第三节连续性随机变量及其分布课件.ppt

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1、第三节连续性随机变量及其分布第1页，此课件共71页哦（1）非负性非负性 f(x)0，(-x)；（2）归一性归一性EXEX设随机变量设随机变量X的概率密度为的概率密度为求常数a。答答:2.密度函数的性质密度函数的性质这两条性质是密度函数的充要性质第2页，此课件共71页哦（3）若若x是是f(x)的连续点，则的连续点，则EXEX 设随机变量设随机变量X的分布函数为的分布函数为:求求f(x)。第3页，此课件共71页哦故故 X的密度的密度 f(x)在在 x 这一点的值，恰好是这一点的值，恰好是X落在区间落在区间 上的概率与区间长度之比的极限。上的概率与区间长度之比的极限。对对 f(x)的进一步理解的进一

2、步理解:若若x是是 f(x)的连续点，则的连续点，则：f(x)=第4页，此课件共71页哦若不计高阶无穷小，有：若不计高阶无穷小，有：它表示随机变量它表示随机变量 X 取值于取值于(x,x+x的概率近似等于的概率近似等于 f(x)x。f(x)x在连续型在连续型r.v理论中所起的作用与理论中所起的作用与PX=xk 在离散型在离散型r.v理论中所起的作用相类似。理论中所起的作用相类似。第5页，此课件共71页哦（4）对任意实数）对任意实数a,若连续型若连续型 随机变量随机变量X具有概率密度具有概率密度 f(x)(-x)，则则 PX=a0。于是。于是可见可见，由由P(A)=0,不能推出不能推出 ，由由P

3、(B)=1,不能推出不能推出 B=S。第6页，此课件共71页哦令令 x0，由于，由于X是是连续连续型型r.v，所以它的分布函数，所以它的分布函数连续连续，从而，从而PX=a=0。推导推导第7页，此课件共71页哦密度函数的密度函数的几何意义几何意义为为第8页，此课件共71页哦例例2.13 已知随机变量已知随机变量X的概率密度为的概率密度为1)确定常数确定常数k。2)求求X的分布函数的分布函数F(x)。3)求求PX(0.5,1.5)。第9页，此课件共71页哦解解:1)2)所以所以,k=1第10页，此课件共71页哦3)PX(0.5,1.5)=或或=F(1.5)-F(0.5)=。第11页，此课件共71

4、页哦若若 r.v.X的概率密度为：的概率密度为：则称则称X在区间在区间(a,b)上服从均匀分布，上服从均匀分布，记作：记作：X U(a,b)1.均匀分布（均匀分布（Uniform distribution）三种常见连续型随机变量第12页，此课件共71页哦均匀分布常见于下列情形：均匀分布常见于下列情形：如在数值计算中，由于四舍五如在数值计算中，由于四舍五 入，小数点后某一位小入，小数点后某一位小数引入的误差，例如对小数点后第一位进行四舍五数引入的误差，例如对小数点后第一位进行四舍五 入入时，那么一般认为误差服从（时，那么一般认为误差服从（-0.5,0.5）上的均匀分布。）上的均匀分布。若若X U

5、(a,b)，则对于满足，则对于满足ac0)的的指数分布。指数分布。若若 X其分布函数为其分布函数为三种常见连续型随机变量第15页，此课件共71页哦例例2.15 电子元件的寿命电子元件的寿命X（年）服从参数为（年）服从参数为3的指数的指数分布。分布。（1）求该电子元件寿命超过）求该电子元件寿命超过2年的概率。年的概率。（2）已知该电子元件已使用了）已知该电子元件已使用了1.5年，求它还能使用至年，求它还能使用至少两年的概率为多少？少两年的概率为多少？解：解：第16页，此课件共71页哦指数分布常用于可靠性统计研究中，如元件的寿命。指数分布常用于可靠性统计研究中，如元件的寿命。第17页，此课件共71

6、页哦正态分布是应用最广泛的一种连续型正态分布是应用最广泛的一种连续型分布。分布。正态分布在十九世纪前叶由高斯正态分布在十九世纪前叶由高斯（Gauss）加以推广，所以通常称为高）加以推广，所以通常称为高斯分布。斯分布。德莫佛德莫佛德莫佛（德莫佛（De Moivre）最早发现了二项）最早发现了二项分布的一个近似公式，这一公式被认分布的一个近似公式，这一公式被认为是正态分布的首次露面。为是正态分布的首次露面。3.正态分布（正态分布（Normal distribution）三种常见连续型随机变量高斯高斯第18页，此课件共71页哦（I）.正态分布的定义正态分布的定义若若r.v.X 的概率密度为的概率密度

7、为记作记作 f(x)所确定的曲线叫作正态曲线。所确定的曲线叫作正态曲线。其中其中m m和和 都是常数都是常数,m m任意任意,0,则称则称X服从参数服从参数为为 m m和和 的正态分布的正态分布。第19页，此课件共71页哦（II）.正态分布正态分布N(,2 2)的图形特点的图形特点图形关于直线图形关于直线x=对称对称：f(+x)=f(-x)。在在 x=时时,f(x)取得最大值取得最大值 。在在 x=时时,曲线曲线 y=f(x)在对应的点处有拐点。在对应的点处有拐点。曲线曲线 y=f(x)以以x轴为渐近线轴为渐近线。曲线曲线 y=f(x)的图形呈单峰状。的图形呈单峰状。第20页，此课件共71页哦

8、-6-5-4-3-2-10.050.10.150.20.250.3第21页，此课件共71页哦f(x)的两个参数：的两个参数：位置参数位置参数即固定即固定 ，对于不同的对于不同的 ，对应的对应的 f(x)的形状不变化，的形状不变化，只是位置不同。只是位置不同。形状参数形状参数固定固定 ，对于不同的对于不同的 ，f(x)的形状不同。的形状不同。q 由于由于 f()所以所以 越小，越小，f(x)变得越尖，变得越尖，而而X落在落在 附近的概率越大附近的概率越大。第22页，此课件共71页哦下面是我们用某大学大学生的身高的数据画出的下面是我们用某大学大学生的身高的数据画出的频率直方图。频率直方图。红线红线

9、是拟合是拟合的正态密度的正态密度曲线曲线可见，某大学大学生的身高应服从正态分布。可见，某大学大学生的身高应服从正态分布。第23页，此课件共71页哦人人的的身身高高高高低低不不等等，但但中中等等身身材材的的占占大大多多数数，特特高高和和特特矮矮的的只只是是少少数数，而而且且较较高高和和较较矮矮的的人人数数大大致致相相近近，这从一个方面反映了服从正态分布的随机变量的特点。这从一个方面反映了服从正态分布的随机变量的特点。第24页，此课件共71页哦除了我们在前面遇到过的年降雨量和身高外，在正常除了我们在前面遇到过的年降雨量和身高外，在正常条件下各种产品的质量指标，如零件的尺寸；纤维的条件下各种产品的质

10、量指标，如零件的尺寸；纤维的强度和张力；农作物的产量，小麦的穗长、株高；测强度和张力；农作物的产量，小麦的穗长、株高；测量误差，射击目标的水平或垂直偏差；信号噪声等等，量误差，射击目标的水平或垂直偏差；信号噪声等等，都服从或近似服从正态分布。都服从或近似服从正态分布。第25页，此课件共71页哦应用场合应用场合若随机变量若随机变量 X 受到众多相互独立的随机因素的影响受到众多相互独立的随机因素的影响,而每而每一个别因素的影响都是微小的一个别因素的影响都是微小的,且这些影响可以叠加且这些影响可以叠加,则则 X 服从正态分布。服从正态分布。可用正态变量描述的实例非常之多：可用正态变量描述的实例非常之

11、多：各种测量的误差；各种测量的误差；人的生理特征；人的生理特征；工厂产品的尺寸；工厂产品的尺寸；农作物的收获量；农作物的收获量；海洋波浪的高度；海洋波浪的高度；金属线的抗拉强度；金属线的抗拉强度；热噪声电流强度；热噪声电流强度；学生们的考试成绩；学生们的考试成绩；第26页，此课件共71页哦（III）.设设X ，X的分布函数是的分布函数是第27页，此课件共71页哦（IV）.标准正态分布标准正态分布的正态分布称为标准正态分布。的正态分布称为标准正态分布。其密度函数和分布函数常用其密度函数和分布函数常用 j j(x)和和 F F(x)表示表示：第28页，此课件共71页哦第29页，此课件共71页哦它的

12、依据是下面的定理：它的依据是下面的定理：标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布。都可以通过线性变换转化为标准正态分布。根据定理根据定理1，只要将标准正态分布的分布函数制成表，只要将标准正态分布的分布函数制成表，就可以解决一般正态分布的概率计算问题。就可以解决一般正态分布的概率计算问题。,则则 N(0,1)设设定理定理1第30页，此课件共71页哦书末附有标准正态分布函数数值表，有了它，可以解书末附有标准正态分布函数数值表，有了它，可以解决一般正态分布的概率计算查表。决一般正态分布的概率计算查表。（V）.

13、正态分布表正态分布表表中给的是表中给的是x0时时,(x)的值的值。当当-x3|3 的值。的值。如在质量控制中，常用标准指标值如在质量控制中，常用标准指标值m m33 作两条线，当作两条线，当生产过程的指标观察值落在两线之外时发出警报，表生产过程的指标观察值落在两线之外时发出警报，表明生产出现异常。明生产出现异常。第35页，此课件共71页哦例例2.16 已知已知XN(d,0.52)，问问d至少至少为为多少多少时时,解：解：由由题题意，意，d需需满满足足因为因为所以所以第36页，此课件共71页哦例例2.17 一种一种电电子元件的使用寿命子元件的使用寿命(小小时时)服从正服从正态态分布分布(100,

14、152)，某，某仪仪器上装有器上装有3个个这这种元件，三个元件种元件，三个元件损损坏坏与否是相互独立的。求：使用的最初与否是相互独立的。求：使用的最初90小小时时内无一元内无一元件件损损坏的概率。坏的概率。解：解：设设A为为使用的最初使用的最初90小小时时内元件内元件损损坏；坏；Y为为A发发生的生的元件数。元件数。故故则则Yb(3,p),其中其中第37页，此课件共71页哦例例2.18 （1）假设某地区成年男性的身高）假设某地区成年男性的身高(单位：单位：cm)XN(170,7.692)，求该地区成年男性的身高超过，求该地区成年男性的身高超过175cm的概率。的概率。解解:（1）根据假设）根据假

15、设XN(170,7.692)，则，则故事件故事件X175的概率为的概率为P X175=0.2578第38页，此课件共71页哦解解:（2）设车门高度为）设车门高度为h cm，按设计要求，按设计要求PX h0.01或或 PX h 0.99，下面我们来求满足上式的最小的下面我们来求满足上式的最小的h。（2 2）公共汽车车门的高度是按成年男性与车门顶头公共汽车车门的高度是按成年男性与车门顶头碰头机会在碰头机会在0.01以下来设计的，问车门高度应如何确定以下来设计的，问车门高度应如何确定?第39页，此课件共71页哦因为因为XN(170,7.692),),故故 PX0.99所以所以 =2.33,即即 h=

16、170+17.92188设计车门高度为188厘米时，可使男子与车门碰头机会不超过0.01PX h 0.99求满足求满足的最小的的最小的h。第40页，此课件共71页哦（VII）.标准正态分布的上标准正态分布的上 分位点分位点z 设设 X N(0，1)，0 1，称满足称满足的点的点 z 为为X的上的上 分位点分位点。常用的几个数据常用的几个数据z 0.10.20.30.4z1-=-z 第41页，此课件共71页哦一、问题的提出一、问题的提出 在实际中，人们常常对随机变量的函数更感兴趣。在实际中，人们常常对随机变量的函数更感兴趣。求截面面积求截面面积 A=pd2/4的分布的分布。例如例如，已知圆轴截面

17、直径，已知圆轴截面直径 d 的分布，的分布，第42页，此课件共71页哦又如：已知又如：已知t=t0 时刻噪声电压时刻噪声电压 V的分布，的分布，求功率求功率 W=V2/R (R为电阻）的分布等。为电阻）的分布等。一般地、设随机变量一般地、设随机变量X 的分布已知的分布已知,Y=g(X)(设设g是是连续函数连续函数),如何由如何由 X 的分布求出的分布求出 Y 的分布？的分布？这个问题无论在实践中还是在理论上都是重要的。这个问题无论在实践中还是在理论上都是重要的。第43页，此课件共71页哦二、离散型随机变量函数的分布二、离散型随机变量函数的分布例例2.19 已知已知XPk-1 0 1求求:Y=X

18、2的分布律。的分布律。YPk0 1 解：解：Y的所有可能取的所有可能取值为值为0，1。由。由PY=0=PX2=0=PX=0=1/3PY=1=PX2=1=PX=1+PX=-1=1/3+1/3=2/3得得Y的分布律的分布律为为第44页，此课件共71页哦如果如果g(xk)中有一些是相同的，把它们作适当并项即中有一些是相同的，把它们作适当并项即可。可。一般，若一般，若X是离散型是离散型 r.v，X的分布律为的分布律为X 则则 Y=g(X)第45页，此课件共71页哦三、连续型随机变量函数的分布三、连续型随机变量函数的分布解：解：设设X、Y的分布函数为的分布函数为FX(x)、FY(y)，则则例例2.20设

19、设 X 求求 Y=2X+8 的概率密度。的概率密度。FY(y)=PYy=P2X+8 y 将将FY(y)关于关于y求导数求导数,可得可得Y=2X+8的密度函数的密度函数第46页，此课件共71页哦故故知当知当即即8 y 0 时时,注意到注意到 Y=X2 0，故当故当 y0时时，解解:设设Y和和X的分布函数分别为的分布函数分别为FY(y)和和FX(x),第48页，此课件共71页哦若若则则 Y=X2 的概率密度为的概率密度为：称称Y服从自由度为服从自由度为1的的c c2 2分布。分布。第49页，此课件共71页哦 从上述两例中可以看到，在求从上述两例中可以看到，在求PYy 的过程中，关键的过程中，关键的

20、一步是设法从的一步是设法从 g(X)y 中解出中解出X，从而得到与，从而得到与 g(X)y 等价的等价的X的不等式的不等式。例如，用例如，用 X 代替代替 2X+8 y 用用 代替代替 X2 y 这样做是为了利用已知的这样做是为了利用已知的 X的分布，从而求出相应的的分布，从而求出相应的概率。概率。这种方法叫这种方法叫分布函数法，分布函数法，是求是求r.v的函数的分布的一种的函数的分布的一种常用方法。常用方法。第50页，此课件共71页哦下面给出一个定理，在满足定理条件下面给出一个定理，在满足定理条件时可直接用它求出随机变量函数的概时可直接用它求出随机变量函数的概率密度。率密度。第51页，此课件

21、共71页哦定理定理 设设r.v X具有概率密度具有概率密度 fX(x),-x0或恒有或恒有 g (x)0 或或 g(x)0,且有反函数且有反函数由前述定理得由前述定理得注意取绝对值第55页，此课件共71页哦已知已知X在在(0,1)上服从均匀分布上服从均匀分布，代入代入 fY(y)的表达式中的表达式中得得即即Y服从参数为服从参数为2的指数分布的指数分布。第56页，此课件共71页哦对于连续型随机变量，在求对于连续型随机变量，在求Y=g(X)的分布时，关键的一步的分布时，关键的一步是把事件是把事件 g(X)y 转化为转化为X在一定范围内取值的形式，在一定范围内取值的形式，从而可以利用从而可以利用 X

22、 的分布来求的分布来求 P g(X)y。这一讲我们介绍了随机变量函数的分布。这一讲我们介绍了随机变量函数的分布。第57页，此课件共71页哦第58页，此课件共71页哦第59页，此课件共71页哦1、不论是离散型的或非离散型的随机变量、不论是离散型的或非离散型的随机变量X,都可以借助分都可以借助分布函数布函数 F(x)=PXy,-x 来描述。来描述。若已知若已知X的分布函数的分布函数,就能知道就能知道X落在任一区间落在任一区间(a,b上的上的概率：概率：PaXb=F(b)-F(a),这样这样分布函数可以完整地分布函数可以完整地描述随机变量取值的统计规律性。描述随机变量取值的统计规律性。第60页，此课

23、件共71页哦2、对于离散型随机变量，需要掌握的是它可能取那些值、对于离散型随机变量，需要掌握的是它可能取那些值及以怎样的概率取这些值。因而对离散型随机变量及以怎样的概率取这些值。因而对离散型随机变量用分用分布律布律PX=xk=pk,k=1,2,来描述它的取值的统计规律性来描述它的取值的统计规律性更为直观和简洁。更为直观和简洁。分布律和分布函数有以下关系：分布律和分布函数有以下关系：F(x)=PXx=第61页，此课件共71页哦3、对于连续型随机变量、对于连续型随机变量,给定给定X的概率密度的概率密度f(x),就能确就能确定定F(x)。反之，由于。反之，由于f(x)位于积分号之内位于积分号之内,故

24、改变故改变f(x)在个在个别点的值别点的值,并不改变并不改变F(x)的值的值.因此改变因此改变f(x)在个别点的在个别点的值无关紧要。值无关紧要。对连续型随机变量对连续型随机变量,在实用和理论上使用概率密度在实用和理论上使用概率密度f(x)来来描述较为方便。描述较为方便。概率密度和分布函数有以下关系：概率密度和分布函数有以下关系：F(x)=PXx=第62页，此课件共71页哦4、连续型随机变量、连续型随机变量X 的分布函数是连续的，它取任一的分布函数是连续的，它取任一指定常数指定常数a的概率为的概率为0。这两点是离散型变量不具备的。这两点是离散型变量不具备的。第63页，此课件共71页哦5、已知、

25、已知X的概率密度的概率密度fX(x)，求求Y=g(x)的概率密度的概率密度fX(x)在在a,b以外取值为以外取值为0，且当，且当xa,b时，时，y=g(x)(a,b)。(2)y=g(x)在在a,b上无单调性。上无单调性。那么当那么当ya时时,FY(y)=0；当；当yb时时,FY(y)=1；当当ay0(或或0(或或0)，则由公式，则由公式(2)y=g(x)在在(-,)上无单调性。上无单调性。那么当那么当ya时时,FY(y)=0；当；当yb时时,FY(y)=1；当当ayb时时,FY(y)=PY y=Pg(X)yfX(x)定义在定义在(-,),且当且当x(-,)时时,y=g(x)(a,b)。第65页

26、，此课件共71页哦例例2.24 设随机变量设随机变量X的概率密度为的概率密度为求求Y=sinX的概率密度的概率密度。当当 y0时时,当当 y1时时,当当时时故故解：解：注意到注意到,因为因为,FY(y)=PYy=PsinXy第66页，此课件共71页哦=P0Xarcsiny+Pp p-arcsiny Xp p 当当0y1,G(y)=1;对对y0,G(y)=0;由于由于第69页，此课件共71页哦对对0y1,G(y)=PY y=PF(X)y=PX (y)=F(y)=y即即Y的分布函数是的分布函数是第70页，此课件共71页哦求导得求导得Y的密度函数的密度函数可见可见,Y 服从服从0，1上的均匀分布。上的均匀分布。第71页，此课件共71页哦