第二章线性时不变系统课件.ppt

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1、第二章线性时不变系统第1页，此课件共42页哦分析分析LTI系统时，问题的实质是什么？系统时，问题的实质是什么？1）信号的分解：信号的分解：即以什么样的信号作为基本信号单元，如何即以什么样的信号作为基本信号单元，如何用基本信号单元来表示任意信号；用基本信号单元来表示任意信号；2）如何得到）如何得到LTI系统对基本单元信号的响应系统对基本单元信号的响应。基本信号单元应满足以下要求是什么？基本信号单元应满足以下要求是什么？1）尽可能简单，并且用它的线性组合能够表示尽可能广泛的信号；尽可能简单，并且用它的线性组合能够表示尽可能广泛的信号；2）LTI系统对这种信号的响应易于求的。系统对这种信号的响应易于

2、求的。2.0 引引言言 第2页，此课件共42页哦则则若若对对LTI系统的分析有哪些方法？系统的分析有哪些方法？时域分析法、频域分析法和变换域分析法，分别对应时域、频域、时域分析法、频域分析法和变换域分析法，分别对应时域、频域、变换域。变换域。如果解决了上述几个问题，任意信号通过线性时不变系统，都可以用如果解决了上述几个问题，任意信号通过线性时不变系统，都可以用下列步骤来解决下列步骤来解决:2.0 引引言言 第3页，此课件共42页哦本章主要内容本章主要内容信号的时域分解信号的时域分解用 表示任意信号；系统的时域分析系统的时域分析卷积运算（卷积和、卷积积分）；用微分和差分方程描述的因果用微分和差分

3、方程描述的因果LTILTI系统；系统；LTILTI系统的框图结构表示。系统的框图结构表示。信号的时域分解信号的时域分解用 表示任意信号；系统的时域分析系统的时域分析卷积运算（卷积和、卷积积分）；用微分和差分方程描述的因果用微分和差分方程描述的因果LTILTI系统；系统；LTILTI系统的框图结构表示。系统的框图结构表示。第第二二章章 主主要要内内容容第4页，此课件共42页哦2.12.1离散时间离散时间LTILTI系统系统：卷积和：卷积和（Convolution sumConvolution sum）对任何离散时间信号，如果每次从其中取出一个点，就对任何离散时间信号，如果每次从其中取出一个点，就

4、可以将整个信号拆开来，每次取出的一个点都可以表示为不可以将整个信号拆开来，每次取出的一个点都可以表示为不同加权、不同位置的单位脉冲。同加权、不同位置的单位脉冲。所以任意一个离散时间信号都可看作一串单个脉冲来想象。所以任意一个离散时间信号都可看作一串单个脉冲来想象。例如：例如：2.1 离离散散时时间间LTI系系统统：卷卷积积和和一、用单位脉冲表示离散时间信号一、用单位脉冲表示离散时间信号 下图为用多个单位脉冲表示一个离散时间系统：第5页，此课件共42页哦2.1 离离散散时时间间LTI系系统统：卷卷积积和和第6页，此课件共42页哦设线性时不变系统的单位冲激响应为设线性时不变系统的单位冲激响应为 ，

5、即：，即：二二.卷积和卷积和（Convolution sum）2.1 离离散散时时间间LTI系系统统：卷卷积积和和则由时不变性：则由时不变性：由线性系统性质：由线性系统性质：结论：对时不变系统，若已知单位冲激响应结论：对时不变系统，若已知单位冲激响应 ，则：，则：单位脉冲相应已知，则任意输入的输出就可求出第7页，此课件共42页哦上式表明上式表明:一个一个LTILTI系统可以完全由它的单位脉冲响应来表征，这种系统可以完全由它的单位脉冲响应来表征，这种求得系统响应的运算关系称为求得系统响应的运算关系称为卷积和卷积和（The convolution sumThe convolution sum）。）

6、。2.1 离离散散时时间间LTI系系统统：卷卷积积和和三三.卷积和的计算卷积和的计算 1.主要方法：主要方法：图解法、列表法、解析法（数值解析等）图解法、列表法、解析法（数值解析等）2.运算的步骤（一般情况下，已知运算的步骤（一般情况下，已知 ）：）：通常采用图解和解析法相结合。完成卷积运算，确定被求和通常采用图解和解析法相结合。完成卷积运算，确定被求和函数、求和上下限，一般分三步完成运算。函数、求和上下限，一般分三步完成运算。第8页，此课件共42页哦例例1 已知已知 ，求，求LTI系统对输系统对输入信号的响应入信号的响应 。2.1 离离散散时时间间LTI系系统统：卷卷积积和和1).1).由由

7、 ，k k轴上其非零取值区间是固定的；轴上其非零取值区间是固定的；2).2).3).3).将将 从左到右移动，分步确定随着从左到右移动，分步确定随着n n的变化，被求的变化，被求和函数的非零区间，确定求和上下限的和函数的非零区间，确定求和上下限的k k值。值。注意：此时的注意：此时的n n可以看成一个常数可以看成一个常数第9页，此课件共42页哦解：采用图解法解：采用图解法 通过图形确定反转移位信号非零区间，对于确定卷积和计算的区通过图形确定反转移位信号非零区间，对于确定卷积和计算的区段及各区段求和的上下限是很有用的段及各区段求和的上下限是很有用的(见见P65P65例例2.5)2.5)，这种方法

8、一般这种方法一般分分5 5个求和区间进行计算。个求和区间进行计算。2.1 离离散散时时间间LTI系系统统：卷卷积积和和.第10页，此课件共42页哦例例2 采用采用列表列表法法z观察卷积和运算式子过程，可以发现：观察卷积和运算式子过程，可以发现：与与 所有的各点都要遍乘一次；所有的各点都要遍乘一次；在遍乘后，各点相加时，根据在遍乘后，各点相加时，根据 ，参与相加的各点都具，参与相加的各点都具有有 与与 的变量之和为的变量之和为 的特点。的特点。2.1 离离散散时时间间LTI系系统统：卷卷积积和和优点：优点：计算非常简单。计算非常简单。缺点：缺点：只适用于两个有限长序列的卷积只适用于两个有限长序列

9、的卷积和；和；一般情况下，无法写出一般情况下，无法写出 的封闭表达式。的封闭表达式。第11页，此课件共42页哦0t单位距形脉冲定义0t一一.用用(t)(t)表示连续时间信号表示连续时间信号x(t)x(t)2.2 2.2 连续时间连续时间LTILTI系统系统：卷积积分：卷积积分2.2 连连续续时时间间LTI系系统统：卷卷积积积积分分第12页，此课件共42页哦 第第 个矩形可表示为：个矩形可表示为：这些矩形迭加起来就成为阶梯形信号这些矩形迭加起来就成为阶梯形信号 ，即：，即：将将x(t)x(t)用一系列的矩形脉冲近似。用一系列的矩形脉冲近似。2.2 连连续续时时间间LTI系系统统：卷卷积积积积分分

10、第13页，此课件共42页哦当 时，于是：表明：任何连续时间信号表明：任何连续时间信号 都可以被分解为无数多个移位加都可以被分解为无数多个移位加权的单位冲激信号的线性组合。权的单位冲激信号的线性组合。2.2 连连续续时时间间LTI系系统统：卷卷积积积积分分第14页，此课件共42页哦上式表明：上式表明：LTILTI系统可以完全由它的单位脉冲响应系统可以完全由它的单位脉冲响应 来表征。这种求得系统响应的来表征。这种求得系统响应的运算关系称为运算关系称为卷积积分卷积积分（The convolution integralThe convolution integral）。）。对于对于LTILTI系统的时

11、不变性，若系统的时不变性，若二二.卷积积分（卷积积分（The convolution integralThe convolution integral）即，若即，若根据线性性质：根据线性性质：则则2.2 连连续续时时间间LTI系系统统：卷卷积积积积分分定义卷积积分：定义卷积积分：第15页，此课件共42页哦3 3卷积积分的计算卷积积分的计算 卷积积分与卷积和类似，求解的方法有图解法、解析法和数值解法。运算步骤如下：运算步骤如下：2.2 连连续续时时间间LTI系系统统：卷卷积积积积分分1).1).由由 ，k k轴上其非零取值区间是固定的；轴上其非零取值区间是固定的；2).2).由由3).3).将将

12、 从左到右移动，随着从左到右移动，随着t t的变化，分步确定积分的变化，分步确定积分 的上下限。的上下限。注意：注意：t t看成常数，求看成常数，求 的上下限。的上下限。，非零区间随，非零区间随t t而变化；而变化；第16页，此课件共42页哦例例1:解解:2.2 连连续续时时间间LTI系系统统：卷卷积积积积分分第17页，此课件共42页哦例例 2:已知已知 解解:2.2 连连续续时时间间LTI系系统统：卷卷积积积积分分，求，求（1 1）（2 2）（3 3）t t取不同取不同值时，将，将 从左到从左到右移右移动，根据不同的非零重叠区，根据不同的非零重叠区域，确定每种情况的域，确定每种情况的积分上下

13、限。分上下限。，分以下几步求解：第18页，此课件共42页哦 当当 时，时，当当 时，时，当当 时，时，当当 时，时，当当 时，时，2.2 连连续续时时间间LTI系系统统：卷卷积积积积分分第19页，此课件共42页哦2.3 2.3 线性时不变系统的性质线性时不变系统的性质一一、卷积积分与卷积和的性质、卷积积分与卷积和的性质设knk则 kn k同理同理2.3 线线性性时时不不变变系系统统的的性性质质 1.交换律交换律第20页，此课件共42页哦 可以看出，单位冲激响应是 ，输入信号是 ，或者单位冲激响应是 ，输入信号是 ，它们最后的响应相同。根据交换律2.3 线线性性时时不不变变系系统统的的性性质质第

14、21页，此课件共42页哦2.分配律分配律根据分配律可得：两个LTI系统并联，其总的单位脉冲响应等于各子系统单位脉冲响应之和。2.3 线线性性时时不不变变系系统统的的性性质质第22页，此课件共42页哦3.结合律结合律根据结合律可得：两个LTI系统级联时，系统总的单位冲激脉冲响应等于各子系统单位冲激脉冲响应的卷积。2.3 线线性性时时不不变变系系统统的的性性质质第23页，此课件共42页哦 由于卷积满足交换律，因此，系统级联的先后次序可以调换。具体的推导过程看课本P78页。注意：注意：上述结论都是针对上述结论都是针对LTI而而 言的；言的；卷积运算必须收敛。卷积运算必须收敛。2.3 线线性性时时不不

15、变变系系统统的的性性质质结论：结论：LTI系统总响应与系统级系统总响应与系统级联的次序无关。联的次序无关。第24页，此课件共42页哦 如果交换级联顺序，那么由于输入信号与如果交换级联顺序，那么由于输入信号与h2单元的卷积单元的卷积 不收敛，不收敛，因而实际中这样的系统是不存在的。因而实际中这样的系统是不存在的。例例 对于由两个单元级联构成的非线性系统如下：对于由两个单元级联构成的非线性系统如下：系统总的响应发生了变化，所以级联的无序性只适用于线性系统，同时也要求时系统总的响应发生了变化，所以级联的无序性只适用于线性系统，同时也要求时不变性（书题不变性（书题2.51）。）。平方平方乘乘2乘乘2平

16、方平方例例 对于对于 的的LTI系统，当系统，当 时，时，交换两个级联单元的顺序后交换两个级联单元的顺序后 2.3 线线性性时时不不变变系系统统的的性性质质第25页，此课件共42页哦 时移特性。时移特性。4.卷积的其他性质卷积的其他性质u 若 则，卷积积分满足下列特性：微分特性；积分特性；时移特性。和特性；和特性；u若若 ，则，则卷积和卷积和满足下列特性：满足下列特性：差分特性；差分特性；2.3 线线性性时时不不变变系系统统的的性性质质第26页，此课件共42页哦u信号平移信号平移:u单位冲激响应等于单位冲激响应等于(t)(t)的系统是恒等系统的系统是恒等系统:2.3 线线性性时时不不变变系系统

17、统的的性性质质第27页，此课件共42页哦5.卷积性质的应用举例卷积性质的应用举例 解：解：这里利用卷积的积分微分性质。这里利用卷积的积分微分性质。例如例如前面例题中的积分，已知前面例题中的积分，已知 求求:2.3 线线性性时时不不变变系系统统的的性性质质第28页，此课件共42页哦 此时 无记忆系统：在无记忆系统：在 时刻，时刻，都只能和都只能和 时刻的输入时刻的输入 有关。有关。二、二、LTILTI系统的性质系统的性质 LTI系统具有记忆、可逆、因果、稳定性时，单位冲激响应的特点。系统具有记忆、可逆、因果、稳定性时，单位冲激响应的特点。2.3 线线性性时时不不变变系系统统的的性性质质1.1.记

18、忆性记忆性可知，无记忆系统的单位脉冲响应为:0 00 0结论：结论：如果LTI系统的单位冲激响应不是冲激函数，则系统是记忆的。当K=1时，系统是恒等系统。由第29页，此课件共42页哦例如例如延时器延时器是可逆的是可逆的LTI系统，其系统，其 ，其逆系统是，其逆系统是 2.可逆性可逆性 如果如果LTI系统是可逆的，一定存在一个逆系统，且该逆系统系统是可逆的，一定存在一个逆系统，且该逆系统也是也是LTI系统，它们级联起来构成一个恒等系统。如图：系统，它们级联起来构成一个恒等系统。如图：因而有因而有 另：另：差分器不是可逆系统差分器不是可逆系统。显然有：显然有：累加器累加器是可逆是可逆LTI系统，其

19、系统，其 ，逆系统，逆系统显然有：显然有：2.3 线线性性时时不不变变系系统统的的性性质质第30页，此课件共42页哦对连续时间对连续时间LTILTI系统，系统，是是LTILTI系统具有因果性的充要条件。系统具有因果性的充要条件。3.3.因果性因果性 当当LTI系统是因果系统时，在任何时刻，都只能取决于系统是因果系统时，在任何时刻，都只能取决于 时刻及时刻及其以前的输入，即和式其以前的输入，即和式 中所有中所有 的项都必须为零，由的项都必须为零，由离散离散LTI系统具有因果性的充要条件系统具有因果性的充要条件0 0可知可知2.3 线线性性时时不不变变系系统统的的性性质质第31页，此课件共42页哦

20、4.稳定性稳定性 根据稳定性的定义，若系统稳定，则根据稳定性的定义，若系统稳定，则 必必有界。有界。可知离散时间LTI系统稳定的充分必要条件：同理连续时间LTI系统稳定的充分必要条件：若若 有界，设有界，设2.3 线线性性时时不不变变系系统统的的性性质质第32页，此课件共42页哦 在工程实际中，也常用单位阶跃响应来描述在工程实际中，也常用单位阶跃响应来描述LTI系统，单位阶跃系统，单位阶跃响应就是系统对响应就是系统对 或所产生的响应。或所产生的响应。LTI系统的特性也可以用它的单位阶跃响应来描述。5.LTI系统的单位阶跃响应系统的单位阶跃响应由则对离散系统2.3 线线性性时时不不变变系系统统的

21、的性性质质第33页，此课件共42页哦求解该微分方程，通常是求出一个特解 和通解 ，则2.4 2.4 用微分和差分方程描述的因果用微分和差分方程描述的因果LTILTI系统系统 (The causal LTI Systems described by differential and difference equation)The causal LTI Systems described by differential and difference equation)其中其中 均为常数均为常数 其中，特解 是与输入 同类型的函数，通解 是齐次方程的解 的解。一 线性常系数微分方程（Linear c

22、onstant-coefficient differential equation）特解所对应的这一部分响应称为受迫响应或强迫响应。齐次解所对应的部分由于与输入信号无关，也称为系统的自然响应。第34页，此课件共42页哦例例2.14 已知LTI系统 ，求当输入为 时，系统的响应P85解：解：设特解代入系统方程得：设通解代入系统对应齐次方程得：系数B待定第35页，此课件共42页哦分析：分析：当微分方程描述系统是线性时不变系统，而线性系统必须满足：零输入零输出。观察输入 ，可知，输入是在 时刻加入的，所以t0时的输出 2.4 用用微微分分和和差差分分方方程程描描述述的的因因果果LTI系系统统 结论：

23、结论：1.通解可用特征根方法求解；通解可用特征根方法求解；2.在信号加入时刻，给出的零附加条件，称为零初始条件零初始条件；3 LCCDE具有一组全部为零的初始条件，可以描述一个具有一组全部为零的初始条件，可以描述一个LTI因果系统，因果系统，这组条件是：这组条件是：称该系统初始是静止的或最初是松弛的。4.如果如果LCCDE具有一组非零的初始条件，则可以证明它所描述的系统是增量线具有一组非零的初始条件，则可以证明它所描述的系统是增量线性的。性的。第36页，此课件共42页哦 一般的线性常系数差分方程（LCCDE）可表示为：它也可以通过求出一个特解 和一个通解(即齐次解 )来求解。要确定齐次解需要一

24、组附加条件；特解都是与输入信号具有相同函数形式的。二二 线性常系数差分方程（线性常系数差分方程（LCCDELCCDE）:(Linear constant-coefficient difference equation)(Linear constant-coefficient difference equation)2.4 用用微微分分和和差差分分方方程程描描述述的的因因果果LTI系系统统 增量线性系统响应的讨论：增量线性系统响应的讨论：分为零状态响应和零输入响应。零输入响应由于与输入信号无关，因此它属于自然响应；零状态响应既与输入信号有关，也与系统特性有关，因而它包含了受迫响应，也包含有一部分

25、自然响应。第37页，此课件共42页哦线性常系数差分方程还可以采用迭代的方法求解，将方程改写为：2.4 用用微微分分和和差差分分方方程程描描述述的的因因果果LTI系系统统 可以看出，要求出 ，不仅要知道所有的 ，还要知道 ,这就是一组初始条件。进而，又可以通过 和 求得 ，依次类推可求出 。则可由 求得 ，进而由它们依次推出 时的所有解。由于上述差分方程可以通过递推求解，因而称为递归方程由于上述差分方程可以通过递推求解，因而称为递归方程（recursive equationrecursive equation）.第38页，此课件共42页哦 当 时，差分方程变为：此时,求解方程不再需要迭代运算，因

26、而称为非递归方程（nonrecursive equation）显然，此时方程就是一个卷积和的形式，相当于 此时，系统单位脉冲响应 是有限长的,因而把这种方程描述的LTI系统称为FIR系统（Finite Impulse Response）。将递归方程描述的系统称为IIR系统（Infinite Impulse Response）,此时系统的单位脉冲响应是一个无限长的序列。2.4 用用微微分分和和差差分分方方程程描描述述的的因因果果LTI系系统统 第39页，此课件共42页哦三三由微分和差分方程描述的由微分和差分方程描述的LTILTI系统的方框图表示系统的方框图表示 四四（Block-Diagram

27、Respresentation of the LTIBlock-Diagram Respresentation of the LTI五五 System described by LCCDE System described by LCCDE）分析系统的很重要目的是为了设计或实现一个系统,用图用图形表示系统的数学模型形表示系统的数学模型,会更加形象直观，将对系统的特性仿真、硬件或软件实现具有重要意义。2.4 用用微微分分和和差差分分方方程程描描述述的的因因果果LTI系系统统 第40页，此课件共42页哦 .由差分方程描述的由差分方程描述的LTILTI系统的方框图表示系统的方框图表示D2.4 用用微微分分和和差差分分方方程程描描述述的的因因果果LTI系系统统 方程中包括三种基本运算：乘系数、相加、移位（延迟）乘系数、相加、移位（延迟）。可用以下符号表示：第41页，此课件共42页哦 由 看出它也包括三种基本运算：微分、相加、乘系数。但由于微分器不仅在工程实现上有困难，而且对误差及噪声极为灵敏，工程上通常使用积分器而不用微分器。将微分方程两边同时积分N次,即可得到一个积分方程：2 2 由微分方程描述的由微分方程描述的LTILTI系统的方框图表示：系统的方框图表示：2.4 用用微微分分和和差差分分方方程程描描述述的的因因果果LTI系系统统 第42页，此课件共42页哦