正交试验设计方差分析讲稿.ppt

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1、关于正交试验设计方差分析第一页，讲稿共二十九页哦 为了弥补直观分析方法的不足，可采用方差分析方为了弥补直观分析方法的不足，可采用方差分析方法对实验结果进行计算分析。法对实验结果进行计算分析。所谓方差分析所谓方差分析就是将因素水就是将因素水平平(或交互作用或交互作用)的变化引起的实验结果间的差异与误差的的变化引起的实验结果间的差异与误差的波动所引起的实验结果间的差异区分开来的一种数学方法。波动所引起的实验结果间的差异区分开来的一种数学方法。方差分析的中心要点是方差分析的中心要点是：把实验数据总的波动分解：把实验数据总的波动分解成两部分，一部分反映因素水平变化引起的波动，另一成两部分，一部分反映因

2、素水平变化引起的波动，另一部分反映实验误差引起的波动。即把数据总的偏差平方部分反映实验误差引起的波动。即把数据总的偏差平方和和(S(S总总)分解为因素的偏差平方和分解为因素的偏差平方和(S(SA A、S SB B、S SC C)与误差的偏差平方和与误差的偏差平方和(S(Se e)，并计算它们的平均偏差平，并计算它们的平均偏差平方和方和(也称均方和，或均方也称均方和，或均方)，然后进行检验，最后得出方，然后进行检验，最后得出方差分析表。差分析表。第二页，讲稿共二十九页哦二二.方差分析中的一些基本概念方差分析中的一些基本概念1.1.偏差平方和偏差平方和 方差分析的关键是对偏差平方和的分解，因此，充

3、分理解方差分析的关键是对偏差平方和的分解，因此，充分理解这一概念是至关重要的。这一概念是至关重要的。所谓偏差平方和是指一组数据中，各个数所谓偏差平方和是指一组数据中，各个数(y(y1 1,y,y2 2,y y3 3yyn n)与它们的算术平均数与它们的算术平均数y y之差的平方和。用符号之差的平方和。用符号S S来来表示。即：表示。即：则第三页，讲稿共二十九页哦为了计算方便，上式可简化为一种更常见的形式：为了计算方便，上式可简化为一种更常见的形式：若令：则第四页，讲稿共二十九页哦 偏差平方和偏差平方和(S)(S)反映了该组数据的分散或集中程度。显然，反映了该组数据的分散或集中程度。显然，S S

4、越大，该组数据越分散；反之，越大，该组数据越分散；反之，S S越小，说明该组数据越集越小，说明该组数据越集中。中。2.2.平均偏差平方和与自由度平均偏差平方和与自由度为了合理地比较由不同个数所组成的两组数据的分散或集中的为了合理地比较由不同个数所组成的两组数据的分散或集中的程度，通常采用平均偏差平方和程度，通常采用平均偏差平方和(简称均方和简称均方和)平均偏差平方和平均偏差平方和的计算方法是：将的计算方法是：将n n个数个数(y(y1 1,y,y2 2,y,y3 3,y,yn n)的偏差平方和的偏差平方和 除以平方项的个数减除以平方项的个数减1 1，即除以即除以(n-1)(n-1)，就得到平均

5、偏差平方和。，就得到平均偏差平方和。第五页，讲稿共二十九页哦 为什么不除以为什么不除以n n而要除以而要除以(n-1)(n-1)呢？这是因为呢？这是因为n n个数个数(y(y1 1,y y2 2,y,y3 3,y,yn n)之间并非彼此毫无关系，它们满足的关系之间并非彼此毫无关系，它们满足的关系是：是：即n个数之和的均值为一定值，因此，n个数中只有(n-1)(n-1)个个可“自由”变动，所以，求平均偏差平方和时除以(n-1)(n-1)，数学上将这个，数学上将这个(n-1)(n-1)称为称为S S的自由度。的自由度。当实验所测得的当实验所测得的n个数(y(y1 1,y,y2 2,y,y3 3,y

6、,yn n)数值较大时，数值较大时，为了简化计算，可将每一个原始数据为了简化计算，可将每一个原始数据y yi i(i=1,2,3(i=1,2,3n)n)都都减去同一个常数减去同一个常数C C，这并不影响偏差平方和的计算结果，这并不影响偏差平方和的计算结果，但计算的工作量却简化了许多。但计算的工作量却简化了许多。第六页，讲稿共二十九页哦上述推论可通过以下简单换算予以证明。上述推论可通过以下简单换算予以证明。若令若令X Xi i=y=yi i-C(i=1,2,n)-C(i=1,2,n)则于是第七页，讲稿共二十九页哦3.F3.F比比与与F F分布表分布表(1)F(1)F比比 F F比比是指因素水平的

7、改变引起的平均偏差平方和与误差的平是指因素水平的改变引起的平均偏差平方和与误差的平均偏差平方和的比值。即：均偏差平方和的比值。即：(2)F F分布表及其查阅方法分布表及其查阅方法为了判断为了判断F F比比值的大小所表明的物理意义值的大小所表明的物理意义(即即F F比比值多大时，可值多大时，可以认为实验结果的差异主要是由因素水平的改变所引起的；以认为实验结果的差异主要是由因素水平的改变所引起的；其值多小时，可以认为实验结果的差异主要是由实验误差其值多小时，可以认为实验结果的差异主要是由实验误差所引起的所引起的)，这就需要有一个标准来衡量，这就需要有一个标准来衡量F F比比值，此标准就值，此标准就

8、是根据统计数学原理编制的是根据统计数学原理编制的F F分布表，分布表，F F分布表列出了各分布表列出了各种自由度情况下种自由度情况下F F比比的临界值。的临界值。第八页，讲稿共二十九页哦 在在F F分布表上横行分布表上横行(n(n1 1：1,2,3)1,2,3)代表代表F F比比中分子的自由中分子的自由度；竖行度；竖行(n(n2 2：1,2,3)1,2,3)代表代表F F比比中分母的自由度；表中的数中分母的自由度；表中的数值即各种自由度情况下值即各种自由度情况下F F比比的临界值。的临界值。例如，某因素例如，某因素A A的偏差平方和的自由度的偏差平方和的自由度f fA A=1=1，误差，误差(

9、e)(e)的的偏差平方和的自由度偏差平方和的自由度f fe e=8=8，查得，查得F F0.10.1(1,8)=3.64(1,8)=3.64，这里，这里0.10.1是信是信度。度。在判断时在判断时(如判断因素如判断因素A A的水平的改变对实验结果是的水平的改变对实验结果是否有显著影响否有显著影响)，信度，信度a a是指我们对做出的判断有多大的把握，是指我们对做出的判断有多大的把握，若若a=5%a=5%，那就是指当，那就是指当F FA AFF0.050.05(f(fA A,f,fe e)时，大概有时，大概有95%95%的把握判的把握判断因素断因素A A的水平改变对实验结果有显著影响。对于不同的信

10、度的水平改变对实验结果有显著影响。对于不同的信度a a，有不同的，有不同的F F分布表，常用的有分布表，常用的有a=1%a=1%，a=5%a=5%，a=10%a=10%等。等。根据自由度的大小，可在各种信度的根据自由度的大小，可在各种信度的F F表上查得表上查得F F比比的临界的临界值，分别记作值，分别记作F F0.010.01(n(n1 1,n,n2 2)，F F0.050.05(n(n1 1,n,n2 2)，F F0.10 0.10(n(n1 1,n,n2 2)等。等。第九页，讲稿共二十九页哦4.4.因素的显著性判断因素的显著性判断设因素设因素A A的的F F比比为为F FA A：当当F

11、FA A F F0.01 0.01(n(n1 1,n,n2 2)时，说明该因素水平的改变对实时，说明该因素水平的改变对实验结果有很显著的影响，记作验结果有很显著的影响，记作*。当当F FA A F F0.05 0.05(n(n1 1,n,n2 2)时，说明该因素水平的改变对实验结时，说明该因素水平的改变对实验结果有显著的影响，记作果有显著的影响，记作*。当当F FA A F F0.10 0.10(n(n1 1,n,n2 2)时，说明该因素水平的改变对实时，说明该因素水平的改变对实验结果有一定的影响，记作验结果有一定的影响，记作O O。第十页，讲稿共二十九页哦三三.正交试验设计的方差分析正交试验

12、设计的方差分析 现以实验室制取现以实验室制取H H2 2为例，来说明正交设计的方差分为例，来说明正交设计的方差分析的基本方法。若该实验所考察的因素、水平如表析的基本方法。若该实验所考察的因素、水平如表1 1和和表表2 2所示。所示。因素水平AwH2SO4(%)BmCuSO45H2O(g)CmZn (g)一200.44二250.55三300.66表1.因素水平第十一页，讲稿共二十九页哦表表2.2.实验方案及实验结果的直观分析实验方案及实验结果的直观分析 列号实验号AwH2SO4(%)BmCuSO45H2O(g)CmZn (g)空白列10min内H2的产率1111232.622212140.403

13、313341.074123134.975221336.536322245.757132336.628233239.199331144.53第十二页，讲稿共二十九页哦 列号实验号AwH2SO4(%)BmCuSO45H2O(g)CmZn (g)空白列10min内H2的产率K1104.21114.09122.77119.9最佳实验条件是A3B3C1K2116.12117.25115.23117.56K3131.35120.34113.68114.22k134.7838.0340.9239.96k238.7039.0838.4139.18k343.7840.1137.8938.07R9.052.083

14、.031.89第十三页，讲稿共二十九页哦上述正交试验设计所获得的数据，从直观分析的角度上述正交试验设计所获得的数据，从直观分析的角度来看，提供给我们如下有用的信息：来看，提供给我们如下有用的信息：第一：从极差值的大小可以判断各个因素对实验指标第一：从极差值的大小可以判断各个因素对实验指标影响的主次关系，即：影响的主次关系，即：主主-次次 AAw wH2SO4H2SO4 C Cm mZnZn B Bm mCuSO45H2OCuSO45H2O 但是，极差值仅仅反映了各因素影响实验指标的主次关系，但是，极差值仅仅反映了各因素影响实验指标的主次关系，它不能告诉我们各个因素对实验指标影响的程度。也就是说

15、，它不能告诉我们各个因素对实验指标影响的程度。也就是说，它既不能指明这些因素中哪个是影响实验指标的关键因素，它既不能指明这些因素中哪个是影响实验指标的关键因素，也不能提供一个标准，用来考察、判断各个因素的作用是否也不能提供一个标准，用来考察、判断各个因素的作用是否显著。显著。第十四页，讲稿共二十九页哦第二：就因素第二：就因素A A而言而言(因素因素B B、C C也类同也类同)，其中，其中k k1 1、k k2 2、k k3 3值之间的差异是如何产生的？是由于值之间的差异是如何产生的？是由于A A因素水平不同因素水平不同引起的呢？还是由于实验误差所造成的呢？还是两者引起的呢？还是由于实验误差所造

16、成的呢？还是两者综合作用的结果？从直观分析角度是无法说清楚的。综合作用的结果？从直观分析角度是无法说清楚的。正是由于直观分析存在着上述的缺点，所以需要正是由于直观分析存在着上述的缺点，所以需要采用方差分析的方法来弥补上述的不足。采用方差分析的方法来弥补上述的不足。1.1.单因素实验的方差分析单因素实验的方差分析 为了便于讨论，我们仍以实验室制取为了便于讨论，我们仍以实验室制取H H2 2的因素之的因素之一一-A-A因素因素(硫酸的质量分数硫酸的质量分数)为例，来说明单个因素的为例，来说明单个因素的实验数据的方差分析方法。实验数据的方差分析方法。第十五页，讲稿共二十九页哦 方差分析是把实验数据总

17、的波动方差分析是把实验数据总的波动(即数据的总的偏差平方和即数据的总的偏差平方和S S总总)分解成两部分：一部分反映因素水平变化引起的波动分解成两部分：一部分反映因素水平变化引起的波动(即因素的偏差即因素的偏差平方和平方和)，对本例而言仅为，对本例而言仅为S S w wH2SO4H2SO4；另一部分反映实验误差引起的；另一部分反映实验误差引起的波动波动(即误差的偏差平方和即误差的偏差平方和S Se e)。即：。即：(1)S(1)Se e的计算的计算 参与wH2SO4某一水平的实验编号 10minH2产率A1(20%)A2(25%)A3(30%)A1(20%)A2(25%)A3(30%)1233

18、2.6240.4041.0745634.9736.5345.7578936.6239.1944.53 平均值y34.7438.7143.78表3.实验结果分析第十六页，讲稿共二十九页哦若以若以S S1 1表示表示A A1 1水平下实验误差所引起的波动，其值应为：水平下实验误差所引起的波动，其值应为：S S1 1=(32.62-34.74)=(32.62-34.74)2 2+(34.97-34.74)+(34.97-34.74)2 2+(36.62-34.74)+(36.62-34.74)2 2=8.0870=8.0870。同理可以求出。同理可以求出A A2 2、A A3 3水平下实验误差所引起

19、的波水平下实验误差所引起的波动，其值分别为动，其值分别为S S2 2=7.8389=7.8389，S S3 3=11.7875=11.7875则，则，A A因素的各个水平下总的偏差平方和应为：因素的各个水平下总的偏差平方和应为：S Se e=S=S1 1+S+S2 2+S+S3 3=8.0870+7.8389+11.7875=27.71=8.0870+7.8389+11.7875=27.71(2)S(2)S总总的计算的计算总的偏差平方和总的偏差平方和S S总总是指全部实验数据中，每个数据是指全部实验数据中，每个数据(y(yi i)与总与总平均值平均值(y(y总总)之差的平方和，即：之差的平方和

20、，即：第十七页，讲稿共二十九页哦由表由表3 3知知:y y总总=1/9(32.62+34.97+36.62+40.40+=1/9(32.62+34.97+36.62+40.40+44.53+44.53)=39.08)=39.08则：则：S S总总=(32.62-39.08)=(32.62-39.08)2 2+(34.97-39.08)+(34.97-39.08)2 2+(44.53-+(44.53-39.08)39.08)2 2=151.08=151.08 S S总总反映了实验数据总的波动情况，如果硫酸质量分数反映了实验数据总的波动情况，如果硫酸质量分数水平的改变对实验指标不发生影响，而且实验

21、中也没水平的改变对实验指标不发生影响，而且实验中也没有误差产生的话，那么全部实验数据理应都一样，即有误差产生的话，那么全部实验数据理应都一样，即S S总总应等于零，但情况并非如此。应等于零，但情况并非如此。第十八页，讲稿共二十九页哦(3)S(3)S w wH2SO4 H2SO4(S(SA A)的计算的计算对于因素对于因素A A来讲，当它取一水平时，来讲，当它取一水平时，3 3次实验次实验(即即1 1、4 4、7 7实验实验)结果的结果的均值均值(y)(y)应为：应为：y y1 1=1/3(y=1/3(y1 1+y+y4 4+y+y7 7)=1/3(32.62+34.93+36.62)=34.7

22、4)=1/3(32.62+34.93+36.62)=34.74y y1 1代表了代表了3 3次一水平实验对次一水平实验对H H2 2产率的影响。同理：产率的影响。同理：y y2 2=1/3(y=1/3(y2 2+y+y5 5+y+y8 8)=38.71)=38.71 y y3 3=1/3(y=1/3(y3 3+y+y6 6+y+y9 9)=43.78)=43.78y y2 2、y y3 3分别代表了分别代表了3 3次二水平和三水平实验对次二水平和三水平实验对H H2 2产率的影响。因此，因产率的影响。因此，因素水平变化所引起的波动，即因素素水平变化所引起的波动，即因素A A的偏差平方和的偏差平

23、方和S SA A应为：应为：S SA A=(yi-yyi-y总总)2 2=(34.74-39.08)=(34.74-39.08)2 2+(38.71-39.08)+(38.71-39.08)2 2+(43.78-39.08)+(43.78-39.08)2 2=123.37=123.37 上述计算结果我们可以通过上述计算结果我们可以通过S S总总=S=SA A+S+Se e式来检验式来检验S SA A和和 S Se e计算正确计算正确与否。与否。第十九页，讲稿共二十九页哦(4)(4)自由度和平均偏差平方和的计算自由度和平均偏差平方和的计算 为了消除个数不同对实验指标所产生的影响，应为了消除个数不

24、同对实验指标所产生的影响，应采用平均偏差平方和，其计算公式为：采用平均偏差平方和，其计算公式为：因素因素A A的平均偏差平方和的平均偏差平方和=S=SA A/f/fA A误差的平均偏差平方和误差的平均偏差平方和=S=Se e/f/fe e式中式中S SA A、S Se e分别代表因素分别代表因素A A和误差的偏差平方和和误差的偏差平方和f fA A=A=A因素的水平数因素的水平数-1-1，它代表，它代表S SA A的自由度的自由度f fe e=f=f总总-f-fA A，它代表，它代表S Se e的自由度的自由度 f f总总=总的实验次数总的实验次数-1-1，它代表，它代表S S总总的自由度的自

25、由度在本例中在本例中f f总总=9-1=8=9-1=8，f fA A=3-1=2=3-1=2，f fe e=8-2=6=8-2=6第二十页，讲稿共二十九页哦(5)F(5)F值的计算及因素显著性的检验值的计算及因素显著性的检验 因素水平的变化引起的平均偏差平方和与误差的因素水平的变化引起的平均偏差平方和与误差的平均偏差平方和的比值称为平均偏差平方和的比值称为F F值，即：值，即：用F值的大小来判断因素水平对实验指标的影响。显然，只有当比值大于1时，才能表明因素水平的改变对实验指标的影响，即超过了实验误差所产生的影响。第二十一页，讲稿共二十九页哦 为了判断因素对实验结果形象的显著性的大小，为了判断

26、因素对实验结果形象的显著性的大小，须将计算得到的须将计算得到的F F值与从值与从F F分布表上查到的相应临界值分布表上查到的相应临界值进行比较。当进行比较。当F F值大于临界值时，表明该因素对实验结果值大于临界值时，表明该因素对实验结果影响显著。影响显著。就本例而言：就本例而言：F FA A=(123.37/2)/(27.71/6)=13.36=(123.37/2)/(27.71/6)=13.36查查F F检验的临界值表可知：检验的临界值表可知：F F0.100.10(2,6)=3.46(2,6)=3.46，F F0.050.05(2,6)=5.14(2,6)=5.14，F F0.010.01

27、(2,6)=10.9(2,6)=10.9由于由于F FA A F F0.100.10(2,6)(2,6)，所以我们可以认为，有，所以我们可以认为，有99%99%以上的把以上的把握判断因素握判断因素A A的水平改变对实验结果有极为显著的影响，的水平改变对实验结果有极为显著的影响，以以“*”“*”标记。由此可得出如下结论：对标记。由此可得出如下结论：对10minH10minH2 2产率产率的影响是由硫酸浓度的差异所引起的。的影响是由硫酸浓度的差异所引起的。第二十二页，讲稿共二十九页哦2.2.多因素实验的方法分析多因素实验的方法分析 和单因素实验的情况一样，多因素实验方差分析的和单因素实验的情况一样

28、，多因素实验方差分析的目的仍然是将实验误差所引起的结果与实验条件的改变目的仍然是将实验误差所引起的结果与实验条件的改变(即各因素水平的改变即各因素水平的改变)所引起的结果区分开来，以便能所引起的结果区分开来，以便能抓住问题的实质，此外，多因素实验的方差分析还要抓住问题的实质，此外，多因素实验的方差分析还要将影响实验结果的主要因素和次要因素区分开来，以将影响实验结果的主要因素和次要因素区分开来，以便集中力量研究主要因素。便集中力量研究主要因素。我们仍以实验室制取我们仍以实验室制取H H2 2为例，来阐明多因素单指标实为例，来阐明多因素单指标实验方差分析的基本步骤。验方差分析的基本步骤。第二十三页

29、，讲稿共二十九页哦(1)(1)因素的偏差平方和的计算因素的偏差平方和的计算自由度f=3-1=2，为了简化计算，上式可写为其中CT=G2/n第二十四页，讲稿共二十九页哦则则将数据带入上式CT=G2/9=(351.68)2/9=13742.09第二十五页，讲稿共二十九页哦S SA A=(104.21=(104.212 2+116.12+116.122 2+131.35+131.352 2)/3-(13742.09)/9=123.37)/3-(13742.09)/9=123.37同理，可以计算出因素B和因素C的偏差平方和SB B、SC C(其自由度fB B=fC C=3-1=2)，SB B=6.51

30、，SC C=15.77，SA A、SB B、SC C反映了因素A、B、C的3个水平所引起的实验结果的差异。第二十六页，讲稿共二十九页哦(2)(2)误差的偏差平方和的计算误差的偏差平方和的计算 对于误差的偏差平方和对于误差的偏差平方和(S(Se e)，可用正交表中未安排因，可用正交表中未安排因素的空白列的偏差平方和来计算。因为空白列未安排因素，素的空白列的偏差平方和来计算。因为空白列未安排因素，它们的偏差平方和中不包括因素水平的变化所引起的实验结它们的偏差平方和中不包括因素水平的变化所引起的实验结果的误差，仅仅反映了实验误差的大小。果的误差，仅仅反映了实验误差的大小。本例中：本例中：S Se e

31、=S=SD D=(K=(K1 12 2+K+K2 22 2+K+K3 32 2)/3-CT=5.43)/3-CT=5.43误差的自由度：误差的自由度：f fe e=f=f总总-f-fA A-f-fB B-f-fC C=(9-1)-2-2-2=2=(9-1)-2-2-2=2应当指出，当正交表中空白列不是一列时，可将空白应当指出，当正交表中空白列不是一列时，可将空白列的列的S S值相加作为误差的估计值。值相加作为误差的估计值。第二十七页，讲稿共二十九页哦(3)(3)因素的显著性检验因素的显著性检验分别计算出因素分别计算出因素A A、B B、C C的的F F值：值：查F分布表可知：F0.10(2,2)=9.00，F0.05(2,2)=19.0F0.01(2,2)=99.0由于F0.05(2,2)FA F0.01(2,2)，FB F0.10(2,2)FC F0.10(2,2)由此可见，显著性分别为：第二十八页，讲稿共二十九页哦感谢大家观看第二十九页，讲稿共二十九页哦