概率论与数理统计第五章讲稿.ppt

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1、关于概率论与数理统关于概率论与数理统计第五章计第五章第一页，讲稿共六十五页哦设非负 r.v.X 的期望 E(X)存在，则对于任意实数 0,证证 仅证连续型 r.v.的情形 重要不等式重要不等式 5.1 大数定律大数定律第二页，讲稿共六十五页哦设随机变量 X 的k阶绝对原点矩 E(|X|k)存在，则对于任意实数 0,推论推论 1设随机变量 X 的方差 D(X)存在，则对于任意实数 0,推论推论 2 切贝雪夫(chebyshev)不等式或当 2 D(X)无实际意义,马尔可夫(Markov)不等式第三页，讲稿共六十五页哦例例1 1 设有一大批种子，其中良种占1/6.试估计在任选的 6000 粒种子中

2、,良种所占比例与1/6 比较上下小于1%的概率.解解 设 X 表示 6000 粒种子中的良种数,X B(6000,1/6)第四页，讲稿共六十五页哦实际精确计算用Poisson 分布近似计算取=1000第五页，讲稿共六十五页哦大数定律大数定律贝努里（Bernoulli）大数定律设 nA 是 n 次独立重复试验中事件 A 发生的次数,p 是每次试验中 A 发生的概率,则有或第六页，讲稿共六十五页哦证证 引入 r.v.序列Xk设则相互独立，记由 Chebyshev 不等式第七页，讲稿共六十五页哦故第八页，讲稿共六十五页哦在概率的统计定义中,事件 A 发生的频率 “稳定于”事件 A 在一次试验中发生的

3、概率是指：频率与 p 有较大偏差是小概率事件,因而在 n 足够大时,可以用频率近似代替 p.这种稳定称为依概率稳定.贝努里贝努里(Bernoulli)Bernoulli)大数定律的意义大数定律的意义第九页，讲稿共六十五页哦定义定义a 是一常数，(或则称 r.v.序列依概率收敛于常数 a,记作故是一系列 r.v.设有若第十页，讲稿共六十五页哦 在 Bernoulli 定理的证明过程中，Y n 是相互独立的服从(0,1)分布的 r.v.序列 Xk 的算术平均值,Y n 依概率收敛于其数学期望 p.结果同样适用于服从其它分布的独立r.v.序列第十一页，讲稿共六十五页哦Chebyshev 大数定律相互

4、独立，设 r.v.序列(指任意给定 n 1,相互独立)且具有相同的数学期望和方差则有或第十二页，讲稿共六十五页哦定理的意义定理的意义当 n 足够大时,算术平均值几乎是一常数.具有相同数学期望和方差的独立 r.v.序列的算术平均值依概率收敛于数学期望.算术算术均值均值数学数学期望期望近似代替可被第十三页，讲稿共六十五页哦注注2相互独立的条件可以去掉，代之以注注1不一定有相同的数学期望与方差，可设有第十四页，讲稿共六十五页哦相 设 r.v.序列则有互独立具有相同的分布，且记注注3第十五页，讲稿共六十五页哦则则连续，若第十六页，讲稿共六十五页哦第二节第二节 中心极限定理中心极限定理一、问题的引入一、

5、问题的引入二、基本定理二、基本定理三、典型例题三、典型例题四、小结四、小结第十七页，讲稿共六十五页哦一、问题的引入一、问题的引入实例实例:考察射击命中点与靶心距离的偏差考察射击命中点与靶心距离的偏差.这种偏差是大量微小的偶然因素造成的微小误差这种偏差是大量微小的偶然因素造成的微小误差的总和的总和,这些因素包括这些因素包括:瞄准误差、测量误差、子弹制瞄准误差、测量误差、子弹制造过程方面造过程方面(如外形、重量等如外形、重量等)的误差以及射击时武器的误差以及射击时武器的振动、气象因素的振动、气象因素(如风速、风向、能见度、温度等如风速、风向、能见度、温度等)的作用的作用,所有这些不同因素所引起的微

6、小误差是相互独所有这些不同因素所引起的微小误差是相互独立的立的,并且它们中每一个对总和产生的影响不大并且它们中每一个对总和产生的影响不大.问题问题:某个随机变量是由大量相互独立且均匀小的随机某个随机变量是由大量相互独立且均匀小的随机变量相加而成的变量相加而成的,研究其概率分布情况研究其概率分布情况.第十八页，讲稿共六十五页哦二、基本定理二、基本定理定理四（定理四（独立同分布的中心极限定理独立同分布的中心极限定理）第十九页，讲稿共六十五页哦定理四表明定理四表明:第二十页，讲稿共六十五页哦李雅普诺夫李雅普诺夫定理五定理五(李雅普诺夫定理李雅普诺夫定理)第二十一页，讲稿共六十五页哦则随机变量之和的标

7、准化变量则随机变量之和的标准化变量第二十二页，讲稿共六十五页哦定理五表明定理五表明:(如实例中射击偏差服从正态分布如实例中射击偏差服从正态分布)下面介绍的定理六是定理四的特殊情况下面介绍的定理六是定理四的特殊情况.第二十三页，讲稿共六十五页哦证明证明根据第四章第二节例题可知根据第四章第二节例题可知德莫佛德莫佛拉普拉斯拉普拉斯定理六定理六(德莫佛拉普拉斯定理德莫佛拉普拉斯定理)第二十四页，讲稿共六十五页哦根据定理四得根据定理四得定理六表明定理六表明:正态分布是二项分布的极限分布正态分布是二项分布的极限分布,当当n充分大时充分大时,可以利用该定理来计算二项分布的概率可以利用该定理来计算二项分布的概

8、率.第二十五页，讲稿共六十五页哦下面的图形表明下面的图形表明:正态分布是二项分布的逼近正态分布是二项分布的逼近.第二十六页，讲稿共六十五页哦三、典型例题三、典型例题解解由定理四由定理四,随机变量随机变量 Z 近似服从正态分布近似服从正态分布 N(0,1),例例1第二十七页，讲稿共六十五页哦其中其中第二十八页，讲稿共六十五页哦 一船舶在某海区航行一船舶在某海区航行,已知每遭受一次海浪的冲击已知每遭受一次海浪的冲击,纵摇角大于纵摇角大于 3 的概率为的概率为1/3,若船舶遭受了若船舶遭受了90 000次波浪次波浪冲击冲击,问其中有问其中有29 50030 500次纵摇角大于次纵摇角大于 3 的概率

9、是的概率是多少？多少？解解 将船舶每遭受一次海浪将船舶每遭受一次海浪的冲击看作一次试验的冲击看作一次试验,并假设各次试验是独立的并假设各次试验是独立的,在在90 000次波浪冲击中纵摇角大于次波浪冲击中纵摇角大于 3 的次数为的次数为 X,则则 X 是一个随机变量是一个随机变量,例例2第二十九页，讲稿共六十五页哦所求概率为所求概率为分布律为分布律为直接计算很麻烦，利用直接计算很麻烦，利用德莫佛拉普拉斯定理德莫佛拉普拉斯定理第三十页，讲稿共六十五页哦第三十一页，讲稿共六十五页哦 某保险公司的老年人寿保险有某保险公司的老年人寿保险有1万人参加万人参加,每人每人每年交每年交200元元.若老人在该年内

10、死亡若老人在该年内死亡,公司付给家属公司付给家属1万元万元.设老年人死亡率为设老年人死亡率为0.017,试求保险公司在一年试求保险公司在一年内的这项保险中亏本的概率内的这项保险中亏本的概率.解解设设 X 为一年中投保老人的死亡数为一年中投保老人的死亡数,由由德莫佛拉普拉斯定理德莫佛拉普拉斯定理知知,例例3第三十二页，讲稿共六十五页哦保险公司亏本的概率保险公司亏本的概率第三十三页，讲稿共六十五页哦 对于一个学生而言对于一个学生而言,来参加家长会的家长人数是来参加家长会的家长人数是一个随机变量一个随机变量.设一个学生无家长、设一个学生无家长、1名家长、名家长、2名家长名家长来参加会议的概率分别为来

11、参加会议的概率分别为0.05，0.8，0.15.若学校共有若学校共有400名学生名学生,设各学生参加会议的家长数相互独立设各学生参加会议的家长数相互独立,且服且服从同一分布从同一分布.(1)求参加会议的家长数求参加会议的家长数 X 超过超过450的概的概率率;(2)求有求有1名家长来参加会议的学生数不多于名家长来参加会议的学生数不多于340的概率的概率.解解例例4第三十四页，讲稿共六十五页哦根据根据独立同分布的中心极限定理，独立同分布的中心极限定理，第三十五页，讲稿共六十五页哦第三十六页，讲稿共六十五页哦由由德莫佛拉普拉斯定理德莫佛拉普拉斯定理知知,第三十七页，讲稿共六十五页哦证证例例5第三十

12、八页，讲稿共六十五页哦根据根据独立同分布的中心极限定理，独立同分布的中心极限定理，第三十九页，讲稿共六十五页哦第四十页，讲稿共六十五页哦四、小结四、小结三个中心极限定理三个中心极限定理独立同分布的中心极限定理独立同分布的中心极限定理李雅普诺夫定理李雅普诺夫定理德莫佛拉普拉斯定理德莫佛拉普拉斯定理 中心极限定理表明中心极限定理表明,在相当一般的条件下在相当一般的条件下,当独当独立随机变量的个数增加时立随机变量的个数增加时,其和的分布趋于正态分其和的分布趋于正态分布布.第四十一页，讲稿共六十五页哦第五章第五章 大数定律及中心极限定理大数定律及中心极限定理习习 题题 课课二、主要内容二、主要内容三、

13、典型例题三、典型例题一、重点与难点一、重点与难点第四十五页，讲稿共六十五页哦一、重点与难点一、重点与难点1.重点重点中心极限定理及其运用中心极限定理及其运用.2.难点难点证明随机变量服从大数定律证明随机变量服从大数定律.第四十六页，讲稿共六十五页哦大数定律大数定律二、主要内容二、主要内容中心极限定理中心极限定理定定理理一一定定理理二二定定理理三三定理一的另一种表示定理一的另一种表示定定理理一一定定理理二二定定理理三三第四十七页，讲稿共六十五页哦契比雪夫定理的特殊情况契比雪夫定理的特殊情况第四十八页，讲稿共六十五页哦定理一的另一种表示定理一的另一种表示第四十九页，讲稿共六十五页哦伯努利大数定理伯

14、努利大数定理第五十页，讲稿共六十五页哦辛钦定理辛钦定理第五十一页，讲稿共六十五页哦独立同分布的中心极限定理独立同分布的中心极限定理第五十二页，讲稿共六十五页哦第五十三页，讲稿共六十五页哦李雅普诺夫定理李雅普诺夫定理第五十四页，讲稿共六十五页哦则随机变量之和的标准化变量则随机变量之和的标准化变量第五十五页，讲稿共六十五页哦德莫佛拉普拉斯定理德莫佛拉普拉斯定理第五十六页，讲稿共六十五页哦三、典型例题三、典型例题 解解例例1第五十七页，讲稿共六十五页哦根据根据独立同分布的中心极限定理独立同分布的中心极限定理知知的极限分布是标准正态分布的极限分布是标准正态分布.第五十八页，讲稿共六十五页哦第五十九页，讲稿共六十五页哦解解例例2第六十页，讲稿共六十五页哦根据题意根据题意,所求概率为所求概率为由由中心极限定理中心极限定理有有:第六十一页，讲稿共六十五页哦第六十二页，讲稿共六十五页哦解解例例3第六十三页，讲稿共六十五页哦第六十四页，讲稿共六十五页哦感谢大家观看第六十五页，讲稿共六十五页哦