大数定理及中心极限定理PPT讲稿.ppt

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1、大数定理及中心极限定理第1页，共27页，编辑于2022年，星期六一、随机变量的数字特征 数学期望与方差数学期望与方差 数学期望数学期望数学期望数学期望又称期望或均值，是随机变量所有可能取值的平又称期望或均值，是随机变量所有可能取值的平又称期望或均值，是随机变量所有可能取值的平又称期望或均值，是随机变量所有可能取值的平均水平，代表随机变量分布的集中趋势，一般用均水平，代表随机变量分布的集中趋势，一般用均水平，代表随机变量分布的集中趋势，一般用均水平，代表随机变量分布的集中趋势，一般用E(X)E(X)或或或或 表示。表示。表示。表示。数学期望有如下性质数学期望有如下性质数学期望有如下性质数学期望有

2、如下性质：1)1)1)1)若若若若C C C C为常数，则有为常数，则有为常数，则有为常数，则有E(C)=C;E(C)=C;E(C)=C;E(C)=C;2)2)2)2)若若若若X X X X是一个随机变量，是一个随机变量，是一个随机变量，是一个随机变量，C C C C为常数，则有为常数，则有为常数，则有为常数，则有E(CX)=CE(X);E(CX)=CE(X);E(CX)=CE(X);E(CX)=CE(X);3)3)3)3)若若若若X X X X、Y Y Y Y是两个任意随机变量，则有是两个任意随机变量，则有是两个任意随机变量，则有是两个任意随机变量，则有E(X+Y)=E(X)+E(Y)E(X

3、+Y)=E(X)+E(Y)E(X+Y)=E(X)+E(Y)E(X+Y)=E(X)+E(Y)4)4)4)4)若若若若X X X X、Y Y Y Y是两个独立的随机变量，则有是两个独立的随机变量，则有是两个独立的随机变量，则有是两个独立的随机变量，则有E(XY)=E(X)E(Y)E(XY)=E(X)E(Y)E(XY)=E(X)E(Y)E(XY)=E(X)E(Y)第2页，共27页，编辑于2022年，星期六一、随机变量的数字特征随机变量方差随机变量方差随机变量方差随机变量方差是每一个随机变量可能取值与期望值的离差的平方的期望值，是用是每一个随机变量可能取值与期望值的离差的平方的期望值，是用是每一个随机

4、变量可能取值与期望值的离差的平方的期望值，是用是每一个随机变量可能取值与期望值的离差的平方的期望值，是用来反映随机变量取值的离散程度，一般用来反映随机变量取值的离散程度，一般用来反映随机变量取值的离散程度，一般用来反映随机变量取值的离散程度，一般用D(x)D(x)D(x)D(x)或或或或 2 2 2 2表示表示表示表示，即，即，即，即 D D D D（X X X X）=2 2 2 2=E X-E=E X-E=E X-E=E X-E（X X X X）2 2 2 2 =E =E =E =E（X X X X2 2 2 2）-E-E-E-E（X X X X）2 2 2 2 标准差标准差标准差标准差=D

5、=D=D=D（X X X X）方差基本性质：方差基本性质：方差基本性质：方差基本性质：1 1 1 1）若）若）若）若C C C C为常数，则有为常数，则有为常数，则有为常数，则有D D D D（C C C C）=0=0=0=0；2 2 2 2）若）若）若）若X X X X是一个随机变量，是一个随机变量，是一个随机变量，是一个随机变量，C C C C是常数，则是常数，则是常数，则是常数，则D D D D（CXCXCXCX）=C=C=C=C2 2 2 2D D D D（X X X X）D D D D（X+CX+CX+CX+C）=D=D=D=D（X X X X）3 3 3 3）若）若）若）若X X

6、X X、Y Y Y Y是两个相互独立的随机变量，则有是两个相互独立的随机变量，则有是两个相互独立的随机变量，则有是两个相互独立的随机变量，则有 D D D D（X+YX+YX+YX+Y）=D=D=D=D（X X X X）+D+D+D+D（Y Y Y Y）第3页，共27页，编辑于2022年，星期六一、随机变量的数字特征 离散型随机变量的数字特征 离散型随机变量的期望及方差离散型随机变量的期望及方差 若随即变量为有限个值：若随即变量为有限个值：x x1 1，x x2 2，x xn n，其对应的概率分别是，其对应的概率分别是p p1 1，p p2 2，p pn n，其中，其中，p pi i0 0，=

7、1 =1，则数学期望为，则数学期望为 E E（X X）=X=X=X=X1 1 1 1P P P P1 1 1 1+X+X+X+X2 2 2 2P P P P2 2 2 2+X+X+X+Xn n n nP P P Pn n n n=若随即变量为有限个值：若随即变量为有限个值：x x1 1，x x2 2，x xn n，其对应的概率其对应的概率分别是分别是p p1 1，p p2 2，p pn n，其中，其中，p pi i0 0，=1 =1，则数学期望为，则数学期望为第4页，共27页，编辑于2022年，星期六一、随机变量的数字特征离散型随机变量的期望及方差离散型随机变量的期望及方差 E E（X X）=

8、X=X=X=X1 1 1 1P P P P1 1 1 1+X+X+X+X2 2 2 2P P P P2 2 2 2+X+X+X+Xn n n nP P P Pn n n n=设设设设X X X X是一个随机变量，若是一个随机变量，若是一个随机变量，若是一个随机变量，若EX-EEX-EEX-EEX-E（X X X X）2 2 2 2存在，则它是存在，则它是存在，则它是存在，则它是X X X X的方差，的方差，的方差，的方差，记为记为记为记为D D D D（X X X X）或）或）或）或2 2 2 2 即即即即 D D D D（X X X X）=EX-E=EX-E=EX-E=EX-E（X X X

9、X）2 2 2 2=E E E E（X X X X2 2 2 2）-E-E-E-E（X X X X）2 2 2 2 第5页，共27页，编辑于2022年，星期六一、随机变量的数字特征 两点分布的数字特征 若随即变量若随即变量X XB B（1 1，p p）则）则 E E（X X）=p D=p D（X X）=pq =pq （q=1-pq=1-p）二项分布的数字特征 若随机变量若随机变量X XB B（n n，p p）则）则 E E（X X）=np D=np D（X X）=npq =npq （q=1-pq=1-p）几何分布的数字特征 若随即变量若随即变量X XG G（p p）则则 E E（x x）=1/

10、p D=1/p D（X X）=q/p=q/p2 2 （q=1-pq=1-p）第6页，共27页，编辑于2022年，星期六一、随机变量的数字特征 泊松分布的数字特征 若随即变量若随即变量X XP P（）则）则 E E（X X）=D=D（X X）=超几何分布的数字特征 若随即变量若随即变量X XH H（）则）则 E E（X X）=D=D（X X）=N NnMnMN N2 2(N-1)(N-1)n(N-n)(N-M)Mn(N-n)(N-M)M第7页，共27页，编辑于2022年，星期六一、随机变量的数字特征连续型随机变量的数字特征l l连续型随机变量的数学期望和方差连续型随机变量的数学期望和方差 对于随

11、机变量对于随机变量X X，如果它的密度函数为非负函数，如果它的密度函数为非负函数f f（x x），若积分），若积分 绝对收敛，则绝对收敛，则 E E（x x）=D D（X X）=第8页，共27页，编辑于2022年，星期六一、随机变量的数字特征 均匀分布的数字特征 均匀分布的随机变量均匀分布的随机变量X X的分布密度函数为的分布密度函数为 f f（x x）=那么数学期望那么数学期望E E（x x）=方差为方差为 0 0 0 0b-ab-ab-ab-a1 1 1 1axbaxbaxbaxbx x x xa a a a或或或或x x x xb b b b=第9页，共27页，编辑于2022年，星期六一

12、、随机变量的数字特征 指数分布的数字特征 指数分布的随机变量指数分布的随机变量X X的分布密度函数为的分布密度函数为 f f（x x）=则有数学期望则有数学期望 E E（x x）=方差为方差为 0 0 0 0 x x x x0 0 0 0第10页，共27页，编辑于2022年，星期六一、随机变量的数字特征 正态分布数字特征 正态分布的随机变量正态分布的随机变量X X的分布密度函数为的分布密度函数为E(X)=E(X)=D(X)=D(X)=D(X)=D(X)=2 2 2 2第11页，共27页，编辑于2022年，星期六二、大数定理及中心极限定理二、大数定理及中心极限定理 大数定理 定理定理1 1 （贝

13、努利大数定理）设（贝努利大数定理）设n n次独立试验中，事件次独立试验中，事件A A发生的次数为发生的次数为mm，事，事件件A A在每次试验中的发生的概率为在每次试验中的发生的概率为p p，则对于任意正数，则对于任意正数，有：，有：定理定理2 2（切比雪夫大数定理）设随机变量（切比雪夫大数定理）设随机变量X X1 1，X X2 2，相互独立，且服从同一分布，相互独立，且服从同一分布，它们的数学期望它们的数学期望E E（X Xk k）=，方差，方差D D（X X）=2 2，（，（K=1K=1，2 2，3 3，）则对则对任意正数任意正数，有：，有：第12页，共27页，编辑于2022年，星期六二、大

14、数定理及中心极限定理二、大数定理及中心极限定理 中心极限定理 设设X X1 1，X X2 2，X Xn n是具有相同分布且相互独立的一列随机变量，当是具有相同分布且相互独立的一列随机变量，当n n 时，时，对任意对任意X X有：有：定理表明，当定理表明，当定理表明，当定理表明，当n n n n很大时，随机变量很大时，随机变量很大时，随机变量很大时，随机变量 的分布渐进服从的分布渐进服从的分布渐进服从的分布渐进服从期望和方差分别为期望和方差分别为期望和方差分别为期望和方差分别为nnnn和和和和nnnn2 2 2 2的正态分布的正态分布的正态分布的正态分布N(nN(nN(nN(n，n n n n2

15、 2 2 2)第13页，共27页，编辑于2022年，星期六二、大数定理及中心极限定理二、大数定理及中心极限定理 上述定理的推论推论表明，当推论表明，当推论表明，当推论表明，当n n n n很大时，随机变量很大时，随机变量很大时，随机变量很大时，随机变量 的分布渐进服从的分布渐进服从的分布渐进服从的分布渐进服从期望和方差分别为期望和方差分别为期望和方差分别为期望和方差分别为和和和和2 2 2 2/n/n/n/n的正态分布的正态分布的正态分布的正态分布N(N(N(N(，2 2 2 2/n)/n)/n)/n)n n第14页，共27页，编辑于2022年，星期六二、大数定理及中心极限定理二、大数定理及中

16、心极限定理 例 4-20 在n重贝努利试验中，若事件A发生的概率为p，随机变量Xk定义如下：Xk=（k=1，2，3），若Xk相互独立，且n较大，求n次试验中事件A发生的次数在a到b（0ab）之间的概率0 01 1在第在第k k次试验中次试验中A A不发生不发生在第在第k k次试验中次试验中A A发生发生第15页，共27页，编辑于2022年，星期六三、统计量及其分布 样本函数与统计量 样本函数样本函数：g=gg=g（x x1 1，x x2 2，x xn n）统计量统计量：如果：如果g g中不含任何参数，则称中不含任何参数，则称g=gg=g（x x1 1，X X2 2，x xn n）为一统计量。）

17、为一统计量。例如，设（例如，设（x x1 1，x x2 2，x xn n）是取自正态分布）是取自正态分布N N（，2 2）的样）的样本，若本，若，2 2已知，则样本函数已知，则样本函数是一个统计量；若是一个统计量；若，2 2有未知的呢？有未知的呢？统计量是一个随机变量，有其自己的概率分布，其统计量是一个随机变量，有其自己的概率分布，其概率分布通常称为抽样分布概率分布通常称为抽样分布x-x-第16页，共27页，编辑于2022年，星期六三、统计量及其分布 样本均值的分布 设总体设总体X X N N（，2 2），（），（x x1 1，X X2 2，x xn n）是）是X X的一个样的一个样本。由于这

18、些样本相互独立，且与总体同分布，可得本。由于这些样本相互独立，且与总体同分布，可得样本平均值样本平均值 的抽样分布仍为正态的抽样分布仍为正态 分布，其数学期望和方差分别是分布，其数学期望和方差分别是 即即第17页，共27页，编辑于2022年，星期六三、统计量及其分布 问题：若X的分布不是正态分布，则均值例例4-21 4-21 一汽车蓄电池商，声称其生产的电池具有均值一汽车蓄电池商，声称其生产的电池具有均值5454个个月，标准差为月，标准差为6 6个月的寿命分布。现消费者团体决定检验该厂个月的寿命分布。现消费者团体决定检验该厂的说法是否正确，为此购买了的说法是否正确，为此购买了5050个该厂生产

19、的电池进行检验个该厂生产的电池进行检验 （1 1）假定厂商声称是正确的，试描述）假定厂商声称是正确的，试描述5050个电池的平均个电池的平均 寿命的抽样分布寿命的抽样分布 （2 2）假定厂商声称是正确的，则）假定厂商声称是正确的，则5050个电池组成的样本的平个电池组成的样本的平均寿命达不到均寿命达不到5252个月的概率是多少个月的概率是多少服从什么分布？服从什么分布？第18页，共27页，编辑于2022年，星期六三、统计量及其分布 分布 设x1，x2，xn是几个相互独立同分布的随机变量，且每一随机变量xi（i=1，2，n）都服从标准正态分布，即xiN（0，1），则随机变量 的分布称为服从自由度

20、 为n的 分布。记为2 2第19页，共27页，编辑于2022年，星期六三、统计量及其分布 分布密度函数为分布密度函数为 注意：注意：1 1）自由度）自由度n n是指是指 变量中所含的独立随即变量变量中所含的独立随即变量x xi i（i=1i=1，2 2，n）的个数的个数 2 2）分布中的分布中的 是伽马函数，其值等于参数为是伽马函数，其值等于参数为n/2 n/2 的的广义积分广义积分 0 0 x0 x0 x x0 0第20页，共27页，编辑于2022年，星期六三、统计量及其分布 函数是以0为参数的广义积分，其定义是：函数具有以下性质：1）对于参数 有 2）对于任意正整数n，有 3）！第21页，

21、共27页，编辑于2022年，星期六三、统计量及其分布 分布性质分布性质 性质：性质：1 1）若）若X X ，则均值，则均值E E（X X）=n=n，方差，方差D D（X X）=2n=2n 2 2）若）若X X1 1，X X2 2相互独立，且相互独立，且X X1 1 ，X X2 2 则（则（X X1 1+X+X2 2 ）n=10n=10n=4n=4n=3n=3n=2n=2n=1n=1第22页，共27页，编辑于2022年，星期六三、统计量及其分布 t分布 设随机变量设随机变量X X与与Y Y相互独立，而且相互独立，而且X X服从标准正态分布，即服从标准正态分布，即X XN（0，1），Y服从自由度为

22、n的 ，即Y ，则称随机变量t=服从自由度为n的t分布，记为t（n）。X XN N N N（0 0 0 0，1)1)1)1)t(10)t(10)t(10)t(10)t(2)t(2)t(2)t(2)t t t t分布分布分布分布t t t t（n n n n）的数学期望和方差分）的数学期望和方差分）的数学期望和方差分）的数学期望和方差分别为别为别为别为=0=0=0=0，2 2 2 2=n/=n/=n/=n/（n-2n-2n-2n-2）第23页，共27页，编辑于2022年，星期六三、统计量及其分布F分布 设随机变量X ，Y 且X与Y相互独 立，则随机变量F=的分布称为自由度为（n，m）的F的分布，

23、并记为FF（n，m）。F（n，m）分布的数学期望和方差 =m/（m-2）（m2）2=（m4）X/nX/nX/nX/nY/mY/mY/mY/m2m2m2 2（n+m-2n+m-2）n n（m-2m-2）2 2（m-4m-4）第24页，共27页，编辑于2022年，星期六三、统计量及其分布 F分布密度函数性质F F F F（6 6 6 6，10101010）F F F F（6.206.206.206.20）F F F F1-1-1-1-（n n n n，m m m m）=1 1F F F F（n n n n，m m m m）第25页，共27页，编辑于2022年，星期六查表练习：F F F F0.05

24、0.050.050.05(9,12);F(9,12);F(9,12);F(9,12);F0.950.950.950.95(15,10);t(15,10);t(15,10);t(15,10);t0.050.050.050.05(10);t(10);t(10);t(10);t0.950.950.950.95(10);(10);(10);(10);t t t t(n(n(n(n）P P P P t(n)t(n)t(n)t(n)t t t t(n)(n)(n)(n)=t t分布分布/2/2/2/2/2/2/2/2P P P P t(n)t(n)t(n)t(n)t t t t/2/2/2/2(n)(n)(n)(n)=t t分布分布-t-t-t-t/2/2/2/2(n)(n)(n)(n)t t t t/2/2/2/2(n)(n)(n)(n)分布分布F F F F(m,n)(m,n)(m,n)(m,n)第26页，共27页，编辑于2022年，星期六课堂作业 设X与Y相互独立且都服从N（0，32）而X1，X2，X9 和Y1，Y2，Y9分别是来自总体X和Y的简单随机样本，则统计量 服从的分布是什么？服从的分布是什么？第27页，共27页，编辑于2022年，星期六