第二次型及其标准形课件.ppt

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1、第二次型及其标准形第二次型及其标准形第1页，此课件共40页哦6.1 二次型及其二次型及其矩阵表示矩阵表示引言引言判别下面方程的几何图形是什么？判别下面方程的几何图形是什么？作旋转变换作旋转变换代入代入(1)左边，化为：左边，化为：见下图见下图第2页，此课件共40页哦第3页，此课件共40页哦称为称为n维维(或或n元元)的的二次型二次型.定义定义 含有含有n个变量个变量 的二次齐次函数的二次齐次函数关于二次型的讨论永远关于二次型的讨论永远约定约定约定约定在实数范围内进行！在实数范围内进行！第4页，此课件共40页哦例如：例如：都是二次型。都是二次型。不是二次型。不是二次型。只含有平方项只含有平方项的

2、二次型的二次型称为称为二次型的标准形二次型的标准形。为二次型的标准形。为二次型的标准形。第5页，此课件共40页哦取取则则则（则（1）式可以表示为）式可以表示为二次型用和号表示二次型用和号表示第6页，此课件共40页哦第7页，此课件共40页哦令令则则其中其中 为对称为对称矩阵。矩阵。二次型的矩阵表示（重点）二次型的矩阵表示（重点）注注1、对称矩阵、对称矩阵A的写法：的写法：A一定是一定是方阵方阵。2、其对角线上的元素、其对角线上的元素恰好是恰好是的系数。的系数。3、的系数的一半分给的系数的一半分给可保证可保证第8页，此课件共40页哦例如例如：二次型：二次型注：二次型注：二次型 对称矩阵对称矩阵把对

3、称矩阵把对称矩阵 称为称为二次型二次型 的矩阵的矩阵也把二次型也把二次型 称为对称矩阵称为对称矩阵 的二次型的二次型对称矩阵对称矩阵 的秩称为的秩称为二次型二次型 的秩的秩二次型二次型定义定义2：第9页，此课件共40页哦例例1写出下面二次型写出下面二次型 f 的矩阵表示，并求的矩阵表示，并求 f 的秩的秩r(f)。解解问问：在二次型在二次型 中中,如不限制如不限制 A对称对称,A唯一吗唯一吗?第10页，此课件共40页哦定义定义只含平方项的二次型只含平方项的二次型称为二次型的称为二次型的标准形标准形(或法式或法式)。平方项系数只在平方项系数只在 中取值的标准形中取值的标准形 (注注注注：这里规范

4、形要求系数为：这里规范形要求系数为1的项排的项排在前面，其次排系数为在前面，其次排系数为-1的项。与书上略有不同。的项。与书上略有不同。)称为二次型的称为二次型的规范形规范形。第11页，此课件共40页哦对给定的二次型对给定的二次型找可逆的线性变换找可逆的线性变换(坐标变换坐标变换)：代入代入(1)式，使之成为标准形式，使之成为标准形称上面过程为称上面过程为化二次型为标准形化二次型为标准形。第12页，此课件共40页哦第六章第六章二次型及其标准型二次型及其标准型 6.3 6.3 正定二次型与正定矩阵正定二次型与正定矩阵正定二次型与正定矩阵正定二次型与正定矩阵6.2 6.2 化二次型为标准型化二次型

5、为标准型化二次型为标准型化二次型为标准型6.1 6.1 二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示第13页，此课件共40页哦简记简记设设若若一、一、非退化线性变换（可逆线性变换）非退化线性变换（可逆线性变换）为为可逆线性变换。可逆线性变换。当当C 是可逆矩阵时是可逆矩阵时,称称第14页，此课件共40页哦对于二次型，我们讨论的主要问题是：对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求寻求可逆的可逆的线性变换，使二次型只含平方项。线性变换，使二次型只含平方项。即二次型即二次型经过可逆线性变换经过可逆线性变换使得使得即经过可逆线性变换即经过可逆线性变换可化为可化为第15页，此课

6、件共40页哦矩阵的合同：矩阵的合同：证明证明定理定理 设设A为对称矩阵，且为对称矩阵，且A与与B合同，则合同，则注：合同仍然是一种等价关系注：合同仍然是一种等价关系矩阵合同的性质：矩阵合同的性质：(1)反身性反身性(2)对称性对称性(3)传递性传递性记作记作第16页，此课件共40页哦二二.化二次型为标准形化二次型为标准形1.正交变换法正交变换法（重点）（重点）2.配方法配方法目标：目标：问题转化为：问题转化为：第17页，此课件共40页哦结论：结论：此结论用于二次型此结论用于二次型所以，所以，第18页，此课件共40页哦主轴定理主轴定理(P191 定理定理6.2.1)第19页，此课件共40页哦例例

7、1 1 用正交变换化二次型为标准型，并求出所用的正交变换。用正交变换化二次型为标准型，并求出所用的正交变换。解解（1 1）写出二次型）写出二次型 f 的矩阵的矩阵(2)(2)求出求出A的全部特征值及其对应的标准正交的特征向量的全部特征值及其对应的标准正交的特征向量第20页，此课件共40页哦而它们所对应的标准正交的特征向量为而它们所对应的标准正交的特征向量为(3)(3)写出正交变换写出正交变换取正交矩阵取正交矩阵则得所欲求的正交变换则得所欲求的正交变换即即第21页，此课件共40页哦（4 4）写出写出的标准型。的标准型。经上述正交变换经上述正交变换后所得二次型的标准型后所得二次型的标准型注：正交变

8、换化为标准形的优点：注：正交变换化为标准形的优点：在几何中，可以保持曲线在几何中，可以保持曲线（曲面）的几何形状不变。（曲面）的几何形状不变。第22页，此课件共40页哦例例2设二次型设二次型经正交变换经正交变换 化为标准形化为标准形求求(1)a,b;(2)正交变换矩阵正交变换矩阵 Q.解解解解二次型的矩阵为二次型的矩阵为由题意由题意由相似矩阵的性质得由相似矩阵的性质得 ，从而，从而第23页，此课件共40页哦解得解得A与与D有相同的特征值，分别为有相同的特征值，分别为求得它们对应的特征向量求得它们对应的特征向量(正交正交)为为再单位化并排成矩阵即得所求的正交变换矩阵再单位化并排成矩阵即得所求的正

9、交变换矩阵第24页，此课件共40页哦2.配方法配方法 同时含有平方项同时含有平方项与交叉项与交叉项的情形。的情形。例例例例2 2 2 2 用配方法将下列二次型经可逆线性变换化为标准形。用配方法将下列二次型经可逆线性变换化为标准形。解：解：第25页，此课件共40页哦令令二次型的标准形为二次型的标准形为所求的可逆线性变换为所求的可逆线性变换为所求的可逆线性变换为所求的可逆线性变换为即即第26页，此课件共40页哦为标准形为标准形,并求出所作的可逆线性变换并求出所作的可逆线性变换.例例3 3 用配方法化二次型用配方法化二次型解解 令令 只含交叉项只含交叉项的情形。的情形。第27页，此课件共40页哦即即

10、令令则二次型的标准形为则二次型的标准形为则二次型的标准形为则二次型的标准形为第28页，此课件共40页哦所用的可逆线性变换为所用的可逆线性变换为第29页，此课件共40页哦第六章第六章二次型及其标准型二次型及其标准型 6.3 6.3 正定二次型与正定矩阵正定二次型与正定矩阵正定二次型与正定矩阵正定二次型与正定矩阵6.2 6.2 化二次型为标准型化二次型为标准型化二次型为标准型化二次型为标准型6.1 6.1 二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示第30页，此课件共40页哦定理定理定理定理 二次型必可化为规范形。二次型必可化为规范形。证证 设二次型设二次型 f(x)=

11、xTAx(r(A)=r)经正交变换化为经正交变换化为:再做一次可逆的线性变换再做一次可逆的线性变换则则 f 化为化为第31页，此课件共40页哦思考并回答思考并回答(1)二次型的标准形唯一吗？二次型的标准形唯一吗？(2)二次型的标准形中平方项的个数与二次型的秩有何二次型的标准形中平方项的个数与二次型的秩有何关系？与二次型矩阵的非零特征值的个数有何关系？关系？与二次型矩阵的非零特征值的个数有何关系？(3)设设CTAC=D(C可逆，可逆，D是对角阵是对角阵)，D的对角元是的对角元是A的特征值吗？如果的特征值吗？如果C是正交矩阵又如何？是正交矩阵又如何？(4)设设4阶对称矩阵阶对称矩阵A的特征值为的特

12、征值为0,2,2,-3,A的二次型的二次型的规范形是什么？的规范形是什么？第32页，此课件共40页哦惯性定理惯性定理(P196 定理定理6.3.1)在二次型的标准形中，正项个数与负项个数在二次型的标准形中，正项个数与负项个数在二次型的标准形中，正项个数与负项个数在二次型的标准形中，正项个数与负项个数保持不变。或者说二次型的规范形是唯一的。保持不变。或者说二次型的规范形是唯一的。保持不变。或者说二次型的规范形是唯一的。保持不变。或者说二次型的规范形是唯一的。二次型的标准形中正项个数称为二次型的二次型的标准形中正项个数称为二次型的正惯性指数正惯性指数,负项个数称为二次型的负项个数称为二次型的负惯性

13、指数负惯性指数.设二次型设二次型 f 的秩为的秩为 r,正惯性指数为正惯性指数为 p,则则负惯性指为负惯性指为 r p.f 的规范形为的规范形为第33页，此课件共40页哦 如果如果 n 维的二次型维的二次型 f(x)=xTAx 其标准形系数全为正，则称之其标准形系数全为正，则称之为为正定二次型正定二次型，二次型的矩阵，二次型的矩阵 A 称为称为正定矩阵正定矩阵；如果标准形中系；如果标准形中系数全为负，则称之为数全为负，则称之为负定二次型负定二次型，二次型的矩阵称为，二次型的矩阵称为负定矩阵负定矩阵。定义定义化标准形化标准形化规范形化规范形正定二次型为正定二次型为 正定矩阵就是特征值全大于零的对

14、称矩阵，也是与单位矩阵合同的正定矩阵就是特征值全大于零的对称矩阵，也是与单位矩阵合同的正定矩阵就是特征值全大于零的对称矩阵，也是与单位矩阵合同的正定矩阵就是特征值全大于零的对称矩阵，也是与单位矩阵合同的对称矩阵。对称矩阵。对称矩阵。对称矩阵。显然，如果显然，如果 f 负定，则负定，则 f 正定，以后只需讨论正定二次型正定，以后只需讨论正定二次型(正定正定矩阵矩阵)。第34页，此课件共40页哦定理定理 二次型二次型二次型二次型 f f(x x)=)=x xT TAxAx 正定的充要条件是对任意正定的充要条件是对任意正定的充要条件是对任意正定的充要条件是对任意x x00，都有，都有，都有，都有 f

15、 f(x x)=)=x xT TAxAx 0 0.(注：书上以后者为定义注：书上以后者为定义)第35页，此课件共40页哦定理定理(霍尔维茨定理霍尔维茨定理)对称矩阵对称矩阵A为正定的充要条件是：为正定的充要条件是：A的各阶主子式的各阶主子式全为正，即全为正，即第36页，此课件共40页哦判别二次型判别二次型是否正定是否正定.它的各阶顺序主子式它的各阶顺序主子式故上述二次型是正定的故上述二次型是正定的.例例1f 的矩阵为的矩阵为解解作业作业P194:2(1)(2)P199:1(1)(2);3第37页，此课件共40页哦例例2解解判别二次型判别二次型是否正定是否正定.二次型的矩阵为二次型的矩阵为即知即知A是正定矩阵，故此二次型为正定二次型是正定矩阵，故此二次型为正定二次型.求得其特征值求得其特征值第38页，此课件共40页哦判别二次型判别二次型的正定性的正定性.例例3解解二次型的矩阵二次型的矩阵它的各阶顺序主子式它的各阶顺序主子式A是负定矩阵，二次型是负定二次型。是负定矩阵，二次型是负定二次型。或者，判别或者，判别 为正定为正定.第39页，此课件共40页哦例例4与矩阵与矩阵 合同的矩阵是合同的矩阵是()A特征值是两正一负。特征值是两正一负。第40页，此课件共40页哦