无穷乘积.docx

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1、无穷乘积摘要 本文通过类比无穷级数，对无穷乘积的性质进行了研究和分析，给出类似于无穷级数的性质.通过类比无穷级数的审敛法，给出无穷乘积的审敛法，如比较判别法及其极限形式等.用棣莫弗公式与复变函数等知识将三角函数与双曲三角函数展开成无穷乘积的形式.但是无穷乘积又有其自身的特点.通过列举出常见的无穷乘积，从它的角度来解决部分极限与级数问题，即无穷乘积的应用.最后利用无穷乘积来探讨在考研过程中遇到的问题.关键词 无穷乘积 审敛法 性质 应用InfiniteProductAbstract In this paper, the properties of infinite product are stu

2、died and analyzed by analogy with infinite series, and the properties similar to infinite series are given. By comparing the convergence method of infinite series, in this paper, we give the convergence test of infinite product, such as the comparative test and its limit form, etc. Triangular functi

3、on and hyperbolic trigonometric function are expanded into the form of infinite products by using the knowledge of De Moivre formula and complex variable function. However, infinite product has its own characteristics. By listing common infinite products, we can solve partial limit and series proble

4、ms from the angle of infinite prducts, the application of infinite product, is solved from its angle. Finally, the problems encountered in the graduated entrance examination process are discussed by using infinite product.Key words infinite product criteria property application目 录引言11 无穷乘积收敛的定义与性质41

5、.1 无穷乘积的基本概念41.2 无穷乘积的性质52 无穷乘积的审敛法122.1 无穷乘积收敛性的一般判别法122.2 无穷乘积与无穷级数的关系143常用函数无穷乘积的展开183.1 正弦、余弦函数的无穷乘积的展开183.2 双曲函数的无穷乘积的展开204无穷乘积的应用234.1 沃利斯公式234.2 无穷乘积在考研的应用24结语26参考文献27致谢28引 言研究背景级数理论是数学分析的重要组成部分.无穷序列连加，我们称之为无穷级数.若无穷序列连乘，则可称之为无穷乘积.据我所知，部分数学分析教材涉及无穷乘积的概念较少.目前国内外对于无穷乘积的研究有：一些文献较系统的研究了无穷乘积.菲赫金哥尔茨

6、1著微积分学教程中关于无穷乘积的性质与正弦等函数的乘积展开，以及一些无穷乘积的应用，此书对于无穷乘积的相关理论是比较全面的，通过类比无穷级数的概念得到无穷乘积的概念；国内有南开大学教授李成章，黄玉民2与中国科技大学的教授常庚哲、史济怀3所著的数学分析教材，他们都是在无穷级数之后给出的无穷乘积，无穷乘积内容方面没有无穷级数理论那样相对较全面与系统.有些文献讨论无穷乘积的收敛性及其收敛的判别法.高永东与李相朋4（2000）的无穷乘积的性质及其敛散性判别法，仿照级数的相关概念和结论，给出了无穷乘积的一些性质，该篇文章还是系统的给出无穷乘积的审敛法；陈琰5(2016)的无穷级数与无穷乘积，通过构造新的

7、级数以研究原来级数通项的极限性质,从而得到其敛散性，该方法在精细判别和无穷乘积研究有重要有用；辛玉东、田雪玲6（2008）常数项无穷乘积的性质及判定法，无穷乘积是研究数串级数的一种方法，在无穷乘积里极限的近似值是由反复乘新的因子形成的.这篇文章主要讨论无穷乘积的性质及收敛的判定法，但这篇文章，主要是讲无穷级数与无穷乘积之间的区别与联系，并没有完全过渡到无穷乘积；高永东7（2000）任意项无穷乘积的敛散性，这篇文章主要依据无穷乘积与级数的关系以及有关级数理论，对任意项无穷乘积的敛散性包括绝对收敛、条件收敛进行讨论，并给出了几种敛散性判别法，并给出了无穷乘积绝对收敛的概念；唐敏、戴培良8(2010

8、)无穷乘积的敛散性等.这些文章均是由无穷级数类比过来性质.也都有无穷乘积的一些结论.这对我们研究无穷乘积有了一定的参考资料.但是这些文章理论性较强，篇幅较小，缺少些例题，如果展开写，文章就较系统.还有些文献中研究了函数项乘积，如刘俊9（2000）对无穷函数乘积进行了研究,得到了无穷函数乘积的一些性质无穷函数乘积的研究；吴国胜10（2007）的正、余弦函数无穷乘积展开式的两个应用通过对正、余弦函数无穷乘积展开式先取对数，再求导或再积分的方法，可获得两类无穷级数的和以及两类积分的无穷级数表示；沈志军、朱桂平11（2018）的一个双曲函数无穷乘积表达式的应用中在已知无穷乘积知识的基础上，证明了一个关

9、于双曲函数的无穷乘积定理，推广了一些无穷乘积和无穷级数的著名结论；沈志军12(2016)写了一个三角函数无穷乘积表达式的应用方面，在已知无穷乘积知识的基础上，证明了一个关于三角函数的无穷级数定理，并推广了一些无穷乘积和无穷级数的著名结论.有些文献还研究了无穷乘积的收敛速度，如：唐建国13（2004）无穷乘积的阶，给出并证明了无穷乘积的部分积序列为无穷小(大)的一个充分条件,并刻画了在该条件下无穷乘积的部分积序列的无穷小(大)量的阶.很多文献都从各个方面给出了无穷乘积的性质与收敛的判别方法，基本上从对无穷级数的类比到对函数项级数的类比都有了相对较系统的介绍，还有无穷乘积的阶的问题，但是大多数没有

10、分析无穷级数与无穷乘积的联系，而本科阶段的学生接触的较多的还是无穷级数，本文将从无穷乘积的角度分析我们常见的数学问题，如：极限、级数等问题.研究目的目前，国内很多师范院校学生学习的数学分析教材为华东师范大学版本的，接触到的知识比较全面，但也是相对有限的，如本书中却没有涉及无穷乘积这一概念，但是这一概念与无穷级数又极为相似，在学生学习过无穷级数之后再讲解无穷乘积，对学生理解无穷级数是有很大的提升的.因此俄罗斯数学家菲赫金哥尔茨著微积分学教程一书中，讲解了无穷乘积，但该书在上个世纪的本科生教材中普遍使用，但如今有相当一部分本科生是不了解或者都没听过这一概念，我国的南开大学教授李成章，黄玉民与中国科

11、技大学的教授常庚哲、史济怀所著的数学分析教材中，都有所涉及无穷乘积.虽然许多学者研究过无穷乘积，但是仍有很多学生对此理论表现出陌生，因此本文是为了进一步帮助现阶段的本科学生了解无穷乘积或者拓宽知识面，更近一步掌握无穷级数，同时也帮助对数学感兴趣的学生增加拓宽知识面和考研的同学进一步掌握无穷级数与了解无穷乘积.这篇文章将系统的从定义、性质、审敛法、函数无穷乘积的展开以及无穷乘积的应用等方面介绍无穷乘积.虽然有部分文献是研究无穷乘积的，但是对于本科阶段的学生却很少接触这一概念，为此本文将结合华东师范大学版本的数学分析教材给出无穷乘积的应用，使学生更加通俗的明白无穷乘积，更加积极的学数学，爱上数学.

12、因此通过研究无穷乘积的相关概念与结论，对比无穷级数与无穷乘积两者的知识点，进一步巩固无穷级数.从而把无穷级数推广到无穷乘积之中，从无穷乘积的角度来解决或分析我们常见的数学分析中的问题，进一步促使读者掌握无穷级数.研究方法本论文主要采用文献法，分析法等方法，主要研究手段和步骤分为：通过文献法，整理资料的内容，梳理其中的研究内容与研究方法，收集他们的内容与发现未涉及的部分.如：在无穷级数的定义与性质的部分，使用文献法，通过分析菲赫金哥尔茨的微积分学教程整理出来了无穷乘积的定义与无穷乘积的相关性质.在书写无穷乘积的审敛法这一部分，通过学习微积分学教程和高永东与李相朋的无穷乘积的性质及其敛散性判别法整

13、理出来无穷乘积的审敛法.在书写常用函数无穷乘积的展开这一部分的时候，通过学习吴国胜的正、余弦函数无穷乘积展开式与微积分学教程写出了关于正弦函数及余弦函数的无穷级数展开式.在写无穷乘积的应用方面，用华东师范版本的数学分析教材中的题目为素材，从无穷乘积的角度研究它们.通过分析法，将无穷乘积与无穷级数对比分析.得到了无穷乘积的概念与收敛的判别法等相关知识点，再通过仔细研读数学分析书本，将书中的部分题目利用无穷乘积来解决，如极限的求值问题、无穷级数的收敛问题等，换个角度分析问题，带给我们不同的解题过程.在研读资料的过程中，将无穷级数与无穷乘积的知识进行对比，将类似的知识放在一起分析，方便学习无穷乘积.

14、1 无穷乘积收敛的定义与性质许多的数学分析教材中，都详细的讲解了无穷级数的概念与性质，所谓无穷级数就是无穷个项相加的结果，由初等数学的四则运算法则，我们很容易类比想到无穷个项相乘的结果，那么这样一个结果又是什么样呢？它又有哪些性质呢？这和无穷级数之间又有哪些异同点呢？本章将通过类比无穷级数，给出无穷乘积的定义与性质.1.1 无穷乘积的基本概念首先我们先介绍无穷乘积的定义：定义1 若a1, a2, a3,an, 为一序列，则它们的连乘a1a2a3an=n=1an称为无穷乘积.用符号n=1an来表示，an表示第n项，用Ln=a1a2a3an表示无穷乘积n=1an的前n项部分积，简称为部分积.1例1

15、 n=2(1-1n2)=1-1221-1321-1421-1n2为无穷乘积，其中Ln=1-1221-1321-1421-1n2为n=2(1-1n2)的前n项部分积.有了无穷乘积的定义，那么收敛的无穷乘积是什么样的呢？现在我们就来模仿无穷级数的收敛性的定义给出无穷乘积的收敛性的定义.定义2 若无穷乘积n=1an的部分积数列Ln存在极限L且L大于0，即limnLn=L(L0).则称无穷乘积n=1an是收敛的，L称为无穷乘积n=1an的积，否则，则称为它为发散的.1p292这里如果LnN时，pN*，有1-k=n+1n-pak0，存在正整数N，当nN时，pN*，有1-k=n+1n-plnakN时，pN

16、*，有k=n+1n-pak-k=n+1n-plnak2.从而1-k=n+1n-pak1-k=n+1n-plnak-k=n+1n-pak-k=n+1n-plnak0，存在正整数N，当nN时，pN*，有1-k=n+1n-pakN时，p=n+3有1-k=n+1n-p2k-12k=1-516=111612.故由柯西收敛准则知：无穷乘积n=12n-12n 发散.由柯西收敛准则，我们知道无穷乘积的收敛性与其前面有限个项是无关的，只与后面开始的无穷多个项有关系，因此我们还可以得到下面的推论.推论1 在无穷乘积前面加上或者去掉有限项，不改变该乘积的敛散性.证明 若无穷乘积n=1an收敛，由级数n=1lnan与

17、乘积n=1an有相同的敛散性，而在级数n=1lnan前面加上或者去掉有限项，不改变该级数的敛散性，从而在无穷乘积前面加上或者去掉有限项，不改变该乘积的敛散性.无穷级数的必要条件是部分和的极限为0，有了它，如果其和不为0，我们便可以立刻知道这个无穷级数是发散的.类比无穷级数，我们又可以得到无穷乘积的必要条件.推论2 若无穷乘积n=1an收敛，则limnan=1.证明 因无穷乘积n=1an收敛，则设其部分积数列Ln存在极限L且L0 ，即limnLn=LL0，从而limnan=limnLnLn-1=LL=1.例6 证明极限limn2n2=1.证明 考察无穷乘积n=12n2的收敛性，我们先考察无穷级数

18、n=112nln2的收敛，因无穷级数n=112nln2是几何级数，故n=112nln2收敛，由引理1知，无穷乘积n=12n2收敛，再由推论2知limn2n2=1.前面我们探索出了无穷乘积的必要条件和决定无穷乘积收敛的规律，这些性质大多都是类比无穷级数而得到的，但我们还知道无穷级数有很多性质，下面我们就再来类比无穷级数给出无穷乘积的相关性质.定理2 若无穷乘积n=1an收敛，则n=1anc=a1ca2canc同样收敛，且其积为Lc.4证明 设无穷乘积n=1an的前n项部分积为Ln, 即Ln=k=1nak，则无穷乘积n=1anc的前n项部分积为Lnc=k=1nakc，由条件可得limnLn=LL0

19、，从而limnLnc=LcL 0;c0，故无穷乘积n=1anc收敛，且其积为Lc.推论 若无穷乘积n=1an收敛，其积为L，则n=11an同样也收敛，且其积为1L.证明 取定理2中的c为-1,可得n=1anc=1an同样也收敛，且其积为1L.定理3 若无穷乘积n=1xn与n=1yn都收敛，且它们的积分别为x与y,则无穷乘积n=1(xnyn)=(x1y1)( x2y2)(xnyn)也收敛，其积为xy.证明 设无穷乘积n=1xn的前n项部分积为Xn，即Xn=k=1nxk，无穷乘积n=1yn的前n项部分积为Yn，即Yn=k=1nyk, 则无穷乘积n=1(xnyn)的前n项部分积为Zn=k=1n(xy

20、)k由条件可得，limnXn=x, limnYn=y.从而limnZn=xy，故无穷乘积n=1(xnyn)收敛，且其积为xy.定理3可以简述为两收敛的乘积，其积也是收敛的.由此我们便可以想到，如果两收敛的乘积，它们的比值是否也收敛？实际上，这是可以办到的.定理4 无穷乘积n=1xn与n=1yn都收敛，且它们的积分别为x与y,则无穷乘积n=1xnyn=x1y1x2y2xnyn也收敛，其积为xy.4证明 由定理2的推论可得n=11yn收敛，且其积为1y，再由定理3立得无穷乘积n=1xnyn收敛，其积为xy.例7 能否由n=1pn与n=1qn的收敛性，得出n=1(pn+qn)、n=1pnqn、n=1

21、pnqn的敛散性.解 不妨设n=1pn与n=1qn都收敛，由定理3得n=1pnqn也收敛，由定理4得，n=1pnqn也收敛，但是n=1(pn+qn)就不一定收敛了，反例如n=1(1+1n2)与n=1(1n2-1)都收敛，但是n=12n2是发散的.这是因为n=1(2n2-1)与n=12n2同敛散，而limn(2n2-1)=-10，故n=1(2n2-1)发散，从而n=12n2也发散.这里，我们已经将无穷乘积的积，商以及幂的性质都给了出来.我们知道，一个无穷级数收敛的充要条件是它的部分和数列有上界，那么无穷乘积又是什么呢？前面我们讲到无穷乘积与其部分积的敛散性相同，所以我们得到了如下定理5.定理5

22、无穷乘积n=1an收敛的充要条件为它的部分积数列Ln有上界.4证明 若无穷乘积n=1an，则设其积为L，即limnLn=L(L0)，由极限理论知Ln有上界；反过来，若无穷乘积n=1an的部分积数列Ln有上界，不妨设Ln的上确界为L，则limnLn=L，从而n=1an收敛.例8 证明：2=1212+121212+1212+1212.证明 我们知道limncosxcosx2cosx22cosx2n=sinxx，即n=1cosx2n=sinxx，上式中令x=2,于是就有n=1cos2n+1=2.由三角公式cos4=12，cos2=12+12cos，将其带入上式，得n=1cos2n+1=2，于是就有2

23、=1212+121212+1212+1212.本章主要讲解了无穷乘积的性质，其性质与无穷级数的性质类似，所以通过类比无穷级数的性质，得到无穷乘积的性质.同时这些性质对于求解极限等问题提供了新的方法. 2 无穷乘积的审敛法前面给出了无穷乘积的定义与相关性质及其收敛的等价条件，我们都知道无穷级数有各种各样的判别法来判别级数是否收敛，如：正项级数的比较判别法与根式判别法，还有阿贝尔判别法与狄利克雷判别法等，这些方法都使得我们快速的判别了级数是否收敛，并不用仅仅依靠收敛的定义来判定.那问题是，无穷乘积是否也有这类的判别法？如果有，又是什么样的呢？本章我们将探索无穷乘积的判敛法.2.1 无穷乘积收敛性的

24、一般判别法我们可以类比无穷级数收敛的判别法，给出无穷乘积的审敛法，如比较判别法，还有其极限形式等等.下面我们就来探究一下：定理6（比较判别法） 若无穷乘积n=1xn(xn1)与n=1yn(yn1)，存在正整数N，当nN时，有xn-1k(yn-1)，其中k0，（）若n=1yn收敛，则n=1xn也收敛；（）若n=1xn发散，则n=1yn也发散.4证明 令xn-1=an，yn-1=bn,于是就有ankbn且an0，bn0，由级数比较判别法与引理2可知若n=1yn收敛，则n=1xn也收敛；同理，若n=1xn发散，则n=1yn也发散.当具体应用时，我们习惯于使用它的极限形式.推论 (比较判别法的极限形式

25、) 若无穷乘积n=1xn与n=1yn，有limnxn-1yn-1=k，（）若n=1yn收敛，且0k+,则n=1xn也收敛；（）若n=1xn发散，且0kN时，有k-xn-1yn-1N时，有xnync，其中c0，（）若n=1yn收敛，则n=1xn也收敛；（）若n=1xn发散，则n=1yn也发散.4证明 因存在正整数N，当nN时，有xnync，由定理1的推论1可得nN，都有xnync，再设无穷乘积n=1xn的前n项部分积为Xn，即Xn=k=1nxk，无穷乘积n=1yn的前n项部分积为Yn，即Yn=k=1nyk，则Xn=x1 x2x3xny1c y2cy3cync=(y1y2y3yn)c=Ync, 若

26、n=1yn收敛，则由定理5可知，Yn有上界，所以Xn也有上界，继而n=1xn也收敛.若n=1xn发散，则由定理5可知，Xn无上界，所以Yn也一定没有上界，继而n=1yn也发散.推论1(比值判别法的极限形式) 若无穷乘积n=1xn与n=1yn，有limnxnync=1，（）若n=1yn收敛，且0k+,则n=1xn也收敛；（）若n=1xn发散，且0kN时，有1-xnync，取=1得，1-xnync0.解 由引理2知，当1时，无穷乘积n=1(1+1n)是收敛的；当0N时，有ancbn，其中c0，（）当正项级数n=1bn收敛，则无穷乘积n=1(1+an)也收敛；（）当正项级数n=1an发散，则无穷乘积

27、n=1(1+bn)也发散.4证明 因存在正整数N，当nN时，有ancbn，则由定理1的推论1可得nN都有ancbn，若正项级数n=1bn收敛，由正项级数比较判别法知，n=1an收敛，再由引理2知，无穷乘积n=1(1+an)也收敛；同理若正项级数n=1an发散，由正项级数比较判别法知，n=1bn发散，再由引理2知，无穷乘积n=1(1+bn)也发散.定理11 已知正项级数n=1an与无穷乘积n=1xn（xn1），存在正整数N，当nN时，有xnecan，其中c0，（）当正项级数n=1an收敛，存在正整数N，当nN时，有xnecan（c0），则无穷乘积n=1xn也收敛；（）当正项级数n=1an发散，存

28、在正整数N，当nN时，有xnecan（c0），则无穷乘积n=1xn也发散.4证明 因存在正整数N，当nN时，有xnecan，则由定理1的推论1可得nN，都有xnecan，即lnxncan,若正项级数n=1an收敛，由正项级数比较判别法知，n=1lnxn收敛，再由引理1得，无穷乘积n=1xn也收敛；因存在正整数N，当nN时，有xnecan，则由定理1的推论1可得nN，都有xnecan，即lnxncan,若正项级数n=1an发散，由正项级数比较判别法知，n=1lnxn发散，再由引理1得，无穷乘积n=1xn发散. 推论(极限形式) 已知正项级数n=1an与无穷乘积n=1xn（xn1）且limnanx

29、n=k1k+，（） 当正项级数n=1an收敛，且1k+，则无穷乘积n=1xn也收敛；（）当正项级数n=1an发散，且1k+，则无穷乘积n=1xn也发散.4证明 因limnanxn=k且1k0，正整数N，当nN时，有k-anxn，不妨取=1，则k-anxn1，即k-1anxn1+k,于是lnxnanln（1+k），令ln（1+k）=c，则xnecan, 若正项级数n=1an收敛，由定理9知无穷乘积n=1xn也收敛；因k-1anxnN时，有an+1xn+1anxn，则无穷乘积n=1xn也收敛；（）若正项级数n=1an发散，且存在正整数N，当nN时，有an+1xn+1anxn，则无穷乘积n=1xn也

30、发散.4证明 若正项级数n=1an收敛，且存在正整数N，当nN时，有an+1xn+1anxn，可得lnxn+1lnxnan+1an,由正项级数比值判别法知，n=1lnxn收敛，再由引理1得，无穷乘积n=1xn收敛；若正项级数n=1an发散，且存在正整数N，当nN时，有an+1xn+1anxn，可得lnxn+1lnxnan+1an,由正项级数比值判别法知，n=1lnxn发散，再由引理1得，无穷乘积n=1xn发散.在本章节的最后，我们举几个例题，用来巩固前面的定理.例10 证明n=1(1+1n)发散.证明 因n=11n发散于+，由n=11n发散，则n=1(1+1n)也发散于+，并且，由此我们很快可

31、以得到n=1(1-1n)=0.例11 讨论n=1(1+(-1)n-11n)的敛散性，其中0，解 由n=1(1+(-1)n-11n)，我们便可以想到它的收敛性是与n=1(-1)n-11n同敛散的，由莱布尼茨判别法知n=1(-1)n-11n收敛，为了方便记录，令an=(-1)n-11n，当12时，n=1an2=n=11n2是收敛的，从而n=1(1+(-1)n-11n)也收敛，当012时，n=1an2=n=11n2是发散的，故n=1(1+(-1)n-11n)也发散.本章主要讲解了无穷乘积收敛的审敛法，类比无穷级数的审敛法，得到了无穷乘积的审敛法.而无穷乘积与无穷级数的关系也可以判别无穷乘积的敛散性.

32、由于无穷乘积的审敛法只能用于特定的无穷乘积形式,因此，大大限制了这些无穷乘积的审敛法的使用范围.3常用函数无穷乘积的展开在学习无穷级数之后，我们就给出了常用函数的级数展开式，如：sinx的幂级数展开为k=1(-1)k-1x2k-1(2k-1)!等等，而这些级数展开式是根据泰勒级数展开的，那么我们常见的函数又不可以展开成无穷乘积的形式呢？它们又是通过什么方法来展开的呢？本章我们就来探索sinx等常用函数展开成无穷乘积的形式.3.1 正弦、余弦函数的无穷乘积的展开根据棣莫弗公式(cosz+isinz)n=cosnz+ isinnz，其中n为自然数，将等式左端展开得k=0nnkcoskz(isinz

33、)n-k，比较等式左与右两端的虚数单位i于是就有sinnz=ncosn-1zsin z-nn-1n-2123cosn-3zsin3z+，如果n为奇数，不妨令n=2k+1，再由公式: cos2z=1-sin2z将其替换为余弦函数的偶次幂，我们把所得结果表示成sin(2k+1)z=sin z Psin2z，其中P(sin2z)是一个关于sin2z 的n次多项式，若用123n表示该多项式的根，那么该多项式可以分解成如下因式P =A -1-2-3-n=A1-11-21-n.下面就是找出多项式P(sin2z)的根，而sin(2k+1)z=sin z Psin2z，若使sin(2k+1)z=0,但sin

34、z0，则sin2z就一定是多项式P ()的根.显然，包含在0与2之间并且依次递增的值z=2k+1，22k+1，32k+1，k2k+1，且它们是相异的.对于系数A=P (0)可以作为当z0时比值sin(2k+1)zsinz的极限；由此A=2 k+1，所以sin(2k+1)z=2k+1sinz1-sin2zsin22k+11-sin2zsin222k+11-sin2zsin2k2k+1，再令z=x2k+1得，sinx=2k+1sinx2k+11-sin2x2k+1sin22k+11-sin2x2k+1sin222k+11-sin2x2k+1sin2k2k+1，接下来类比级数的展开，从上式右端的(2

35、k+1)开始截取上式，令Rikx= 2k+1sinx2k+11-sin2x2k+1sin22k+11-sin2x2k+1sin222k+11-sin2x2k+1sin2i2k+1，余下的因式rikx=1-sin2x2k+1sin2i+12k+11-sin2x2k+1sin222k+11-sin2x2k+1sin2k2k+1，先研究Rikx，由于i是有限数，而limk2k+1sinx2k+1=x，limksin2x2k+1sin2h2k+1=x2h22h=1,2,3,i，所以RilimkRikx= x1-x221-x22221-x2i22.再研究rikx，类比级数的展开式，rikx为余下的因式，

36、因此对rikx进行估值.由皮亚诺不等式知2xsinx x（0x2），所以sin2x2k+142h2x22k+12h= i+1, i+2,k ，所以(1-x24(i+1)2 )(1-x24(i+2)2)(1-x24k2)rikxx2，则有h=h0x24h2收敛，再由引理2知，h=h0(1-x24h2)收敛，因此limk(1-x24h2)=1，所以1limkrik(x)1，即rilimkrik(x)=1.综上可知，sinx=limkRikx= limkRikxlimkrikx=Ri= x1-x221-x22221-x2i22，即sinx= x(1-x22) (1-x2222)(1-x2k22)=xn=1(1-x2n22)，由初等性质cosx=sin2x2sinx得cosx= 2xn=11-4x2n222xn=11-x2n22=n=1(1-4x2（