复变函数与积分变换 (2)PPT讲稿.ppt

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1、复变函数与积分变换第1页，共26页，编辑于2022年，星期六第2页，共26页，编辑于2022年，星期六第3页，共26页，编辑于2022年，星期六例例4 4 求方程求方程的根。并将的根。并将分解因式。分解因式。解 ，则的其余三个根即为所求得由第4页，共26页，编辑于2022年，星期六第5页，共26页，编辑于2022年，星期六1.2 1.2 复平面上的曲线和区域复平面上的曲线和区域一、复平面上的曲线方程一、复平面上的曲线方程平面曲线有直角坐标方程平面曲线有直角坐标方程和参数方程和参数方程两种形式。两种形式。第6页，共26页，编辑于2022年，星期六由代入知曲线C的方程可改写成复数形式若令，而，则曲

2、线C的参数方程等价于复数形式 。第7页，共26页，编辑于2022年，星期六二、简单曲线与光滑曲线二、简单曲线与光滑曲线第8页，共26页，编辑于2022年，星期六三、区域三、区域 1、去心邻域3、区域及分类2、内点与开集区域连通的开集。第9页，共26页，编辑于2022年，星期六属于D内的任一条简单闭曲线，在D内可以经过连续的变形而收缩成一点。注：注：闭区域闭区域，它不是区域。，它不是区域。任意一条简单闭曲线任意一条简单闭曲线 C C把复平面分为三个不相把复平面分为三个不相交的点集：有界区域称为交的点集：有界区域称为 C C的内部；无界区域，的内部；无界区域，称为称为 C C的外部；的外部；C C

3、，称为内部与外部的边界。，称为内部与外部的边界。（典型例题见教材（典型例题见教材例例1.2.11.2.1，例，例1.2.21.2.2）第10页，共26页，编辑于2022年，星期六1.3 1.3 复变函数复变函数一、复变函数的概念一、复变函数的概念1 1、定、定义义对对于集合于集合G G中中给给定的定的 ，总有一个（或几个）确定的复数，总有一个（或几个）确定的复数 与之对应，并称与之对应，并称G G为定义集合，而为定义集合，而称为函数值集合称为函数值集合(值域值域).).分类分类第11页，共26页，编辑于2022年，星期六2 2、复变函数、复变函数 与实函数的关系与实函数的关系 讨论一个复变函数

4、 研究两个实二元函数 3 3、复变函数的单值性讨论、复变函数的单值性讨论第12页，共26页，编辑于2022年，星期六教材教材P12（例（例1.3.2)1.3.2)是否是否为单值为单值函数函数 令令 则 均为单值的实二元函数 是单值函数。故 第13页，共26页，编辑于2022年，星期六教材(例1.3.3）是单值函数吗？，均为多值的实二元函数方法二、见教材第14页，共26页，编辑于2022年，星期六二、映射二、映射复变函数的几何图形表示复变函数的几何图形表示第15页，共26页，编辑于2022年，星期六 函数函数在几何上可以看着是把在几何上可以看着是把 z 平面上的一个点集平面上的一个点集G G （

5、定义域）（定义域）变变到到 w 平面上的一个点集平面上的一个点集G G*（值值域）的一域）的一个映射（或映照）。个映射（或映照）。与 G 中的点为一一对应映射为双射映射为双射第16页，共26页，编辑于2022年，星期六典典 型型 例例 题题例例1 1、求、求z平面上的下列平面上的下列图图形在映射形在映射下的象。下的象。第17页，共26页，编辑于2022年，星期六解解(1)(1)乘法的模与辐角定理乘法的模与辐角定理第18页，共26页，编辑于2022年，星期六uv4i图a虚虚轴轴上从点上从点0 0到到4 4i的一段（的一段（见图见图a a）。）。(1)(1)记记 ，则则即即w w平面内平面内4图b

6、（3 3）见见教材教材例例1.3.41.3.4（3 3）第19页，共26页，编辑于2022年，星期六映为（4 4）将直将直线线建立建立所所满满足的象曲足的象曲线线方程方程，消，消 ，是以原点为焦是以原点为焦点，开口向左的抛物点，开口向左的抛物线线（见图见图c1)c1)vu图图c c1 12 2其是以原点其是以原点为为焦点，焦点，开口向右的抛物线（见图开口向右的抛物线（见图c2c2）。）。将将 线线映映为为，消，消 x 得得第20页，共26页，编辑于2022年，星期六例例2 2、求下列曲求下列曲线线在映射在映射下的象下的象解法一解法一（1 1）消 x,y 建立 u,v 所满足的象曲线方程或由两个实二元函数反解解得 x=x(u,v),y=y(u,v）后，代入原象曲线方程即得象曲线方程第21页，共26页，编辑于2022年，星期六（2 2）代入原象曲线方程，得w平面内的一条直线。第22页，共26页，编辑于2022年，星期六解法二解法二代入原象方程得代入原象方程得 化化为实为实方程形式方程形式 （2 2）留作）留作练习练习。第23页，共26页，编辑于2022年，星期六第24页，共26页，编辑于2022年，星期六第25页，共26页，编辑于2022年，星期六结 束第26页，共26页，编辑于2022年，星期六