第二章时频分析与连续小波变换课件.ppt

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1、第二章时频分析与连续小波变换第1页，此课件共134页哦时频联姻时频联姻(Time Meets Frequency)Time Meets Frequency)n傅里叶分析回顾傅里叶分析回顾n联合时频分析的基本原理联合时频分析的基本原理n短时傅里叶分析短时傅里叶分析:STFT:STFTn连续小波变换连续小波变换:CWT:CWT n时频分析的应用时频分析的应用n 瞬时频率瞬时频率n 基于短时傅里叶脊和小波脊的瞬时频率检测基于短时傅里叶脊和小波脊的瞬时频率检测n本章小结本章小结第2页，此课件共134页哦一、傅里叶分析回顾一、傅里叶分析回顾n概述概述n定义定义n性质性质n实现实现第3页，此课件共134页

2、哦n傅里叶分析可以分析信号中的傅里叶分析可以分析信号中的“频率成分频率成分”。n它是一个全局的分析。它是一个全局的分析。n它有很多好的性质：如其所选择的基本分析单元是它有很多好的性质：如其所选择的基本分析单元是LTILTI系统系统的特征函数，可将其方便地用于分析线性时不变系统的特征函数，可将其方便地用于分析线性时不变系统-利用傅里利用傅里叶分析可以将时域卷积运算转化成频域相乘运算。叶分析可以将时域卷积运算转化成频域相乘运算。n傅里叶分析数字实现时常常采用傅里叶分析数字实现时常常采用FFTFFT进行快速实现。进行快速实现。傅里叶分析概述傅里叶分析概述第4页，此课件共134页哦 傅里叶变换傅里叶变

3、换(分析分析)的定义的定义n根据信号的不同，傅里叶变换有四种定义：根据信号的不同，傅里叶变换有四种定义：nCTFT:CTFT:连续时间傅里叶变换连续时间傅里叶变换nCFS:CFS:连续时间傅里叶级数连续时间傅里叶级数nDTFTDTFT：离散时间傅里叶变换离散时间傅里叶变换nDFSDFS：离散时间傅里叶级数离散时间傅里叶级数第5页，此课件共134页哦nCTFT:CTFT:连续时间傅里叶变换连续时间傅里叶变换n适用信号适用信号:连续时间信号连续时间信号n变换公式变换公式:第6页，此课件共134页哦nCFS:连续时间傅里叶级数连续时间傅里叶级数n适用信号适用信号:连续时间周期信号连续时间周期信号n变

4、换公式变换公式:第7页，此课件共134页哦nDTFTDTFT：离散时间傅里叶变换离散时间傅里叶变换n适用信号适用信号:离散时间信号离散时间信号n变换公式变换公式:第8页，此课件共134页哦nDFS：离散时间傅里叶级数离散时间傅里叶级数n适用信号适用信号:离散时间周期信号离散时间周期信号n变换公式变换公式:第9页，此课件共134页哦四种傅里叶变换的关系四种傅里叶变换的关系:第10页，此课件共134页哦信号时域和频域特性之间关系：信号时域和频域特性之间关系：第11页，此课件共134页哦本课程中傅里叶变换的记号本课程中傅里叶变换的记号:第12页，此课件共134页哦连续时间傅里叶变换性质连续时间傅里叶

5、变换性质第13页，此课件共134页哦n从频率分析角度看：从频率分析角度看：傅里叶变换不能提供频率随时间局部变化的规律。傅里叶变换不能提供频率随时间局部变化的规律。n从信号从信号奇异性奇异性分析角度看分析角度看:n傅里叶变换不容易提供信号傅里叶变换不容易提供信号局部奇异性局部奇异性信息：信息：n不容易从傅里叶变换系数在高频的分布规律分析出原始信号在特定点上的不容易从傅里叶变换系数在高频的分布规律分析出原始信号在特定点上的奇异性（局部的变化）奇异性（局部的变化）.然而然而,小波变换可以做到这一点。小波变换可以做到这一点。n傅里叶变换在高频处的衰减性依赖于信号的整体傅里叶变换在高频处的衰减性依赖于信

6、号的整体奇异性奇异性。傅里叶变换的重要缺陷傅里叶变换的重要缺陷:难于获得信号的难于获得信号的“局部变化局部变化”规律规律第14页，此课件共134页哦傅里叶变换的衰减性与信号的傅里叶变换的衰减性与信号的全局全局正则性之间的关系：正则性之间的关系：第15页，此课件共134页哦n19651965年库利和图基提出年库利和图基提出FFTFFT算法算法nFFTFFT不是一种新的傅里叶变换不是一种新的傅里叶变换,它仅仅是计算它仅仅是计算DFSDFS的一种快速算法的一种快速算法.nFFTFFT的出现极大地促进了傅里叶变换在工程的出现极大地促进了傅里叶变换在工程中的应用中的应用.傅里叶变换的快速算法：傅里叶变换

7、的快速算法：FFT第16页，此课件共134页哦二、联合时频分析二、联合时频分析n联合时频分析引入的动机：联合时频分析引入的动机：n具有时变频率结构的信号在自然界中随处可见：具有时变频率结构的信号在自然界中随处可见：n语音语音/音频信号音频信号n颜色变化的光线颜色变化的光线n雷达信号雷达信号n地震信号地震信号n第17页，此课件共134页哦n1946年年,Dennis Gabor(1971年年Nobel奖获得者奖获得者):“迄今为止，通信理论的基础一直是信迄今为止，通信理论的基础一直是信号分析的两种方法组成的：一种将信号分析的两种方法组成的：一种将信号号描述成时间的函数，另一种将信号号描述成时间的

8、函数，另一种将信号描述成频率的函数（号描述成频率的函数（Fourier分析）。分析）。这两种方法都是理想化的这两种方法都是理想化的。然。然而，我们每一天的经历特别是我们而，我们每一天的经历特别是我们的听觉却一直是用时间和频率来描的听觉却一直是用时间和频率来描述的。述的。”第18页，此课件共134页哦n为了分析信号中时变的频率结构，需要引入为了分析信号中时变的频率结构，需要引入一些时频分析的新工具：短时傅里叶变换和一些时频分析的新工具：短时傅里叶变换和小波变换就是其中的代表。小波变换就是其中的代表。n短时傅里叶变换和小波变换的差别在于采用短时傅里叶变换和小波变换的差别在于采用了不同的时频原子了不

9、同的时频原子n不同时频原子具有不同的时频特性。不同时频原子具有不同的时频特性。第19页，此课件共134页哦时频原子时频原子n时频原子的基本概念时频原子的基本概念n线性时频变换的定义线性时频变换的定义n时频原子的时频局部化描述时频原子的时频局部化描述nHeisenbergHeisenberg测不准原理测不准原理n时频原子的时频结构时频原子的时频结构-Heisenberg-boxHeisenberg-boxn时频能量密度时频能量密度 第20页，此课件共134页哦时频原子基本概念时频原子基本概念n时频原子时频原子n具有时频局部化特性的基本信号分析单元具有时频局部化特性的基本信号分析单元n 短时傅里叶

10、时频原子短时傅里叶时频原子n n小波时频原子小波时频原子n 特点：都是由一个基本的单元信号经过变换得到；都是由一个基本的单元信号经过变换得到；短时傅里叶原子是通过平移和调制形成的；短时傅里叶原子是通过平移和调制形成的；小波原子是通过平移和伸缩得到的。小波原子是通过平移和伸缩得到的。第21页，此课件共134页哦线性时频变换线性时频变换：参数集：参数集第22页，此课件共134页哦线性时频变换的时频局部化线性时频变换的时频局部化n如果时频原子在时间上是集中于某个时刻点如果时频原子在时间上是集中于某个时刻点u u周围周围,根据根据(1)(1)式式,则则 仅与信号仅与信号f(t)f(t)在该邻域的值有关

11、。在该邻域的值有关。n如果时频原子在频率上是集中于某个频率点如果时频原子在频率上是集中于某个频率点 周围周围,根根据据(2)(2)式式,则则 仅与信号仅与信号f(t)f(t)的频谱在该邻域的值有关。的频谱在该邻域的值有关。第23页，此课件共134页哦如果所选择的时频原子的能量在时间上集中在某个时刻点如果所选择的时频原子的能量在时间上集中在某个时刻点,同时在频率上集中在某个频率点同时在频率上集中在某个频率点,则线性时频变换的结果则线性时频变换的结果必然精确反映原始信号在某个时刻点和某个频率点上的信必然精确反映原始信号在某个时刻点和某个频率点上的信息息-具有最高的时频分辨率。具有最高的时频分辨率。

12、问题问题:上述时频原子存在否上述时频原子存在否?“最高的时频分辨率最高的时频分辨率”第24页，此课件共134页哦n时频原子的分辨率受如下两个结论限制时频原子的分辨率受如下两个结论限制:nHeisenberg测不准原理测不准原理n不存在同时具有时限和频限的时频原子不存在同时具有时限和频限的时频原子第25页，此课件共134页哦设设 时频原子时频原子 的时频结构：时频局部化的定量描述的时频结构：时频局部化的定量描述第26页，此课件共134页哦nHeisenberg-box示例：示例：n 有关有关Heisenberg-box的几个值得注意的问题：的几个值得注意的问题：n根据测不准原理，根据测不准原理，

13、Heisenberg-box的面积至少要大于的面积至少要大于1/21/2；n在在Heisenberg-box所处位置以外的地方并不表示该时频原子就没有能量分布，所处位置以外的地方并不表示该时频原子就没有能量分布，Heisenberg-box只是代表了该时频原子的大部分能量集中的位置和区只是代表了该时频原子的大部分能量集中的位置和区域域。第27页，此课件共134页哦HeisenbergHeisenberg测不准原理结论测不准原理结论 第28页，此课件共134页哦第29页，此课件共134页哦n时频不可能同时有限长时频不可能同时有限长n 尽管有了尽管有了HeisenbergHeisenberg测不准

14、原理的限制测不准原理的限制,可能仍然有人认为存在可能仍然有人认为存在 某个信号在时间某个信号在时间-频率域上可以同时是有限长的频率域上可以同时是有限长的,但这个结论也是但这个结论也是 不成立的。不成立的。第30页，此课件共134页哦定理定理:时频不能同时有限长时频不能同时有限长第31页，此课件共134页哦时频能量密度时频能量密度它度量了信号的能量在以 为中心的时频邻域内的分布。第32页，此课件共134页哦n连续STFTn定义n短时傅里叶原子的时频结构n常用信号的连续STFTn连续STFT的反变换n连续STFT的性质n 能量守恒定理n 再生核方程n短时谱三、短时傅里叶变换三、短时傅里叶变换STF

15、T(Short Time Fourier Transform)第33页，此课件共134页哦连续连续STFT第34页，此课件共134页哦第35页，此课件共134页哦短时谱短时谱第36页，此课件共134页哦 短时傅里叶原子的时频结构短时傅里叶原子的时频结构:(为简化起见，设为简化起见，设g(t)g(t)为实偶信号为实偶信号)：第37页，此课件共134页哦n短时傅里叶原子的时频结构图示：短时傅里叶原子的时频结构图示：短时傅里叶原子的时频结短时傅里叶原子的时频结构在整个时频平面上构在整个时频平面上保持不变！保持不变！第38页，此课件共134页哦 常用信号的短时傅里叶变换常用信号的短时傅里叶变换n正弦信

16、号正弦信号 第39页，此课件共134页哦正弦信号短时谱对应的时频区域正弦信号短时谱对应的时频区域第40页，此课件共134页哦单位冲激信号单位冲激信号第41页，此课件共134页哦n线性调频信号线性调频信号 推导推导 在高斯窗在高斯窗 下短时傅里叶变换。下短时傅里叶变换。第42页，此课件共134页哦 STFT STFT反变换反变换-完备性完备性如果如果f(t)是能量有限信号，则：是能量有限信号，则：第43页，此课件共134页哦第44页，此课件共134页哦 STFT STFT性质性质n稳定性：稳定性：nParsevalParseval定理定理时频能量密度的体现时频能量密度的体现第45页，此课件共13

17、4页哦 STFT STFT的冗余性的冗余性:重建核方程重建核方程n n上面的性质表明:并不是所有的能量有限的二维信号都是某个一维能量有限信号的短时傅里叶变换!能量有限信号能量有限信号 能量有限二维信号能量有限二维信号STFT第46页，此课件共134页哦 模糊函数与重建核模糊函数与重建核 n模糊函数定义n模糊函数沿时间轴和频率轴的衰减性可以定义 信号的时频结构-比Heisenberg box更精确n模糊函数在雷达信号设计中具有重要用途 第47页，此课件共134页哦重建核和模糊函数的关系重建核和模糊函数的关系第48页，此课件共134页哦离散短时傅里叶变换离散短时傅里叶变换第49页，此课件共134页

18、哦连续小波变换连续小波变换n连续小波正变换连续小波正变换n连续小波反变换连续小波反变换n连续小波变换性质连续小波变换性质n 时移不变性时移不变性n 尺度变换性尺度变换性n 微分性微分性 n 再生核方程再生核方程n 能量守恒定理能量守恒定理n尺度谱尺度谱n小波原子的时频结构小波原子的时频结构 n解析小波及解析小波变换解析小波及解析小波变换n小波脊小波脊第50页，此课件共134页哦n连续小波变换的定义：连续小波变换的定义：Notes:第51页，此课件共134页哦(2)2)尺度因子尺度因子s s的作用是对母小波做伸缩，选择不同的的作用是对母小波做伸缩，选择不同的s s会改变波形的会改变波形的宽窄，但

19、不会改变波形的形状。尺度因子宽窄，但不会改变波形的形状。尺度因子s s越大，波形越宽，可以用越大，波形越宽，可以用于分析持续时间长的低频信号。于分析持续时间长的低频信号。第52页，此课件共134页哦第53页，此课件共134页哦(4)4)小波可以是实小波，实小波往往用来检测信号的奇小波可以是实小波，实小波往往用来检测信号的奇异性，如在图象处理中检测边缘的墨西哥草帽小波。异性，如在图象处理中检测边缘的墨西哥草帽小波。第54页，此课件共134页哦n墨西哥草帽小波的波形及其傅里叶变换：墨西哥草帽小波的波形及其傅里叶变换：第55页，此课件共134页哦基于墨西哥草帽小波的连续小波变换：基于墨西哥草帽小波的

20、连续小波变换：奇异性检测奇异性检测第56页，此课件共134页哦(5)小波也可以是复小波，并且一般采用复解析小波。小波也可以是复小波，并且一般采用复解析小波。采用复解析小波常用来做时频分析，如检测信号的采用复解析小波常用来做时频分析，如检测信号的瞬时频率。采用复解析小波进行的小波变换称为解瞬时频率。采用复解析小波进行的小波变换称为解析小波变换析小波变换(AWT:Analytic Wavelet Transform).第57页，此课件共134页哦（6 6）连续小波变换的滤波器解释）连续小波变换的滤波器解释:S变化时可以看成是带宽不断变化的一组带通滤波器。变化时可以看成是带宽不断变化的一组带通滤波器

21、。第58页，此课件共134页哦第59页，此课件共134页哦(7)连续的含义（三重连续）连续的含义（三重连续）：信号信号是连续的；是连续的；尺度因子尺度因子是连续的；是连续的；位移因子位移因子 是连续的。是连续的。(8)计算机实现连续小波变换时运算量很大计算机实现连续小波变换时运算量很大 用计算机处理时较慢用计算机处理时较慢,这往往限制了其在实时信号处理中的应用。这往往限制了其在实时信号处理中的应用。第60页，此课件共134页哦连续小波变换的计算连续小波变换的计算计算连续时间小波变换的计算连续时间小波变换的4 4个步骤：个步骤：1 1、选取一个小波，然后将其和待分析信号从起点开始、选取一个小波，

22、然后将其和待分析信号从起点开始 的一部分进行相乘积分。的一部分进行相乘积分。2 2、计算相关系数、计算相关系数c c。第61页，此课件共134页哦3 3、将小波向右移，重复、将小波向右移，重复1 1和和2 2的步骤直到分析完整个信号。的步骤直到分析完整个信号。4 4、将小波进行尺度伸缩后再重复、将小波进行尺度伸缩后再重复1 1，2 2，3 3步骤，直至完成所有尺度步骤，直至完成所有尺度的分析。的分析。第62页，此课件共134页哦连续小波变换的计算连续小波变换的计算n可以采用模拟器件来实现连续小波变换。可以采用模拟器件来实现连续小波变换。n连续小波变换的数值计算连续小波变换的数值计算n位移的离散

23、化：位移的离散化：在上式中令在上式中令:,:,则有则有:第63页，此课件共134页哦n在实际计算时在实际计算时,尺度参数尺度参数s s也要进行离散化也要进行离散化,常见离散化方法是令常见离散化方法是令:可以用FFT来计算。第64页，此课件共134页哦n连续小波反变换连续小波反变换-连续小波变换的完备性问题连续小波变换的完备性问题 第65页，此课件共134页哦第66页，此课件共134页哦n有关该定理的说明有关该定理的说明:n该定理的证明过程利用了傅里叶分析的结果。该定理的证明过程利用了傅里叶分析的结果。n 称为称为小波容许条件。小波容许条件。第67页，此课件共134页哦n在该定理证明过程中假设在

24、该定理证明过程中假设 是与频率是与频率 无关的有限值，要使该假设成立，必然要求小波具有零均无关的有限值，要使该假设成立，必然要求小波具有零均值。值。n如果如果 ，则容许条件成立。，则容许条件成立。第68页，此课件共134页哦n尺度函数第69页，此课件共134页哦n墨西哥草帽小波对应的尺度函数及其傅里叶变换：墨西哥草帽小波对应的尺度函数及其傅里叶变换：低通特性低通特性第70页，此课件共134页哦n含有尺度函数的连续小波变换重建公式：第71页，此课件共134页哦连续小波变换性质：连续小波变换性质：1 1、时移不变性：时移不变性：注意：注意：(1)(1)该性质在小波用于模式识别中的特征提取过程中该性

25、质在小波用于模式识别中的特征提取过程中 十分重要十分重要(2)(2)并不是所有小波变换都具有时移不变性并不是所有小波变换都具有时移不变性 DWT(DWT(离散小波变换离散小波变换)不具有时移不变性。不具有时移不变性。第72页，此课件共134页哦DWT(DWT(离散小波变换离散小波变换)不具有平移不变性不具有平移不变性(示例示例)：第73页，此课件共134页哦2 2、尺度变换性质、尺度变换性质该性质指出：当信号在时间轴作伸缩时，该性质指出：当信号在时间轴作伸缩时，其小波变换在时间轴和尺度轴上要作相其小波变换在时间轴和尺度轴上要作相同比例的伸缩，但小波变换的波形不变同比例的伸缩，但小波变换的波形不

26、变-小波被称为小波被称为“数学显微镜数学显微镜”得名的由来。得名的由来。第74页，此课件共134页哦3 3、微分性质、微分性质第75页，此课件共134页哦4 4、连续小波变换的重建核方程：冗余性、连续小波变换的重建核方程：冗余性说明：说明：(1)重建核方程表明连续小波变换具有冗余性重建核方程表明连续小波变换具有冗余性-某一点的小波变换某一点的小波变换值可以通过值可以通过 平面其余点上的小波变换值按重建核方程恢复。平面其余点上的小波变换值按重建核方程恢复。第76页，此课件共134页哦(2)(2)(3)(3)重建核方程表明：并不是任意的二维函数重建核方程表明：并不是任意的二维函数 都可以作为一个信

27、号的连续小波变换。都可以作为一个信号的连续小波变换。反映的是反映的是 的相关性。的相关性。当 时，此时u-s平面内各点的小波系数才互不相关，此时的小波变换没有冗余。此条件实际上表明不同尺度和位移处的小波是正交的。第77页，此课件共134页哦(5)(5)能量守恒定理：能量守恒定理：第78页，此课件共134页哦尺度谱和归一化尺度谱尺度谱和归一化尺度谱尺度谱和归一化尺度谱：描述信号能量在时间-尺度平面的分布。第79页，此课件共134页哦尺度谱的时间尺度谱的时间-尺度表示和时间尺度表示和时间-频率表示频率表示假定频率和尺度间满足如下关系：假定频率和尺度间满足如下关系：，其中，其中 是母小波的中心频率是

28、母小波的中心频率则：则：第80页，此课件共134页哦小波时频原子的时频结构小波时频原子的时频结构第81页，此课件共134页哦小波原子的时频结构小波原子的时频结构(续续)第82页，此课件共134页哦小波原子的时频结构小波原子的时频结构(续续)第83页，此课件共134页哦n在频域中有：小波原子的时频结构小波原子的时频结构(续续)第84页，此课件共134页哦对应的时频窗(Heisenberg-box)的特点：(1)用于确定时频窗的四个参数都与尺度参数s有关。(2)当s大于1且增大时，时频窗的时间长度增加 ，而时频窗的频率长度减少 (3)时频窗的面积为：时频窗面积与尺度和位移参数无关，但与选定的母小波

29、有关。小波原子的时频结构小波原子的时频结构(续续)第85页，此课件共134页哦(4)低频：时频窗时间宽度大，频率宽度小低频：时频窗时间宽度大，频率宽度小 高频：时频窗时间宽度小，频率宽度大高频：时频窗时间宽度小，频率宽度大第86页，此课件共134页哦解析小波和解析小波变换解析小波和解析小波变换n解析信号：解析信号：Analytic Signaln解析小波解析小波:Analytic Waveletsn解析小波变换解析小波变换:Analytic Wavelet Transforms第87页，此课件共134页哦n解析信号解析信号:n定义定义:一个信号是解析的是指其傅里叶变换的值在负频一个信号是解析的

30、是指其傅里叶变换的值在负频率处全部为零率处全部为零(没有负的频率成份没有负的频率成份)。n实信号实信号f(t)对应的解析信号对应的解析信号 的傅里叶变换为的傅里叶变换为:第88页，此课件共134页哦n解析小波解析小波n可以通过对一个实偶窗函数可以通过对一个实偶窗函数g(t)进行频率调制得到进行频率调制得到n 第89页，此课件共134页哦n解析小波变换解析小波变换(Analytic Wavelets)Analytic Wavelets)n采用解析小波进行的小波变换称为解析小波变换采用解析小波进行的小波变换称为解析小波变换:n采用解析小波变换主要是可以同时得到信号的瞬时幅频特性和采用解析小波变换主

31、要是可以同时得到信号的瞬时幅频特性和相频特性相频特性.第90页，此课件共134页哦n有关解析小波变换有如下结论有关解析小波变换有如下结论:n信号信号f(t)f(t)的解析小波变换可以由该信号的解析信的解析小波变换可以由该信号的解析信号对应的解析小波变换确定号对应的解析小波变换确定:第91页，此课件共134页哦利用解析小波变换计算实信号的解析信号利用解析小波变换计算实信号的解析信号n如果如果f(t)f(t)是实信号是实信号,并且并且 ,则有则有:n n 第92页，此课件共134页哦n常用信号的解析小波变换常用信号的解析小波变换(GaborGabor小波作为解析小波小波作为解析小波):):第93页

32、，此课件共134页哦n 第94页，此课件共134页哦时频分析应用时频分析应用:瞬瞬时频率检测时频率检测n 瞬时频率瞬时频率n解析信号可以分解成模和复相位的形式解析信号可以分解成模和复相位的形式:n 瞬时频率定义为复相位的导数瞬时频率定义为复相位的导数:n常用信号及其瞬时频率常用信号及其瞬时频率n单频正弦信号单频正弦信号第95页，此课件共134页哦常用信号及其瞬时频率常用信号及其瞬时频率(续续)多分量信号多分量信号:可见可见:含有多个频率分量的信号含有多个频率分量的信号(多分量信号多分量信号)的瞬时频率的瞬时频率 不能客观反映原始信号中的频率分布情况。不能客观反映原始信号中的频率分布情况。解决办

33、法解决办法:可以先通过短时傅里叶变换和小波变换分离不同频率成分可以先通过短时傅里叶变换和小波变换分离不同频率成分,然后再求瞬时频率。然后再求瞬时频率。第96页，此课件共134页哦n瞬时频率检测的两个应用瞬时频率检测的两个应用:n 通信中的频率调制通信中的频率调制:n 音频处理中的加性声音模型音频处理中的加性声音模型:变化缓慢第97页，此课件共134页哦基于短时傅里叶脊和小波脊的瞬时频率检测基于短时傅里叶脊和小波脊的瞬时频率检测n短时傅里叶脊短时傅里叶脊n小波脊小波脊第98页，此课件共134页哦短时傅里叶脊和小波脊用于瞬时频率检测理论基础：短时傅里叶脊和小波脊用于瞬时频率检测理论基础：第99页，

34、此课件共134页哦第100页，此课件共134页哦证明证明:第101页，此课件共134页哦第102页，此课件共134页哦第103页，此课件共134页哦第104页，此课件共134页哦第105页，此课件共134页哦第106页，此课件共134页哦第107页，此课件共134页哦短时傅里叶脊短时傅里叶脊：STFT Ridgesn根据上述的理论，再做如下的假设：第108页，此课件共134页哦第109页，此课件共134页哦多分量信号的短时傅里叶脊（多分量信号的短时傅里叶脊（STFT RidgesSTFT Ridges）第110页，此课件共134页哦短时傅里叶脊用于瞬时频率检测中窗长的选择短时傅里叶脊用于瞬时频

35、率检测中窗长的选择:n 第111页，此课件共134页哦窗长选择示例：窗长选择示例：第112页，此课件共134页哦n短时傅里叶脊是短时谱的局部极大值点。短时傅里叶脊是短时谱的局部极大值点。n短时傅里叶脊在变换允许的时频分辨率范围内可以描述短时傅里叶脊在变换允许的时频分辨率范围内可以描述信号的瞬时频率。信号的瞬时频率。n变换允许的分辨率由变换允许的分辨率由HeisenbergHeisenberg盒描述。盒描述。n对多分量信号对多分量信号,如果要用短时傅里叶脊来检测这两个信号的如果要用短时傅里叶脊来检测这两个信号的瞬时频率，则需满足如下条件：瞬时频率，则需满足如下条件：短时傅里叶脊：短时傅里叶脊：S

36、TFT RidgesSTFT Ridges第113页，此课件共134页哦小波脊：小波脊：Wavelet Ridgesn小波时频原子（三参数小波小波时频原子（三参数小波）：）：第114页，此课件共134页哦n解析小波变换：解析小波变换：第115页，此课件共134页哦第116页，此课件共134页哦n小波脊小波脊:归一化尺度谱的极值点归一化尺度谱的极值点第117页，此课件共134页哦第118页，此课件共134页哦小波脊：小波脊：Wavelet ridgesn小波脊是归一化尺度谱的极大值点。小波脊是归一化尺度谱的极大值点。n小波脊在变换允许的时频分辨率下可以描述信号的瞬时频率。小波脊在变换允许的时频分

37、辨率下可以描述信号的瞬时频率。n变换允许的时频分辨率由变换允许的时频分辨率由Heisenberg-box来描述。来描述。n 第119页，此课件共134页哦 (a)a)尺度谱尺度谱 (b)b)小波脊小波脊 (c)c)短时谱短时谱 (d)d)短时脊短时脊原因原因:高频高频时时CWT的频的频率分辨率过率分辨率过低低第120页，此课件共134页哦 (a)a)尺度谱尺度谱 (b)b)小波脊小波脊 (c)c)短时谱短时谱 (d)d)短时脊短时脊原因原因:高频时高频时STFT的时间的时间分辨率过低分辨率过低第121页，此课件共134页哦附录：常见小波介绍附录：常见小波介绍n可以通过可以通过Matlab命令命

38、令Waveinfo了解常见小波的信息了解常见小波的信息n可以通过可以通过Wavefun画出小波的波形画出小波的波形第122页，此课件共134页哦1.Crude wavelets(原始小波原始小波)nWavelets:高斯小波、高斯小波、Morlet小波小波n特性特性:仅满足小波的最低要求仅满足小波的最低要求 n -不能构成正交函数集合不能构成正交函数集合n -小波函数不是紧支撑的小波函数不是紧支撑的n -不一定能保证稳定重建不一定能保证稳定重建.n可能的分析方法可能的分析方法:n -连续分解连续分解n主要的好性质主要的好性质:对称性对称性,小波函数具有显式的表达式小波函数具有显式的表达式.n主

39、要问题主要问题:不存在快速算法不存在快速算法,精确重建不可能精确重建不可能.第123页，此课件共134页哦 Wavelets:meyer(meyr).特性特性:-尺度函数存在尺度函数存在,可以进行正交分析可以进行正交分析.-尺度函数和小波函数是无限可微分的尺度函数和小波函数是无限可微分的.-尺度函数和小波函数都不是有限支撑的尺度函数和小波函数都不是有限支撑的 可能的分析方法可能的分析方法:n -可以进行连续小波变换可以进行连续小波变换.n -可以进行离散变换可以进行离散变换,但滤波器无限长但滤波器无限长.主要的好性质主要的好性质:对称性对称性,无限正则性无限正则性.主要问题主要问题:不存在快速

40、算法不存在快速算法.Wavelets:离散的离散的Meyer wavelet(dmey).特性特性:-用用FIR 滤波器来近似滤波器来近似 Meyer wavelet 可能的分析方法可能的分析方法:-连续小波变换连续小波变换.-离散小波变换离散小波变换.2.Infinitely regular wavelets(无限正则的小波无限正则的小波)第124页，此课件共134页哦3.Orthogonal and compactly supported wavelets(正交正交紧支撑小波紧支撑小波)Wavelets:Daubechies(dbN),symlets(symN),coiflets(coif

41、N).常见特性常见特性:-尺度函数存在尺度函数存在,可以进行正交分析可以进行正交分析.-尺度函数和小波函数是有限长的尺度函数和小波函数是有限长的.-小波函数具有一定的消失矩小波函数具有一定的消失矩.可能的分析方法可能的分析方法:-可以进行连续变换可以进行连续变换.-可以采用可以采用FWTFWT进行离散小波变换进行离散小波变换.主要的好的性质主要的好的性质:紧支撑紧支撑,具有消失矩具有消失矩,可以用可以用FIRFIR滤波器进行快速实现滤波器进行快速实现.主要的问题主要的问题:差的正则性差的正则性.特别的特性特别的特性:For dbN :asymmetry(不对称不对称)For symN:near

42、 symmetry(近似对称近似对称)For coifN:near symmetry and phi as psi,has also vanishing moments(近似对称近似对称,但尺度函但尺度函数也具有消失矩数也具有消失矩).).第125页，此课件共134页哦 Wavelets:B-splines biorthogonal wavelets(biorNr.Nd and rbioNr.Nd).特性特性:尺度函数存在尺度函数存在,可以进行双正交分析可以进行双正交分析.n分解的尺度函数和小波函数分解的尺度函数和小波函数,重构的尺度函数和小波函数都是有限长的重构的尺度函数和小波函数都是有限长

43、的.n分解的尺度函数和小波函数都具有消失矩分解的尺度函数和小波函数都具有消失矩.n重建的小波函数和尺度函数都具有正则性重建的小波函数和尺度函数都具有正则性.可能的分析方法可能的分析方法:n连续小波变换连续小波变换.n采用采用FWTFWT进行离散小波变换进行离散小波变换.主要好性质主要好性质:FIR filters是对称的是对称的,分解和重构所需要的特性可以分离分解和重构所需要的特性可以分离.主要问题主要问题:不具有正交性不具有正交性.4.Biorthogonal and compactly supported wavelet pairs(双正交紧支撑小波双正交紧支撑小波)第126页，此课件共1

44、34页哦Wavelets:Complex Gaussian wavelets(cgauN),complex Morlet wavelets(cmorFb-Fc),complex Shannon wavelets(shanFb-Fc),complex frequency B-spline wavelets(fbspM-Fb-Fc).特性特性:只具有最小的特性只具有最小的特性 n -尺度函数不存在尺度函数不存在.n -不能进行正交分析不能进行正交分析.n -小波函数不是紧支撑的小波函数不是紧支撑的.n -不能保证精确重建不能保证精确重建.可能的分析可能的分析:n -复的连续分解复的连续分解.主要的

45、好的特性主要的好的特性:对称性对称性,小波函数具有显式的表达式小波函数具有显式的表达式.主要问题主要问题:不存在快速算法和精确重构不存在快速算法和精确重构.5.Complex wavelets(复小波复小波)第127页，此课件共134页哦n haar :Haar wavelet.n db :Daubechies wavelets.n sym :Symlets.n coif :Coiflets.n bior :Biorthogonal wavelets.n rbio :Reverse biorthogonal wavelets.n meyr :Meyer wavelet.n dmey :Disc

46、rete Meyer wavelet.n gaus :Gaussian wavelets.n mexh :Mexican hat wavelet.n morl :Morlet wavelet.n cgau :Complex Gaussian wavelets.n cmor :Complex Morlet wavelets.n shan :Complex Shannon wavelets.n fbsp :Complex Frequency B-spline wavelets.MatLab介绍的有关小波信息介绍的有关小波信息第128页，此课件共134页哦Haar小波小波:General chara

47、cteristics:Compactly supported wavelet,the oldest and the simplest wavelet.scaling function phi=1 on 0 1 and 0 otherwise.wavelet function psi=1 on 0 0.5,=-1 on 0.5 1 and 0 otherwise.Family Haar Short name haar Examples haar is the same as db1 Orthogonal yes Biorthogonal yesCompact support yesDWT pos

48、sible CWT possible Support width 1 Filters length 2Regularity haar is not continuous Symmetry yes Number of vanishing moments for psi 1第129页，此课件共134页哦db小波小波:Daubechies Wavelets General characteristics:Compactly supported wavelets with extremal phase and highest number of vanishing moments for a give

49、n support width.Associated scaling filters are minimum-phase filters.Family Daubechies Short name db Order N N strictly positive integerExamples db1 or haar,db4,db15 Orthogonal yesBiorthogonal yes Compact support yesDWT possibleCWT possible Support width 2N-1 Filters length 2N Regularity about 0.2 N

50、 for large N Symmetry far from Number of vanishing moments for psi N第130页，此课件共134页哦不同阶次的不同阶次的Daubechies小波波形：小波波形：第131页，此课件共134页哦Meyer小波小波General characteristics:Infinitely regular orthogonal wavelet.Family Meyer Short name meyr Orthogonal yesBiorthogonal yes Compact support no DWT possible but witho