2022年数列练习题以及基础知识点训练篇.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 数列基础学问点总结及训练主讲人 ：河南师范高校数学院 毋老师A、1概念与公式：an等差数列： 1.定义：如数列an满意a n1and常数,就 an称等差数列；2.通项公式：2.通项公式：ana1n1 daknkd;nn1 d.3.前 n 项和公式：公式：Snna12anna12等比数列：1 . 定义如数列a n满意an1q（常数） ,就an称等比数列；a na 1qn1akqnk;3.前 n 项和公式：S na1anqa11qnq1 ,当 q=1 时Snna1.1q1q2简洁性质：首尾项性质：设数列an:a 1,a2,a3,an,an,aa3n

2、an2.;1.如a n是等差数列,就a1ana2an12.如a n是等比数列,就a1ana 213a2中项及性质：1.设 a,A,b 成等差数列,就 A 称 a、b 的等差中项,且Aa2b;apaqaras;2.设 a,G,b 成等比数列,就 G 称 a、b 的等比中项,且Gab.设 p、q、r、s 为正整数,且pqr,s1. 如an是等差数列,就apaqaras;2. 如an是等比数列,就顺次 n 项和性质：名师归纳总结 1.如a nnak,k2n1ak,3 nk组成公差为 n2d 的等差数列；第 1 页,共 13 页是公差为 d 的等差数列,就nak1k2n12. 如ann1ak,2n1a

3、k,3 nak组成公差为 qn的等比数列 . 是公差为 q 的等比数列,就knk2nk1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （留意：当 q=1,n 为偶数时这个结论不成立）如an是等比数列,an2a2n,a2n1a2n2a3 n组成公比这qn2的等比数列 . 就顺次 n 项的乘积：a1 a2an,an1如an是公差为 d 的等差数列 , S 偶a 中 注:a 中指中项, 即a 中an1,而 S 奇、S 偶指全部奇数项、1.如 n 为奇数,就S nna 中且S 奇2全部偶数项的和）；2.如 n 为偶数,就S偶S 奇nd.2（二）学习要点：1学习等差、等比数

4、列,第一要正确懂得与运用基本公式,留意公差 d0 的等差数列的通项公式是项 n 的一次函数 an=an+b;公差 d0 的等差数列的前n 项和公式项数 n 的没有常数项的二次函数Sn=an2+bn ;公比 q1 的等比数列的前 n 项公式可以写成“ Sn=a1-qn的形式；诸如上述这些懂得对学习 是很有帮忙的 . 2解决等差、等比数列问题要敏捷运用一些简洁性质,但所用的性质必需简洁、明确,肯定不能 用课外的需要证明的性质解题 . 3巧设“ 公差、公比” 是解决问题的一种重要方法,例如：三数成等差数列, 可设三数为“ a,a+m,a+2m（或 a-m,a,a+m ）” 三数成等比数列,可设三数为

5、“ a,aq,aq2或a ,a,aq” 四数成等差数列,可设四数 q为 “a,a2,m ,a2m ,a3 m 或a33m ,am ,am ,a3m ;” 四 数 成 等 比 数 列 , 可 设 四 数 为“a,aq,aqaq3或a,a,aq,aq,” 等等；类似的体会仍许多,应在学习中总结体会. q3q例 1解答下述问题：名师归纳总结 （）已知 1a,1,1 c成等差数列,求证：第 2 页,共 13 页b（1）bac,ca,acb成等差数列；b（2）ab,b,cb成等比数列 . 222- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解析该问题应当挑选“ 中项” 的学

6、问解决,112ac22acb a c ,2c a2c2acbacbab b a1 bacacbbcc2a2acac2 ac22 ac .b ac bb 2b 2,bac,cba,acb成等差数列; 2 abcbacbac2224ab,b,cb成等比数列.222评析判定（或证明）一个数列成等差、等比数列主要方法有：依据“ 中项” 性质、依据“ 定义” 判定,. （）等比数列的项数 n 为奇数,且全部奇数项的乘积为1282,求项数 n. a 1a3a 5aan102442解析设公比为q,a2a4n11282n1 1 a 1q2421024 ,全部偶数项的乘积为而a 1a2a 31ann102412

7、8235na 1q123n1235222n35535 a 1q2,n22,将 1代入得 2222,5 n35得7 .22（ ） 等 差 数 列 an 中 , 公 差d 0 , 在 此 数 列 中 依 次 取 出 部 分 项 组 成 的 数 列 ：ak 1,ak2,akn恰为等比数列,其中k1,1k2a 15 ,k3,17,第 3 页,共 13 页,a 52a 17求数列kn的前 n项和.解析a 1,a5,a 17成等比数列名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - a 14 d2a 1a 116dda12d0. d0 ,a12d,数列akn的公比q

8、a 5a1a 14d,3a 1akna13n12d3n1而akna 1kn1d2dkn1d由 ,得kn23n11 ,kn的前n项和Sn23n1n3nn1.31评析例 2 是一组等差、等比数列的基本问题,娴熟运用概念、公式及性质是解决问题的基本功例 3解答下述问题：（）三数成等比数列,如将第三项减去32 ,就成等差数列；再将此等差数列的其次项减去4,又成等比数列,求原先的三数. 解析设等差数列的三项,要比设等比数列的三项更简洁,设等差数列的三项分别为ad, a, a+d,就有. adad32a2d232d32a0a42adad8a16d23 d232d640 ,d8 或d8,得a10 或26,3

9、9原三数为2, 10,50 或2,26,338.999（）有四个正整数成等差数列,公差为10,这四个数的平方和等于一个偶数的平方,求此四数解析设此四数为a15,a5 ,a,5a15a15, a152 a5 2a52 a15 2 2m 2 mN4 a25004 m2mama 125 ,1251125525 ,ma 与ma 均为正整数,且mama ,ma1ma2ma125ma25解得a62或 a12不合,所求四数为 47,57,67,77 评析 巧设公差、公比是解决等差、等比数列问题的重要方法,特殊是求如干个数成等差、等比数列的问题中是主要方法 . 名师归纳总结 - - - - - - -第 4

10、页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - B、由递推公式求通项公式的方法一、an1a nf n 型数列,（其中f n 不是常值函数 nf n , 从 而 就 有此 类 数 列 解 决 的 办 法 是 累 加 法 , 具 体 做 法 是 将 通 项 变 形 为a n1aa n2 n3；a 2a 1f1,a3a 2f2,anan1f n1.将上述n1个式子累加,变成a na 1f1f2f n1,进而求解；n2例 1. 在数列 a n中,a 12,a n1an2n1, 求an.解：依题意有a 2a 11,a3a23 ,ana n12 n3逐项累加有a na 1132 n31

11、2n3 n1n2 1n22 n1,从而2注：在运用累加法时 ,要特殊留意项数 ,运算时项数简洁出错 . 变式练习：已知 an满意a 11,a n1ann11 ,求an的通项公式；f n , 从 而 就 有n二、an1anfn型数列,（其中f n 不是常值函数 此 类 数 列 解 决 的 办 法 是 累 积 法 , 具 体 做 法 是 将 通 项 变 形 为an1ana2f1,a3f2,a n1f n1a 1a2anan2n1 3n1,将上述n1个式子累乘,变成anf1f2f n1,进而求解；a 1例 2. 已知数列 an中a 11,an2 n3an1n2,求 an的通项公式；32 n1解：当n

12、2时,a21,a 33,a 45,an12n3,将这n1 个式子累乘,得到a 15a 27a 39an2n1a 112从而an2n1 3n114n11,当n1时,4n111a 1,所以an4n11；1232232注：在运用累乘法时 ,仍是要特殊留意项数 ,运算时项数简洁出错 . 变式练习：在数列 a n中, a 0,a 12,nan2n1 a n12an1 a ,求a . 第 5 页,共 13 页1nanan1an0提示：依题意分解因式可得n1 an,而a 0, 所以n1 a n1nan0,即a nn1nn1；a名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - -

13、- - 三、an 1panq型数列此类数列解决的方法是将其构造成一个新的等比数列,再利用等比数列的性质进行求解,构造的办法有两种,一是待定系数法构造,设a n1mpanm ,绽开整理an1panpmm ,比较系数有pmmb ,所以mpb1,所以a npb1是等比数列,公比为p ,首项为a 1b1；二是用作差法直p接构造,an1panq ,anpan1q ,两式相减有an1anp anan1,所以an1a 是公比为 p 的等比数列；例 3. 在数列 a n 中,a 1 1,当 n 2 时,有 a n 3 a n 1 2,求 a n 的通项公式；解法 1：设 a n m 3 a n 1 m ,即有

14、 a n 3 a n 1 2 m对比 a n 3 a n 1 2,得 m 1,于是得 a n 1 3 a n 1 1,即 a n 13a n 1 1n 1所以数列 a n 1 是以 a 1 1 2 为首项,以 3 为公比的等比数列 就 a n 2 3 1；解法 2：由已知递推式,得 a n 1 3 a n 2, a n 3 a n 1 2, n 2,上述两式相减,得 a n 1 a n 3 a n a n 1 ,即 a n 1 a n3a n a n 1n 1因此,数列 a n 1 a n 是以 a 2 a 1 4 为首项,以 3 为公比的等比数列；所以 a n 1 a n 4 3,即3 a

15、n 2 a n 4 3 n 1,所以 a n 2 3 n 11；*变式练习：已知数列 a n 满意 a 1 1, a n 1 2 a n 1 n N . 求数列 a n 的通项公式 . 注：依据题设特点恰当地构造帮助数列 ,利用基本数列可简捷地求出通项公式 . 四、a n 1 pa n f n 型数列（ p 为常数）此类数列可变形为 a nn 11 a nn fn n1,就 a nn 可用累加法求出,由此求得 a . p p p pn 1例 4 已知数列 a n 满意 a 1 1, a n 1 3 a n 2 ,求 a . 解 : 将 已 知 递 推 式 两 边 同 除 以 2 n 1得 a

16、nn 11 3 a nn 1 , 设 b n a nn , 故 有 b n 1 2 3 b n 2,2 2 2 2 2n 15 3 n 1 n 1b n n 2 ,从而 a n 5 3 2 . 2注：通过变形 ,构造帮助数列 ,转化为基本数列的问题 ,是我们求解生疏的递推关系式的常用方法 . 如 f n 为 n 的一次函数 ,就 a 加上关于 n 的一次函数构成一个等比数列 ; 如 f n 为 n 的二次函数 , 就 a 加上关于 n 的二次函数构成一个等比数列 .这时我们用待定系数法来求解 . 例 5已知数列 a n 满意 a 1 1, 当 n 2 时 , a n 1 a n 1 2 n 1

17、, 求 a n .2名师归纳总结 第 6 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解 : 作bna nAnB , 就a nb nAnB ,an1b n1A n1B 代 入 已 知 递 推 式 中得:b n1b n11A2 na1A1 2Bn1. b n1b n1且b nan4 n6222令1AA204这时21A1B10nB62226. 314231,所以明显 ,b nn2n注：通过引入一些待定系数来转化命题结构 以解决 . ,经过变形和比较 ,把问题转化成基本数列 ,从而使问题得变式练习：（1）已知 a n 满意 a 1 2 , a n 1

18、2 a n 2 n 1,求 a ；2（2）已知数列 a n ,S 表示其前 n 项和,如满意 S n a n n 3 n 1,求数列 a n 的通项公式；S 1 n 1提示：（2）中利用 a n,把已知条件转化成递推式；S n S n 1 , n 2五、a n Aa n 型数列（A , B , C 为非零常数）Ba n C这种类型的解法是将式子两边同时取倒数 ,把数列的倒数看成是一个新数列 ,便可顺当地转化为a n 1 pa n q 型数列；例 6已知数列 a n 满意 a 1 2, a n 1 2 a n ,求 a . a n 21 1 1 1 1 1 n 2解:两边取倒数得 : ,所以 n

19、 1,故有 a n；a n 1 a n 2 a n a 1 2 2 nn 1变式练习：数列 a n 中,a n 1 2n 1 a n , a 1 2,求 a n 的通项；2 a n六、a n 2 pa n 1 qa n 型数列（p q为常数）这种类型的做法是用待定糸数法设 a n 2 a n 1 a n 1 a n 构造等比数列；例 7数列 a n 中,a 1 ,2 a 2 3 , 且 2 a n a n 1 a n 1 n N , n 2,求 a . C、求数列前n项和一. 公式法 : 利用以下常用求和公式求和是数列求和的最基本名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 13 页

20、精选学习资料 - - - - - - - - - 最重要的方法；1 等差：S nn a 12a nna 1n n1d; 0 2等比：na 1qn q1S na 1 1a 1a n qq1; 2 2 1221q1qn n1 2n1; 32n26133 233n3nn1 22例 1. 求和1xx2xn2n2 x二. 分组法：有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,如将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可；例 2. 求数列2n1 3nn的前 n 项和an bn 的前 n 项和,其中 an 、 bn 分别是等差和等比. 求和时一般三. 错位相减法： （考

21、试重点）主要用于求数列在已知和式的两边都乘以等比数列的公比q；然后再将得到的式子和原式相减,转化为同倍数的等比数列求和；留意事项： 1.公比是未知数要争论当公比x=1 时的特殊情形；2.错位相减时要留意末项.前面剩第 8 页,共 13 页例 3. 求和：134nn122232例 4. 求和：13 a5a27a32n1an1a0.四. 裂项法 : 实质是将数列中的每项（通项）分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的几项后面剩倒数第几项,对称性. 例 5求和1133155172n12n11 例 6.求数列112,213,n1n1,的前 n 项和 . 五. 并项求和法或者奇数项和+偶

22、数项和 肯定是正负相间. 例 7. 求和1357n 1 2n1名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 数列部分测试题一、挑选题1、假如一个数列既是等差数列,又是等比数列, 就此数列（）（A）为常数数列（B）为非零的常数数列（C）存在且唯独（D）不存在2.、在等差数列an中,1a4,且a ,a ,a13成等比数列, 就an的通项公式为（A）a n3n1（B）a nn3（C）a n3n1或an4（D）ann3或an43、已知a,b ,c成等比数列, 且x,y分别为 a 与 b 、b 与 c 的等差中项, 就ac的值为（xy（A）1（B）2（C） 2

23、（D） 不确定24、互不相等的三个正数a ,b ,c成等差数列, x 是 a,b 的等比中项, y 是 b,c 的等比中项, 那么2 2x ,b ,2 y 三个数（A）成等差数列不成等比数列（B）成等比数列不成等差数列（C）既成等差数列又成等比数列（D）既不成等差数列,又不成等比数列25、已知数列 a n 的前 n 项和为 S , S n 1 4 n 2 n ,就此数列的通项公式为（）（A）a n 2n 2（ B）an 8n 2（C）a n 2 n 1（ D）an n 2 n26、已知 z x 4 x y y z ,就（）1 1 1 1 1 1（A）x , y , z 成等差数列（ B）x ,

24、 y , z 成等比数列（ C）, , 成等差数列（D）, , 成等比数列x y z x y z7、数列 a n 的前 n 项和 S n a n 1,就关于数列 a n 的以下说法中, 正确的个数有（）肯定是等比数列,但不行能是等差数列 肯定是等差数列,但不行能是等比数列 可能是等比数列,也可能是等差数列 可能既不是等差数列,又不是等比数列 可能既是等差数列,又是等比数列（A） 4 （ B）3 （C）2 （D）1 8、数列 1 1 , 3 1 , 5 1 , 7 1 , ,前 n 项和为（）2 4 8 16（A）n 2 1n 1（B）n 2 1n 1 1（C）n 2n 1n 1（D）n 2n

25、1n 1 12 2 2 2 2 29、如两个等差数列 a n、b n 的前n项和分别为 A n、B ,且满意 A n 4 n 2,就 a 5 a 13的值为（）B n 5 n 5 b 5 b 13名师归纳总结 第 9 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （A）7（B）8（C）19（D）7） 09720810 、已知数列a n的前n项和为Snn25n2,就数列an的前 10 项和为（A） 56 （B）58 （C）62 （D）60 11 、已知数列an的通项公式a nn5为 , 从an中依次取出第3,9,27, 3n, 项,按原先的次序排成一

26、个新的数列,就此数列的前n 项和为（）（A）n3n213（B）3n5（ C）3n10n3（D）3n110n32212 、以下命题中是真命题的是 A数列an是等差数列的充要条件是a npnqp0 B已知一个数列a n的前 n 项和为Snan2bna,假如此数列是等差数列,那么此数列也是等比数列C数列an是等比数列的充要条件anabn1D假如一个数列a n的前 n 项和S nabnca0 ,b0,b1 ,就此数列是等比数列的充要条件是ac二、填空题13 、各项都是正数的等比数列an,公比q1a 5,a7,a8,成等差数列,就公比q = 14 、已知等差数列an,公差d10,a 1,a5,a17成等

27、比数列,就a 1a5a 17= a2a6a 1815 、已知数列an满意S n1a n,就a = 416 、在 2 和 30 之间插入两个正数,使前三个数成等比数列,后三个数成等差数列,就插入的这两个数的等比中项为三、解答题17 、已知数列an是公差 d 不为零的等差数列,数列a bn是公比为 q 的等比数列,b 1,1b210,b346,求公比q 及b ；a1b 1,a 33b 3a55b 5,18 、已知等差数列an的公差与等比数列b n的公比相等, 且都等于 dd0,d1 求a , n b n；36,求这四个数；第 10 页,共 13 页19 、有四个数,其中前三个数成等比数列,其积为2

28、16 ,后三个数成等差数列,其和为20 、已知an为等比数列,a 32,a2a 420,求a n的通项式；3名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 21 、数列a n的前 n 项和记为S a 11,a n12S n1n1（）求a n的通项公式；nn 项和为T ,且T 315,又a 1b a2b a3b 成等比数列,求T n（）等差数列b n的各项为正,其前22 、已知数列a n满意a 11,an12a1 nN*.N,证明：nb是等差数列；（I）求数列a n的通项公式；1an1b nn（II）如数列b n满意b 1 41 .4b 21 .4b n

29、数列部分参考答案一、题号挑选题2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 答案BDCAAACADDDD二、 填空题13. 12514. 2615. 41n16. 632933三、解答题17. a 1b =a1,a b=a10=a1+9 d,a 2 b=a46=a1+45 d 3由abn为等比数例,得（a1+9 d）2=a1a1+45 d得 a1=3 d,即 ab1=3d,ab2=12 d,ab3=48 d. q=4 又由 abn是 an中的第 bna 项,及 abn=ab14n-1=3d4n-1,a1+bn-1d=3d4n-1 bn=3 4n-1-2 18. a3=3 b3 , a1

30、+2d=3a1d2 ,a11-3 d2=-2 d5 ；an=a1+n-1 d=5n-6 bn=a1dn-1=-5 5n-1 a5=5 b5, a1+4d=5a1d4 , a11-5 d4=-4 d,得15d4=2, d2=1 或 d2=1,由题意, d=5 5,a1=-13d2555第 11 页,共 13 页19.设这四个数为a,a,aq,2 aqaq名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 就aqaaq216由,得 a3=216, a=6 第 12 页,共 13 页aaq 3 aqa 36代入,得3aq=36, q=2 这四个数为 3,6,12 ,18 20.解: 设等比数列 an的公比为 q, 就 q 0, a2=a 3= 2, a4=a3q=2qqq所以2+ 2q=20, 解得 q1=1, q2= 3, q33当 q1=1 1, a1=18. 所以 an=18 3 3n 1=18 3n1 = 2 33n. 当 q=3 时, a1= 2,