复变函数第三章PPT讲稿.ppt

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1、复变函数第三章第1页，共45页，编辑于2022年，星期六1 复变函数积分的概念复变函数积分的概念1.1 积分的定义积分的定义有向曲线有向曲线设函数 w=f(z)定义在区域 D 内，C 为 D 内起点为 A，终点为 B 的一条光滑的有向曲线，在 C 上从 A 到 B 依次取分点：在弧 上任意取一点 作和式z1z3z kz2z0=Az1z2z3.zk-1B=z1xyOzk第2页，共45页，编辑于2022年，星期六3当 n 趋于无穷时，不论对 C 的分法及对 的取法如何，只要 趋于零，若 有唯一极限，则称此极限值为 f(z)沿 C 的积分.记作注 若C为闭曲线，则沿C 的积分记作若 C 是实轴上的闭

2、区间，而 f(z)是一个一元实函数，则复积分的定义和一元实函数定积分的定义是一致的.第3页，共45页，编辑于2022年，星期六4复积分的基本性质第4页，共45页，编辑于2022年，星期六5例 设 C 为从点 i 到点 3+4i 的直线段，试求积分绝对值的一个上界.如何计算复积分？第5页，共45页，编辑于2022年，星期六6复积分存在的必要条件若函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)沿（按段）光滑曲线 C：连续，则 f(z)沿 C 可积，且成立第6页，共45页，编辑于2022年，星期六7注 形式上看，例 分别沿 y=x 与 y=x2 计算如下积分：第7页，共45页，编辑于2022年，星期六

3、8变量替换公式变量替换公式例 分别沿 y=x 与 y=x2 计算如下积分：第8页，共45页，编辑于2022年，星期六9Oxy例 计算 ，其中 C的正向圆周，n 为整数.为以 z0 为中心，r 为半径Oxy例 计算 的值，其中 C 为1）沿直线段 2）沿折线段例 计算 其中 C 为从原点到点3+4i的直线段.第9页，共45页，编辑于2022年，星期六解：直线段 C 的方程：或 z=3t+i4t,0 t 1则在 C 上 dz=(3+4i)dt，从而与积分路线 C 无关，只与端点有关.第10页，共45页，编辑于2022年，星期六11Oxy例 计算 ，其中 C的正向圆周，n 为整数.为以 z0 为中心

4、，r 为半径解：C 的方程：第11页，共45页，编辑于2022年，星期六12第12页，共45页，编辑于2022年，星期六13Oxy例 计算 的值，其中 C 为1）沿直线段 2）沿折线段第13页，共45页，编辑于2022年，星期六142 柯西柯西-古萨基本定理古萨基本定理柯西柯西-古萨基本定理古萨基本定理 设函数 f(z)在单连通区域 B 内处处解析，则 f(z)沿 B 内的任一条封闭曲线 C的积分为零：注 条件若改为 f(z)在闭区域 上解析，其中曲线 C 为单连通区域 B 的边界，结论仍成立.第14页，共45页，编辑于2022年，星期六柯西柯西-古萨基本定理古萨基本定理 设函数 f(z)在单

5、连通区域 B 内处处解析，则 f(z)沿 B 内的任一条封闭曲线 C的积分为零：注 条件若改为 f(z)在单连通区域 D 上解析，且在其边界 C 上连续，结论仍成立.CC第15页，共45页，编辑于2022年，星期六16Oxy例 计算 的值，其中 C 为1）沿直线段 2）沿折线段第16页，共45页，编辑于2022年，星期六计算复积分的方法：找出 f(z)的实部和虚部写出积分曲线的参数方程 f(z)在单连通区域内解析且连续到边界C第17页，共45页，编辑于2022年，星期六3 基本定理的推广基本定理的推广复合闭路定理复合闭路定理复合闭路定理复合闭路定理 设 C 为多连通域 D 内的一条简单闭曲线，

6、是在 C 内部的简单闭曲线，它们互不包含也互不相交，并且以 为边界的区域全含于 D，若 f(z)在 D 内解析，则CC2C3C1简化条件：若简化条件：若 f(z)在多连通区域在多连通区域 D 内解析，并连续到其边界内解析，并连续到其边界第18页，共45页，编辑于2022年，星期六CC1二连通情形：第19页，共45页，编辑于2022年，星期六20Oxy例 计算 ，其中 为包含 z0 的任意一条简单闭曲线，n 为整数.解：第20页，共45页，编辑于2022年，星期六求 型积分的步骤：第21页，共45页，编辑于2022年，星期六xy第22页，共45页，编辑于2022年，星期六23定理一定理一 若函数

7、 f(z)在单连通区域 B 内解析，则定理二定理二 设函数 f(z)在单连通区域 B 内解析，则函数 F(z)在 B 内解析，且 F(z)=f(z).4 原函数与不定积分原函数与不定积分与连接起点和终点的路线 C 无关.第23页，共45页，编辑于2022年，星期六由由 充分小及充分小及 在在小领域内的一致连续性小领域内的一致连续性第24页，共45页，编辑于2022年，星期六25原函数原函数 在若函数 在区域 B 内的导数等于 f(z)，即 则称 为 f(z)在区域 B 内的原函原函数数.注 定理二中的 F(z)就是 f(z)的一个原函数.不定积分不定积分 f(z)的原函数的一般表达 F(z)+

8、c(c 为任意复常数)为 f(z)的不定积分不定积分，记作定理三定理三 （牛顿（牛顿-莱布尼兹公式）莱布尼兹公式）若函数 f(z)在单连通区域 B 内解析，是 f(z)的任一原函数，则第25页，共45页，编辑于2022年，星期六26原函数：原函数：第26页，共45页，编辑于2022年，星期六计算复积分的方法：第27页，共45页，编辑于2022年，星期六285 柯西积分公式柯西积分公式（复合闭路定理）（积分估值）第28页，共45页，编辑于2022年，星期六29定理（柯西积分公式）定理（柯西积分公式）若函数 f(z)在区域 D 内解析，C 为 D 内的任何一条正向简单闭曲线，它的内部完全含于 D，

9、z0 为 C 内的任一点，则注 条件改为 f(z)在简单闭曲线 C 的内部解析且连续到边界，则结论仍成立.或第29页，共45页，编辑于2022年，星期六30在上述定理中，若 C 代表圆周：，则即一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的值的平均数.（解析函数平均值定理）例 求下列积分的值：第30页，共45页，编辑于2022年，星期六31解：由函数 f(z)=sinz 在 z 平面上解析，且z=0含于 内部，则根据柯西积分公式，第31页，共45页，编辑于2022年，星期六32(z=-1,z=3含于 内部)第32页，共45页，编辑于2022年，星期六xy第33页，共45页，编辑于2022年，星期六第

10、34页，共45页，编辑于2022年，星期六356 解析函数的高阶导数解析函数的高阶导数定理定理 解析函数 f(z)的导数仍为解析函数，它的 n 阶导数为：其中 C 为解析区域 D 内围绕 z0 的任何一条正向简单曲线，且它的内部全含于 D.注 一个解析函数具有无穷阶导数，且它们也是解析的.第35页，共45页，编辑于2022年，星期六36例 求下列积分的值，其中 C 为正向圆周：B 内任何一条简单闭曲线 C 都有例 设函数 f(z)在单连通区域 B 内连续，且对证明 f(z)在 B 内解析.（Morera 定理）第36页，共45页，编辑于2022年，星期六37定理（柯西积分公式）定理（柯西积分公

11、式）若函数 f(z)在区域 D 内解析，C 为 D 内的任何一条正向简单闭曲线，它的内部完全含于 D，z 为 C 内的任一点，则注 条件改为 f(z)在简单闭曲线 C 的内部以及 C 上解析，则结论仍成立.或第37页，共45页，编辑于2022年，星期六38定理（高阶导数公式）定理（高阶导数公式）解析函数 f(z)的导数仍为解析函数，它的 n 阶导数为：其中 C 为解析区域 D 内围绕 z0 的任何一条正向简单曲线，且它的内部全含于 D.注 一个解析函数具有无穷阶导数，且它们也是解析的.第38页，共45页，编辑于2022年，星期六397 解析函数与调和函数的关系解析函数与调和函数的关系调和函数调

12、和函数 若二元实函数 H(x,y)在区域 D 内具有二阶连续偏导，且满足 Laplace 方程 则称 H(x,y)为 D 内的调和函数调和函数.第39页，共45页，编辑于2022年，星期六定理定理 任何在区域 D 内解析的函数，它的实部和虚部都是 D 内的调和函数.证：设 D 内的解析函数则两等式分别关于x,y求偏导由解析函数高阶导数定理知，u 和 v 具有任意阶连续偏导，故从而同理因此 u 和 v 调和.第40页，共45页，编辑于2022年，星期六41共轭调和函数共轭调和函数 区域 D 内满足 C.-R.方程的两个调和函数 u,v 中，v 称为 u 在区域 D 内的共轭调和函数共轭调和函数.

13、注 区域 D 内的解析函数的虚部为实部的共轭调和函数.u+iv=f(z)调和调和解析解析为为 u 的共轭调和函数的共轭调和函数第41页，共45页，编辑于2022年，星期六42例 验证 u(x,y)=y3-3xy2 是调和函数，并求以u(x,y)为实部的解析函数 f(z).例 已知一调和函数 求一解析函数 f(z)=使 f(0)=0.第42页，共45页，编辑于2022年，星期六u(x,y)=y3-3x2y利用C.-R.方程利用C.-R.方程的另一等式(偏积分法偏积分法)第43页，共45页，编辑于2022年，星期六44 不定积分法不定积分法第44页，共45页，编辑于2022年，星期六45u(x,y)=y3-3x2y第45页，共45页，编辑于2022年，星期六