第三章随机变量的数字特征精选PPT.ppt

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1、第三章随机变量的数字特征第1页，本讲稿共40页 在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量X的概率分布，那么，X的全部概率特征也就知道了.然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的.而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了.因此，在对随机变量的研究中，确定某些数字特征是重要的.第2页，本讲稿共40页随机变量的数学期望Mathematical Expectation以频率为权重的加权平均，反映了这7位同学高数成绩的平均状态。一、引例 某7名学生的高数成绩为90，85，85，80，80，75，60，则他们的平均成绩为随机变量所

2、有可能取值的平均应怎么确定？随机变量所有可能取值的平均应怎么确定？第3页，本讲稿共40页二、数学期望的定义u离散型随机变量Def 设离散型随机变量的概率分布为 u连续型随机变量Def 设连续型随机变量的概率密度为，若广义积分第4页，本讲稿共40页u随机变量数学期望所反应的意义例例3.1已知随机变量X的分布律为1/41/21/4654求数学期望解：解：由数学期望的定义例例3.2已知随机变量X的分布律为10求数学期望解：由数学期望的定义第5页，本讲稿共40页例3.3已知随机变量。求数学期望例3.4已知随机变量。求数学期望第6页，本讲稿共40页例3.5已知随机变量。求数学期望第7页，本讲稿共40页例

3、3.6已知随机变量。求数学期望第8页，本讲稿共40页例3.7若将这两个电子装置串联连接组成整机,求整机寿命(以小时计)N 的数学期望.的分布函数为第9页，本讲稿共40页u二维随机变量的数学期望及边缘分布的数学期望(X X,Y Y)为二维离散型随机变量(X(X,Y Y)为二维连续型随机变量第10页，本讲稿共40页例例3.8 设(X,Y)的联合密度为113解：第11页，本讲稿共40页第12页，本讲稿共40页u随机变量函数的数学期望1.一元随机变量函数的情况设是随机变量 X的函数，离散型离散型连续型连续型第13页，本讲稿共40页该公式的重要性在于:当我们求Eg(X)时,不必知道g(X)的分布，而只需

4、知道X的分布就可以了.这给求随机变量函数的期望带来很大方便.例3.9解：解：因为第14页，本讲稿共40页2.二元随机变量函数的情况离散型离散型连续型连续型第15页，本讲稿共40页例3.10例例3.11 设X与Y相互独立，它们的概率密度函数分别为第16页，本讲稿共40页第17页，本讲稿共40页u随机变量数学期望的性质 1.设C是常数，则E(C)=C；2.若k是常数，则E(kX)=kE(X)；3.E(X+Y)=E(X)+E(Y)；4.设X，Y 相互独立，则 E(XY)=E(X)E(Y)；请注意:由E(XY)=E(X)E(Y)不一定能推出X,Y 独立证明：这里只证明行至3,4第18页，本讲稿共40页

5、利用这些性质可以再求数学期望时计算得以化简。第19页，本讲稿共40页例例3.12 设随机变量XB(n,p)，求二项分布的数学期望。XB(n,p)，则X表示n重贝努里试验中的“成功”次数。解：第20页，本讲稿共40页例例3.12 独立地操作两台仪器，他们发生故障的概率分别为p1和p2.证明：产生故障的仪器数目的数学期望为 p1+p2则X的所有可能取值为0,1,2设产生故障的仪器数目为X解:所以，产生故障的仪器数目的数学期望第21页，本讲稿共40页数学期望在医学上的一个应用An application of Expected Value in Medicine 考虑用验血的方法在人群中普查某种疾病

6、。集体做法是每10个人一组，把这10个人的血液样本混合起来进行化验。如果结果为阴性，则10个人只需化验1次；若结果为阳性，则需对10个人在逐个化验，总计化验11次。假定人群中这种病的患病率是10%，且每人患病与否是相互独立的。试问：这种分组化验的方法与通常的逐一化验方法相比，是否能减少化验次数？分析：设随机抽取的10人组所需的化验次数为X需要计算X的数学期望，然后与10比较第22页，本讲稿共40页 化验次数X的可能取值为1，11先求出化验次数X的分布律X=1=“10人都是阴性”X=11=“至少1人阳性”结论：分组化验法的次数少于逐一化验法的次数。注意求 X期望值的步骤！问题的进一步讨论 1.概

7、率p对是否分组的影响？2.概率p对每组人数n的影响?第23页，本讲稿共40页随机变量的方差Varianceu 随机变量方差的定义 设 是一随机变量，如果 存在，则称为 的方差，记作 或 与 有相同的量纲u均方差（标准差）u方差的统计意义 随机变量的方差反映了随机变量所有可能取值的聚散程度。第24页，本讲稿共40页离散型离散型设离散型随机变量X的概率函数为连续型连续型设连续型随机变量X的密度函数为 f(x)例3.14已知随机变量X的分布律为10求方差解：u方差的计算公式 第25页，本讲稿共40页例3.15已知随机变量。求方差第26页，本讲稿共40页例3.16已知随机变量。求方差第27页，本讲稿共

8、40页例3.17已知随机变量。求方差第28页，本讲稿共40页例3.18已知随机变量。求方差第29页，本讲稿共40页例3.19解：解：X的密度函数为 所以有第30页，本讲稿共40页u方差的性质 1.设C是常数，则D(C)=0；2.若a，b是常数，则 3.相互独立时 当随机变量证明证明:例3.20第31页，本讲稿共40页解：解：第32页，本讲稿共40页随机变量的矩与中位数u 随机变量的矩 原点矩与原点矩原点矩与原点矩Def 设X是随机变量，若 存在，则称其为X的k阶原点矩，若存在，则称其为X的k阶中心矩，中位数中位数Def显然，随机变量1阶原点矩是数学期望；2阶中心矩是方差第33页，本讲稿共40页

9、随机变量间的的协方差与相关系数Covariance and Correlation coefficientu 随机变量间协方差与相关系数 Def协方差的定义协方差的定义相关系数的定义相关系数的定义Def第34页，本讲稿共40页u 随机变量间协方差的计算 离散型离散型连续型连续型注意：协方差与相关系数反映的是同一个内容，只是协方差有单位，而相关系数无单位。第35页，本讲稿共40页例3.211/83/83/81/81/41/8001/833/403/83/8013210解：解：边际分布如表第36页，本讲稿共40页例3.22解：解：边际概率密度为第37页，本讲稿共40页u 随机变量间协方差与相关系数的性质 性质性质6,7说明相关系数反映了随机变量之间线性相关性的强弱。说明相关系数反映了随机变量之间线性相关性的强弱。第38页，本讲稿共40页证明:u 随机变量间线性无关的概念 Def第39页，本讲稿共40页例例3.231/31/31/310-1解：解：01/311/30001/3-110这个题说明相关系数反映了随机变量之间线性相关性的强弱。这个题说明相关系数反映了随机变量之间线性相关性的强弱。第40页，本讲稿共40页