第一节映射与函数精选PPT.ppt

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1、第一节 映射与函数第1页，本讲稿共49页联系地点联系地点 长春工业大学基础学院长春工业大学基础学院电子邮件电子邮件 第2页，本讲稿共49页 初等数学初等数学研究对象：研究对象：常量常量初等方法：初等方法：有限的方法有限的方法初等数学是用初等数学是用有限的方法有限的方法研究常量的数学研究常量的数学 高等数学高等数学 研究对象：研究对象：变量（函数）变量（函数）研究方法：研究方法：极限的方法极限的方法 高等数学是用高等数学是用极限的方法极限的方法研究变量的数学研究变量的数学绪绪第3页，本讲稿共49页一元微分学一元微分学一元积分学一元积分学多元微分学多元微分学空间解析几空间解析几何何多元积分学多元积

2、分学级数级数常微分方程常微分方程高等高等数学数学第4页，本讲稿共49页第一章第一章 函数与极限函数与极限第一节第一节 映射与函数映射与函数第二节第二节 数列的极限数列的极限第三节第三节 函数的极限函数的极限第四节第四节 无穷小与无穷大无穷小与无穷大第五节第五节 极限运算法则极限运算法则第六节第六节 极限存在准则极限存在准则 两个重要极限两个重要极限第5页，本讲稿共49页第七节第七节 无穷小的比较无穷小的比较第八节第八节 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点第九节第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性连续函数的运算与初等函数的连续性第十节第十节 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质

3、第6页，本讲稿共49页第一节第一节 映射与函数映射与函数一、一、集合集合二、二、映射映射三、三、函数函数第7页，本讲稿共49页 一、集合一、集合集合与元素之间的关系集合与元素之间的关系aM：若：若x是集合的元素；是集合的元素；1.1.集合概念集合概念(1)集合：集合：具有某种特定性质的事物的总体，具有某种特定性质的事物的总体，集合的元素通常用集合的元素通常用A，B，S，T 等表示等表示.元素元素:组成这个集合的事物组成这个集合的事物 集合的元素通常用集合的元素通常用a，b，x，y等表示等表示.集合分为有限集和无限集集合分为有限集和无限集.a M:若若x不是集合的元素不是集合的元素.(2)集合的

4、表示法集合的表示法列举法列举法:将集合的元素一一列举出来将集合的元素一一列举出来,描述法描述法:如如:第8页，本讲稿共49页N=全体自然数全体自然数，Z=全体整数全体整数，Q=全体有理数全体有理数，R=全体实数全体实数.(3)(3)常用的集合记号常用的集合记号 如果如果 ，必有，必有 ,则称则称A是是B的子集，记为的子集，记为 不含任何元素的集合，则称为空集记为不含任何元素的集合，则称为空集记为.是任何集合的子集是任何集合的子集.(4)(4)集合的关系集合的关系集合集合:集合集合A内排除内排除0的集的集.集合集合:集合集合B内排除内排除0与负数的集与负数的集.若若 ，且，且 ,则称则称A是是B

5、的真子集的真子集,记为记为 .若若 ，且，且 ,则称则称A与与B相等相等,记为记为 .第9页，本讲稿共49页2.2.集合的运算集合的运算设设A、B是二个集合，定义是二个集合，定义(A与与B的的并集并集)(A与与B的的交集交集)(A与与B的的差集差集)设设I表示我们研究某个问题的全体表示我们研究某个问题的全体,则其他集合则其他集合A都是都是I的子集的子集,称称I为全集或基为全集或基本集本集.A的的余集余集或或补集补集记为记为:例如例如:在实数集在实数集R中中则有则有第10页，本讲稿共49页设设A、B、C为任意三个集合，则有下列法则成立：为任意三个集合，则有下列法则成立：（1 1）交换律交换律（2

6、 2）结合律结合律（3）分配律分配律（4 4）对偶律对偶律以上这些法则都可以根据集合相等的定义验证以上这些法则都可以根据集合相等的定义验证.集合的运算法则集合的运算法则第11页，本讲稿共49页3.3.区间和邻域区间和邻域设设a,bR,且且ab,开区间开区间闭区间闭区间半开区间半开区间称称a,b为区间的端点，称为区间的端点，称ba为这些区间的长度为这些区间的长度.以上这些区间都称为有限区间以上这些区间都称为有限区间.第12页，本讲稿共49页无限区间无限区间用数轴可以表示区间用数轴可以表示区间,区间常用区间常用I表示表示.引进记号：引进记号：+（读作（读作正无穷大正无穷大）(读作读作负无穷大负无穷

7、大）（读作（读作无穷大无穷大）第13页，本讲稿共49页(2)点a的去心邻域：注 若不强调的大小，点a的去心邻域记为U(a)邻域邻域点a的左邻域:开区间(a-,a)点a的右邻域:开区间(a,a+)(1)设是任一正数，称开区间(a-,a+)为点a的邻域，记为U(a,)，即点a称为该邻域的中心，称为该邻域的半径.a第14页，本讲稿共49页二、映射二、映射1 1、映射的概念、映射的概念 定义定义 设X、Y是二个非空集合，如果存在一个法则f ,使得对X中每个元素x,按法则f ,在Y中有唯一确定的元素 y与之对应,则称f 为从X到Y的映射,记为为 其中y称为元素x(在映射 f 下)的像,记作f(x),即y

8、=f(x),元素x称为元素y(在映射f 下)的一个原像;集合X称为映射f 的定义域,记作D f ,即D f=X;X中所有元素的像所组成的集合称为映射 f 的值域,记作 Rf 或 f(X),即第15页，本讲稿共49页注意注意:(1)一个映射必须具备以下三个要素一个映射必须具备以下三个要素:集合X,即定义域D f=X集合Y,即值域的范围:对应法则f,使对每个有唯一确定的y=f(x)与之对应.(2)对每个 ,元素x的像y是唯一的;对每个 ,元素y的原像不一定是唯一的;映射f 的值域 是Y的一个子集,即 ,不一定 .第16页，本讲稿共49页例1 设 ,对每个 ,.显然,f是一个映射,f 的定义域 ,值

9、域 它是R的一个真子集.对于Rf 中的元素y,除y=0外,它的原像不是唯一的.如y=4的原像就有x=2和x=-2两个.例2 设对每个 ,有唯一确定的 与之对应.显然,f 是一个映射,f 的定义域 ,值域Oxy-11这个映射表示将平面上一个圆心在原点的单位圆周上的点投影到x轴的区间-1,1上.第17页，本讲稿共49页例3 设对每个 ,这里f 是一个映射,其定义域 ,值域值域 f 称为X到Y上的满射：若Rf=Y.即即Y中任一元素中任一元素y f为X到Y上的单射:若对X中任意两个不同元素满射 单射 一一映射都是X中某元素的像.f为一一映射(或或双射双射):若映射若映射f 既是单射又是满射既是单射又是

10、满射.如:例1 既非单射,又非满射;例2 不是单射,是满射;例3 既是单射,又是满射,因此是一一映射.它们的像第18页，本讲稿共49页映射又称为算子.根据集合X、Y的不同情形,在不同的数学分支中,映射又有不同的惯用名称.如:从非空集合X到数集Y的映射又称为X上的泛函.从非空集合X到它自身的映射又称为X上的变换.从实数集(或其子集)X到实数集Y的映射称为定义在X上的函数.第19页，本讲稿共49页2.2.逆映射与复合映射逆映射与复合映射设 f 是X到Y上的单射,定义一个从Rf到X的新映射g即对每个规定g(y)=x,这x满足f(x)=y.这个映射g称为f 的逆映射,记作 其定义域值域注意:只有单射才

11、存在逆映射.例1,2,3中,只有例3有逆映射:第20页，本讲稿共49页设有两个映射其中则可以确定一个从X 到Z 的映射,称为复合映射记作即即注意:(1)映射g 和f 构成复合映射的条件:两者也不同时有意义.第21页，本讲稿共49页例4 设有映射对每个对每个对每个对每个第22页，本讲稿共49页三、函数三、函数1.函数概念因变量因变量自变量自变量对每个 ,按对应法则 f ,总有唯一确定的值y与之对应,这个值称为函数f 在x处的函数值,记作f(x),即y=函数值f(x)的全体所构成的集合称为函数f 的值域,定义 设数 集 ,则称映射 为定义D上的函数，通常简记为f(x).D称为定义域称为定义域,记作

12、记作 ,即即 记作 或 f(D),即第23页，本讲稿共49页函数是从实数集到实数集的映射,其值域总在R内.函数的函数的两要素两要素:定义域 与对应法则f.如果两个函数的定义域相同,对应法则也相同,那么这两个函数就是相同的,否则就是不同的.约定:定义域是自变量所能取的使算式有(实际)意义的一切实数值.如如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫与多值函数例如例如:第24页，本讲稿共49页 对于多值函数,往往只要附加一些条件,就可以将它化为单值函数,这样得到的单值函数称为多值函数的单值分支.例如例如,在由方程在由方程给出的对应法则中给出的对应法则中,

13、附加附加“”的条件的条件,就可得到一个单值分支就可得到一个单值分支 表示函数的主要方法有三种:表格法、图形法、解析法（公式法）.定义:点集称为函数的图形.第25页，本讲稿共49页常见的几种函数常见的几种函数例5 函数y=2它的定义域它的定义域值域值域它的图形是一条平行它的图形是一条平行于于x轴的直线轴的直线.Oxyy=2例6 函数定义域定义域 D=(=(,+),+),值域值域 =0,+).=0,+).这个函数称为绝对值函数.Oxy第26页，本讲稿共49页1-1xyo例7 函数称为符号函数,定义域 D=(,+),值域 =1,0,1.注:对任意的x,有第27页，本讲稿共49页 1 2 3 4 5

14、-2-4-4-3-2-1 4 3 2 1 -1-3xyo阶梯曲线阶梯曲线x表示不超过x的最大整数例8 取整函数 y=x如如-3.4=-4,-3.4=-4,1=1=1,1,定义域 D=(,+),值域 =Z.第28页，本讲稿共49页例例9 函数函数是一个分段函数.它的定义域它的定义域 D=0,+).如如:yxO1第29页，本讲稿共49页2.函数的几种特性函数的几种特性(1)函数的函数的有界性有界性:oyxM-My=f(x)X有界有界M-MyxoX无界无界则称函数则称函数若若有有 成立，成立，f(x)在在X上有界上有界.否则称为无界否则称为无界.(2)有界与否是和X有关的.(1)当一个函数有界时，它

15、的界是不唯一的.注意注意:使使(3)证明无界的方法:对于任意正数 M,总存在第30页，本讲稿共49页(2)函数的函数的单调性单调性:xyo设函数f(x)的定义域为D,区间如果对于区间I上任意两点x1和x2,当x1x2时,恒有则称函数f(x)在区间I上是单调增加的(单调减少的);xyo第31页，本讲稿共49页(3)函数的函数的奇偶性奇偶性:偶函数偶函数yxox-x设函数f(x)的定义域为D关于原点对称,对于有f(-x)=f(x)恒成立,则称f(x)为偶函数;偶函数的图形关于y轴对称.函数 y=cosx是偶函数.第32页，本讲稿共49页奇函数奇函数yxox-x设函数f(x)的定义域为D关于原点对称

16、,对于有f(-x)=-f(x)恒成立,则称f(x)为奇函数.奇函数的图形关于原点对称.函数 y=sinx是偶函数.函数 y=sinx+cosx既非奇函数,又非偶函数.第33页，本讲稿共49页(4)函数的函数的周期性周期性:函数sinx,cosx的周期是函数tanx的周期是（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.则称f(x)为周期函数,l 称为f(x)的周期.有对于任一一且恒成立,设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个正数l,使得第34页，本讲稿共49页有理数点有理数点无理数点无理数点1xyo例10 狄利克雷函数 它是一个周期函数,任何有理数都是它的周期,但它没有最小正周期.第35页，本讲稿

17、共49页3.反函数与复合函数反函数与复合函数反函数的定义:设函数是单射,则它存在如:函数是单射,其反函数为 若函数f(x)在D上是单调函数,则f-1也是也是f(D)上的单上的单调函数调函数.DD)(xfy=函数函数称此映射为函数f 的反函数.逆映射第36页，本讲稿共49页 直接函数与反函数的图形关于直线 y=x 对称.相对于反函数原来的函数y=f(x)称为直接函数.第37页，本讲稿共49页复合函数复合函数定义:设函数 y=f(u)的的定义域为D1,函数u=g(x)在D上有定义,且则由下式确定的函数称为由函数u=g(x)和函数y=f(u)构成的复合函数,它的定义域为D,变量u称为中间变量.函数g

18、与函数f 构成的复合函数通常记为函数g与函数f 构成复合函数的条件是:函数g在D上的值域g(D)必须含在f 的定义域内,即第38页，本讲稿共49页 注:1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.如如:如如:第39页，本讲稿共49页4.4.函数的运算函数的运算设函数f(x),g(x)的定义域依次为则可以定义这两个函数的下列运算：和(差)积积商商第40页，本讲稿共49页 例11 设函数f(x)的定义域为(-l,l),证明必存在(-l,l)上的偶函数g(x)和奇函数h(x),使得证 先分析如下:假若这样的g(x)、h(x)存在,使得(1)且且于是有

19、于是有(2)利用(1)、(2)式,就可作出g(x),h(x).作作则则证毕证毕.第41页，本讲稿共49页5.初等函数(1)幂函数幂函数(是常数是常数)基本初等函数(2)指数函数指数函数(5)反三角函数反三角函数 y=arcsinx;y=arccosx;y=arctanx;y=arccotx;y=arcsecx;y=arccscx(3)对数函数对数函数 y=logax y=lnx(4)三角函数三角函数 y=sinx;y=cosx;y=tanx;y=cotx;y=secx;y=cscx第42页，本讲稿共49页(2)(2)初等函数初等函数 由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤

20、所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.奇函数奇函数.偶函数偶函数.双曲函数双曲函数双曲正弦双曲正弦双曲余弦双曲余弦第43页，本讲稿共49页奇函数奇函数,有界函数有界函数,双曲正切双曲正切第44页，本讲稿共49页双曲函数常用公式双曲函数常用公式第45页，本讲稿共49页反双曲函数反双曲函数反双曲正弦反双曲正弦奇函数奇函数,在在 内单调增加内单调增加.第46页，本讲稿共49页反双曲余弦反双曲余弦第47页，本讲稿共49页奇函数奇函数,第48页，本讲稿共49页 作业：作业：p-20 习题习题1-1 1,2,7,12(1)(3)(5),13(3)(4),14(5)(6),16 第49页，本讲稿共49页