高中数学新课程创新教学设计案例--平面向量的数量积9373.docx

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1、40 平面向量的数量积教材分析两个向量的数量积是中学代数以往内容中从未遇到过的一种新的乘法，它区别于数的乘法这篇案例从学生熟知的功的概念出发，引出平面向量数量积的概念和性质及其几何意义，介绍向量数量积的运算律及坐标表示向量的数量积把向量的长度和三角函数联系在一起，这为解决三角形的有关问题提供了方便，特别是能有效解决线段的垂直等问题这节内容是整个向量部分的重要内容之一，对它的理解与掌握将直接影响向量其他内容的学习这节内容的教学难点是对平面向量数量积的定义及运算律的理解和对平面向量数量积的应用教学目标1. 理解解并掌握握平面向向量的数数量积、几几何意义义和数量量积的坐坐标表示示，会初初步使用用平面

2、向向量的数数量积来来处理有有关长度度、角度度和垂直直的问题题，掌握握向量垂垂直的条条件2. 通过过对数量量积的引引入和应应用，初初步体会会知识发发生、发发展的过过程和运运用过程程，培养养学生的的科学思思维习惯惯任务分析两个向量的的数量积积从形式式和实质质上都与与数的乘乘法有区区别，这这就给理理解和掌掌握这个个概念带带来了一一些困难难在学学习时，要要充分让让学生理理解、明明白两个个向量的的数量积积是一个个数量，而而不是向向量两两个向量量的数量量积的值值是这两两个向量量的模与与两个向向量夹角角余弦的的乘积，其其符号由由夹角余余弦值的的正负而而确定两向量的数数量积“aab”不不同于两两实数之之积“a

3、ab”通过实例理理解abbbc与与acc的关系系，ab00与a0或bb0的的关系，以以及（aab）cca（bbc）与与（abb）ca（bbc）的的不同教学设计一、问题情情景如图40-1所示示，一个个力f作作用于一一个物体体，使该该物体发发生了位位移s，如如何计算算这个力力所做的的功由由于图示示的力ff的方向向与前进进方向有有一个夹夹角，真真正使物物体前进进的力是是f在物物体前进进方向上上的分力力，这个个分力与与物体位位移的乘乘积才是是力f做做的功即力ff使物体体位移xx所做的的功W可可用下式式计算Wsfcoss其中fcoss就是是f在物物体前进进方向上上的分量量，也就就是力ff在物体体前进方方

4、向上正正射影的的数量问题：像功功这样的的数量值值，它由由力和位位移两个个向量来来确定我们能能否从中中得到启启发，把把“功”看看成这两两个向量量的一种种运算的的结果呢呢？二、建立模模型1. 引导导学生从从“功”的的模型中中得到如如下概念念：已知两个非非零向量量a与bb，把数数量aabbcoos叫叫a与bb的数量量积（内内积），记记作ababccos其中中是aa与b夹夹角，accos（bbcoos）叫叫a在bb方向上上（b在在a方向向上）的的投影规定0与任任一向量量的数量量积为由上述定义义可知，两两个向量量与的数量量积是一一个实数数说明：向量量a与bb的夹角角是指指把a，bb起点平平移到一一起所成

5、成的夹角角，其中中0当时，称称a和bb垂直，记记作ab为方方便起见见，a与与b的夹夹角记作作a，bb2. 引导导学生思思考讨论论根据向量数数量积的的定义，可可以得出出（1）设ee是单位位向量，aaeacossa，ee（2）设aab是是非零向向量，则则ababb0（3）aaa22，于是是a.（4）coosaa，b.（5）aabaabb（这这与实数数abbab不不同）三、解释应应用例题已知a5，b4，a，bb1120，求aab解：abbaabbcoosaa，b54ccos1120110练习1. 已知知a3，在上上的投影影为22，求：（1）aa（2）aa在b上上的投影影2. 已知知：在ABCC中，a

6、a5，bb8，cc600，求求四、建立向向量数量量积的运运算律1. 出示示问题：从数学学的角度度考虑，我我们希望望向量的的数量积积运算，也也能像数数量乘法法那样满满足某些些运算律律，这样样数量积积运算才才更富有有意义回忆实实数的运运算律，你你能类比比和归纳纳出向量量数量积积的一些些运算律律吗？它它们成立立吗？为为什么？2. 运算算律及其其推导已知：向量量a，bb，c和和R，则（1）abbba（交交换律）证明：左abcoss右右（2）（a）b（ab）a（b）（数数乘结合合律）证明：设aa，b夹夹角为，当0时时，aa与b的的夹角为为，（a）b（a）bcossabcoss（ab）；当0时时，aa与b

7、的的夹角为为（），（a）babcoss（）ab（coss）aabbcoos（aab）；当0时时，（a）b00b0（ab）总之，（a）b（ab）；同理a（b）（aab）（3）（aab）caacbcc（乘法法对加法法的分配配律）证明：如图图40-2，任任取一点点O，作作a，cab（即即）在cc方向上上的投影影等于aa，b在在c方向向上的投投影的和和，即abcossaccos1bbcoos22，cabbcoosc（aacoos11bbcoos22）caacoos11ccbbcoos22caccb，（abb）ccacbbc思考：（11）向量量的数量量积满足足结合律律，即（aab）cca（bbc）吗吗？

8、（2）向量量的数量量积满足足消去律律，即如如果abccb，那那么ac吗？五、应用与与深化例题1. 对实实数a，bb，有（aab）2a22abb2，（ab）（ab）a2b2类似地，对任意向量a，b，也有类似结论吗？为什么？解：类比完完全平方方和公式式与平方方差公式式，有（ab）2a22abb2，（ab）（ab）a2b2其证明是：（ab）22（aab）（ab）aaaabbaabba22aabb2，（ab）（ab）aaaabbbabbba2b22有类似结结论2. 已知知a6，b4，a，bb660，求求（a2b）（a3b）解：（a2b）（a3b）a23aab2ba66b2a2abcoss606b227

9、723. 已知知a3，b4，且且a与bb不共线线当kk为何值值时，（aakbb）（akb）？解：（akb）（akb），即（akb）（akb）0，即a2k2b20，即9k2160，k因此，当kk时时，有（aakbb）（akb）4. 已知知：正方方形ABBCD的的边长为为1，并并且aa，bb，cc，求abbc解法1：abc2，abbc22解法2：abbc2（aabc）22a2b2c22aab2ac22bcc11222111coos900221 218，abcc22练习1. aa44，bb33，（22a33b）（2aab）61，求求a与bb的夹角角2. 在边边长为22的正三三角形AABC中中，求六、

10、拓展延延伸1. 当向向量a，bb的夹角角为锐角角时，你你能说明明abb的几何何意义吗吗？如图40-3，aab，即即以b在在a上射射影的长长和的的长为两两邻边的的矩形面面积（OOAOOA1）2. 平行行四边形形是表示示向量加加法与减减法的几几何模型型，如图图40-4，试说说明平行行四边形形对角线线的长度度与两条条邻边长长度之间间的关系系3. 三个个单位向向量a，bb，c有有相同终终点且aabc00，问：它们的的起点连连成怎样样的三角角形？解法1：如如图400-5，abc1，abc0，abc，（ab）2（c）2，a2bb22aabc2，2abbcoosAOCC11，coosAOCC，AOCC122

11、0同理BOOCAOCC1220，故故AOBB，BOCC，BOCC全等，ABAACBBC，即即该ABCC为等边边三角形形解法2：如如图400-6，c，a，b，由abc0，即ab1，OADB为菱形又11，AOBB1220同理AOOCBOCC1220，4. 在ABCC中，问：O点在在ABCC的什么么位置？解：由，即（）00，即0，同理理，故OO是ABCC的垂心心点评这篇案例的的一个突突出特点点是使用用类比方方法，即即在研究究向量的的数量积积的性质质及运算算律时，经经常以实实数为对对象进行行类比以物理理学中的的力对物物体做功功的实例例，引入入数量积积的过程程比较自自然，学学生容易易接受在“拓拓展延伸伸”中，较较多地展展示了向向量的综综合应用用这都都充分体体现了向向量是数数形结合合的重要要载体运用向向量方法法解决与与向量有有关的综综合问题题，越来来越成为为考查学学生数学学思维能能力的一一个重要要方面认识向向量并会会使用向向量是这这一部分分的基础础，也是是重点总之，这这篇案例例较好地地实现了了教学目目标，同同时，关关注类比比方法的的运用，以以及学生生数学思思维水平平的提高高美中中不足的的是，对对学生的的自主探探究的引引导似乎乎有所欠欠缺