矩阵第二章.ppt

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1、矩阵第二章现在学习的是第1页，共94页1 矩阵及其运算矩阵及其运算一、矩阵的定义一、矩阵的定义例例1 设设某某物物质质有有m个个产产地地，n个个销销地地，如如果果以以 aij 表表示示由由第第 i 个个产产地地销销往往第第 j 个个销销地地的的数数量量，则则这这类类物物质质的调运方案，可用一个数表表示如下：的调运方案，可用一个数表表示如下：1.实际例子实际例子现在学习的是第2页，共94页销地销量产地12j n现在学习的是第3页，共94页记记现在学习的是第4页，共94页例例2 解线性方程组解线性方程组代替：代替：r1r2r3r1r2r3（2）（3）（1）（2）（3）（1）现在学习的是第5页，共9

2、4页由由mn个个数数aij(i=1,2,m;j=1,2,n)有有次次序地排成序地排成m行行(横排横排)n列列(竖排竖排)的数表的数表称称为为一一个个m行行n列列的的矩矩阵阵，简简记记(aij)mn，通通常常用用大大写写字字母母A，B，C，表表示示，m行行n列列的的矩矩阵阵A也也记记为为Amn，构构成成矩矩阵阵A的的每每个个数数称称为为矩矩阵阵A的的元元素素，而而aij表表示示矩矩阵阵第第 i 行、第行、第 j 列的元素。列的元素。2.定义定义现在学习的是第6页，共94页注意：注意：(1)只有一行的矩阵只有一行的矩阵 A1n=(a1 a2 an)称为称为行矩阵行矩阵只有一列的矩阵只有一列的矩阵称

3、为称为列矩阵列矩阵(2)两两个个矩矩阵阵A、B，若若行行数数、列列数数都都相相等等，则则称称A、B是是同型同型的。的。现在学习的是第7页，共94页(3)若若 A=(aij)mn,B=(bij)mn是是同同型型的的，且且 aij=bij(i=1,2,m;j=1,2,n)则则称称A与与B相相等等，记记作作AB。(4)元元素素全全为为0的的矩矩阵阵称称为为零零矩矩阵阵，记记作作O，不不同型的零矩阵是不相等的。同型的零矩阵是不相等的。现在学习的是第8页，共94页二、二、矩阵的运算矩阵的运算设设 A=(aij)mn,B=(bij)mn则矩阵则矩阵 C=(cij)mn=(aij+bij)mn称为矩阵称为矩

4、阵A与与B的和，记作的和，记作 C=A+B1.矩阵的加法矩阵的加法(1)定义现在学习的是第9页，共94页设设 A，B，C，O 都是都是 mn 矩阵矩阵(1)A+B=B+A(2)(A+B)+C=A+(B+C)(3)A+O=O+A=A(2)性质性质现在学习的是第10页，共94页2.矩阵的减法矩阵的减法(1)负矩阵设 A=(aij)mn,则称(aij)mn 为A的负矩阵，简记A显然A+(A)=O,(A)=A(2)减法：设 A=(aij)mn ,B=(bij)mnAB=A+(B)=(aij bij)mn现在学习的是第11页，共94页记为 A，即设 是常数，A=(aij)mn，则矩阵(aij)mn 称为

5、数 与矩阵A的乘积，3.数与矩阵的乘法数与矩阵的乘法(1)定义现在学习的是第12页，共94页设设 A、B 为为 m n 矩阵，矩阵，、u为常数为常数(1)(u)A=(u A)=u(A);(2)(A+B)=A+B(3)(+u)A=A+u A(4)1A=A(1)A=A(2)性质性质现在学习的是第13页，共94页例例3：设求A2B解：现在学习的是第14页，共94页设 A=(aij)ms,B=(bij)sn,其中Cij等于A的第i行与B的第j列对应元素的乘积之和(i=1,2,m;j=1,2,n)乘积 CAB是mn矩阵，C=(cij)mn 则A与B的4.矩阵的乘法矩阵的乘法(1)定义现在学习的是第15页

6、，共94页例例4：设矩阵设矩阵求乘积求乘积 AB 和和 BA解：现在学习的是第16页，共94页注：注：AB BA 即矩阵乘法不满足交换律即矩阵乘法不满足交换律现在学习的是第17页，共94页例例 5：设设试证：(1)AB=0 ；(2)AC=AD现在学习的是第18页，共94页证：证：(1)(2)故 AC AD现在学习的是第19页，共94页比较：比较：(1)在数的乘法中，若ab=0 a=0 或 b=0在矩阵乘法中，若AB=O A=O 或 B=O两个非零矩阵乘积可能为O。(2)在数的乘法中，若ac=ad，且a 0 c=d(消去律成立)在矩阵乘法中，若AC=AD，且A O C=D(消去律不成立)现在学习

7、的是第20页，共94页(1)(A B)C=A(B C)(2)A(B+C)=A B+A C(3)(B+C)A=B A+C A(4)(A B)=(A)B=A(B)(其中其中 为常数为常数)(2)性质性质现在学习的是第21页，共94页5.线性方程组的矩阵表示线性方程组的矩阵表示设方程组为可表示为简记为AXB。A称为由线性方程组的系数矩阵。现在学习的是第22页，共94页将矩阵 A mn 的行换成同序数的列，列换成同序数的行所得的 nm 矩阵称为A的转置矩阵，记作 AT 或 A。例如：例如：则6.矩阵的转置矩阵的转置(1)定义现在学习的是第23页，共94页(1)(AT )T=A(2)(A+B)T=A T

8、+B T(3)(A)T A T(4)(A B)T=BT A T(2)性质性质现在学习的是第24页，共94页例例6：设求(A B)T。解法一：解法一：现在学习的是第25页，共94页(A B)T=B T A T解法二：解法二：现在学习的是第26页，共94页三、方阵三、方阵1.定义定义则：(其中：k,l均为正整数)记AA A=Akk个个k个个行数与列数相同的 n n 矩阵 A 称为方阵，n 称为它的阶数，简记 An。现在学习的是第27页，共94页称为n阶单位矩阵阶单位矩阵，简记E显然1.单位矩阵单位矩阵002.几类特殊方阵几类特殊方阵现在学习的是第28页，共94页2.对角矩阵对角矩阵其中 aij=0

9、,i j00特别：特别：称为数量矩阵00现在学习的是第29页，共94页结论：结论：(1)000000现在学习的是第30页，共94页(2)k为正整数时为正整数时00k00现在学习的是第31页，共94页3.上三角矩阵上三角矩阵0其中 aij=0,i j下三角矩阵下三角矩阵其中 aij=0,i j0现在学习的是第32页，共94页4.对称矩阵对称矩阵(1)若方阵A满足 AT=A，即 aji=aij，则称A为对对称称矩阵矩阵。(2)若方阵A满足 AT=A，即 aji=aij，则称A为反对称矩阵反对称矩阵。这时 aii=0(i=1,2,n)现在学习的是第33页，共94页例例7：设设A为为任任一一方方阵阵，

10、证证明明:A+AT为为对对称称阵阵，AAT 为反对称阵为反对称阵证：由于故故A+AT为对称阵，为对称阵，AAT 为反对称阵为反对称阵现在学习的是第34页，共94页（1）方阵方阵 A 对应的行列式记为对应的行列式记为|A|或或 det A 若|A|0，则称方阵 A 是非非奇奇异异(非非退退化化)的，否则，称 A 是奇异奇异(退化退化)的。3、比较方阵与行列式、比较方阵与行列式(2)|A|=n|A|(3)|A B|=|A|B|现在学习的是第35页，共94页(3)|A B|=|A|B|例如：例如：有而所以|A B|=|A|B|现在学习的是第36页，共94页(4)|A m|=|A|m|A 1 A 2

11、A m|=|A 1|A 2|A m|推广：推广：现在学习的是第37页，共94页四、分块矩阵四、分块矩阵如果用若干条贯穿矩阵的横线和纵线将矩阵A分成若干小块，这样的小块称为矩阵A的子子块块或子子矩矩阵阵，而A可以看成是以子块为元素的矩阵，称A为分块矩阵分块矩阵。1.定义定义现在学习的是第38页，共94页例如：例如：A11A12A21A22现在学习的是第39页，共94页例例 8：设设 利用分块矩阵求利用分块矩阵求 A+B，AB。现在学习的是第40页，共94页解：将A、B分块成 现在学习的是第41页，共94页则而故现在学习的是第42页，共94页而现在学习的是第43页，共94页故现在学习的是第44页，

12、共94页考察：考察：AT对于对于有有2.分块矩阵的转置分块矩阵的转置现在学习的是第45页，共94页注：注：设矩阵A=(aij)m n 分块为 则现在学习的是第46页，共94页若方阵A除主对角线上的子块外，其余子块都为O，且主对角线的子块均为方阵，则称A为准对角矩阵准对角矩阵。00(Ai 为方阵，为方阵，i=1,2,，m)即：即：A3.准对角矩阵准对角矩阵 定义：现在学习的是第47页，共94页例如：例如：00为准对角矩阵。现在学习的是第48页，共94页准对角矩阵与对角矩阵有类似的性质准对角矩阵与对角矩阵有类似的性质例如例如：00A00有有(Ai 为方阵，为方阵，i=1,2,，m)现在学习的是第4

13、9页，共94页2 矩阵的初等变换矩阵的初等变换一、矩阵的初等变换一、矩阵的初等变换定义定义 1对对矩矩阵阵施施行行下下列列三三种种变变换换称称为为矩矩阵阵的的初初等行变换等行变换(1)互换两行互换两行 (记作记作 ri rj);(2)以数以数 0 乘以某一行乘以某一行 (记作记作 ri);(3)将将第第 j 行行各各元元素素乘乘以以数数 后后加加到到第第 i 行行的的对对应应元元素素上上去去(记作记作 ri+rj)相应地，矩阵的三种初初等等列列变变换换的记号只需将 r 换换成成 c。现在学习的是第50页，共94页二、初等矩阵二、初等矩阵定义定义2由由单单位位矩矩阵阵 E 经经过过一一次次初初等

14、等变变换换得得到到的的矩阵称为矩阵称为初等矩阵初等矩阵。现在学习的是第51页，共94页(1)ri rjci cj 也得到也得到 P(i,j)第第 i 行行第第 j行行现在学习的是第52页，共94页(2)ri ci 也得到也得到 P(i()00第第 i 行行现在学习的是第53页，共94页(3)ri+rj cj+ci 也得到也得到 P(i,j()第第 i 行行第第 j 行行现在学习的是第54页，共94页定理定理1对对A施施行行一一次次初初等等行行变变换换，相相当当于于在在A的的左左侧侧乘乘以以一一个个相相应的初等矩阵应的初等矩阵；对对A施施行行一一次次初初等等列列变变换换，相相当当于于在在A的的右

15、右侧侧乘乘以以一一个个相相应的初等矩阵应的初等矩阵；例如：例如：设设A是一个是一个 m n 矩阵矩阵现在学习的是第55页，共94页(1)Ar1 r2P(1,2)A现在学习的是第56页，共94页(2)Ac3 c4A P(3,4)现在学习的是第57页，共94页三、矩阵的秩三、矩阵的秩1.k 阶子式阶子式定义定义3设设 A 为为 mn 矩矩阵阵，在在 A 中中任任取取 k 行行 k 列列(1 k min(m,n)，由由这这 k 行行，k 列列的的交交叉叉处处的的 k2 个个元元素素(按按原原来来的的前前后后顺顺序序)所所构构成成的的 k 阶阶行行列列式，称为矩阵式，称为矩阵A的一个的一个 k 阶子式

16、。阶子式。现在学习的是第58页，共94页例如：例如：一个2阶子式现在学习的是第59页，共94页例如：例如：一个2阶子式一个3阶子式现在学习的是第60页，共94页(1)A 的每个元素 aij 都是 A 的一个一阶子式(2)当 A 为 n 阶方阵时，n 阶子式即为|A|注：注：现在学习的是第61页，共94页2.矩阵的秩矩阵的秩例如：例如：中有一个3阶子式R(A)=3定义定义4矩矩阵阵A的的不不为为0的的子子式式的的最最高高阶阶数数称称为为矩矩阵阵A的的秩秩，记为，记为R(A)。(显然显然 R(A)min(m,n)现在学习的是第62页，共94页规定：规定：注：注：(1)非奇异矩阵A，有|A|0，A的

17、秩就等于它的阶数，A又称为满秩矩阵满秩矩阵。(2)奇异矩阵A，也称为降秩矩阵降秩矩阵。定理定理2 若若矩矩阵阵 A 中中至至少少有有一一个个 k 阶阶子子式式不不为为0，而而所有所有 k+1 阶子式全为阶子式全为0，则，则 r(A)=k。零矩阵的秩为0，即 R(O)=0现在学习的是第63页，共94页3.初等变换求矩阵的秩初等变换求矩阵的秩定理定理3 对矩阵施行初等变换，矩阵的秩不变对矩阵施行初等变换，矩阵的秩不变例：例：阶梯形阶梯形r(A)=3A现在学习的是第64页，共94页进一步：进一步：A称为A的标准形标准形注：若注：若A为为n阶满秩方阵，则阶满秩方阵，则A的标准形为的标准形为n阶单位阵阶

18、单位阵E。现在学习的是第65页，共94页3 逆逆 矩矩 阵阵一、逆矩阵的定义一、逆矩阵的定义定义定义1AB=BA=E则称 B 为 A 的逆矩阵逆矩阵，并称 A 可逆可逆。设设A是一个是一个n阶方阵，若存在阶方阵，若存在n阶方阵阶方阵B使使显然显然A 为为B 的逆矩阵，即的逆矩阵，即 A 与与B 互为逆矩阵。互为逆矩阵。现在学习的是第66页，共94页例如：例如：有所以 B 是 A 的逆阵，同时 A 也是 B 的逆阵。现在学习的是第67页，共94页例例1 设设 a11 a22 ann 0,0000由于：0000所以现在学习的是第68页，共94页例例2 若方阵若方阵 A1 A2 Am 均可逆，可证均

19、可逆，可证0000现在学习的是第69页，共94页定理定理1(唯一性唯一性)若方阵若方阵 A 的逆矩阵存在，则唯一，用的逆矩阵存在，则唯一，用 A1 表示表示证：设证：设B、C均是均是A的逆矩阵，则的逆矩阵，则B所以所以A的逆矩阵唯一。的逆矩阵唯一。=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C现在学习的是第70页，共94页矩阵称为 A 的伴随矩阵伴随矩阵定义定义2:设 A=(aij)nn,Aij 是|A|中元素 aij 的代数余子式(i,j=1,2,n);二、矩阵可逆的条件二、矩阵可逆的条件现在学习的是第71页，共94页即：A A*=A*A=|A|E定理定理2方阵 A 存在逆矩阵|A|且现在学习的是

20、第72页，共94页求逆矩阵的第一种方法：求逆矩阵的第一种方法：方阵方阵 A满足满足|A|时，时，现在学习的是第73页，共94页例例3 求矩阵求矩阵的逆矩阵解：故 A 可逆，又A115，A122，A212，A221则所以现在学习的是第74页，共94页比较：比较：(1)在数的乘法中，若ab=0 a=0 或 b=0在矩阵乘法中，若AB=O A=O 或 B=O两个非零矩阵乘积可能为O。(2)在数的乘法中，若ac=ad，且a 0 c=d(消去律成立)在矩阵乘法中，若AC=AD，且A O C=D(消去律不成立)现在学习的是第75页，共94页例例4 设设 A 是可逆阵，证明：是可逆阵，证明：(1)若若 A

21、X=A Y X=Y(2)若若 A B=0 B=0证：A1(A X)=A1(A Y)(A1 A)X=(A1 A)YEX=EYX=Y(1)A X=A Y由所以(2)由 AB=0，有A1(AB)=A1 0所以 B=0(A1 A)B=0现在学习的是第76页，共94页(1)若A，B均为n阶方阵，且 A B=E(或 B A=E)，则 BA1证：|A|B|=|E|=1|A|0A1存在，且A1=A1E=A1(AB)=(A1A)B=EB=B设 A B=E 同理可证 B A=E 的情形 三、逆矩阵的性质三、逆矩阵的性质现在学习的是第77页，共94页(2)(A1)1=A(3)若A可逆，0 为常数，则现在学习的是第7

22、8页，共94页(4)若A，B 均为n阶可逆矩阵，则(AB)1=B1A1。特别：特别：当|A|0，有(A m)1=(A1)m(m为正整数)若A1，A2，Am均为n阶可逆矩阵，则(A1 A2 Am)1=Am1 A21 A11推广：推广：证明：因为(AB)(B1A1)=A E A1=E所以 (AB)1=B1A1=A(B B1)A1现在学习的是第79页，共94页(5)这是因为|A1|A|=|E|=1现在学习的是第80页，共94页四、初等行变换求逆矩阵四、初等行变换求逆矩阵(方法二方法二)1.初等矩阵都是可逆矩阵，且其矩阵仍然是初等矩阵初等矩阵都是可逆矩阵，且其矩阵仍然是初等矩阵现在学习的是第81页，共

23、94页定定理理3 若若方方阵阵A可可逆逆，则则存存在在有有限限个个初初等等矩矩阵阵 P1,P2,Pm,使使 A=P1 P2 Pm证：因为A可逆，则r(A)=n，标准形为En，A=P1 P2 PmP1 P2 PsEPs+1 Pm=A即存在有限次初等变换使A化为En，有限次初等变换使En化成A，反之，也存在P1，P2，Pm，使故存在有限个初等矩阵现在学习的是第82页，共94页表示为：表示为：A=P1 P2 PmEAEA1(A E)(E A1)初等行变换初等行变换现在学习的是第83页，共94页例例4设求 A1.解：r22r1r33r1现在学习的是第84页，共94页r1 2r3r2 5r3r1+r2r

24、3 r2现在学习的是第85页，共94页故现在学习的是第86页，共94页对对 A 也可通过初等列变换求也可通过初等列变换求 A1初等列变换初等列变换A=P1 P2 Pm注：注：表示为：表示为：EAEA1现在学习的是第87页，共94页对于n元线性方程组AX=B则则XA1B|A|0，A1存在存在若若五、逆矩阵的应用五、逆矩阵的应用1.解线性方程组解线性方程组现在学习的是第88页，共94页例例5：解方程组x1+2 x2+3 x3=12 x1+2 x2+x3=13 x1+4 x2+3 x3=3解：解：方程组简记为X=A 1 B由于|A|=2 0,A可逆，故A X=B其中现在学习的是第89页，共94页而即 x1=8,x2=9,x3=3.现在学习的是第90页，共94页2 解矩阵方程解矩阵方程例例6：解矩阵方程解：解：矩阵方程简记为 A X=B 0 A1存在现在学习的是第91页，共94页现在学习的是第92页，共94页例例7 解矩阵方程 AX+E=A2+X其中：E 为三阶单位矩阵解：解：由 AX+E=A2+X即 (A E)X=(A E)(A+E)得 AX X=A2 E所以 A E 可逆可逆.现在学习的是第93页，共94页故 X=A+E(A E)X=(A E)(A+E)所以 (AE)1(A E)X=(AE)1(A E)(A+E)现在学习的是第94页，共94页