极坐标计算二重积分讲稿.ppt

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1、关于极坐标计算二重积分第一页，讲稿共十八页哦什么是极坐标什么是极坐标?在平面内取一个定点在平面内取一个定点O O，引一条射线引一条射线OX，这样就建立了一个这样就建立了一个极坐标系极坐标系。叫做叫做极点极点。叫做叫做极轴极轴,对于平面内任一点对于平面内任一点M,记记|OM|=|=r,XOr M（r，）就叫做点就叫做点 M 的极坐标。的极坐标。XOM=,平面上任一点平面上任一点（r，）第二页，讲稿共十八页哦一、极坐标与直角坐标系的关系一、极坐标与直角坐标系的关系两坐标系中变量间关系：两坐标系中变量间关系：第三页，讲稿共十八页哦 设积分区域设积分区域 D为平面有界区域为平面有界区域,并且从原点发出

2、的射线与并且从原点发出的射线与D的边界线交点不多于两个的边界线交点不多于两个,则区域则区域D被分割情形见下图被分割情形见下图.二重积分中被积函数二重积分中被积函数求极坐标下的积分元素求极坐标下的积分元素的表示方法。的表示方法。二、二重积分的极坐标转化及计算二、二重积分的极坐标转化及计算1、二重积分的极坐标转化二重积分的极坐标转化第四页，讲稿共十八页哦图中分割的其中一小块的面积为图中分割的其中一小块的面积为略去高阶无穷小略去高阶无穷小 则有则有 r r ,故故 d =rdrd.于是于是,二重积分二重积分 第五页，讲稿共十八页哦二、极坐标系下二重积分化为累次积分的的三种情形1、区域特征如图、区域特

3、征如图D：第六页，讲稿共十八页哦2、区域特征如图、区域特征如图D：第七页，讲稿共十八页哦极坐标系下区域的极坐标系下区域的面积面积3、区域特征如图、区域特征如图第八页，讲稿共十八页哦例例1 将将化为在极坐标系下的二次积分。化为在极坐标系下的二次积分。1）4）2）3）第九页，讲稿共十八页哦 1）解：解：在极坐标系中，闭区域在极坐标系中，闭区域D 可表示为可表示为第十页，讲稿共十八页哦2）在极坐标系中，闭区域在极坐标系中，闭区域D 可表示为可表示为第十一页，讲稿共十八页哦3）在极坐标系中，闭区域在极坐标系中，闭区域D 可表示为可表示为第十二页，讲稿共十八页哦4）在极坐标系中，闭区域在极坐标系中，闭区

4、域D 可表示为可表示为第十三页，讲稿共十八页哦 例例2 求求 D:x2+y2 R2 (R0).解解 在极坐标下在极坐标下D:0 r R,0 2.利用极坐标计算二重积分利用极坐标计算二重积分 第十四页，讲稿共十八页哦 例例3 求求 D:x2+y2 2ax (a 0).解解 积分区域积分区域D如图如图,在极坐标下在极坐标下D:0 r 2acos ,第十五页，讲稿共十八页哦 例例4 求求 (a0).解解 积分区域积分区域D见图见图,采用极坐标计算采用极坐标计算,原式原式=y=xx2+y2=2ay第十六页，讲稿共十八页哦 例例5 求求 的值的值.解解 考虑考虑区域区域D:0 x +,0 y +,记记 故故第十七页，讲稿共十八页哦感谢大家观看第十八页，讲稿共十八页哦