离散数学群论代数系统深底.ppt

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1、离散数学群论代数系统深底现在学习的是第1页，共74页课程安排课程安排总学时：总学时：64讲课学时：讲课学时：64(1-16周周,每周每周4学时学时)教材：教材：离散数学离散数学孙吉贵等孙吉贵等 -高等教育出版社高等教育出版社 参考教材参考教材:1离散数学离散数学-学习指导与习题解答学习指导与习题解答孙吉贵等孙吉贵等 -高等教育出版社高等教育出版社2代数结构与组合数学代数结构与组合数学屈婉玲编著屈婉玲编著-北京大学出版社北京大学出版社3 离散数学习题集离散数学习题集(抽象代数分册抽象代数分册)张立昂编著张立昂编著-北京大学北京大学出版社出版社4应用近世代数应用近世代数胡冠章编著胡冠章编著 -清华

2、大学出版社清华大学出版社现在学习的是第2页，共74页课程重要性课程重要性v离散思想离散思想v考研课程考研课程v计算机等级考试课程计算机等级考试课程v程序员考试课程程序员考试课程v抽象思维能力的培养抽象思维能力的培养现在学习的是第3页，共74页第一讲第一讲 内容提要内容提要 I.群群论论的的出出现现及及其其创创始始者者Galois、Abel,环论、域论与布尔代数环论、域论与布尔代数II.近世代数的应用近世代数的应用III.代数运算及其性质代数运算及其性质IV.代数系统代数系统现在学习的是第4页，共74页I.群论的出现群论的出现 群论是现代数学非常重要的分支群论是现代数学非常重要的分支,群论产生的

3、开群论产生的开端非常平凡端非常平凡,但是群论的创立者却充满了传奇但是群论的创立者却充满了传奇.这这要从代数方程的求解方法谈起。代数方程根式要从代数方程的求解方法谈起。代数方程根式解法的研究有很悠久的历史。大家知道，一个解法的研究有很悠久的历史。大家知道，一个实系数的代数多项式在实数域中只要能分解成实系数的代数多项式在实数域中只要能分解成一些实系数的一次因式与二次因式的乘积，则一些实系数的一次因式与二次因式的乘积，则利用我们熟知的二次方程利用我们熟知的二次方程:现在学习的是第5页，共74页与一次方程的解得到原方程的解。为此，与一次方程的解得到原方程的解。为此，人人们试图对次数更高的方程得到类似的

4、求解公们试图对次数更高的方程得到类似的求解公式式.不过，由于一般三次方程相对于二次方不过，由于一般三次方程相对于二次方程求根公式要复杂得多，所以古代数学家程求根公式要复杂得多，所以古代数学家在这方面的努力都未能获得成功。在这方面的努力都未能获得成功。二次方程的求根公式二次方程的求根公式现在学习的是第6页，共74页直至直至16世纪形如世纪形如 ax3+bx2+cx+d=0的三次方程的的三次方程的求根公式才被意大利数学家费罗求根公式才被意大利数学家费罗(Ferro)和塔尔塔和塔尔塔里亚里亚(Tartalia)彼此独立发现。彼此独立发现。后来，意大利数学和物理学家卡尔达塔后来，意大利数学和物理学家卡

5、尔达塔(Cardano)在得知塔氏的发明后，央求塔氏将求解方法告诉在得知塔氏的发明后，央求塔氏将求解方法告诉他，塔氏在其允诺绝对保密的条件下同意了。但他，塔氏在其允诺绝对保密的条件下同意了。但是卡尔达塔却背弃诺言，是卡尔达塔却背弃诺言，1545年将塔氏关于三次年将塔氏关于三次方程的解法发表在自己的著作方程的解法发表在自己的著作大术大术(Ars Magna)一书中一书中.在三次方程求解问题解决后，在三次方程求解问题解决后，一般四次方程很快被意大利数学家费拉里一般四次方程很快被意大利数学家费拉里(Ferrari)所解决，也发表在这部书中。所解决，也发表在这部书中。现在学习的是第7页，共74页 当一

6、般的二、三、四次方程的求根公式在不同时代被解决之后，当一般的二、三、四次方程的求根公式在不同时代被解决之后，当一般的二、三、四次方程的求根公式在不同时代被解决之后，当一般的二、三、四次方程的求根公式在不同时代被解决之后，人们毫不犹豫地继续寻求一般五次及以上方程的求根公式。人们毫不犹豫地继续寻求一般五次及以上方程的求根公式。人们毫不犹豫地继续寻求一般五次及以上方程的求根公式。人们毫不犹豫地继续寻求一般五次及以上方程的求根公式。但事情的发展似乎突然停了下来但事情的发展似乎突然停了下来.虽然有很多数学家作出了努力虽然有很多数学家作出了努力,其中包括其中包括18世纪中叶伟大的世纪中叶伟大的瑞士数学家欧

7、拉瑞士数学家欧拉(Euler),经过三个世纪之久仍然没有一个经过三个世纪之久仍然没有一个人能找出五次方程的求根公式人能找出五次方程的求根公式.由于在漫长的岁月里久久找不到一般五次方程的根式解法，由于在漫长的岁月里久久找不到一般五次方程的根式解法，于是数学家们开始进行反思。于是数学家们开始进行反思。拉格朗日拉格朗日拉格朗日拉格朗日(Lagrange)(Lagrange)在在在在17701770年猜测年猜测年猜测年猜测:“这样的求根公式不存在这样的求根公式不存在这样的求根公式不存在这样的求根公式不存在.他预见到一般方程的可解性问题他预见到一般方程的可解性问题他预见到一般方程的可解性问题他预见到一般

8、方程的可解性问题最后将归结到关于诸根的某些排列置换问题最后将归结到关于诸根的某些排列置换问题最后将归结到关于诸根的某些排列置换问题最后将归结到关于诸根的某些排列置换问题”。现在学习的是第8页，共74页群论的创始人伽罗华和阿贝尔群论的创始人伽罗华和阿贝尔Lagrange的洞察力启发了年轻的的洞察力启发了年轻的Abel与与Galois，他，他们在继承了们在继承了Lagrange留下的宝贵遗产基础上，各自留下的宝贵遗产基础上，各自作出了重要的贡献。作出了重要的贡献。Abel（N.H.Abel,1802-1829)，挪威数学家，近代数，挪威数学家，近代数学发展的先驱者。学发展的先驱者。1802年年8月

9、月5日出生于一个牧师家庭，日出生于一个牧师家庭，幼年丧父，家境贫寒。从小酷爱数学，幼年丧父，家境贫寒。从小酷爱数学，13岁进入奥斯岁进入奥斯陆一所教会学校学习，成绩优异。他陆一所教会学校学习，成绩优异。他16岁自学数学岁自学数学名著，中学时被誉为名著，中学时被誉为“数学迷数学迷”。他的数学老师。他的数学老师霍尔姆博发现了阿贝尔的数学天赋，不断给予指霍尔姆博发现了阿贝尔的数学天赋，不断给予指导与资助。导与资助。现在学习的是第9页，共74页阿贝尔1821年阿贝尔上大学，在学校里他几乎全是自年阿贝尔上大学，在学校里他几乎全是自学，并开始花大量时间考虑数学问题，做研究学，并开始花大量时间考虑数学问题，

10、做研究工作。工作。1825年大学毕业后，获得奖学金前往柏年大学毕业后，获得奖学金前往柏林和巴黎留学并谋职。林和巴黎留学并谋职。在柏林他结识了数学家克雷尔（在柏林他结识了数学家克雷尔（A.L.Crelle)，并成为好朋友，他鼓励克雷尔创办了著名的数学并成为好朋友，他鼓励克雷尔创办了著名的数学刊物刊物纯粹与应用数学杂志纯粹与应用数学杂志，1826年出第一年出第一卷刊登了阿贝尔的卷刊登了阿贝尔的7篇文章，其中就有关于一般篇文章，其中就有关于一般五次方程不能用根式求解的文章，以后各卷也五次方程不能用根式求解的文章，以后各卷也有他的很多文章。有他的很多文章。现在学习的是第10页，共74页阿贝尔当阿贝尔的

11、著作发表时，引起了所有数学家的当阿贝尔的著作发表时，引起了所有数学家的惊奇。在这个著作中阿贝尔证明了这样一个定惊奇。在这个著作中阿贝尔证明了这样一个定理：理：“如果方程的次数如果方程的次数n 5，并且系数被看成字，并且系数被看成字母，那么任何一个由这些系数所组成的根式都不可母，那么任何一个由这些系数所组成的根式都不可能是该方程的解。原来在三个世纪以来用根式去解能是该方程的解。原来在三个世纪以来用根式去解这种方程之所以不能成功，只因为这个问题就没有这种方程之所以不能成功，只因为这个问题就没有解。解。1826年阿贝尔又到了巴黎，遇到了当时著名的数年阿贝尔又到了巴黎，遇到了当时著名的数学家勒让德和柯

12、西。当时他写了一篇关于椭圆积学家勒让德和柯西。当时他写了一篇关于椭圆积分的论文，提交给法国科学院，但不幸没有得到分的论文，提交给法国科学院，但不幸没有得到重视，只好又返回柏林。重视，只好又返回柏林。现在学习的是第11页，共74页阿贝尔克雷尔为他谋求教授职务，没有成功。克雷尔为他谋求教授职务，没有成功。1827年年5月阿贝尔月阿贝尔贫病交加地回到挪威。次年贫病交加地回到挪威。次年4月月6日患结核病不幸去世，年日患结核病不幸去世，年仅仅27岁。就在他去世后两天后，克雷尔来信通知他已被柏岁。就在他去世后两天后，克雷尔来信通知他已被柏林大学任命为数学教授。但为时已晚，阿贝尔已无法前往林大学任命为数学教

13、授。但为时已晚，阿贝尔已无法前往接受这一职务了。接受这一职务了。阿贝尔去世前不久，人们才认识到他的价值。阿贝尔去世前不久，人们才认识到他的价值。1828年，有年，有4位法国科学院院士上书挪威国王，请他为阿贝尔提供合适位法国科学院院士上书挪威国王，请他为阿贝尔提供合适的科学研究位置，勒让德也在科学院会议上对阿贝尔大家的科学研究位置，勒让德也在科学院会议上对阿贝尔大家赞扬。阿贝尔在数学方面的成就是多方面的，除五次方程赞扬。阿贝尔在数学方面的成就是多方面的，除五次方程外，他还研究了更广泛一类的代数方程，后人发现这就是外，他还研究了更广泛一类的代数方程，后人发现这就是具有交换的伽罗华群的方程。后人为了

14、纪念他，就把交换具有交换的伽罗华群的方程。后人为了纪念他，就把交换群称为群称为Abel群群现在学习的是第12页，共74页阿贝尔1824年年,挪威数学家阿贝尔挪威数学家阿贝尔(Abel)证明了拉格朗日证明了拉格朗日的看法的看法.阿贝尔在高中读书时就阅读了拉格朗日、高斯有关阿贝尔在高中读书时就阅读了拉格朗日、高斯有关方程式论的著作。开始时，他利用高斯处理二项式方程式论的著作。开始时，他利用高斯处理二项式方程的具体方法去研究五次方程，曾一度以为能用方程的具体方法去研究五次方程，曾一度以为能用根式解出五次方程，但很快他发现其中存在的问题。根式解出五次方程，但很快他发现其中存在的问题。现在学习的是第13

15、页，共74页阿贝尔这时，这时，Abel敏感地猜想到一般五次方程不可敏感地猜想到一般五次方程不可能用根式求解的结论。能用根式求解的结论。接着，接着，Abel成功地证明了一条定理，今天称之成功地证明了一条定理，今天称之为为Abel定理。由此定理，定理。由此定理，Abel就证明了：就证明了：“高于高于四次的一般方程不可能有一般形式的根式解四次的一般方程不可能有一般形式的根式解”。这是数学史上的一项重要成就。这是数学史上的一项重要成就。现在学习的是第14页，共74页阿贝尔但是虽然没有通用公式但是虽然没有通用公式,有些特殊的五有些特殊的五 次方程有求根公式次方程有求根公式,那么自然会问那么自然会问:如何

16、判定一如何判定一个给定的五次方程是否有这样的求根公式个给定的五次方程是否有这样的求根公式?对具有根式解的代数方程的特征问题，阿贝尔对具有根式解的代数方程的特征问题，阿贝尔一直在竭尽全力地研究这个问题一直在竭尽全力地研究这个问题.不幸的是，不幸的是，1829年死神夺去了年仅年死神夺去了年仅26岁的他，使他即将完岁的他，使他即将完成的光辉事业功亏一篑。成的光辉事业功亏一篑。现在学习的是第15页，共74页挪威天才数学家阿贝尔(Abel)现在学习的是第16页，共74页伽罗华 在这一时期在这一时期在这一时期在这一时期,碰巧还有一位年轻人也在勤奋地钻研这个碰巧还有一位年轻人也在勤奋地钻研这个碰巧还有一位年

17、轻人也在勤奋地钻研这个碰巧还有一位年轻人也在勤奋地钻研这个问题问题问题问题,而且最终取得了成功而且最终取得了成功而且最终取得了成功而且最终取得了成功,他就是伽罗华他就是伽罗华他就是伽罗华他就是伽罗华(Galois).(Galois).伽罗华伽罗华伽罗华伽罗华18111811年年年年1010月降生于巴黎近郊月降生于巴黎近郊月降生于巴黎近郊月降生于巴黎近郊.只活了只活了只活了只活了2020岁，而他所留岁，而他所留岁，而他所留岁，而他所留下的著作总共只有下的著作总共只有下的著作总共只有下的著作总共只有6060页，但却以自己天才的创造，犹如页，但却以自己天才的创造，犹如页，但却以自己天才的创造，犹如页

18、，但却以自己天才的创造，犹如划破黑夜长空的一颗彗星划破黑夜长空的一颗彗星划破黑夜长空的一颗彗星划破黑夜长空的一颗彗星GaloisGalois的出现，开创了置换的出现，开创了置换的出现，开创了置换的出现，开创了置换群论的研究群论的研究群论的研究群论的研究.可是这位年轻人获得的非凡成果可是这位年轻人获得的非凡成果可是这位年轻人获得的非凡成果可是这位年轻人获得的非凡成果,在他因决斗去世在他因决斗去世在他因决斗去世在他因决斗去世1111年后年后年后年后才开始得到数学界的承认才开始得到数学界的承认才开始得到数学界的承认才开始得到数学界的承认.伽罗华幼年受过良好教育，伽罗华幼年受过良好教育，伽罗华幼年受过

19、良好教育，伽罗华幼年受过良好教育，1212岁上中学，岁上中学，岁上中学，岁上中学，18271827年年年年1616岁就开岁就开岁就开岁就开始自学勒让德、拉格朗日、高斯和柯西的著作。始自学勒让德、拉格朗日、高斯和柯西的著作。始自学勒让德、拉格朗日、高斯和柯西的著作。始自学勒让德、拉格朗日、高斯和柯西的著作。现在学习的是第17页，共74页伽罗华不久，他遇到了数学教师里查德，里查德很快不久，他遇到了数学教师里查德，里查德很快就发现了伽罗华的数学才能，在他的指导下，就发现了伽罗华的数学才能，在他的指导下，伽罗华开始研究代数方程理论，伽罗华开始研究代数方程理论，1828年年17岁时岁时高中未毕业便有重大

20、发现，写出了关于循环连高中未毕业便有重大发现，写出了关于循环连分数特别是五次代数解法的重要论文。分数特别是五次代数解法的重要论文。1829年年18岁的他中学毕业参加声望很高的巴黎高等岁的他中学毕业参加声望很高的巴黎高等工科大学的入学考试时工科大学的入学考试时,伽罗华失败了伽罗华失败了,不得不进不得不进入较普通的师范学校入较普通的师范学校.现在学习的是第18页，共74页伽罗华1828年，他把自己所写的论文送交法国科学年，他把自己所写的论文送交法国科学院审查，同年院审查，同年6月该科学院曾举行例会，由月该科学院曾举行例会，由泊松（泊松（S.D.Poisson)和柯西两位著名数学家和柯西两位著名数学

21、家审查，但由于重视不够，原稿被柯西弄丢审查，但由于重视不够，原稿被柯西弄丢了。了。1829年他又写了一些关于方程方面的重要论年他又写了一些关于方程方面的重要论文。同年文。同年7月，他在巴黎高等工科大学的入月，他在巴黎高等工科大学的入学考试中再次失败。学考试中再次失败。现在学习的是第19页，共74页伽罗华怀着沮丧之情怀着沮丧之情,伽罗华于伽罗华于1830年初又向科学年初又向科学院提交了另一篇论文院提交了另一篇论文,这次是为竞争一项数这次是为竞争一项数学大奖学大奖.科学院秘书傅立叶科学院秘书傅立叶(Fourier)将其手稿将其手稿 拿回家去审读拿回家去审读,不料在写出评审报告前去世不料在写出评审报

22、告前去世了了,此文再也没有找到此文再也没有找到.现在学习的是第20页，共74页伽罗华三失手稿三失手稿,加之考巴黎高等工科大学两度失败加之考巴黎高等工科大学两度失败,伽伽罗华遂对科学界产生排斥情绪罗华遂对科学界产生排斥情绪,变成了学生激进分变成了学生激进分子子,被学校开除被学校开除.担任私人辅导教师谋生担任私人辅导教师谋生,但他的数学研但他的数学研 究工作依然相当活跃究工作依然相当活跃.在仔细研究了在仔细研究了Lagrange、Gauss、Abel、Cauchy等人著作的基础上写出了最著写出了最著名的论文名的论文“关于方程可根式求解的条件关于方程可根式求解的条件”,并于并于1831年年1月送交科

23、学院月送交科学院.到到3月月,科学院方面仍杳无音讯科学院方面仍杳无音讯,于是他写信给院长于是他写信给院长打听他的文章的下落打听他的文章的下落,结果又如石沉大海结果又如石沉大海.现在学习的是第21页，共74页伽罗华他放弃了一切希望他放弃了一切希望,参加了国民卫队参加了国民卫队.在那里在那里和他在数学界一样运气不佳和他在数学界一样运气不佳.他刚加入不久他刚加入不久,卫队即遭控告阴谋造反而被解散卫队即遭控告阴谋造反而被解散.在在1831年年5月月10日进行的一次抗议聚宴上日进行的一次抗议聚宴上,伽罗伽罗华手中举着出鞘的刀提议为国王干杯华手中举着出鞘的刀提议为国王干杯,这一手这一手势被同伙们解释成是要

24、国王的命；第势被同伙们解释成是要国王的命；第2天他天他就被捕了就被捕了.后来被判无罪后来被判无罪,并于并于6月月15日获释日获释.现在学习的是第22页，共74页伽罗华7月月4日日,他终于打听到他给科学院的那篇论文的命他终于打听到他给科学院的那篇论文的命运运:因因“无法理解无法理解”而遭拒绝而遭拒绝.审稿人是著名的数学家泊松审稿人是著名的数学家泊松(Poisson)，正如当年高，正如当年高斯没能理解年轻的阿贝尔的思想一样，由于伽罗华斯没能理解年轻的阿贝尔的思想一样，由于伽罗华的理论太深刻以至于超出了他所在的那个时代，从的理论太深刻以至于超出了他所在的那个时代，从而他的论文也未被当代大师所领悟，结

25、果泊松的审而他的论文也未被当代大师所领悟，结果泊松的审查意见竟是查意见竟是“完全不能理解完全不能理解”，但是伽罗华的短暂，但是伽罗华的短暂生命使他已经没有时间再解释其深刻思想了生命使他已经没有时间再解释其深刻思想了.7月月14日他又遭逮捕并被判了六个月监禁日他又遭逮捕并被判了六个月监禁,因为他因为他在公共场所身着已被解散的国民卫队的制服在公共场所身着已被解散的国民卫队的制服.现在学习的是第23页，共74页伽罗华在获释不久在获释不久,他陷入了与斯特凡妮小姐的恋情他陷入了与斯特凡妮小姐的恋情.这导致了这导致了他的早亡他的早亡.这次恋爱事件不知何故引出了一场决斗这次恋爱事件不知何故引出了一场决斗.1

26、832年年年年5月月2929日日,决斗的前夜决斗的前夜,伽罗华写了封很长的信给他伽罗华写了封很长的信给他伽罗华写了封很长的信给他伽罗华写了封很长的信给他的朋友舍瓦利耶的朋友舍瓦利耶的朋友舍瓦利耶的朋友舍瓦利耶(A.Chevalier),(A.Chevalier),先大致描述了他的数学理先大致描述了他的数学理论论,从而给数学界留下了唯一一份重要手稿，奠定了近世代从而给数学界留下了唯一一份重要手稿，奠定了近世代从而给数学界留下了唯一一份重要手稿，奠定了近世代从而给数学界留下了唯一一份重要手稿，奠定了近世代数的理论基础，否则将使数学界乃至科学界蒙受重大损失。数的理论基础，否则将使数学界乃至科学界蒙受

27、重大损失。数的理论基础，否则将使数学界乃至科学界蒙受重大损失。数的理论基础，否则将使数学界乃至科学界蒙受重大损失。他对自己的研究成果不无自信地说他对自己的研究成果不无自信地说他对自己的研究成果不无自信地说他对自己的研究成果不无自信地说“你可以公开地请求雅可你可以公开地请求雅可你可以公开地请求雅可你可以公开地请求雅可比或高斯，请他们不是对这些东西的正确性，而是对它们的比或高斯，请他们不是对这些东西的正确性，而是对它们的比或高斯，请他们不是对这些东西的正确性，而是对它们的比或高斯，请他们不是对这些东西的正确性，而是对它们的重要性发表意见，我期待着一定会有人认识到，解开这个迷重要性发表意见，我期待着

28、一定会有人认识到，解开这个迷重要性发表意见，我期待着一定会有人认识到，解开这个迷重要性发表意见，我期待着一定会有人认识到，解开这个迷对他们是有益的对他们是有益的对他们是有益的对他们是有益的”。现在学习的是第24页，共74页伽罗华在第二天的决斗中在第二天的决斗中(离离25步远用手枪射击步远用手枪射击),伽罗伽罗华的胃部中弹华的胃部中弹,24小时后去世小时后去世.享年不足享年不足21岁岁.他的信后来发表在他的信后来发表在1832年年9月的月的“百科评论百科评论”上，上，但当时并未引起人们的重视。但当时并未引起人们的重视。14年后，法国数年后，法国数学家刘维尔从伽罗华的弟弟手中搜集到一些尚学家刘维尔

29、从伽罗华的弟弟手中搜集到一些尚未公开发表的手稿，并把它发表在自己创办的未公开发表的手稿，并把它发表在自己创办的数学杂志上，人们才开始对伽罗华的思想有所数学杂志上，人们才开始对伽罗华的思想有所理解。理解。伽罗华留给世界的最核心的概念是伽罗华留给世界的最核心的概念是(置换置换)群群,他他成了群论的创始人成了群论的创始人.现在学习的是第25页，共74页Born:25 Oct 1811 in Bourg La Reine (near Paris),FranceDied:31 May 1832 in Paris,France现在学习的是第26页，共74页环论环论起源于环论起源于19世纪关于实数域的扩张与

30、分类，以及戴德世纪关于实数域的扩张与分类，以及戴德金、哈密顿等人对超复数系的建立和研究。金、哈密顿等人对超复数系的建立和研究。环构造的研究可以说是从环构造的研究可以说是从1908年魏得邦的著名论文年魏得邦的著名论文有限有限维代数的构造维代数的构造开始的。开始的。20世纪二、三十年代，诺特世纪二、三十年代，诺特(Noether)在环中引入了左、右理想的概念建立了环的理在环中引入了左、右理想的概念建立了环的理想理论。想理论。二十世纪二十世纪40年代，环的根理论迅速发展，特别是雅各布森年代，环的根理论迅速发展，特别是雅各布森所创造的一般环的根的概念，建立了本原环的理论。所创造的一般环的根的概念，建立

31、了本原环的理论。20世纪世纪50年代，阿密苏和库洛什又创立了根的一般理论，环年代，阿密苏和库洛什又创立了根的一般理论，环论已趋完善。论已趋完善。现在学习的是第27页，共74页域 论域也是代数学中最基本的概念之一，有着悠久的域也是代数学中最基本的概念之一，有着悠久的历史。早在历史。早在19世纪初，伽罗华在研究方程的根世纪初，伽罗华在研究方程的根式解时就有了域的概念。后来在戴德金和克罗式解时就有了域的概念。后来在戴德金和克罗内克关于代数数的著作里，虽然也出现过域的内克关于代数数的著作里，虽然也出现过域的概念，不过那时还没有域的抽象概念。概念，不过那时还没有域的抽象概念。域的抽象概念始自韦伯，并在其

32、影响下，德国数学域的抽象概念始自韦伯，并在其影响下，德国数学家施泰尼茨（家施泰尼茨（E.Steinitz)对抽象域进行了系统的研对抽象域进行了系统的研究。究。1910年他发表了论文年他发表了论文域的代数理论域的代数理论，第，第一次对域的理论作了全面和系统地阐述，奠定了一次对域的理论作了全面和系统地阐述，奠定了域论的基础。域论的基础。现在学习的是第28页，共74页布尔代数18351835年，年，2020岁的乔治岁的乔治布尔开办了一所私人授课学校。为布尔开办了一所私人授课学校。为了给学生们开设必要的数学课程，他兴趣浓厚地读起了当了给学生们开设必要的数学课程，他兴趣浓厚地读起了当时一些介绍数学知识的

33、教科书。不久，他就感到惊讶，这时一些介绍数学知识的教科书。不久，他就感到惊讶，这些东西就是数学吗？实在令人难以置信。于是，这位只学些东西就是数学吗？实在令人难以置信。于是，这位只学过初级数学的青年自学了艰深的过初级数学的青年自学了艰深的天体力学天体力学和很抽象的和很抽象的分析力学分析力学。由于他对代数关系的对称和美有很强的。由于他对代数关系的对称和美有很强的感觉，在孤独的研究中，他首先发现了不变量，并把这一感觉，在孤独的研究中，他首先发现了不变量，并把这一成果写成论文发表。这篇高质量的论文发表后，布尔仍然成果写成论文发表。这篇高质量的论文发表后，布尔仍然留在小学教书留在小学教书,是他开始和许多

34、第一流的英国数学家交是他开始和许多第一流的英国数学家交往或通信，其中有数学家、逻辑学家德往或通信，其中有数学家、逻辑学家德摩根。摩根。现在学习的是第29页，共74页布尔代数摩根在摩根在1919世纪前半叶卷入了一场著名的争论，布尔知道世纪前半叶卷入了一场著名的争论，布尔知道摩根是对的，于是在摩根是对的，于是在18481848年出版了一本薄薄的小册子来为年出版了一本薄薄的小册子来为朋友辩护。这本书是他朋友辩护。这本书是他6 6年后更伟大的东西的预告，它一问年后更伟大的东西的预告，它一问世，立即激起了摩根的赞扬，肯定他开辟了新的、棘手的研世，立即激起了摩根的赞扬，肯定他开辟了新的、棘手的研究科目。布

35、尔此时已经在研究逻辑代数，即布尔代数。他把究科目。布尔此时已经在研究逻辑代数，即布尔代数。他把逻辑简化成极为容易和简单的一种代数。在这种代数中，适逻辑简化成极为容易和简单的一种代数。在这种代数中，适当的材料上的当的材料上的 推理推理，成了公式的初等运算的事情，这，成了公式的初等运算的事情，这些公式比过去在中学代数第二年级课程中所运用的大多些公式比过去在中学代数第二年级课程中所运用的大多数公式要简单得多。这样，就使逻辑本身受数学的支配。数公式要简单得多。这样，就使逻辑本身受数学的支配。为了使自己的研究工作趋于完善，布尔在此后为了使自己的研究工作趋于完善，布尔在此后6 6年的漫年的漫长时间里，又付

36、出了不同寻常的努力。长时间里，又付出了不同寻常的努力。现在学习的是第30页，共74页布尔代数18541854年，他发表了年，他发表了思维规律思维规律这部杰作，当时他已这部杰作，当时他已3939岁，布尔代数问世了，数学史上树起了一座新的里岁，布尔代数问世了，数学史上树起了一座新的里程碑。几乎像所有的新生事物一样，布尔代数发明后程碑。几乎像所有的新生事物一样，布尔代数发明后没有受到人们的重视。欧洲大陆著名的数学家蔑视地没有受到人们的重视。欧洲大陆著名的数学家蔑视地称它为没有数学意义的哲学上稀奇古怪的东西，他们称它为没有数学意义的哲学上稀奇古怪的东西，他们怀疑英伦岛国的数学家能在数学上做出独特贡献。

37、布怀疑英伦岛国的数学家能在数学上做出独特贡献。布尔在他的杰作出版后不久就去世了。尔在他的杰作出版后不久就去世了。2020世纪初，罗素世纪初，罗素在在数学原理数学原理中认为，中认为，纯数学是布尔在一部他称之纯数学是布尔在一部他称之为为思维规律思维规律的著作中发现的。的著作中发现的。此说一出，立刻引此说一出，立刻引起世人对布尔代数的注意。今天，布尔发明的逻辑代数已起世人对布尔代数的注意。今天，布尔发明的逻辑代数已经发展成为纯数学的一个主要分支。经发展成为纯数学的一个主要分支。现在学习的是第31页，共74页近世代数的应用近世代数的应用1项链问题：用项链问题：用n个颜色的珠子做成有个颜色的珠子做成有m

38、颗珠子的项颗珠子的项链，问可做成多少种不同类型的项链链，问可做成多少种不同类型的项链?2分子结构的计算问题：在化学上由某几种元素可合分子结构的计算问题：在化学上由某几种元素可合成多少种不同的物质问题，由此指导人们在自然界寻成多少种不同的物质问题，由此指导人们在自然界寻找或人工合成这些物质。找或人工合成这些物质。3正多面体着色问题：一个正多面体的顶点和面用正多面体着色问题：一个正多面体的顶点和面用n种种颜色着色，问有多少种不同的方法？颜色着色，问有多少种不同的方法？4图的构造与计算问题。图的构造与计算问题。现在学习的是第32页，共74页近世代数的应用5开关电路的构造与计算问题。开关电路的构造与计

39、算问题。6数字通讯的可靠性问题。数字通讯的可靠性问题。7几何做图问题。几何做图问题。8代数方程根求解问题。代数方程根求解问题。随着代数学的发展，象上面例子中的情况一样，引入了随着代数学的发展，象上面例子中的情况一样，引入了许多运算系统，开始是单个地、独立地研究各个具体的许多运算系统，开始是单个地、独立地研究各个具体的运算系统。逐渐地发现，很多运算系统有相同的运算性运算系统。逐渐地发现，很多运算系统有相同的运算性质。我们可以抽象出来进行讨论。抽象地讨论而得的结质。我们可以抽象出来进行讨论。抽象地讨论而得的结果适用于各个具体的运算系统。这种抽象出共同本质后果适用于各个具体的运算系统。这种抽象出共同

40、本质后进行统一处理的方法是事半功倍的，因而是代数学研究进行统一处理的方法是事半功倍的，因而是代数学研究以及数学研究中最常用的手段，代数学中抽象的代数运以及数学研究中最常用的手段，代数学中抽象的代数运算很多，但最基本的、最重要的就是群、环和域。算很多，但最基本的、最重要的就是群、环和域。现在学习的是第33页，共74页III.代数运算及性质代数运算及性质定义定义6.1.1设设S是一个非空集合，称是一个非空集合，称SS到到S的的一个映射一个映射f为为S的一个二元代数运算，即，对的一个二元代数运算，即，对于于S中任意两个元素中任意两个元素a，b，通过，通过f，唯一确定，唯一确定S中一个元素中一个元素c

41、：f（a，b）=c，常记为，常记为a*b=c。S fa ab bc cd d现在学习的是第34页，共74页代数运算是闭运算。代数运算是闭运算。该运算具有很强的抽象性，不限于该运算具有很强的抽象性，不限于+，-，*，/，意义很广泛。，意义很广泛。类似地，可定义类似地，可定义S的的n元代数运算：元代数运算：Sn到到S的映的映射。射。S S中元素任意性使中元素任意性使a a，b b可以是同一个元素。可以是同一个元素。现在学习的是第35页，共74页例 子例例6.1.1 自然数集自然数集N上的加法和乘法是上的加法和乘法是N上的二上的二元代数运算；减法和除法不是元代数运算；减法和除法不是N上的二元代数上的

42、二元代数运算，因为两个自然数相减或相除可能得到运算，因为两个自然数相减或相除可能得到的不是自然数。的不是自然数。此外。此外。0虽然是自然数，但虽然是自然数，但0不可以作除数。不可以作除数。例例6.1.2 普通的加法、减法与乘法是整数集普通的加法、减法与乘法是整数集Z，有理数集，有理数集Q，实数集，实数集R与复数集与复数集C上的二元上的二元代数运算，而除法不是这些集合上的二元代代数运算，而除法不是这些集合上的二元代数运算，为什么？数运算，为什么？现在学习的是第36页，共74页例 子例例6.1.3 非零实数集非零实数集R*上的乘法、除法是上的乘法、除法是R*上上的二元代数运算；加法和减法不是的二元

43、代数运算；加法和减法不是R*上的二上的二元代数运算，因为两个非零实数相加或相减元代数运算，因为两个非零实数相加或相减可能得出可能得出0 例例6.1.4 设设S是一个非空集合，是一个非空集合，（S）是是S的的幂集，则集合的交运算幂集，则集合的交运算、并运算、并运算是是（S）上的二元代数运算。）上的二元代数运算。现在学习的是第37页，共74页III代数运算及性质代数运算及性质定定义义6.1.2 设设*是是集集合合S上上的的二二元元代代数数运运算算，如如果对于果对于S中任意两个元素中任意两个元素a，b，等式，等式a*b=b*a都成立，则称运算都成立，则称运算“*”满足交换律。满足交换律。定定义义6.

44、1.3 设设*是是集集合合S上上的的二二元元代代数数运运算算，如如果果对于对于S中任意三个元素中任意三个元素a，b，c，等式，等式（a*b）*c=a*（b*c）都成立，则称运算都成立，则称运算*满足结合律。满足结合律。现在学习的是第38页，共74页代数运算及性质代数运算及性质定定义义6.1.4 设设*是是集集合合S上上的的二二元元代代数数运运算算，a是是S中的元素，如果中的元素，如果a*a=a则则称称a是是关关于于运运算算*的的幂幂等等元元。如如果果S中中每每个个元元素素都都是关于是关于*的幂等元，则称运算的幂等元，则称运算“*”满足等幂律。满足等幂律。定定义义6.1.5 设设*和和+是是集集

45、合合S上上的的两两个个二二元元代代数数运运算算，如如果果对对于于S中中任任意意三三个个元元素素a，b，c，等等式式a*（b+c）=（a*b）+（a*c），），（b+c）*a=（b*a）+（c*a）都成立，则称运算都成立，则称运算*对对+满足分配律。满足分配律。现在学习的是第39页，共74页代数运算及性质代数运算及性质定定义义6.1.6 设设*和和+是是集集合合S上上的的两两个个二二元元代代数数运运算算，如如果果对对于于S中中任任意意两两个个元元素素a，b，等等式式 a*（a+b）=a，a+（a*b）=a，都成立，则称运算都成立，则称运算*和和+满足吸收律满足吸收律。例例6.1.5 整整数数集集

46、Z上上的的加加法法、乘乘法法都都满满足足结结合合律律和和交交换换律律，乘乘法法对对加加法法满满足足分分配配律律，但但加加法法对对乘乘法法不不满满足足分分配配律律；减减法法不不满满足足结结合合律律，也也不不满满足足交交换换律律；它它们们都都不不满满足足等等幂幂律律，也也不不满满足足吸收律吸收律。现在学习的是第40页，共74页例 子例例6.1.6 n阶阶实实矩矩阵阵集集合合上上的的加加法法满满足足结结合合律律，也也满满足足交交换换律律；乘乘法法满满足足结结合合律律，但但不不满满足足交交换换律律；它它们们都都不不满满足足等等幂幂律律，也也不不满满足足吸吸收律。收律。例例6.1.7 设设S是是一一个个

47、非非空空集集合合，（S）是是S的的幂幂集集，则则（S）上上的的交交运运算算、并并运运算算都都满满足足结结合合律律，交交换换律律，对对、对对都都满满足足分分配配律律，它它们们都都满满足足等等幂幂律律，也也满满足足吸吸收收律。律。现在学习的是第41页，共74页补充定义补充定义定义定义6.1.7 设设*是集合是集合S上的二元代数运算，若存在上的二元代数运算，若存在el S（或（或er S)使得对使得对S中任意元素中任意元素a都有都有el*a=a(或或a*er=a)，则称，则称el（或（或er)是是S中关于中关于*运算的运算的左（或右）单位元。若左（或右）单位元。若e S关于关于*运算既为左单运算既为

48、左单位元又为右单位元，则称位元又为右单位元，则称e为为S中关于中关于*运算的运算的单位元。单位元。例例6.1.8 整数集合整数集合Z中关于加法的单位元是中关于加法的单位元是0，关，关于乘法的单位元是于乘法的单位元是1。现在学习的是第42页，共74页补充定义定义定义6.1.7设设*是集合是集合S上的二元代数运算，若存在上的二元代数运算，若存在 l S（或（或 r S)使得对使得对S中任意元素中任意元素a都有都有 l*a=l(或或a*r=r)，则称，则称 l（或（或 r)是是S中关于中关于*运算运算的左（或右）零元。若的左（或右）零元。若 S关于关于*运算既为左零运算既为左零元又为右零元，则称元又

49、为右零元，则称 为为S中关于中关于*运算的零元。运算的零元。例例6.1.9 n阶（阶（n 2)实数矩阵集合实数矩阵集合Mn（R)中关于中关于矩阵加法的单位元是矩阵加法的单位元是n阶全阶全0矩阵，没有零元，矩阵，没有零元，而关于矩阵乘法的单位元是而关于矩阵乘法的单位元是n阶单位矩阵，零元阶单位矩阵，零元是是n阶全阶全0矩阵。矩阵。现在学习的是第43页，共74页补充定义定义定义6.1.7 设设*是集合是集合S上的二元代数运算，上的二元代数运算，e S是是S中关于中关于*运算的单位元。运算的单位元。对于对于a S若存在若存在al S（或（或ar S)使得使得al*a=e(或或a*ar=e)，则称，则

50、称al（或（或ar)是是a关于关于*运算的左（或右）逆元。若运算的左（或右）逆元。若a-1 S既是既是a关于关于*运算的左逆元又为右逆元，则称运算的左逆元又为右逆元，则称a-1是是a关于关于*运算的逆元。运算的逆元。例例6.1.10 n阶（阶（n 2)实数矩阵集合实数矩阵集合Mn（R)中任何中任何矩阵矩阵M关于矩阵加法的逆元是关于矩阵加法的逆元是-M;而对于乘法只而对于乘法只有可逆矩阵有可逆矩阵M有逆元有逆元M-1。现在学习的是第44页，共74页代数运算及性质代数运算及性质可以证明集合可以证明集合S上关于二元运算上关于二元运算*的单位元，零元以及的单位元，零元以及若若*满足结合律则满足结合律则