等差数列的前项和优质课比赛优秀课件.ppt

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1、等差数列的前项和优质课比赛课件第1页，本讲稿共26页高斯（高斯（Gauss,17771855），德），德国著名数学家，他研究的内容涉国著名数学家，他研究的内容涉及数学的各个领域，是历史上最及数学的各个领域，是历史上最伟大的数学家之一，被誉为伟大的数学家之一，被誉为“数数学王子学王子”.第2页，本讲稿共26页 有一次，老师与高斯去买铅笔，在商店发现了一个堆放铅笔的V形架，V形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放100支.老师问：高斯，你知道这个V形架上共放着多少支铅笔吗？创设情景创设情景问题就是：问题就是：计算计算1 2 3 99 100第3页，本讲稿共26页

2、高斯的算法高斯的算法计算：计算：1 2 3 99 100 高高斯斯算算法法的的高高明明之之处处在在于于他他发发现现这这100100个个数数可以分为可以分为5050组：组：第一个数与最后一个数一组；第一个数与最后一个数一组；第二个数与倒数第二个数一组；第二个数与倒数第二个数一组；第三个数与倒数第三个数一组，第三个数与倒数第三个数一组，每每组组数数的的和和均均相相等等，都都等等于于101101，5050个个101101就就等等于于50505050了了。高高斯斯算算法法将将加加法法问问题题转转化化为为乘法运算，迅速准确得到了结果乘法运算，迅速准确得到了结果.首尾配首尾配对相加对相加法法中间的一组数是

3、什么呢？第4页，本讲稿共26页若V形架的的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层有很多支铅笔，老师说有n支。问：这个V形架上共放着多少支铅笔？创设情景创设情景问题就是：问题就是：1 2 3 (n-1)n若用首尾配对相加法，需要分类讨论若用首尾配对相加法，需要分类讨论.三角形平行四边形第5页，本讲稿共26页n (n-1)(n-2)2 1倒序相加法倒序相加法 那么，对一般的等差数列，如何求它的前前n项和项和呢？前前n项和项和分析：这其实是求一个具体的等差数列前n项和.第6页，本讲稿共26页问题分析问题分析已知等差数列已知等差数列 an 的首项为的首项为a1，项数是，项数

4、是n，第，第n项为项为an，求前求前n项和项和Sn.如何才能将如何才能将等式的右边等式的右边化简？化简？第7页，本讲稿共26页由此得到等差数列的由此得到等差数列的 an 前前n n项和的公式项和的公式即：等差数列前即：等差数列前n项的和等于项的和等于首末项首末项的的和和与与项数项数乘乘积积的一半的一半。上面的公式又可以写成上面的公式又可以写成差由等数列的通项公式an=a1+(n-1)d解题时需根据已知条件决定选用哪个公式解题时需根据已知条件决定选用哪个公式。知三求二第8页，本讲稿共26页公式的记忆公式的记忆我们可结合梯形的面积公式来记忆等差数列前我们可结合梯形的面积公式来记忆等差数列前 n 项

5、和公式项和公式.na1an第9页，本讲稿共26页公式的记忆公式的记忆我们可结合梯形的面积公式来记忆等差数列前 n 项和公式.a1(n-1)dna1an将图形分割成一个平行四边形和一个三角形将图形分割成一个平行四边形和一个三角形.第10页，本讲稿共26页公式应用公式应用 根据下列各题中的条件，求相应的等差数列an的Sn：（1）a1=5，an=95，n=10 （2）a1=100，d=2，n=505002550第11页，本讲稿共26页 已知等差数列已知等差数列an(2)a14，S8172，求，求a8和和d.思路探索思路探索 根据等差数列前根据等差数列前n项和公式解方程项和公式解方程题型一与等差数列前

6、n项和有关的基本量的计算【例1】第12页，本讲稿共26页 a1，d，n称为等差数列的三个基本量，称为等差数列的三个基本量，an和和Sn都可以用这都可以用这三个基本量来表示，五个量三个基本量来表示，五个量a1，d，n，an，Sn中可知三求二，一中可知三求二，一般通过通项公式和前般通过通项公式和前n项和公式联立方程项和公式联立方程(组组)求解，在求解过程求解，在求解过程中要注意整体思想的运用中要注意整体思想的运用第13页，本讲稿共26页 在等差数列在等差数列an中；中；(1)已知已知a610，S55，求，求a8和和S10；(2)已知已知a3a1540，求，求S17.【变式1】第14页，本讲稿共26

7、页解：由题意，该市在解：由题意，该市在“校校通校校通”工程中每年投入的资金构工程中每年投入的资金构成等差数列成等差数列an，【例例2 2】20002000年年1111月月1414日教育部下发了日教育部下发了关于在中小学实施关于在中小学实施“校校通校校通”工程的通知工程的通知，某市据此提出了实施，某市据此提出了实施“校校通校校通”工程工程的总目标：从的总目标：从20012001年起用年起用1010年的时间，在全市中小学建成不同年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网标准的校园网.据测算，据测算，20012001年该市用于年该市用于“校校通校校通”工程的经工程的经费为费为500500万元万元.为

8、了保证工程的顺利实施，为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金计划每年投入的资金都比上一年增加都比上一年增加5050万元万元.那么，从那么，从20012001年起的年起的未来未来1010年内年内，该，该市在市在“校校通校校通”工程中的工程中的总投入总投入是多少？是多少？故，该市在未来故，该市在未来10年内的总投入为年内的总投入为答：从答：从2001年起的未来年起的未来10年内，该市在年内，该市在“校校通校校通”工程中的工程中的总投入是总投入是7250万元万元.且且a1=500,d=50,n=10.题型二 利用等差数列求和公式解决实际问题第15页，本讲稿共26页【变式2】一个屋顶的某一斜面成等

9、腰梯形，最上面一层铺瓦片21块，往下每一层多铺1块，斜面上铺了19层，共铺瓦片多少块？解：由题意，该屋顶斜面每层所铺的瓦片数构成等差解：由题意，该屋顶斜面每层所铺的瓦片数构成等差数列数列an，且，且a1=21，d=1，n=19.答：屋顶斜面共铺瓦片答：屋顶斜面共铺瓦片570块块.于是，屋顶斜面共铺瓦片：第16页，本讲稿共26页题型三利用Sn求an 已知数列已知数列an的前的前n项项和和Sn32n，求，求an.解解(1)当当n1时时，a1S1325.(2)当当n2时时，Sn132n1，又又Sn32n，anSnSn12n2n12n1.又当又当n1时时，a121115，【例3】第17页，本讲稿共26

10、页 (1)已知已知Sn求求an，其方法是，其方法是anSnSn1(n2)，这里常，这里常常因为忽略条件常因为忽略条件“n2”而出错而出错第18页，本讲稿共26页已知数列已知数列an的前的前n项项和和Sn2n23n，求，求an.解解a1S15，当当n2时时，anSnSn1(2n23n)2(n1)23(n1)4n1，当当n1时时也适合，也适合，an4n1.【变式3】第19页，本讲稿共26页【例例4】已知一个等差数列的前已知一个等差数列的前10项的和是项的和是310，前，前20项的和是项的和是1220，由此可以确定求其，由此可以确定求其前前n项和的公式吗？项和的公式吗？解：由于解：由于S10310，

11、S201220，将它们代入公，将它们代入公式式可得可得所以所以题型四 已知等差数列的某些项的和求出n项和第20页，本讲稿共26页【例4】已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，由此可以确定求其前n项和的公式吗？另解：两式相减得第21页，本讲稿共26页一个等差数列的前一个等差数列的前10项项之和之和为为100，前，前100项项之和之和为为10，求前，求前110项项之和之和思路探索思路探索 解答本题可利用前解答本题可利用前n项和公式求出项和公式求出a1和和d，即可，即可求出求出S110，或利用等差数列前，或利用等差数列前n项和的性质求解项和的性质求解【变式4】第22页，本讲

12、稿共26页第23页，本讲稿共26页故此数列的前故此数列的前110项项之和之和为为110.法二法二数列数列S10，S20S10，S30S20，S100S90，S110S100为为等差数列，等差数列，设设公差公差为为d，则则又又S10100，代入上式得，代入上式得d22，S110S100S10(111)d10010(22)120，S110120S100110.法三法三设设等差数列等差数列an的前的前n项项和和Snan2bn.S10100，S10010，第24页，本讲稿共26页第25页，本讲稿共26页解决此类问题的方法较多，法一、法三是利用方解决此类问题的方法较多，法一、法三是利用方程的思想方法确定出系数，从而求出程的思想方法确定出系数，从而求出Sn；法二是利用等差；法二是利用等差数列的数列的“片断和片断和”性质，构造出新数列，从而使问题得到解性质，构造出新数列，从而使问题得到解决决第26页，本讲稿共26页