2022年求数列通项公式的八种方法.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀资料求数列通项公式的八种方法一、公式法（定义法）依据等差数列、等比数列的定义求通项二、累加、累乘法名师归纳总结 1、累加法适用于：a n1a nf n 第 1 页,共 10 页a 2a 1f1如a n1a nf n n2,就a 3a 2f2a n1a nf n n两边分别相加得an1a 1f n k1例 1 已知数列 a n满意a n1a n2 n1,a 11,求数列 a n的通项公式；解：由a n1a n2 n1得a n1a n2 n1就a n a na n1a n1a n2 a 3a 2a 2a 1a 12n1 12n2122

2、12 1 1 12 n1n221n1 12n1 nn1 12 n1 n1 1n2所以数列 na的通项公式为a n2 n ；例 2 已知数列 a n满意a n1a nn 2 31,a 13,求数列 a n的通项公式；解法一：由a n1a nn 2 31 得a n1a nn 2 31就- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 名师精编优秀资料3第 2 页,共 10 页a na nan1a n1an2a 3a 2a2a 1a 123n1123n21232121 3123n13n22 31 3 n131,2n 31 31n13133n3n133nn1所以

3、a n3 nn1.解法二：a n13 a nn 2 31两边除以n 31,得an1a n213n1n 333n就an1an2311,故3n1n 3na 13a nana n1a n1an2an2a n3a2a 1n 33na n1a n13n23n2n 33321 3321231121221333n3n3n 33323的通项公式；2n111113121133nn 33nn32因此a n2n11 1 3 n n3112n11,n 3332n 2 31 3就an2n3n13n1.3222、累乘法适用于：a n1f n a n如an1f n ,就a 2f1,a 3a 2f2,a nan1f n a

4、na 1两边分别相乘得,a n1a 1kn1f k a 1例 3 已知数列 a n满意a n12 nn 15a n,a 13,求数列 a n解：由于a n12nn 15a n,a 13,所以a n0,就an12nn 15,故a n- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - a na n1an1a 3a 2a 1名师精编优秀资料11 5 3anan2a 2a 1n 1522212 5 212n1n 1512n22n1 n n1325n1 n22 13n n1n n132n152n.所以数列 na的通项公式为a n32 n152n.三、待定系数法适用于a n1qa

5、nf n 分析：通过凑配可转化为a n11f n 2a n1f n ; 解题基本步骤：名师归纳总结 1、确定f n 的通项公式；第 3 页,共 10 页2、设等比数列a n1f n ,公比为23、列出关系式a n11f n 2a n1f n 4、比较系数求1,25、解得数列a n1f n 的通项公式6、解得数列a n的通项公式例 4 已知数列 a n中,a 11,a n2 a n11 n2,求数列a n解法一：a n2 a n11 n2,a n12a n11又a 112,a n1是首项为 2,公比为 2 的等比数列a n12n,即a n2n1解法二：a n2 a n11n2,- - - - -

6、 - -精选学习资料 - - - - - - - - - a n12a n1a n2 a n名师精编2优秀资料a n1a n是首项为2,公比为 2 的等两式相减得a n1a n1n,故数列比数列,再用累加法的 名师归纳总结 例 5已知数列 a n满意a n12 a nn 4 31,a 11,求数列a n的通项公式；第 4 页,共 10 页解法一：设a n11n 32a nn 31 ,比较系数得14,22,就数列ann 4 31是首项为a 14 3 1 15,公比为 2 的等比数列,所以a nn 4 31n 5 21,即a nn 4 31n 5 21解法二：两边同时除以3n1得：an12an4,

7、下面解法略3n13 3n2 3留意： 例 6 已知数列 a n满意a n12 a n3 n24 n5,a 11,求数列 a n的通项公式；解： 设a n1x n2 1y n1z2a n2 xnynz 比较系数得x3,y10,z18,所以a n13 n2 110n1 182 a n3 n210 n18由a 12 3 110 1 181 31320,得a n2 3 n10 n180就a n13 n1210 n1 182,故数列a n3 n210 n18为以a n3 n210 n18a 12 3 110 1 1813132为首项,以2 为公比的等比数列,因此a n3 n210 n1832 2n1,就

8、a nn 243 n210 n18；留意：形如a n2pa n1qa n时将a 作为f n 求解分析：原递推式可化为a n2a n1pa n1a n 的形式,比较系数可求得,数列a n1a n为等比数列；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀资料例 7 已知数列 a n 满意 a n 2 5 a n 1 6 a a 1 1, a 2 2,求数列 a n 的通项公式；解：设 a n 2 a n 1 5 a n 1 a n 比较系数得 3或 2 ,不妨取 2 ,就 a n 2 2 a n 1 3 a n 1 2 a n ,就 a n 1 2 a

9、n 是首项为 4,公比为 3 的等比数列a n 1 2 a n 4 3 n 1,所以 a n 4 3 n 1 5 2 n 1四、迭代法例 8 已知数列 a n满意a n13 a nn12n,a 1n25,求数列 a n的通项公式；解：由于a n13 a nn12n,所以n2n1a n3 na n2 n13 a nn1 2n23 n2n13 2 na n 21123 5n n13 a nn2 2n33 2n1n2n2n133 3 na n 32n1n2 n3n2n13 na 112 3n2 n1n21 2n3n2n1n n13 na 11n. 22又a 15,所以数列 a n的通项公式为a nn

10、1n . 22；注：此题仍可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式；五、变性转化法名师归纳总结 1、对数变换法适用于指数关系的递推公式a n的通项公式；第 5 页,共 10 页例 9 已知数列 a n满意a n12n 35 a ,na 17,求数列 解：由于a n12n 35a n,a 17,所以a n0,a n10；两边取常用对数得lga n15lga nnlg3lg2设lga n1x n1y5lga nxny（同类型四）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编优秀资料0,得lga nlg 3nlg 3lg 20,比较系数得,xlg 3,ylg

11、 3lg 24164由lga 1lg 31lg 3lg 2lg 7lg 31lg 3lg 2416441644164所以数列lga nlg 3nlg 3lg 2是以lg 7lg 3lg 3lg 2为首项,以5 为公比的等比数列,41644164就lga nlg 3nlg 3lg 2lg 7lg 3lg 3lg 25n1,因此41644164lga nlg 7lg 3lg 3lg 25n1lg 3nlg 3lg 24164464111n11lg7 343 162 5n1lg343 162 lg7 31115 n1lg3n31143 162 4162 5n4n15 n11lg75n131624就n

12、a5 n7135n4n125 n11；1642、倒数变换法适用于分式关系的递推公式,分子只有一项名师归纳总结 例 10 已知数列 a n满意a n12an2,a 111,求数列 a n的通项公式；11,公差为1 2,第 6 页,共 10 页an解：求倒数得1111,111,11为等差数列,首项a n2a na na n2a n1a na 111n1,a nn21a n2124a n,a 11,求数列 a n的通项公式；3、换元法适用于含根式的递推关系例 11 已知数列 na满意an11 1 164 an解：令b n124 a ,就a n1 242 b n1代入a n11 1 164 an124

13、an得12 b n1111412 b n1b n241624即2 4 b n1b n2 3- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀资料由于 b n 1 24 a n 0,就 2 b n 1 b n 3,即 b n 1 1b n 3,2 21可化为 b n 1 3 b n 3,2所以 b n 3 是以 b 1 3 1 24 a 1 3 1 24 1 3 2 为首项,以 1 为公比的等比数列,因此21 n 1 1 n 2 1 n 2 1 n 2b n 3 2 ,就 b n 3,即 1 24 a n 3,得2 2 2 22 1 n 1 n 1a n

14、；3 4 2 3六、数学归纳法 通过首项和递推关系式求出数列的前 n 项,猜出数列的通项公式,再用数学归纳法加以证明；名师归纳总结 例 12 已知数列 a n满意an1an2n8n132,a 18,求数列 na的通项公式；第 7 页,共 10 页2 1 2n9解：由an1an2n8n132及a 18,得2 1 2n9a 2a 181 12 3882242 2 1 1 2 1992525a 3a 22282122 3248 3482 1 22525 4949a 4a 3283 13324884802 3 1 24949 8181由此可推测a n2n2 11,下面用数学归纳法证明这个结论；2 n2

15、 1（1）当n1时,a 12 2 1 118,所以等式成立；2 2 1 19（2）假设当 nk 时等式成立,即a k2k2 11,就当nk1时,2 k2 1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - a k1a k2k8 k132名师精编优秀资料2 1 2 k12k2 112 k2 38 k2k2 1 2 k2 3* N 都成立；2k2 1 2 k2 32k2 12k1 2 2 k3 22k3 212 k2 32k2 1 112k1 1 2由此可知,当nk1时等式也成立；依据（ 1）,（ 2）可知,等式对任何n七、阶差法1、递推公式中既有S ,又有 na n1,

16、n2转化为数列a n或S 的递推关系,然后采纳相应的 n分析：把已知关系通过a nS nS nS n1方法求解；名师归纳总结 例 13已知数列 a n的各项均为正数,且前n 项和S 满意S n1 6an1an2,且a a a 成第 8 页,共 10 页等比数列,求数列a n的通项公式；解：对任意nN有S n1 6an1an2当 n=1 时,S 1a 11 6a 11a 12,解得a 11或a 12当 n2 时,S n11 6an11a n12-整理得：a na n1a na n130 a n各项均为正数,a na n13当a 11时,a n3 n2,此时2 a 4a a 成立当a 12时,a

17、n3 n1,此时2 a 4a a 不成立,故a 12舍去- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 所以a n3 n2名师精编优秀资料2、对无穷递推数列例 14 已知数列 a n满意a 11,a na 12a 23 a 32n1 a n1n2,求 a n的通项公式；解：由于a na 12 a 23 a 3n1 a n1 n2所以a n1a 12 a 23 a 3n1 a n1na n用式式得a n1a nna n.就a n1 n1 a nn2n.a2.故a nn1n1 n2a所以a na n1an1a 3a 2 n n14 3aanan2a 22a 1a ,又知

18、a 11,2 a 2,就a 2由a na 12 a 23 a 3n1 a n1 n2,取n2 得a 2就a 21,代入得a n1 3 4 5nn.；2所以, a n的通项公式为ann .2八、不动点法名师归纳总结 不动点的定义：函数f x 的定义域为 D ,如存在f x x 0D ,使f x 0x 成立,就称0x 为第 9 页,共 10 页f x 的不动点或称x 0,f x 0为函数f x 的不动点；分析：由f x x 求出不动点x ,在递推公式两边同时减去0x ,在变形求解；类型一：形如a n1qa nd例 15 已知数列 a n中,a 11,a n2 a n11 n2,求数列na的通项公式

19、；解：递推关系是对应得递归函数为f x 2x1,由f x 得,不动点为 -1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀资料a n 1 1 2 a n 1, 类型二：形如 a n 1 a a n bc a n d分析：递归函数为 f x a x bc x d（1）如有两个相异的不动点 p,q 时,将递归关系式两边分别减去不动点 p,q,再将两式相除得n 1aa nn 11 q pk aa nn q p,其中 k aa qc pc,a n a q a 1 pq kp k n 1 a pa 1 q pq （ 2） 如 有 两 个 相 同 的 不 动 点

20、 p , 就 将 递 归 关 系 式 两 边 减 去 不 动 点 p , 然 后 用 1 除 , 得1 1k,其中 k 2c；a n 1 p a n p a d例 16 已知数列 a n 满意 a n 1 21 a n 24,a 1 4,求数列 a n 的通项公式；4 a n 1解：令 x 21 x 24,得 4 x 220 x 24 0,就 x 1 2,x 2 3 是函数 f x 21 x 24 的两个不4 x 1 4 x 1动点；由于名师归纳总结 a n1221 an24221 an2424an113 a n2613a n2；所以数列a n12 3是第 10 页,共 10 页4an1a n1321 an24321 an2434an19a n279a n3a n以a 124 an113 为 公 比 的 等 比 数 列 , 故 9an2213n, 就422为 首 项 , 以a 1343an39a n2 13913；n 11- - - - - - -