简谐振动 (2)优秀课件.ppt

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1、简谐振动1第1页，本讲稿共31页振动：振动：任一物理量在某一定值附近往复变化任一物理量在某一定值附近往复变化机械振动机械振动 物体围绕一固定位置往复运动物体围绕一固定位置往复运动 简谐运动简谐运动 最简单、最基本的振动最简单、最基本的振动.简谐运动简谐运动复杂振动复杂振动合成合成分解分解是抽象的。是抽象的。是具体的。是具体的。2第2页，本讲稿共31页7-1 简谐振动简谐振动一、简谐振动一、简谐振动(simple harmonic vibration)的基本特征的基本特征以以弹簧振子弹簧振子为例讨论，弹簧振子为例讨论，弹簧振子是典型的简谐振动是典型的简谐振动弹簧的弹性力弹簧的弹性力根据牛顿第二定

2、律有根据牛顿第二定律有所以所以其解其解（以后只取此式的形式）（以后只取此式的形式）或或线性回复力线性回复力3第3页，本讲稿共31页理想模型理想模型 4第4页，本讲稿共31页 任何物理量任何物理量x 的变化规律若满足方程式的变化规律若满足方程式 ,并且并且是决定于系统自身的常量，则该物理量的变化是决定于系统自身的常量，则该物理量的变化过程就是简谐振动。过程就是简谐振动。二、描述简谐振动的特征量二、描述简谐振动的特征量1.振幅振幅A振动物体离开平衡位置的最大幅度振动物体离开平衡位置的最大幅度在在SI制中，单位为制中，单位为 m(米米)2.周期和频率周期和频率周期周期T 振动物体完成一次振动所需的时

3、间振动物体完成一次振动所需的时间 频率频率n n 振动物体在振动物体在1 秒内所完成振动的次数秒内所完成振动的次数圆频率圆频率 振动物体在振动物体在2 秒内所完成振动的次数秒内所完成振动的次数5第5页，本讲稿共31页三者关系三者关系在在SI制中制中,单位分别为单位分别为 周期周期 S(秒秒)、频率、频率 Hz(赫赫兹兹)、角频率、角频率 rads-1 (弧度弧度/秒秒)频率为频率为例如，例如，心脏的跳动心脏的跳动80次次/分分周期为周期为6第6页，本讲稿共31页大象大象 0.40.5 马马 0.70.8猪猪 11.3 兔兔 1.7松鼠松鼠 6.3 鲸鲸 0.13动物的心跳频率动物的心跳频率(参

4、考值参考值,单位单位:Hz)7第7页，本讲稿共31页 昆虫翅膀振动的频率（昆虫翅膀振动的频率（Hz）雌性蚊子雌性蚊子 355415 雄性蚊子雄性蚊子 455600 苍苍 蝇蝇 330 黄黄 蜂蜂 2208第8页，本讲稿共31页3 3 相位相位（描述振动状态的物理量）（描述振动状态的物理量）1 1）存在一一对应的关系存在一一对应的关系;例：例：当当时：时：当当时：时：9第9页，本讲稿共31页2 2）相位在相位在 内变化，质点内变化，质点无相同无相同的运动状态；的运动状态；相差相差 为整数为整数 质点运动状态质点运动状态全同全同.（周期性）周期性）3 3）初）初相位相位 描述质点描述质点初始初始时

5、刻的运动状态时刻的运动状态.由初始条件决定由初始条件决定 (取取 或或 )10第10页，本讲稿共31页 常数常数 和和 的确定的确定初始条件初始条件 对给定振动系统，周期由系统本身性质决定，振幅和对给定振动系统，周期由系统本身性质决定，振幅和初相由初始条件决定初相由初始条件决定.11第11页，本讲稿共31页取取已知已知 求求讨论讨论12第12页，本讲稿共31页三、简谐振动的矢量图解法和复数解法三、简谐振动的矢量图解法和复数解法简谐振动可以用旋转矢量来描绘简谐振动可以用旋转矢量来描绘t=0时刻时刻,投影点位移投影点位移在任意时刻在任意时刻,投影点的位移投影点的位移简谐振动曲线如图简谐振动曲线如图

6、以上描述简谐振动的方法称为简谐以上描述简谐振动的方法称为简谐振动的振动的矢量图解法矢量图解法.13第13页，本讲稿共31页 旋转矢量旋转矢量 自自Ox轴的原点轴的原点O作一矢量作一矢量 ，使使它的模等于振动的它的模等于振动的振幅振幅A，并使矢量并使矢量 在在 Oxy平面内绕点平面内绕点O作作逆时针逆时针方向的方向的匀角速转动匀角速转动，其角其角速度速度 与振动频率与振动频率相等相等，这个矢量就这个矢量就叫做叫做旋转矢量旋转矢量.14第14页，本讲稿共31页 以以 为原点为原点旋转矢量旋转矢量 的端的端点在点在 轴上的投轴上的投影点的运动为简影点的运动为简谐运动谐运动.15第15页，本讲稿共31

7、页 以以 为原点为原点旋转矢量旋转矢量 的端的端点在点在 轴上的投轴上的投影点的运动为简影点的运动为简谐运动谐运动.16第16页，本讲稿共31页17第17页，本讲稿共31页简谐量的复数表示简谐量的复数表示简谐量简谐量 是复数是复数 的实部，振幅与模相对应，相的实部，振幅与模相对应，相位与辐角相对应。位与辐角相对应。复数解法过程复数解法过程：若要对多个简谐量进行某种运算：若要对多个简谐量进行某种运算,可以对代表这些简谐量的复数进行相同的运算。在运可以对代表这些简谐量的复数进行相同的运算。在运算过程中，实部和虚部、模和辐角总是分别运算而不算过程中，实部和虚部、模和辐角总是分别运算而不会相混，所得复

8、数的实部就是这些简谐量进行该运算会相混，所得复数的实部就是这些简谐量进行该运算的最后结果的最后结果。18第18页，本讲稿共31页 例例 1：有一劲度系数为：有一劲度系数为32.0 N m-1 的轻弹簧的轻弹簧,放置在放置在光滑的水平面上，其一端被固定光滑的水平面上，其一端被固定,另一端系一质量为另一端系一质量为500 g的物体。将物体沿弹簧长度方向拉伸至距平衡位置的物体。将物体沿弹簧长度方向拉伸至距平衡位置10.0 cm 处，然后将物体由静止释放处，然后将物体由静止释放,物体将在水平面上沿一物体将在水平面上沿一条直线作简谐振动。分别写出振动的位移、速度和加速条直线作简谐振动。分别写出振动的位移

9、、速度和加速度与时间的关系。度与时间的关系。19第19页，本讲稿共31页解：解：设物体沿设物体沿x 轴作简谐振动轴作简谐振动 A=10.0 cm=0.100 m 当当t=0 时时，x=A，cos=1，即即 =0 所以所以 x=0.100 cos 8.00 t m 速度、加速度的最大值为速度、加速度的最大值为 vm=A=8.000.100 m s 1=0.800 m s 1 am=2 A=(8.00)2 0.100 m s 2=6.40 m s 2 v=0.800 sin 8.00 t m s 1 a=6.40 cos 8.00 t m s 2 所以所以20第20页，本讲稿共31页 例例 2：已

10、知某简谐振动的振动曲线如图所示，试写出：已知某简谐振动的振动曲线如图所示，试写出该振动的位移与时间的关系。该振动的位移与时间的关系。P 2.0-2.0 x/cmt/s-4.0 4.01O解：由图知解：由图知 A=4.0102 m 当当 t=0 时，时，由式由式 x0=A cos v0=A sin 解得解得 所以所以 m 又由曲线知又由曲线知 当当 t=1s 时时,x=0,代入上式得代入上式得 m 21第21页，本讲稿共31页所以所以 因因 即即简谐振动的表达式为简谐振动的表达式为四、简谐振动的能量四、简谐振动的能量以弹簧振子为例以弹簧振子为例x=A cos(t+)v=A sin(t+)由以上两

11、式可见，由以上两式可见，弹簧振子的动能和势能都随时间作周期性变化。弹簧振子的动能和势能都随时间作周期性变化。当位移最大时，速度为零，动能也为零，而势能达到最大值；当位移最大时，速度为零，动能也为零，而势能达到最大值；当在平衡位置时，势能为零，而速度为最大值，所以动能也达当在平衡位置时，势能为零，而速度为最大值，所以动能也达到最大值。到最大值。22第22页，本讲稿共31页总能量总能量因为因为所以所以由此式可见由此式可见,尽管在振动中弹簧振子的动能和势能都在随时间作尽管在振动中弹簧振子的动能和势能都在随时间作周期性变化周期性变化,但总能量是恒定不变的，并与振幅的平方成正比但总能量是恒定不变的，并与

12、振幅的平方成正比。由公式由公式 得得 此式表明，此式表明，在平衡位置处，在平衡位置处，x =0,=0,速度为最大；在最大速度为最大；在最大位移处，位移处，x=A,速度为零速度为零。23第23页，本讲稿共31页简简 谐谐 运运 动动 能能 量量 图图4T2T43T能量能量24第24页，本讲稿共31页简谐运动势能曲线简谐运动势能曲线简谐运动能量守恒，简谐运动能量守恒，振幅不变振幅不变25第25页，本讲稿共31页能量守恒能量守恒简谐运动方程简谐运动方程导出导出26第26页，本讲稿共31页 例例 3：长为：长为l 的无弹性细线，一端固定在的无弹性细线，一端固定在A点，另一端悬点，另一端悬挂质量为挂质量

13、为m的物体。静止时，细线沿竖直方向，物体处于的物体。静止时，细线沿竖直方向，物体处于点点O，是系统的平衡位置。若将物体移离平衡位置，与竖，是系统的平衡位置。若将物体移离平衡位置，与竖直方向夹一小角度直方向夹一小角度，由静止释放，由静止释放,物体就在平衡位置附近往物体就在平衡位置附近往返摆动返摆动,称为称为单摆单摆。证明。证明单摆的振动是简谐振动单摆的振动是简谐振动，并分析其，并分析其能量。能量。hOAmgsinmgcos解解:物体受物体受 和和 两个力作用两个力作用,根据牛顿第二定律得根据牛顿第二定律得当偏角当偏角 很小时很小时，sin 所以所以 27第27页，本讲稿共31页即即 其中其中解微

14、分方程得解微分方程得 =0 cos(t+)这说明在偏角这说明在偏角 很小时很小时,单摆的振动是简谐振动单摆的振动是简谐振动 单摆系统的机械能包括两部分单摆系统的机械能包括两部分:动能动能 势能势能 Ep=m g h=m g l(1-cos)将将cos 展展开开 因为因为 很小很小,上式只取前两项上式只取前两项 28第28页，本讲稿共31页所以所以 因为因为 所以所以 上式表示上式表示,尽管在简谐振动过程中，单摆系统的动能和尽管在简谐振动过程中，单摆系统的动能和势能都随时间作周期性变化，但总能量是恒定不变的，并势能都随时间作周期性变化，但总能量是恒定不变的，并与振幅的平方成正比。与振幅的平方成正比。总能量总能量 29第29页，本讲稿共31页补充：复摆补充：复摆令令*（C点为质心）点为质心）CO转动正向转动正向30第30页，本讲稿共31页角谐振动角谐振动*（C点为质心）点为质心）CO转动正向转动正向31第31页，本讲稿共31页