第三章平面问题的有限单元法精选PPT.ppt
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1、第三章平面问题的有限单元法第1页,本讲稿共121页 求解弹性力学问题,就是在一定边界条件下,求求解弹性力学问题,就是在一定边界条件下,求解平衡微分方程、几何方程和物理方程等微分方程组,解平衡微分方程、几何方程和物理方程等微分方程组,得出应力、应变和位移的函数式解答。得出应力、应变和位移的函数式解答。对于工程实际问题,由于物体的形状和受力情况等对于工程实际问题,由于物体的形状和受力情况等比较复杂,往往难以求出函数式的解答。为此,在弹比较复杂,往往难以求出函数式的解答。为此,在弹性力学中建立了三种数值解法,即变分法、差分法和性力学中建立了三种数值解法,即变分法、差分法和有限单元法。特别是近半个世纪
2、发展起来的有限单元有限单元法。特别是近半个世纪发展起来的有限单元法,应用计算机进行计算,能够有效地解决各种工程法,应用计算机进行计算,能够有效地解决各种工程实际问题,并达到所需要的精度。现在,有限单元法实际问题,并达到所需要的精度。现在,有限单元法已广泛地应用于各种工程结构的分析。已广泛地应用于各种工程结构的分析。有限单元法的作用:有限单元法的作用:第2页,本讲稿共121页3.1 基本方程的矩阵表示基本方程的矩阵表示一一、基本方程的矩阵表示、基本方程的矩阵表示 在有限单元法中,采用矩阵表示和矩阵运算在有限单元法中,采用矩阵表示和矩阵运算的方法。因为,用矩阵表示公式,可以使同一类的方法。因为,用
3、矩阵表示公式,可以使同一类公式统一为一个矩阵公式,且便于运算和编制程公式统一为一个矩阵公式,且便于运算和编制程序。序。在平面问题中,不论是平面应力问题还是平面在平面问题中,不论是平面应力问题还是平面应变问题,物体所受的体力只有应变问题,物体所受的体力只有X和和Y两个分量,两个分量,可用体力列阵表示为:可用体力列阵表示为:R=第3页,本讲稿共121页同样,物体所受的面力也只有同样,物体所受的面力也只有 和和 两个分量,两个分量,可用面力列阵表示为:可用面力列阵表示为:R=与此相似,与此相似,3个应力分量可用应力列阵表示为:个应力分量可用应力列阵表示为:3个形变分量可用应变列阵表示:个形变分量可用
4、应变列阵表示:第4页,本讲稿共121页2个位移分量可用位移列阵表示为:个位移分量可用位移列阵表示为:U=()T现在把本章中要用到的几个基本方程用矩阵来表现在把本章中要用到的几个基本方程用矩阵来表示。示。几何方程表示:几何方程表示:平面应力问题的物理方程:平面应力问题的物理方程:简写为:简写为:第5页,本讲稿共121页xy为平面应力问题,由于结构的对称性可取结构的1/4来研究,故所取的力学模型二、有限元法解题的基本步骤二、有限元法解题的基本步骤1.力学模型的分析力学模型的分析(平面问题,平面应变问题,平面应力问题,轴对称问题,空间问题,板,梁,杆或组合体等,对称或反对称等)例如:第6页,本讲稿共
5、121页根据题目的要求,可选择适当的单元进行结构离散化。对于平根据题目的要求,可选择适当的单元进行结构离散化。对于平面问题可用三角元,四边元等。面问题可用三角元,四边元等。2.单元的选取、结构的离散化单元的选取、结构的离散化例如:第7页,本讲稿共121页结构离散化后,要用单元结构离散化后,要用单元结点结点的位移通过插值来获得单元内的位移通过插值来获得单元内各点各点的位移。的位移。在有限元法中,通常都是假定单元的位移模式是多项式,一在有限元法中,通常都是假定单元的位移模式是多项式,一般来说,单元位移多项式的项数应与单元的自由度数相等。般来说,单元位移多项式的项数应与单元的自由度数相等。它的阶数它
6、的阶数至少包含常数项和一次项。至于高次项要选取多少项,则应视单元至少包含常数项和一次项。至于高次项要选取多少项,则应视单元的类型而定。的类型而定。3.选择单元的位移模式选择单元的位移模式(3-1)单元内任一点的位移列阵;单元的结点位移列阵;单元的形函数矩阵;(它的元素是任一点位置坐标的函数)第8页,本讲稿共121页4.单元的力学特性分析单元的力学特性分析把(3-1)式代入几何方程可推导出用单元结点位移表示的单元应变表达式:(3-2)式中:单元内任一点应变列阵;单元的应变转换矩阵;(它的元素仍为位置坐标的函数)再把()式代入物理方程,可导出用单元结点位移列阵表示的单元应力表达式:(3-3)第9页
7、,本讲稿共121页最后利用弹性体的虚功方程建立单元结点力列阵与结点位移列阵之间的关系,即形成单元的刚度方程式:式中:单元内任一点的应力列阵;单元的弹性矩阵,(它与材料的特性有关)式中:单元刚度矩阵(3-4)(3-5)第10页,本讲稿共121页考虑整体结构的约束情况,修改整体刚度方程之后,(3-6)式就变成以结点位移为未知数的代数方程组。解此方程组可求出结点位移。用直接刚度法将单刚组集成总纲,并将组集成总载荷列阵,形成总体结构的刚度方程:(3-6)解出整体结构的结点位移列阵后,再根据单元结点的编号找出对应于单元的位移列阵,将代入(3-3)式就可求出各单元的应力分量值。5.建立整体结构的刚度方程建
8、立整体结构的刚度方程6.求解修改后的整体结构刚度方程求解修改后的整体结构刚度方程7.由单元的结点位移列阵计算单元应力由单元的结点位移列阵计算单元应力第11页,本讲稿共121页求解出整体结构的位移和应力后,可有选择地整理输出某些关键点的位移值和应力值,特别要输出结构的变形图、应力图、应变图、结构仿真变形过程动画图及整体结构的弯矩、剪力图等等。8.计算结果输出计算结果输出返回返回返回返回第12页,本讲稿共121页3.2 单元位移模式单元位移模式一、离散化一、离散化 将连续体用假想的线或面分割成有限个部将连续体用假想的线或面分割成有限个部 分,分,各部分之间用有限个点相连。各部分之间用有限个点相连。
9、每个部分称为一个单元,连接点称为结点。每个部分称为一个单元,连接点称为结点。三角形网格划分三角形网格划分结点力:结点力:单元结点力:单元结点力:结点位移:结点位移:单元结点位移:单元结点位移:第13页,本讲稿共121页弹性体和有限元计算模型弹性体和有限元计算模型第14页,本讲稿共121页从从弹弹性性力力学学平平面面问问题题的的解解析析解解法法中中可可知知,如如果果弹弹性性体体内内的的位位移移分分量量函函数数已已知知,则则应应变变分分量量和和应应力力分分量量也也就就确确定定了了。但是,如果只知道弹性体中某几个点的位移分量的值,那么就不能直接求得应变分量和应力分量。因此,在进行有限元分析时,必须先
10、假定一个位移模式。由于在弹性体内,各点的位移变化情况非常复杂,很难在整个弹性体内选取一个恰当的位移函数来表示位移的复杂变化,但是如果将整个区域分割成许多小单元,那么在每个单元的局部范围内就可以采用比较简单的函数来近似地表示单元的真实位移,将各单元的位移式连接在有限单元法中,虽然是用离散化模型来代替原来的连续体,但每一个单元体仍是一个弹性体,所以在其内部依然是符合弹性力学基本假设的,弹性力学的基本方程在每个单元内部同样适用。起来,便可近似地表示整个区域的真实位移函数。这种化繁为简、联合局部逼近整体的思想,正是有限单元法的绝妙之处。第15页,本讲稿共121页二、简单三角形单元的位移模式二、简单三角
11、形单元的位移模式单元位移模式:有限元分析中,将结构离散为许多小单单元位移模式:有限元分析中,将结构离散为许多小单元的集合体,用较简单的函数来描述单元内各点位移的元的集合体,用较简单的函数来描述单元内各点位移的变化规律。(变化规律。(P24P24)简单三角形单元(三结点三角形单元)特点:简单三角形单元(三结点三角形单元)特点:边界适应性强;计算精度较低。边界适应性强;计算精度较低。第16页,本讲稿共121页式中式中 1、2、6是待定常数。因三角形单元共有六是待定常数。因三角形单元共有六个自由度,且位移函数个自由度,且位移函数u、v在三个结点处的数值应该等在三个结点处的数值应该等于这些点处的位移分
12、量的数值。假设结点于这些点处的位移分量的数值。假设结点i、j、m的坐标的坐标分别为(分别为(xi ,yi)、()、(xj ,yj)、()、(xm ,ym),代入),代入 上上 式,得:式,得:用克莱姆法则,由用克莱姆法则,由 上式方程可以求得:上式方程可以求得:第17页,本讲稿共121页其中:从解析几何可知,式中的从解析几何可知,式中的A就是三就是三角形角形i、j、m的面积。为保证求得的面积的面积。为保证求得的面积为正值,结点为正值,结点i、j、m的编排次序必须是的编排次序必须是逆时针方向,如右图所示。逆时针方向,如右图所示。第18页,本讲稿共121页并将并将 1、2、6代入代入(3-1)式的
13、位移模式,经整理后得到式的位移模式,经整理后得到:(i,j,m轮换)(3-5)第19页,本讲稿共121页N 形函数矩阵若令这样,位移模式这样,位移模式就可以写为就可以写为(i,j,m轮换)(3-9)式中式中I是二阶单位矩阵;是二阶单位矩阵;Ni 、Nj 、Nm 是坐标的函数,它们反映是坐标的函数,它们反映了单元的位移状态,所以一般称之为形状函数,简称形函数。矩阵了单元的位移状态,所以一般称之为形状函数,简称形函数。矩阵N叫做形函数矩阵。三结点三角形单元的形函数是坐标的线性函数。单元叫做形函数矩阵。三结点三角形单元的形函数是坐标的线性函数。单元中任一条直线发生位移后仍为一条直线,即只要两单元在公
14、共结点处保持位中任一条直线发生位移后仍为一条直线,即只要两单元在公共结点处保持位移相等。则公共边线变形后仍为密合。移相等。则公共边线变形后仍为密合。=+=+=iikkjjiiiikkjjiivNvmNmvNvNvuNumNmuNuNu e ekjiNINmININvu u=第20页,本讲稿共121页三三三三形函数的性质形函数的性质形函数的性质形函数的性质在上式中,提出了形函数的概念,即在上式中,提出了形函数的概念,即其中(i,j,m轮换)现在我们来讨论一下形函数所具有的一些性质。根据行列式的性质:现在我们来讨论一下形函数所具有的一些性质。根据行列式的性质:返回返回返回返回第21页,本讲稿共12
15、1页1.在单元的任一点上,三个形函数之和等于在单元的任一点上,三个形函数之和等于1,即,即简记为(3-11)这说明,三个形函数中只有二个是独立的。()()()()()()()N xyNxyNxyab xc yab xc yab xc yaaabbb xccc yijmiiijjjmmmijmijmijm,+=+=+=12121AA将P25式3-5代入第22页,本讲稿共121页2.形函数在各单元结点上的值,具有形函数在各单元结点上的值,具有“本点是本点是1、它点、它点为零为零”的性质,即的性质,即在结点i上,在结点j、m上,(a)(b)(c)类似地有(d)()()Nxyab xc yiiiiii
16、ii,=+=121A第23页,本讲稿共121页三角形单元任意一条边上的形函数,仅与该边的两端节三角形单元任意一条边上的形函数,仅与该边的两端节点坐标有关、而与其它结点坐标无关。例如,在点坐标有关、而与其它结点坐标无关。例如,在i j 边上,边上,有有第24页,本讲稿共121页事实上,因i j 边的直线方程方程为(a)代入P26(3-9)式中的Nm (x,y)和Nj (x,y),有(b)(c)返回返回返回返回第25页,本讲稿共121页故有(d)另外,由性质1可以求得(e)利用形函数的这一性质可以证明,相邻单元的位移分别进行线性插值之后,在其公共边上将是连续的。返回返回返回返回第26页,本讲稿共1
17、21页形函数的性质小结:形函数的性质小结:0),(=yxNk第27页,本讲稿共121页例:如图所示为三角形单元,求其形函数矩阵例:如图所示为三角形单元,求其形函数矩阵N。(0,0)(0,a)(a,0)oyxijm第28页,本讲稿共121页位移模式必须能包含单元的常应变。位移模式必须能包含单元的常应变。每个单元的应变一般都是包含着两个部分:一部分是与该单元中各点的坐标位置有关的应变(即所谓各点的变应变);另一部分是与位置坐标无关的应变(即所谓的常应变)。从物理意义上看,为了保证解答的收敛性,要求位移模式必须满足以下三个条件,即位位移移模模式式必必须须包包含含单单元元的的刚刚体体位位移移。也就是说
18、,当结点位移是由某个刚体位移所引起时,弹性体内将不会产生应变。所以,位移模式不但要具有描述单元本身形变的能力,而且还要具有描述由于其它单元形变而通过结点位移引起单元刚体位移的能力。例如,在3-2节的位移模式(b)中,常数项1、4就是用于提供刚体位移的。四四位移模式的收敛性位移模式的收敛性第29页,本讲稿共121页位移模式在单元内要连续、且在相邻单元之间的位位移模式在单元内要连续、且在相邻单元之间的位移必须协调。移必须协调。当选择多项式来构成位移模式时,单元内的连续性要求总是得到满足的,单元间的位移协调性,就是要求单元之间既不会出现开裂也不会出现重叠的现象。通常,当单元交界面上的位移取决于该交界
19、面上结点的位移时,就可以保证位移的协调性。当单元尺寸无限缩小时,每个单元中的应变应该趋于常量。因此,在位移模式中必须包含有这些常应变,否则就不可能使数值解收敛于正确解。很显然,在前面的位移模式(b)中,与2、3、5、6有关的线性项就是提供单元中的常应变的。第30页,本讲稿共121页1 1、位移模式必须包含单元的、位移模式必须包含单元的刚体位移刚体位移满足条件满足条件1 1、2 2的的单元为单元为完备单元完备单元2 2、位移模式必须能包含单元的、位移模式必须能包含单元的常应变常应变3 3、位移模式在单元内要、位移模式在单元内要连续连续、并使相邻单元间的位移必须、并使相邻单元间的位移必须协调协调满
20、足条件满足条件3 3的的单元为单元为协调单元协调单元位移模式收敛性小结:位移模式收敛性小结:第31页,本讲稿共121页上节内容回顾:上节内容回顾:三结点三角形单元位移模式:三结点三角形单元位移模式:如果结点位移已知,位移模式:如果结点位移已知,位移模式:若令=+=+=iikkjjiiiikkjjiivNvmNmvNvNvuNumNmuNuNu e ekjiNINmININvu u=第32页,本讲稿共121页形函数的性质(形函数的性质(3条)条)位移模式的收敛性位移模式的收敛性(3条)条)第33页,本讲稿共121页一、应变矩阵一、应变矩阵有了单元的位移模式,就可以利用平面问题的几何方程3.2应变
21、矩阵、应力矩阵与单元刚度矩阵应变矩阵、应力矩阵与单元刚度矩阵由位移模式知:第34页,本讲稿共121页因:第35页,本讲稿共121页可简写成其中B矩阵叫做单元应变矩阵,可写成分块形式而子矩阵由于A和bi、bj、bm、ci、cj、cm等都是常量,所以矩阵B中的诸元素都是常量,因而单元中各点的应变分量也都是常量,通常称这种单元为常应变单元。(i,j,m轮换)(3-15)(3-13)(g)第36页,本讲稿共121页二、应力矩阵二、应力矩阵求得应变之后,再将应变矩阵表达式式代入物理方程,便可推导出以结点位移表示的应力。即(3-16)(h)(3-16)令则返回返回返回返回第37页,本讲稿共121页其中S叫
22、做应力矩阵,若写成分块形式,有对于平面应力问题,弹性矩阵D为(3-17)(i)所以,S的子矩阵可记为(i,j,m轮换)(3-19)第38页,本讲稿共121页对于平面应变问题,只要将(i)式中的E换成E/1-2,换成/1-,即得到其弹性矩阵(j)(i,j,m轮换)(3-20)返回返回返回返回第39页,本讲稿共121页注意到(3-7)式,则有(3-21)由(3-19)、(3-20)式不难看出,S中的诸元素都是常量,所以每个单元中的应力分量也是常量。可见,对于常应变单元,由于所选取的位移模式是线性的,因而其相邻单元将具有不同的应力和应变,即在单元的公共边界上应力和应变的值将会有突变,但位移却是连续的
23、。返回返回返回返回第40页,本讲稿共121页应变矩阵小结应变矩阵小结应力矩阵小结应力矩阵小结应变矩阵为常量,单元内应变是常数 应变矩阵为常量,单元内应力也是常数,相邻单元的应变与应力将产生突变,但位移却是连续的。第41页,本讲稿共121页三、三、三、三、单元单元单元单元 刚度矩阵刚度矩阵刚度矩阵刚度矩阵为了推导单元的结点力和结点位移之间的关系,可应用虚功原理对图3-1中的单元e进行分析。单元e是在等效结点力的作用下处于平衡的,而这种结点力可采用列阵表示为:(a)假设在单元e中发生有虚位移,则相应的三个结点i、j、m的虚位移为 TmmjjiiTTmTjTieYXYXYXFFFF=第42页,本讲稿
24、共121页参照(3-13)式,单元内的虚应变*为于是,作用在单元体上的外力在虚位移上所做的功可写为(d)(f)而单元内的应力在虚应变上所做的功为(g)根据虚功原理,弹性体处于平衡状态时,外力在虚位移上做的功等于应力根据虚功原理,弹性体处于平衡状态时,外力在虚位移上做的功等于应力在虚应变上所做的功。在虚应变上所做的功。第43页,本讲稿共121页这里我们假定单元的厚度这里我们假定单元的厚度t为常量。把(为常量。把(d)式及上式代入上式,并)式及上式代入上式,并将提到积分号的前面,则有将提到积分号的前面,则有根据虚功原理,由(f)和(h)式可得到单元的虚功方程,即注意到虚位移是任意的,所以等式两边与
25、相乘的项应该相等,即得(3-20)第44页,本讲稿共121页记(3-21)则有(3-22)上式就是表征单元的结点力和结点位移之间关系的刚度方程,ke就是单元刚度矩阵。如果单元的材料是均质的,那么矩阵D中的元素就是常量,并且对于三角形常应变单元,B矩阵中的元素也是常量。当然单元的厚度也是常量时,所以(3-21)式可以简化为ke=BT DBt (3-23)返回返回返回返回第45页,本讲稿共121页将(3-23)式写成分块形式,即可得到平面应力问题中三角形单元的刚度矩阵(3-25)其中(r=i、j、m;s=i、j、m)(3-26)第46页,本讲稿共121页对于平面应变问题,只要将上式中的对于平面应变
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