第三章 恒定电场精选PPT.ppt

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1、第三章 恒定电场2022/10/8第三章1第1页，本讲稿共60页由不随时间的真实电流（恒定电流）产生的电场称为恒定电场。电荷（载流子）在电场的作用下发生宏观运动，形成真实电流这样形成的电流又有传导电流和运流电流之分传导电流：在导电媒质（导体、半导体、漏电介质）中，电荷（载流子）的流动形成的。运流电流：真空中或气体中电荷（载流子）流动所形成。可见，传导电流和运流电流都是由真实存在的电荷（正电荷或负电荷，统称为载流子）运动产生。除了这两种电流外还有一种电流称为位移电流。它是变化的电场产生的，它不表示任何带电质点的运动，它遵从麦克斯韦方程组。第2页，本讲稿共60页3.1 电流密度一、电流：单位时间内

2、通过某一横截面的电量。若用数学式描述，则（3-1-1）电流是标量（正、负）。反映的是某一横截面电荷的流动情况。若要研究横截面内某一点的电荷的流动情况，则必须引入以下几个矢量：第3页，本讲稿共60页二、电流密度矢量：1、体电流密度矢量 ：v 定义：（3-1-2）其中：为正电荷运动（电流）的方向。包围被研究的点，垂直于 的面元。面元上通过的电流。单位：A/与时间无关，但 一般与空间坐标有关，即恒定电场中：第4页，本讲稿共60页v 电流线：设想有一系列的矢量线，其上各点的切线方向均与该点电流流动的方向一致，则矢量线的疏密（多少）即反映了电流密度的大小。故该矢量线即为电流密度矢量线。v 通过任意面积S

3、的电流为 穿过该面的通量：即（3-1-3）第5页，本讲稿共60页 在电荷流动区域某点，取一垂直于电流流动方向的面元 ，则 时间内，穿过 的电荷量为：（3-1-4）故v 与运动电荷的体密度 及运动速度 的关系：第6页，本讲稿共60页2、面电流密度矢量 ：当电流在厚度可以忽略的薄层中流动时，则可以近似认为电流 是在一厚度为零的曲面上流动，从而引入面电流及面电流密度矢量。v 定义：的大小为垂直于电流方向的单位长度上流过的电流，方向为电流流动方向即（3-1-5）第7页，本讲稿共60页v 流过任意线段 的电流I：（3-1-6）v 与运动电荷的面密度 及速度 的关系：在电荷流动区域某点，取一垂直于电流流动

4、方向的线元 ，则 时间内，穿过 的电荷量为：（3-1-7）第8页，本讲稿共60页时间内，流过细导线的电荷量为：若运动电荷的线密度为 ，其运动速度为 。则3、线电流I：若电荷沿细导线或空间一线形区域流动，则可将此电流视为沿截面为零的几何线流动的线电流。第9页，本讲稿共60页3.2 欧姆定律一、欧姆定律：静电场中：导体内部电场处处为零。恒定电场中：导体内有恒定的电流，因而，导体内的电场为恒定电场。源外第10页，本讲稿共60页1、欧姆定律的积分形式：其中（3-2-1）12P 欧姆定律的积分形式反映的是：一段有限长度为 ，且横截面 也有限的导体的导电规律。若想知道导体中某点的导电情况，则引入其微分形式

5、的欧姆定律：源外第11页，本讲稿共60页2、微分形式：实验证明：（3-2-2）其中：电导率：西（门子）每米S/m 在均匀、线性、各向同性媒质中，为一常数。源外 电导率为无限大的导体称为理想导电体理想导电体。显然，在理想导电体中，无需电场推动即可形成电流。由上式可见，在理想导电体中是不可能存在恒定电场的，否则，将会产生无限大的电流，从而产生无限大的能量。但是，任何能量总是有限的。电导率为零的媒质，不具有导电能力，这种媒质称为理想介质理想介质。第12页，本讲稿共60页3、含源欧姆定律的微分形式：若导体内要维持一恒定的电场（产生一定的电流），则必须有电源媒 质电导率(S/m)媒 质电导率(S/m)银

6、海 水4紫 铜淡 水金干 土铝变压器油黄 铜玻 璃铁橡 胶第13页，本讲稿共60页存在，在电源内部，正电荷是由负极向正极流动正电荷是由负极向正极流动的的，即逆静电场方向运动，那么，电源内部必存在另一种力非静电力非静电力（非电场力）（非电场力）。仿静电场的定义：将非静电力与电荷的比值定义为非库仑场，以 表示。只存在于电源内部。但电源内部同时也存在库仑场（恒定电场）。电源外部则只有库仑场 。与 方向相反。则 含源欧姆定律的微分形式为：（3-2-3）源内：为电源内部导电物质的电导率；源外：为导体的电导率。第14页，本讲稿共60页4、含源欧姆定律的积分形式：即 是由分布恒定的电荷产生的，与静电场一样。

7、21第15页，本讲稿共60页电源电动势物理意义：非静电力将单位正电荷从负极经源内移至正极时所做的功。而（3-2-5）有源欧姆定律的积分形式令第16页，本讲稿共60页二、焦耳定律：导体在电场作用下，导电粒子产生定向漂移运动。在微观上，则表现为导电粒子在做定向运动时，还会不断地与晶体点阵上的原子发生碰撞，结果，导体温度升高。电场能 热能1、焦耳定律的微分形式：设电流是由体密度为 的运动电荷以速度 定向运动形成，则 时间内，电场力对体积元 中的电荷 所做的功为宏观上导电粒子损失动能第17页，本讲稿共60页即则电场在导电媒质单位体积中消耗的功率为：（3-2-6）焦耳定律的微分形式2、焦耳定律的积分形式

8、：导电媒质整个体积 V中消耗的功率为：（3-2-7）第18页，本讲稿共60页 一段长为 ，横截面为S 的导线消耗的功率为：（3-2-8）此即为我们熟知的焦耳定律。第19页，本讲稿共60页3.3 恒定电场的基本方程一、电流连续性方程：1、积分形式：据电荷守恒原理：从任一闭合曲面S流出的电流应等于从S所包围的体积中单位时间内电荷减少的数量。即（3-3-1）第20页，本讲稿共60页2、微分形式：应用散度定理：则电流连续性方程的积分形式可写成：（3-3-2）电流连续性方程的 第21页，本讲稿共60页电流为无散源二、恒定电场的基本方程：1、恒定电流是连续的：对恒定电场而言，电荷的空间分布与时间无关。（3

9、-3-3）（3-3-4）电流线总是闭合曲线第22页，本讲稿共60页2、恒定电场是无旋场：维持恒定电流的电场为恒定电场。即维持恒定电流的电荷分布是与时间无关的。因而，恒定电场同静电场一样，均是由不随时间变化的电荷产生的。但恒定电场存在电源外与电源内，我们所说的恒定电场均视为电源外。故恒定电场无旋：（3-3-5）（3-3-6）积分微分即13第23页，本讲稿共60页3、恒定电场也可用电位梯度表示：（3-3-7）4、恒定电场满足拉普拉斯方程（均匀线性各向同性）均匀线性各向同性媒质中即（3-3-8）第24页，本讲稿共60页三、导电媒质内的体电荷：1、恒定电场中不均匀的导电媒质内有体电荷 ：据高斯通量定理

10、：即若媒质不均匀，则 均与坐标位置有关。恒定电场：（3-3-9）是在媒质中的电流进入恒定状态之前堆积的。第25页，本讲稿共60页2、均匀媒质进入恒定状态之前也有体电荷分布 ：据电流连续性方程：若媒质均匀：则即第26页，本讲稿共60页积分得：（3-3-10）其中 驰豫时间。它说明经过 秒后，将减至初始值的对大多数导体，很短。例如：铜 它说明：对均匀导体而言，接入电源后，瞬间就能使导体进入恒定状态，最终第27页，本讲稿共60页例：在无界非均匀媒质中（电导率和介电常数均是坐标的函数），若有恒定电流存在，证明:媒质中的自由电荷密度为：证明：对恒定电流有即1第28页，本讲稿共60页而即证毕第29页，本讲

11、稿共60页3.4 恒定电场的边界条件一、电流密度 的边界条件：1、恒定电流是连续的：即2、如图所示，作一闭合曲面S，其侧高即（3-4-1）上式说明电流密度的法向分量是连续的。第30页，本讲稿共60页3、当用电位表示时：（3-4-2）二、恒定电场E的边界条件：1、恒定电场是无旋的：第31页，本讲稿共60页2、如图：作一闭合曲线C，。则电场切向分量是连续的。3、用电位描述时：（3-4-4）电位是连续的。第32页，本讲稿共60页三、分界面上电流线的关系：即则（3-4-5）第33页，本讲稿共60页四、讨论：1：0说明：一般情况下，很小。（除外）。12即恒定电场由良导体进入电介质时，在电介质中的电场近似

12、地与良导体表面垂直。良导体表面为等位面。对比静电场：导体外表面的电场强度方向与导体表面垂直 导体表面为等位面。为电阻率即媒质“2”为良导体，媒质“1”为电介质。第34页，本讲稿共60页2、两种不同导电媒质的分界面上一般有自由电荷：又 只有当 时，实际上，对两金属导体而言：故第35页，本讲稿共60页例：电压U加于面积为S的平行板电容器上，两块极板之间的空间填充两种有损电介质，它们的厚度介电常数、电导率分别为 ，如图。求：（1）极板间的电流密度 ；（2）在两种电介质中的电场强度 和 ；（3）极板上和介质分界面的 。平行板电极为良导体，在良导体与电介质的分界面上，电介质的电流线近似地与良导体表面垂直

13、。又因电流密度的法向分量连续，则：解：（1）sr第36页，本讲稿共60页又故（2）两种电介质中的电场强度E1和E2且J与E的方向均为垂直极板由上而下。第37页，本讲稿共60页（3）极板上和介质分界面的 上极板下极板介质分界面第38页，本讲稿共60页例：一个球形电容器的内导体的半径为 a,外导体的内半径为 c,其间填充两种漏电介质，电导率分别为 和 ，分界面半径为 b,如图，求两个极板间的漏电电阻。解：设由内导体至外导体的漏电流为 I ,则在半径为 r 的球面上，漏电电流均匀分布，其漏电流密度为：第39页，本讲稿共60页其电场强度为：而内、外导体之间的电压为：第40页，本讲稿共60页即第41页，

14、本讲稿共60页例：如图所示为一圆弧形金属片，厚度为 ，电导率为 ，已知它的边界条件是时，时，求该金属片内的电位 、电场强度 、电流密度 以及金属片电阻。解：与 及 无关，可写成：柱坐标系解方程得：第42页，本讲稿共60页时，时，标量正值第43页，本讲稿共60页3.5 恒定电场与静电场的比拟一、对应关系：电源外的导电媒质中的恒定电场无电荷分布的电介质中的静电场相似下面先来看看其相应公式的对应关系：第44页，本讲稿共60页恒定电场（源外）：静电场：第45页，本讲稿共60页故可看出其对应关系：恒定电场静电场第46页，本讲稿共60页二、静电比拟法：AB 把一种场的计算和实验所得的结果，推广应用于另一种

15、场的方法称为静电比拟法。如图：A、B为导体，接于电压为U的直流电源上，其周围为电介质。属恒定电场问题。但可用静电比拟法来解决此问题。静电场：导体表面是等位面，D处处垂直其表面。恒定电场：A、B电极表面可视为等位面，J线处处垂直其表面。第47页，本讲稿共60页三 、应用：计算一球形电容器的电容与电导。设球的内、外半径分别为a、b。电容：由定义则设球形电容器带电量为q而a r b第48页，本讲稿共60页 电导：采用静电比拟法：则第49页，本讲稿共60页例：有两层介质的同轴电缆，介质分界面为同轴圆柱面，内导体半径为a,分界面半径为b,外导体内半径为c。两层介质的电容率为 和 ，电导率为 和 ，当外加

16、电压为 时，求介质中的电场及分界面上的自由电荷密度 。解：电流密度的法向分量连续。第50页，本讲稿共60页用静电比拟法求解。利用高斯通量定理：设 a r b,同理：b r c,设内导体带电量为qS为半径为r，长为l 的圆柱面。第51页，本讲稿共60页则第52页，本讲稿共60页故第53页，本讲稿共60页介质边界 r=b，第54页，本讲稿共60页第55页，本讲稿共60页例：同轴线的内导体半径为 ，外导体半径为 ，中间介质层并非理想介质，其导电率为 ，因而有漏电流流过，试求其漏电阻。解：在同轴线介质内取一个圆筒形表面，其半径为r,与同轴线平行的长度为l,则故：第56页，本讲稿共60页同轴线的电容为：

17、v 用静电比拟法来求 v 解：故第57页，本讲稿共60页3.6 接地电阻一、接地：1、保护接地：将电气设备的某一部分和大地相连。为保证工作人员的安全，并使设备可靠地工作而接地。2、工作接地：利用大地作为传输导线，或为消除设备的导电部分对地电压的升高而接地。3、接地体：相连 为接地而埋在地内的金属导体或导体系统。第58页，本讲稿共60页二、接地电阻：1、电流由接地体流向大地和电流流经大地时，都 要遇到一些电阻，这些电阻就统称为接地电阻。2、接地电阻的计算：导体很大很小 深埋地中的接地体：如图：将接地体与地面视为一个球形电容器，其中利用静电比拟法，则第59页，本讲稿共60页 地表附近的接地体：由于地面离接地体太近，因而，接地体的边界变得较为复杂，或者说不对称，故常用镜像法求解：如图：则第60页，本讲稿共60页