矩阵的特征值和特征向量课件.ppt

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1、关于矩阵的特征值关于矩阵的特征值和特征向量和特征向量现在学习的是第1页，共22页2022/10/725.1.1 特征值和特征向量的基本概念特征值和特征向量的基本概念定义定义 设设A为数域为数域F上的上的n阶矩阵阶矩阵,如果存在数如果存在数l l F和和非零非零的的n维列向量维列向量X,使得使得AX=l lX就称就称l l是矩阵是矩阵A的的特征值特征值,X是是A的属于的属于(或对应于或对应于)特特征值征值l l的的特征向量特征向量.注意注意:特征向量特征向量X 0;特征值问题是对方阵而言特征值问题是对方阵而言 的的,本章的矩阵如不加说明本章的矩阵如不加说明,都是方阵都是方阵.现在学习的是第2页，

2、共22页2022/10/73AX=l lX 根据定义根据定义,n阶矩阵阶矩阵A的特征值的特征值,就是齐次线就是齐次线性方程组性方程组 (l lI-A)X=0 有非零解的有非零解的l l值值.即满足方程即满足方程 det(l lI-A)=0 即即 的的l l都是矩阵都是矩阵A的特征值的特征值.因此因此,特征值是特征值是l l的多项式的多项式det(l lI-A)的根的根.现在学习的是第3页，共22页2022/10/74 AXAX=l l l lX X,det(l l l lI I-A)=0)=0(5.2)(5.2)定义定义 设设n n阶矩阵阶矩阵阶矩阵阶矩阵A A=(=(a aij ij),),

3、则则则则称为矩阵称为矩阵A的的特征多项式特征多项式,l lI-A称为称为A的的特征矩阵特征矩阵,(5.2)式称为式称为A的的特征方程特征方程.现在学习的是第4页，共22页2022/10/75 显然显然显然显然,n阶矩阵阶矩阵A A的特征多项式是的特征多项式是的特征多项式是的特征多项式是l l l l的的的的n n次多项式次多项式次多项式次多项式.特征特征特征特征多项式的多项式的多项式的多项式的k重根也称为重根也称为k k重特征值重特征值重特征值重特征值.当当当当n 5 5时时时时,特征多项式没特征多项式没特征多项式没特征多项式没有一般的求根公式有一般的求根公式有一般的求根公式有一般的求根公式,

4、即使是三阶矩阵的特征多项式即使是三阶矩阵的特征多项式即使是三阶矩阵的特征多项式即使是三阶矩阵的特征多项式,一般一般一般一般也难以求根也难以求根也难以求根也难以求根,所以求矩阵的特征值一般是三阶行列式求特所以求矩阵的特征值一般是三阶行列式求特所以求矩阵的特征值一般是三阶行列式求特所以求矩阵的特征值一般是三阶行列式求特征值征值征值征值,一般用一般用一般用一般用0,1,0,1,-1,2,-2 2进行尝试先得到一个根进行尝试先得到一个根进行尝试先得到一个根进行尝试先得到一个根,则剩下的两则剩下的两则剩下的两则剩下的两个根可用解一元二次方程的办法解个根可用解一元二次方程的办法解个根可用解一元二次方程的办

5、法解个根可用解一元二次方程的办法解.现在学习的是第5页，共22页2022/10/76例例解解验证：是否为A的特征向量现在学习的是第6页，共22页2022/10/77注注1注注2注注3如果 是A对应于特征值 的特征向量，则 也是A对应于特征值 的特征向量。现在学习的是第7页，共22页2022/10/78注注5矩阵A的任一特征向量所对应的特征值是唯一的注注4如果 是A对应于特征值 的线性无关特征向量，则 也是A对应于特征值 的特征向量。现在学习的是第8页，共22页2022/10/79例例 求下列矩阵的特征值和特征向量求下列矩阵的特征值和特征向量解解A的特征多项式为的特征多项式为A的特征值为的特征值

6、为即即对应的特征向量可取为现在学习的是第9页，共22页2022/10/710对应的特征向量可取为对应的特征向量可取为A属于属于 的全部特征向量的全部特征向量：A属于属于 的全部特征向量的全部特征向量：现在学习的是第10页，共22页2022/10/711例例 求矩阵求矩阵 的特征值和特征向量的特征值和特征向量.解解 矩阵矩阵A的特征多项式为的特征多项式为A的特征值为的特征值为l l1=2,l l2，3=1(二重特征值二重特征值).现在学习的是第11页，共22页2022/10/712当当l l1=2=2时时时时,由由由由(l l l l1 1I I-A A)X X=0,=0,即即即即得其基础解系为

7、得其基础解系为X1=(0,0,1)T,因此因此k1X1(k1 0为常数为常数)是是A的对应于的对应于l l1=2的特征向量的特征向量.现在学习的是第12页，共22页2022/10/713当当当当l l l l2 2=1=1时时时时,由由由由(l l l l2 2I-A A)X X=0,=0,即即即即得其基础解系为得其基础解系为X2=(1,2,-1)T,因此因此k2X2(k2 0为常数为常数)是是A的对应于的对应于l l2=1的特征向量的特征向量.现在学习的是第13页，共22页2022/10/714例例 求矩阵的特征值和特征向量求矩阵的特征值和特征向量解解A的特征多项式为的特征多项式为A的特征值

8、为的特征值为现在学习的是第14页，共22页2022/10/715得基础解系得基础解系得基础解系现在学习的是第15页，共22页2022/10/716例例例例 主对角元为主对角元为a a1111,a2222,.,.,annnn的对角阵的对角阵的对角阵的对角阵A A或上或上(下下)三角阵三角阵B B的的的的特征多项式是特征多项式是特征多项式是特征多项式是|l l l lI I-A A|=|=|l l l lI I-B B|=(|=(l l l l-a a1111)(l l l l-a2222).().(l l-a annnn),),故故故故A,B B的的的的n个特征值就是个特征值就是个特征值就是个特

9、征值就是n n个主对角元个主对角元个主对角元个主对角元.现在学习的是第16页，共22页2022/10/717 2 2 2 2、n n阶矩阵阶矩阵阶矩阵阶矩阵A A=(=(a aij ij)的的的的n个特征值为个特征值为l l1 1,l l l l2,.,.,l l l ln n.则则则则5.1.2 特征值和特征向量的性质特征值和特征向量的性质 1、设设n阶矩阵阶矩阵A可逆的充要条件是它的每一个特可逆的充要条件是它的每一个特 征值均不为征值均不为0.现在学习的是第17页，共22页2022/10/718 矩阵的特征值和特征向量还有以下性质矩阵的特征值和特征向量还有以下性质矩阵的特征值和特征向量还有

10、以下性质矩阵的特征值和特征向量还有以下性质:3 3、若若若若l l是矩阵是矩阵是矩阵是矩阵A的特征值的特征值,X X是是是是A A属于属于属于属于l l l l的特征向量的特征向量的特征向量的特征向量,则则则则(i)(i)k kl l l l+a是是kA+aIkA+aI的特征值的特征值的特征值的特征值(k,a是任意常数是任意常数是任意常数是任意常数),),(ii)(ii)l l l lm是是是是A Amm的特征值的特征值(mm是正整数是正整数是正整数是正整数););(iii)(iii)当当当当A可逆时可逆时可逆时可逆时,l l l l-1 1是是是是A A-1 1的特征值的特征值;(iv)当当

11、A A可逆时可逆时可逆时可逆时,detA/,detA/l l是是是是A*的特征值的特征值的特征值的特征值.且且X X仍是矩阵仍是矩阵仍是矩阵仍是矩阵kA+aIkA+aI,A Amm,A A-1 1,A A*的分别对应于特征值的分别对应于特征值的分别对应于特征值的分别对应于特征值k kl+al+al+al+a,l l l lmm,1/,1/l,l,detA/l l l l的特征向量的特征向量的特征向量的特征向量.现在学习的是第18页，共22页2022/10/719证证 已知已知AXAX=lX X (i)(i)kl l是是kA的特征值(k k是任意常数),这是因为(kAkA)X X=k k(AXA

12、X)=)=k kl lX,即即kl l是是kA的特征值的特征值,X X是是kAkA的属于特征值的属于特征值k kl的特征向量的特征向量.(ii)(ii)A(AXAX)=)=A(l lX X)=)=l l(AX)=)=l(l lX),),即 A A2 2X X=l l2X X 再继续上述步骤再继续上述步骤m m-2 2次次,就得就得A AmX=l lm mX X.(iii)(iii)当当A A可逆时可逆时,l l 0,0,由由AXAX=l lX可得可得A A-1(AXAX)=)=A A-1 1(l lX X)=l lA A-1 1X X 因此因此 A A-1 1X X=l l-1 1X X故故l

13、 l-1 1是是A A-1的特征值,且X X也是也是A A-1对应于对应于l l-1 1的特征向量的特征向量现在学习的是第19页，共22页2022/10/7204、矩阵矩阵矩阵矩阵A和和和和A AT T的特征值相同的特征值相同的特征值相同的特征值相同.证证 因为因为(l lI I-A A)T T=(=(l lI)T T-A AT=l lI I-AT T 所以所以 det(det(l lI I-A)=det(l lI I-A AT T)因此 A A和和A AT T有完全相同的特征值.现在学习的是第20页，共22页2022/10/721定理定理 设设 阶方阵阶方阵A 有互不相同的特征值有互不相同的特征值 ，(iI A)x=0的基础解系为的基础解系为 则则 ；线性线性 无关无关 推论推论 6、设设A为为n阶方阵，阶方阵，,若若为为A的特的特 征值，则征值，则 是是f(A)的特征值的特征值 7、设设为为A的的k重特征值重特征值,A关于关于的线性无关的特征的线性无关的特征 向量的最大个数为向量的最大个数为s，则，则1 1 s k(矩阵矩阵A A对应于单特征值的线性无关的特征向量有且只有一个）对应于单特征值的线性无关的特征向量有且只有一个）现在学习的是第21页，共22页感谢大家观看现在学习的是第22页，共22页