第三章数学物理方程行波法与积分变换精选PPT.ppt
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1、第三章数学物理方程行波法与积分变换第1页,本讲稿共83页3.1 一维波动方程的达朗贝尔公式第2页,本讲稿共83页3.1 3.1 一维波动方程的达朗贝尔公式一维波动方程的达朗贝尔公式考虑代换利用复合函数求导法则得第3页,本讲稿共83页3.1 3.1 一维波动方程的达朗贝尔公式一维波动方程的达朗贝尔公式同理有:代入方程,得到 第4页,本讲稿共83页在上式中对 积分,得(是 的任意可微函数)3.1 3.1 一维波动方程的达朗贝尔公式一维波动方程的达朗贝尔公式再将此式对 积分,其中 都是任意二次连续可微函数.第5页,本讲稿共83页利用初始条件,确定两个函数的具体形式。由第二式得.其中3.1 3.1 一
2、维波动方程的达朗贝尔公式一维波动方程的达朗贝尔公式第6页,本讲稿共83页由由,解得代入通解表达式,得达朗贝尔达朗贝尔(DAlembert)(DAlembert)公式公式.3.1 3.1 一维波动方程的达朗贝尔公式一维波动方程的达朗贝尔公式第7页,本讲稿共83页图 3-1 u2xt=0u2xu2xt=1/2u2xt=1t=2考虑 的物理意义随着时间t 的推移u2的图形以速度a 向x轴正向移动.3.1 3.1 一维波动方程的达朗贝尔公式一维波动方程的达朗贝尔公式第8页,本讲稿共83页物理意义物理意义:随着时间 t 的推移,的图形以速度 a 向 x 轴正方向移动,也就是说,它表示一个以速度a 向x
3、轴正方向行进的波,称为右行波右行波右行波右行波.同样道理,以速度a 向x 轴负方向传播的行波,称为左行波左行波左行波左行波.3.1 3.1 一维波动方程的达朗贝尔公式一维波动方程的达朗贝尔公式第9页,本讲稿共83页在 平面上斜率为 的两族直线 ,对一维波动方程的研究起到重要作用,称这两族直线为一维波动方程的特征线特征线特征线特征线,变换称为特征变换特征变换特征变换特征变换,行波法也叫特征线法特征线法特征线法特征线法.3.1 3.1 一维波动方程的达朗贝尔公式一维波动方程的达朗贝尔公式第10页,本讲稿共83页的积分曲线,这个常微分方程称为它的特征方程特征方程特征方程特征方程.一维波动方程的两族特
4、征线恰好是常微分方程3.1 3.1 一维波动方程的达朗贝尔公式一维波动方程的达朗贝尔公式第11页,本讲稿共83页一般的二阶线性偏微分方程它的特征方程为(*)这个常微分方程的积分曲线称为偏微分方程(*)的特征曲特征曲特征曲特征曲线线线线.记称其为二阶线性偏微分方程的判别式判别式双曲型方程椭圆型方程抛物型方程3.1 3.1 一维波动方程的达朗贝尔公式一维波动方程的达朗贝尔公式第12页,本讲稿共83页可以证明,当 时,有两条相异的实特征线因此特征线法对双曲型方程都是有效的,沿着特征线做自变量替换 总可以把双曲型方程化为 从而得到方程的通解3.1 3.1 一维波动方程的达朗贝尔公式一维波动方程的达朗贝
5、尔公式第13页,本讲稿共83页例 求下面问题的解:(3.1)解:特征方程 两族积分曲线为 做特征变换 3.1 3.1 一维波动方程的达朗贝尔公式一维波动方程的达朗贝尔公式第14页,本讲稿共83页3.1 3.1 一维波动方程的达朗贝尔公式一维波动方程的达朗贝尔公式第15页,本讲稿共83页代入方程化简得:3.1 3.1 一维波动方程的达朗贝尔公式一维波动方程的达朗贝尔公式第16页,本讲稿共83页它的通解为其中 ,是两个二次连续可微函数.于是原方程的通解为代入初始条件 ,,得 第二式的两端得关于 积分得解得所求问题的解为 3.1 3.1 一维波动方程的达朗贝尔公式一维波动方程的达朗贝尔公式第17页,
6、本讲稿共83页解 特征方程为特征曲线为 例 求方程的一般解.3.1 3.1 一维波动方程的达朗贝尔公式一维波动方程的达朗贝尔公式第18页,本讲稿共83页所以,做变换则原方程可以变为 其中 ,是任意的二次连续可微函数.于是,方程的通解为3.1 3.1 一维波动方程的达朗贝尔公式一维波动方程的达朗贝尔公式第19页,本讲稿共83页3.2 三维波动方程的泊松公式第20页,本讲稿共83页研究波在空间传播问题.三维波动方程的初值问题第21页,本讲稿共83页一、球对称情形球坐标系 若 仅是 r 的函数,则是r 和 t 的函数,此时称定解问题是球对称球对称的。第22页,本讲稿共83页直角坐标与球面坐标的关系直
7、角坐标与球面坐标的关系坐标面分别为坐标面分别为球面球面半平面半平面锥面锥面第23页,本讲稿共83页球对称波动方程进一步有对对球对称球对称问题第24页,本讲稿共83页球对称情形下,三维波动方程边值问题可化为 这个问题我熟悉!第25页,本讲稿共83页由达朗贝尔公式第26页,本讲稿共83页二二.一般情况一般情况令 表示 在球面 上的平均值。其中M=M(x,y,z),是球面 上的点,第27页,本讲稿共83页二二.一般情况一般情况令表示以 M 为中心的单位球面,表示 上的面积元素,表示单位球面上的面积元素,第28页,本讲稿共83页即而以下推导 所满足方程及初始条件。第29页,本讲稿共83页3.2 3.2
8、 三维波动方程的泊松公式三维波动方程的泊松公式第30页,本讲稿共83页进一步有:两边关于 r 求导,得 得由3.2 3.2 三维波动方程的泊松公式三维波动方程的泊松公式第31页,本讲稿共83页即可得:由第32页,本讲稿共83页由初值条件和 的表达式,有:其中 分别是函数 在 上的球平均值。满足如下定解问题:第33页,本讲稿共83页方程的通解为利用初始条件有其中是两个二次连续可微的任意函数第34页,本讲稿共83页所以解方程组得第35页,本讲稿共83页将 延拓到r0的范围内。并且同理 也是偶函数利用第36页,本讲稿共83页所以 第37页,本讲稿共83页由于 ,只考虑 的情形利用洛必达法则第38页,
9、本讲稿共83页即简记成三维波动方程的泊松公式三维波动方程的泊松公式第39页,本讲稿共83页三、泊松公式的物理意义 从泊松公式出发,解释波在三维空间的传播现象.设 且,1.在任一固定点 的振动情况 设 ,由 沿以 M 为中心,at 为半径的球面的曲面积分所决定。第40页,本讲稿共83页M 点处于静止状态,说明 T 的振动尚未达到 M 点。当 时,为空集,所以 当 时,不为空集,所以M点处于振动状态,表明 T 的振动已传到 M 点。当 时,为空集,说明振动已 传过 M 点,M 点仍回复到静止状态。第41页,本讲稿共83页2.在某固定时刻 ,初始时刻的振动所传播的范围 设 ,T 是半径为 R 的球体
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