矩阵与线性方程组课件.ppt

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1、关于矩阵与线性方程组现在学习的是第1页，共28页设设n元线性方程组为元线性方程组为记记，现在学习的是第2页，共28页利用矩阵的乘法，方程组写成矩阵乘法的形式：利用矩阵的乘法，方程组写成矩阵乘法的形式：Ax=b,其中其中A为线性方程组的系数矩阵，称为线性方程组的系数矩阵，称x为未知列向量，为未知列向量，b为右端常向量。当为右端常向量。当b=0时，方程组为齐次线性方程组。时，方程组为齐次线性方程组。线性方程组的增广矩阵是一个线性方程组的增广矩阵是一个m(n+1)矩阵矩阵现在学习的是第3页，共28页若若x1=c1,x2=c2,xn=cn是线性方程组的一个解，则它必是线性方程组的一个解，则它必满足矩阵

2、等式：满足矩阵等式：若记若记c=(c1,c2,cn)T,则上述矩阵等式可简写为：则上述矩阵等式可简写为：Ac=b.用矩阵的初等行变换求解线性方程组的原理见书中用矩阵的初等行变换求解线性方程组的原理见书中P76现在学习的是第4页，共28页问题：问题：证证必要性必要性.(),nDnAnAR阶非零子式阶非零子式中应有一个中应有一个则在则在设设=(),根据克拉默定理根据克拉默定理个方程只有零解个方程只有零解所对应的所对应的 nDn从而从而现在学习的是第5页，共28页这与原方程组有非零解相矛盾，这与原方程组有非零解相矛盾，().nAR 即即充分性充分性.(),nrAR=设设.个自由未知量个自由未知量从而

3、知其有从而知其有rn-任取一个自由未知量为，其余自由未知量为，任取一个自由未知量为，其余自由未知量为，即可得方程组的一个非零解即可得方程组的一个非零解.现在学习的是第6页，共28页推论推论1：含有含有n个方程的个方程的n元齐次线性方程组元齐次线性方程组Ax=0有非有非零解的充分必要条件是零解的充分必要条件是 ，且当它有非零解时，且当它有非零解时，必有无穷多个非零解。必有无穷多个非零解。推论推论2：若方程组若方程组Ax=0中方程的个数小于未知量的中方程的个数小于未知量的个数，则方程组必有非零解。个数，则方程组必有非零解。现在学习的是第7页，共28页小结小结有唯一解有唯一解bAx=()()nBRA

4、R=()()nBRAR=有无穷多解有无穷多解.bAx=现在学习的是第8页，共28页齐次线性方程组齐次线性方程组：系数矩阵化成行最简形矩阵，：系数矩阵化成行最简形矩阵，便可写出其通解；便可写出其通解；非齐次线性方程组：非齐次线性方程组：增广矩阵化成行阶梯形矩阵，增广矩阵化成行阶梯形矩阵，便可判断其是否有解若有解，化成行最简形矩便可判断其是否有解若有解，化成行最简形矩阵，便可写出其通解；阵，便可写出其通解；现在学习的是第9页，共28页例例1 1 求解齐次线性方程组求解齐次线性方程组现在学习的是第10页，共28页解解现在学习的是第11页，共28页即得与原方程组同解的方程组即得与原方程组同解的方程组现

5、在学习的是第12页，共28页由此即得由此即得现在学习的是第13页，共28页例例2 求解非齐次方程组的通解求解非齐次方程组的通解解解 对增广矩阵对增广矩阵B进行初等变换进行初等变换现在学习的是第14页，共28页故方程组有解，且有故方程组有解，且有现在学习的是第15页，共28页所以方程组的通解为所以方程组的通解为现在学习的是第16页，共28页例例3 3 设有线性方程组设有线性方程组解解现在学习的是第17页，共28页现在学习的是第18页，共28页其通解为其通解为现在学习的是第19页，共28页这时又分两种情形：这时又分两种情形：现在学习的是第20页，共28页见书中例见书中例13（P7679）现在学习的是第21页，共28页()()nBRAR=()()nBRAR=有无穷多解有无穷多解.bAx=非齐次线性方程组非齐次线性方程组齐次线性方程组齐次线性方程组三、小结现在学习的是第22页，共28页思考题现在学习的是第23页，共28页思考题解答解解现在学习的是第24页，共28页现在学习的是第25页，共28页现在学习的是第26页，共28页故原方程组的通解为故原方程组的通解为结束结束现在学习的是第27页，共28页感谢大家观看现在学习的是第28页，共28页