1dimdimWW2所以：所以：dim（W1W2）=dimW1dimW2dim（W1 W2）=0W1 W2=0直和的定义直和的定义直和的定义直和的定义：定义定义16：dim（W1 W2）=0，则

18、和为直和则和为直和W=W1W2=W1 W2，现在学习的是第21页，共146页子空间的子空间的“和和”为为“直和直和”的充要的充要条件条件：定理18设设W=W1W2，则下列各条等价：则下列各条等价：（1）W=W1 W2（2）X W，X=X1X2的表的表是惟一的是惟一的（3）W中零向量的表示是惟一的中零向量的表示是惟一的（4）dimW=dimW1dimW2现在学习的是第22页，共146页例例1P12eg18例例2设在设在Rnn中，子空间中，子空间W1=A AT=A，W2=B BT=B，证明证明Rnn=W1 W2。例例3子空间子空间W的的“直和补子空间直和补子空间”现在学习的是第23页，共146页1

19、2内积空间内积空间主题：主题：定义内积的概念，借助于内积建立线性定义内积的概念，借助于内积建立线性定义内积的概念，借助于内积建立线性定义内积的概念，借助于内积建立线性 空间的度量关系。空间的度量关系。一、一、欧氏空间和酉空间欧氏空间和酉空间欧氏空间和酉空间欧氏空间和酉空间11几何空间中度量关系的定义基础几何空间中度量关系的定义基础几何空间中度量关系的定义基础几何空间中度量关系的定义基础22内积的定义内积的定义内积的定义内积的定义定义定义定义定义17(17(P13)P13)：要点：要点：要点：要点 内积内积内积内积(，)是二元运算：是二元运算：Vn n(F F)FF (，)的公理性质的公理性质的

20、公理性质的公理性质 (，)是任何满足定义的运算。是任何满足定义的运算。是任何满足定义的运算。是任何满足定义的运算。讨论讨论讨论讨论(，1 1 2),(，k k )现在学习的是第24页，共146页3.内积空间的定义内积空间的定义 Vn（F）；（）；（，），F=RF=R，欧氏空间；欧氏空间；F=CF=C，酉空间酉空间酉空间酉空间4常见的内积空间：常见的内积空间：Rn；(，)=TT ,CCn；(，)=H,CCmmnn；(A A，B B)=tr=tr(B BHAA)PPnX；(f f(x x)，g g(x x)=现在学习的是第25页，共146页5向量的长度向量的长度定义：定义：|=6欧氏空间中向量的夹

21、角：欧氏空间中向量的夹角：定义：定义：0，0，夹角，夹角 定义为：定义为：cos=性质：性质：|k k|=k|；CauchyCauchy不等式：不等式：不等式：不等式：，V Vn n(F F)；(，),|(，)|。|和和和和 正交正交正交正交 （，）=0=0 现在学习的是第26页，共146页7线性空间的内积及其计算：线性空间的内积及其计算：设设 1，2，,n是是内内积积空空间间Vn(F)的的基基，Vn(F)，则有则有=x1 1x2 2x n n=(1 2 n)X；=y1 1y2 2y n n=(1 2 n)Y(，)=Y HAX，定义内积定义内积在一个基在一个基 1，2，n中定义内积中定义内积定

22、义一个度量矩阵定义一个度量矩阵A。度度量量矩矩阵阵A度量矩阵的性质：度量矩阵的性质：现在学习的是第27页，共146页二、标准正交基二、标准正交基1标准正交的向量组：标准正交的向量组：定义：定义：定义：定义：1 1，2，n n为正交组为正交组(i，j j)=0性质：性质：2标准正交基标准正交基基基 1，22，n n是标准正交基是标准正交基是标准正交基是标准正交基(i，j)=标准正交基的优点：标准正交基的优点：标准正交基的优点：标准正交基的优点：现在学习的是第28页，共146页标准正交基的优点：标准正交基的优点：度量矩阵是单位矩阵，即度量矩阵是单位矩阵，即度量矩阵是单位矩阵，即度量矩阵是单位矩阵，

23、即A=I =(1 1 2 2 nn)X，=(1 1 2 2 n)Y Y，(，)=Y=YHHX =x x1 1 1 1x x2 2 2 2x x n n，xi i=(，i i)和和和和 正交正交正交正交其坐标其坐标其坐标其坐标 X X和和Y Y正交正交正交正交坐坐坐坐标标标标空空空空间间间间Fn的的的的内内内内积积积积求标准正交基的步骤求标准正交基的步骤：1.Schmidt正交化正交化2.标准化标准化3.矩阵方法讨论矩阵方法讨论现在学习的是第29页，共146页正交补正交补”子空间子空间(i)集合的集合的U的正交集：的正交集：U=Vn(F)：U，(，)=0(ii)U是是Vn(F)的子空间的子空间U

24、 是是Vn(F)子空间子空间(iii)Vn(F)=U U。U的正交补子空间的正交补子空间现在学习的是第30页，共146页13线性变换线性变换一、一、线性变换的概念线性变换的概念定义定义1.11(P.19)要点：要点：（i）T是是Vn（F）中的变换：中的变换：T：Vn（F）Vn（F）。）。(ii)T具有线性性：具有线性性：T（）=T（）T（）T（k）=kT（）从一般性的角度给出的定义从一般性的角度给出的定义现在学习的是第31页，共146页例例例例题题题题1 1 Vn n（F F）中中中中的的的的相相相相似似似似变变变变换换换换T ：是是F F中中中中的的的的数数数数，V Vn（F F），），），

25、），T T （）=。特例：特例：=1，TT 是恒等变换，是恒等变换，是恒等变换，是恒等变换，=0=0，T T 是零变换。是零变换。可以在任何线性空间中可以在任何线性空间中定义相似变换定义相似变换!例题例题2Fn中的变换中的变换TA：设设A Fnn是一个给定的是一个给定的矩阵，矩阵，X Fn，TA（X）=AX。例题例题3PnX中的微分变换：中的微分变换：现在学习的是第32页，共146页2线性变换的性质：线性变换的性质：（i）T(0)=0（ii）T()=T()（iii）3 3线性变换的象空间和零空间线性变换的象空间和零空间线性变换的象空间和零空间线性变换的象空间和零空间设线性变换设线性变换设线性变

26、换设线性变换T T：V Vn n(FF)V Vn n(FF)，象空间象空间象空间象空间 R R(T T)=：V Vn n(F F)，=T=T()零空间零空间零空间零空间 N N（T T）=：V Vn n(FF)，TT()=0=0定义：定义：定义：定义：TT的秩的秩的秩的秩=dimdimRR（T T）；）；）；）；TT的零度的零度的零度的零度=dim dim N N（T T）线性变换保持线性线性变换保持线性线性变换保持线性线性变换保持线性相关性不变！相关性不变！相关性不变！相关性不变！现在学习的是第33页，共146页例题例题27求求Fn线性中的变换线性中的变换TA:Y=AX的象空间的象空间和零空

27、间。和零空间。R（TA）=R（A）；）；N（TA）=N（A）现在学习的是第34页，共146页4线性变换的运算线性变换的运算线性变换的运算线性变换的运算设设T1 1，T T2 2都都都都是是是是空空空空间间间间V Vn(F F)中中中中的的的的线线线线性性性性变变变变换换换换，常常常常见见见见的的的的用用用用它它它它们们们们构构构构成成成成的新的变换：的新的变换：的新的变换：的新的变换：（i i）T T1 1T T22 V Vn n（F F），），），），（T T1 1T T2 2）（）（）（）（）=T=T1 1（）T T2 2（）（ii ii）T T1T T2 2 V Vn n（F），），(T

28、 T1T T2 2)（）=T=T1 1（T T2（）（iiiiii）k kTT V Vn n（F F），），），），（k kT T）（）（）（）（）=k k（T T（）（iviv）若若若若TT1 1是可逆变换，是可逆变换，是可逆变换，是可逆变换，T T1 1 TT1()=当且仅当当且仅当当且仅当当且仅当T T()=。定义定义定义定义现在学习的是第35页，共146页二、二、线性变换的矩阵线性变换的矩阵1线性变换的矩阵与变换的坐标式线性变换的矩阵与变换的坐标式Vn（F）上线性变换的特点分析：上线性变换的特点分析：定义变换定义变换T确定基中向量的象确定基中向量的象T（i）。）。定义定义T（i）确定它

29、在基下确定它在基下 i的坐标的坐标Ai。定义变换定义变换T确定矩阵确定矩阵A=A1，A2，An（i）AA为变换矩阵为变换矩阵为变换矩阵为变换矩阵（ii ii）变换的坐标式：变换的坐标式：Y=AX（iii）应用意义应用意义应用意义应用意义现在学习的是第36页，共146页例题例题1对线性变换对线性变换:P4XP4X，1求求D在基在基1，X，X2，X3下的变换矩阵。下的变换矩阵。2求求向向量量在在变变换换D下的象。下的象。现在学习的是第37页，共146页2线性变换运算的矩阵对应：线性变换运算的矩阵对应：设设Vn（F）上上的的线线性性变变换换T1，T2，它它们们在在同同一一组基下的矩阵：组基下的矩阵：

30、T1A1；T2A2（i）（T1T2）（A1A2）（ii）（T1T2）A1A2（iii）（kT）kA（iv）T1A1现在学习的是第38页，共146页3不同基下的变换矩阵不同基下的变换矩阵两组基：两组基：1，2，,n，1，2，,n，（1 2 n）=（1 2 n）CT（1 2 n）=（1 2 n）AT（1 2 n）=（1 2 n）B同一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的同一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的B=C1AC123例题例题2（P23，eg28）现在学习的是第39页，共146页例题例题2（P23，eg28）例题例题3（P24，eg29）设单位向量设单位向量u=（2/3，-2/3，-1/3），

31、定定R3上的线上的线性变换性变换P（x）=x-（x，u）u，1.求求P在自然基在自然基e1，e2，e3下的变换矩阵。下的变换矩阵。2.求求P在标准正交基在标准正交基u，u2，u3下的变换矩阵。下的变换矩阵。现在学习的是第40页，共146页三、不变子空间三、不变子空间问题的背景：问题的背景：变换矩阵的化简和空间的分解的对应关系变换矩阵的化简和空间的分解的对应关系1.不变子空间的概念不变子空间的概念矩阵简化要求空间分解的特点矩阵简化要求空间分解的特点定义定义定义定义(p24,p24,定义定义1.14)1.14)2.不变子空间的判别不变子空间的判别WW是是是是T T的不变子空间的不变子空间的不变子空

32、间的不变子空间 WWT（）WW。特别：特别：特别：特别：W=LW=L 1 1，2 2，mm，WW是是是是T T的不变子空间的不变子空间的不变子空间的不变子空间T T（i i）WW。T T（WW）WW。现在学习的是第41页，共146页P24，例题例题30R3上的正交投影上的正交投影P：P（x）=x（x，u）u，u是单位向量。证明是单位向量。证明L（u）和和u =x：（：（x，u）=0是是P的不变子空间。的不变子空间。现在学习的是第42页，共146页3空间分解与矩阵分解空间分解与矩阵分解V Vn n（F F）=W=W U U，WW，U U是是是是T T的不变子空间的不变子空间的不变子空间的不变子空

33、间，W=L 1，r r，U=U=r r+1+1，n n 则则则则T T 1 1，r r，r r +1+1，n n Vn（F）=U1 U2 Uk，则则T矩阵矩阵Ai 的阶数的阶数=dim Ui现在学习的是第43页，共146页四、四、正交变换和酉变换正交变换和酉变换讨论内积空间讨论内积空间讨论内积空间讨论内积空间 V V；（；（；（；（，）中最重要的一类变换。中最重要的一类变换。中最重要的一类变换。中最重要的一类变换。11定义定义定义定义1 1.15 15（P25P25）22正交（酉）变换的充要条件：正交（酉）变换的充要条件：正交（酉）变换的充要条件：正交（酉）变换的充要条件：（定理（定理（定理（

34、定理1 1.15,15,P26P26）T T是内积空间是内积空间是内积空间是内积空间V V（F F）上的线性变换，则下列上的线性变换，则下列上的线性变换，则下列上的线性变换，则下列命题等价：命题等价：命题等价：命题等价：T T是正交变换是正交变换是正交变换是正交变换T T保持向量的长度不变保持向量的长度不变保持向量的长度不变保持向量的长度不变T T把把把把V V（F F）的标准正交基变成标准正交基的标准正交基变成标准正交基的标准正交基变成标准正交基的标准正交基变成标准正交基T T在标准正交基下的矩阵是正交矩阵在标准正交基下的矩阵是正交矩阵在标准正交基下的矩阵是正交矩阵在标准正交基下的矩阵是正交

35、矩阵3 3正交矩阵和酉矩阵的性质正交矩阵和酉矩阵的性质正交矩阵和酉矩阵的性质正交矩阵和酉矩阵的性质正交矩阵正交矩阵正交矩阵正交矩阵C C：C CT TC=IC=I 酉矩阵酉矩阵酉矩阵酉矩阵U U：UUHHU=IU=I定理定理定理定理1 1.1616(P27)P27)现在学习的是第44页，共146页常见的基本正交变换常见的基本正交变换：平面上的旋转平面上的旋转平面上的旋转平面上的旋转几何描述：几何描述：绕坐标原点，逆时针旋转一个绕坐标原点，逆时针旋转一个绕坐标原点，逆时针旋转一个绕坐标原点，逆时针旋转一个 角。角。角。角。变换矩阵：在自然基下，变换矩阵：在自然基下，变换矩阵：在自然基下，变换矩阵

36、：在自然基下，R3空间中的镜像变换空间中的镜像变换空间中的镜像变换空间中的镜像变换定义：定义：定义：定义：S S（x x）=x x2 2（x x，u u）u u。变换矩阵与几何意义变换矩阵与几何意义变换矩阵与几何意义变换矩阵与几何意义空间中的旋转空间中的旋转几何描述：绕空间中过原点的几何描述：绕空间中过原点的几何描述：绕空间中过原点的几何描述：绕空间中过原点的 一根直线一根直线一根直线一根直线L L，旋转一旋转一旋转一旋转一 个个个个 角。角。角。角。变换矩阵变换矩阵变换矩阵变换矩阵现在学习的是第45页，共146页例题例题1求求R3中绕过原点、以中绕过原点、以u=（1，1，1）T为正向为正向的

37、直线，顺的直线，顺u方向看去是逆时针的旋转变换方向看去是逆时针的旋转变换T在在R3中自中自然基下的变换矩阵。然基下的变换矩阵。现在学习的是第46页，共146页五、线性空间五、线性空间Vn(F)Vm(F)的线性变换的线性变换定义定义定义定义1.16(1.16(P.2828)要点：要点：要点：要点：（i i）V Vnn(F F)，=T(T()V Vmm(F)(ii)T(ii)T具有线性性：具有线性性：T(1 2)=T)=T（1 1）T(T(2 2)TT（k k ）=kT(=kT()例题例题1(P29，eg34)例题例题2（P29，eg35）现在学习的是第47页，共146页T的变换矩阵的变换矩阵：T

38、：Vn(F)Vm(F)设设 1，2，,n是空间是空间Vn(F)的基，的基，1，2，,m是空间是空间Vm(F)的基，的基，T(1，2，,n)=(1，2，,m)AA是变换矩阵。是变换矩阵。现在学习的是第48页，共146页T在不同基下变换矩阵的关系在不同基下变换矩阵的关系设在两个空间中分别取两组基：设在两个空间中分别取两组基：设在两个空间中分别取两组基：设在两个空间中分别取两组基：分析线性变换在两组基下变换矩阵的关系分析线性变换在两组基下变换矩阵的关系分析线性变换在两组基下变换矩阵的关系分析线性变换在两组基下变换矩阵的关系现在学习的是第49页，共146页推荐练习题：第一章推荐练习题：第一章P31：1

39、（3），（），（4），），2，4，6，9，10，13，17，20，23，24，26，28，29，31现在学习的是第50页，共146页第第1章勘误表章勘误表diyiban位置位置误误 正正P.9，例题例题16AF nnAF mnP.14，第4行（，）2 （，）2P.16，第1行P P.17.17，倒倒倒倒7 7和倒和倒和倒和倒8 8L 1，2，L 1，2，P.22，倒3 ei P（ei）P.27习题一上方习题一上方 u W现在学习的是第51页，共146页第第2章：章：Jordan标准形介绍标准形介绍JordanCanonicalForm现在学习的是第52页，共146页第第2章：章：Jordan标

40、准形介绍标准形介绍问题：问题：问题：问题：对线性空间中的线性变换对线性空间中的线性变换对线性空间中的线性变换对线性空间中的线性变换T T，求一组基求一组基求一组基求一组基 1 1，22，n n 和和和和矩阵矩阵矩阵矩阵J J，使，使，使，使T:T:1 1，22，n n JJ 矩阵矩阵矩阵矩阵JJ尽可能简单。尽可能简单。尽可能简单。尽可能简单。矩阵矩阵矩阵矩阵J J的结构对任何变换可行的结构对任何变换可行的结构对任何变换可行的结构对任何变换可行内容：内容：首选首选首选首选A A为对角形为对角形为对角形为对角形 线性线性线性线性变换的对角化问题。变换的对角化问题。变换的对角化问题。变换的对角化问题

41、。建立建立建立建立J J一般的结构一般的结构一般的结构一般的结构 JordanJordan标准形理论。标准形理论。标准形理论。标准形理论。JordanJordan方法及其应用方法及其应用方法及其应用方法及其应用方法：方法：方法：方法：用矩阵的相似化简研究问题用矩阵的相似化简研究问题用矩阵的相似化简研究问题用矩阵的相似化简研究问题 JordanJordan化方法化方法化方法化方法重点：重点：重点：重点：现在学习的是第53页，共146页2.1线性变换的对角表示线性变换的对角表示背景：背景：T(11 22 n n)=(11 22 n)一、变换一、变换T的特征值与特征向量的特征值与特征向量1.定义定义

42、(p35p35，定义定义定义定义2 2.1 1)2.求解分析：求解分析：(p35，定理定理定理定理2 2.1 1)1.1.(1 1 22 n n)线性无关线性无关线性无关线性无关2.2.T T i=i i i i；LL i 是不变子空间是不变子空间是不变子空间是不变子空间AA的特征值就是的特征值就是的特征值就是的特征值就是T T的特征值的特征值的特征值的特征值AA的特征向量是的特征向量是的特征向量是的特征向量是T T的特征向量的坐标的特征向量的坐标的特征向量的坐标的特征向量的坐标现在学习的是第54页，共146页例题例题1(p37，例题例题2.1)3、特征向量的空间性质特征向量的空间性质1)特征

43、子空间：特征子空间：2)特征子空间的性质：特征子空间的性质：(p36，定理定理2.2)V i是不变子空间是不变子空间是不变子空间是不变子空间 i i j j，则，则，则，则V V i i V i i=01)1)若若若若 i i是是k ki i重特征值，则重特征值，则重特征值，则重特征值，则1 1 dimdimV V i i ki i 推论推论：若若 i是单特征值，则是单特征值，则dimV i=1V 1+V 2+=V s=V 1 V 2V sV 1 V 2V s Vn（F）现在学习的是第55页，共146页二、线性变换矩阵对角化的充要条件二、线性变换矩阵对角化的充要条件T可以对角化可以对角化T有有

44、n个线性无关的特征向量。个线性无关的特征向量。dimV i=ndimV i=ki定理定理2.4(p39)T可以对角化可以对角化T的变换矩阵的变换矩阵A可以对角化。可以对角化。现在学习的是第56页，共146页例题例题2已知已知 1，2，3是空间是空间V3（F）的的基，基，T是空间上如下定义的线性变换，是空间上如下定义的线性变换，T（1）=1T（2）=2 2T（3）=1+t 2+2 3讨论：讨论：t为何值，为何值，T有对角矩阵表示有对角矩阵表示例题例题3证明幂等变换证明幂等变换(T2=T)有对角矩阵表示。有对角矩阵表示。现在学习的是第57页，共146页2.2Jordan矩阵介绍矩阵介绍目标：目标：

45、目标：目标：发展一个所有方阵都能与之相似的矩阵结发展一个所有方阵都能与之相似的矩阵结发展一个所有方阵都能与之相似的矩阵结发展一个所有方阵都能与之相似的矩阵结构构构构-JordanJordan矩阵。矩阵。一、一、一、一、JordanJordan矩阵矩阵1.Jordan块块(p40p40，定义定义定义定义2 2.3 3)1.1.形式形式形式形式：2.2.确定因素：确定因素：确定因素：确定因素：3.3.JordanJordan块矩阵的例子：块矩阵的例子：块矩阵的例子：块矩阵的例子：值值值值 矩阵的阶数矩阵的阶数矩阵的阶数矩阵的阶数例题例题例题例题1 1 下列矩阵哪些是下列矩阵哪些是下列矩阵哪些是下列

46、矩阵哪些是JordanJordan块？块？块？块？现在学习的是第58页，共146页1)形式：形式：2)Jordan矩阵举例矩阵举例3)特点特点元素的结构元素的结构元素的结构元素的结构JordanJordan矩阵是上三角矩阵矩阵是上三角矩阵矩阵是上三角矩阵矩阵是上三角矩阵对角矩阵是对角矩阵是对角矩阵是对角矩阵是JordanJordan矩阵矩阵矩阵矩阵2Jordan矩阵矩阵3Jordan标准形标准形定理定理定理定理2 2.55(p41p41)含义：含义：含义：含义：JordanJordan矩阵可以作为相似标准形。矩阵可以作为相似标准形。矩阵可以作为相似标准形。矩阵可以作为相似标准形。惟一性：惟一性

47、：惟一性：惟一性：JordanJordan子块的集合惟一。子块的集合惟一。A A相似于相似于相似于相似于BJA A相似于相似于J JB B现在学习的是第59页，共146页二、方阵二、方阵A的的Jordan标准形的求法标准形的求法目标：目标：目标：目标：求可逆矩阵求可逆矩阵P和和和和JordanJordan矩阵矩阵矩阵矩阵J JAA，使，使AP=PJAP=PJA A分析方法：分析方法：分析方法：分析方法：在定理在定理在定理在定理2 2.5.5的基础上逆向分析矩阵的基础上逆向分析矩阵的基础上逆向分析矩阵的基础上逆向分析矩阵J JA 和和和和P P的构成。的构成。求法与步骤：求法与步骤：求法与步骤：

48、求法与步骤：矩阵矩阵矩阵矩阵A和和和和J JA的特征值相等的特征值相等的特征值相等的特征值相等细分矩阵细分矩阵细分矩阵细分矩阵P Pi i和和和和 J Ji i，在，在，在，在JordanJordan块上，有块上，有块上，有块上，有现在学习的是第60页，共146页Jordan链条链条，y2，ynj特征向量特征向量特征向量特征向量广义特征向量广义特征向量广义特征向量广义特征向量现在学习的是第61页，共146页方法步骤：方法步骤：由特征值由特征值由特征值由特征值 i i的代数重数确定主对角线元素是的的代数重数确定主对角线元素是的的代数重数确定主对角线元素是的的代数重数确定主对角线元素是的 i i的

49、的Jordan矩阵矩阵矩阵矩阵J J(i i)的阶数。的阶数。由特征值由特征值由特征值由特征值 i i对应的线性无关的特征向量的个数确定对应的线性无关的特征向量的个数确定对应的线性无关的特征向量的个数确定对应的线性无关的特征向量的个数确定 J J(i i)中中中中JordanJordan块的个数块的个数由特征向量求得的由特征向量求得的由特征向量求得的由特征向量求得的JordanJordan链条的长度确定链条的长度确定链条的长度确定链条的长度确定JordanJordan块的阶块的阶块的阶块的阶数数数数链条中的向量合起来构成可逆矩阵链条中的向量合起来构成可逆矩阵链条中的向量合起来构成可逆矩阵链条中

50、的向量合起来构成可逆矩阵P P，JordanJordan块构成块构成块构成块构成J JA A例题例题例题例题1 1(p44p44，例题例题5)例题例题例题例题2 2(p45p45，例题例题例题例题6 6)现在学习的是第62页，共146页例题例题3将矩阵将矩阵A化为化为Jordan矩阵。矩阵。例题例题4(p46，例题例题7)现在学习的是第63页，共146页2.3最小多项式最小多项式(minimalpolynomials)讨论讨论n阶矩阵多项式的相关问题：阶矩阵多项式的相关问题：矩阵多项式（重点是计算）矩阵多项式（重点是计算）矩阵多项式（重点是计算）矩阵多项式（重点是计算）矩阵的化零多项式（矩阵的