结构的动力计算优秀课件.ppt

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1、结构的动力计算第1页，本讲稿共58页【例【例12-22】图示框架，其横梁为无限刚性。设质量集中在楼层上，试计算】图示框架，其横梁为无限刚性。设质量集中在楼层上，试计算其自振频率和主振型。其自振频率和主振型。解：本例两层框架为两个自由度体系，用解：本例两层框架为两个自由度体系，用刚度法刚度法计算较为方便。计算较为方便。(1)求刚度系数求刚度系数kij第2页，本讲稿共58页(2)求自振频率求自振频率w wi将将m1=2m和和m2=m以及已求出的以及已求出的kij代入代入所以所以 由此得由此得第3页，本讲稿共58页(3)求主振型（振型常数求主振型（振型常数r ri）第一主振型第一主振型第二主振型第二

2、主振型(4)作振型曲线，如图所示。作振型曲线，如图所示。第一主振型第一主振型 第二主振型第二主振型 第4页，本讲稿共58页2.柔度法柔度法作用下所产生的静力位移（图作用下所产生的静力位移（图a）对于图示体系，在自对于图示体系，在自由振动中的任一时刻由振动中的任一时刻t，质量，质量m1、m2的位移、的位移、应当等于体系在当时应当等于体系在当时惯性力惯性力思路思路(1)运动方程的建立运动方程的建立d dij是体系的柔度系数是体系的柔度系数第5页，本讲稿共58页也可写为也可写为 或或以上运动方程，也可利用以上运动方程，也可利用刚度法所建立的运动方程间接导出刚度法所建立的运动方程间接导出：因因所以，有

3、所以，有前乘以前乘以d d，得，得注意：注意：d d与与K虽然互为逆阵，但虽然互为逆阵，但d d中之中之d dij与与K中之中之kij元素一般并不元素一般并不互逆（仅单自由度体系例外）。互逆（仅单自由度体系例外）。第6页，本讲稿共58页(2)运动方程的求解运动方程的求解(3)求自振频率求自振频率w wi设特解设特解代入运动方程，并消去公因子代入运动方程，并消去公因子表明，主振型的位移幅值表明，主振型的位移幅值(Y1及及Y2)，就是体系在此主振型惯，就是体系在此主振型惯性力幅值作用下引起的静力位移，如图所示。性力幅值作用下引起的静力位移，如图所示。惯性力为惯性力为:第7页，本讲稿共58页将式通除

4、以将式通除以称为振型方程或特征向量方程。为了求得称为振型方程或特征向量方程。为了求得Y1、Y2不全为不全为0的解，应使该的解，应使该系数行列式等于零，即系数行列式等于零，即称为称为频率方程或特征方程频率方程或特征方程。由它可以求出。由它可以求出w w1和和w w2。第8页，本讲稿共58页令令l l =，代入式，代入式(a)，得关于，得关于l l 的二次方程的二次方程展开，得展开，得(a)可解出可解出l l的两个根，即的两个根，即约定约定l l1l l2(从而满足从而满足w w1 1 w w2 2)，于是求得，于是求得第9页，本讲稿共58页(4)求主振型求主振型1)第一主振型：将第一主振型：将w

5、 w=w w1 1代入代入2)第二主振型：将第二主振型：将w w=w w2 2代入代入第10页，本讲稿共58页【例【例12-23】试求图示结构的自振频率及主振型。各杆】试求图示结构的自振频率及主振型。各杆EI为常为常数，弹性支座的刚度系数数，弹性支座的刚度系数 。解解(1)计算柔度系数计算柔度系数d dijij应考虑弹性支座变形对位移的影响。应考虑弹性支座变形对位移的影响。图图第11页，本讲稿共58页图图图图(1)计算柔度系数计算柔度系数d dij第12页，本讲稿共58页(2)求自振频率求自振频率w wi将将m1=m2=m及已求得的及已求得的d dij代入代入(3)求主振型求主振型r ri第1

6、3页，本讲稿共58页(4)作振型曲线作振型曲线 第一主振型第一主振型 第二主振型第二主振型第14页，本讲稿共58页【例【例12-24】试求图示等截面梁的自振频率和主振型。质量】试求图示等截面梁的自振频率和主振型。质量m1=m2=m1000kg。E200GPa，I2104cm4，l=4m。图图 图图 图图 图图解解:(1)求柔度系数求柔度系数d dij第15页，本讲稿共58页(2)求自振频率求自振频率w wi第16页，本讲稿共58页(3)求主振型求主振型r ri第一主振型第一主振型第二主振型第二主振型(4)作振型曲线作振型曲线 第一主振型（反对称）第一主振型（反对称）第二主振型（对称）第二主振型

7、（对称）第17页，本讲稿共58页如果结构和质量布置都是对称的，体系的振型必定是对称或反对称的如果结构和质量布置都是对称的，体系的振型必定是对称或反对称的,可以可以利用对称性，取半边结构计算体系的第一频率利用对称性，取半边结构计算体系的第一频率,第二频率第二频率。这样，就将两个。这样，就将两个自由度体系的计算问题，简化为按两个单自由度体系分别进行计算。自由度体系的计算问题，简化为按两个单自由度体系分别进行计算。反对称半边结构反对称半边结构 对称半边结构对称半边结构第一主振型（反对称第一主振型（反对称)第二主振型（对称）第二主振型（对称）第18页，本讲稿共58页【例【例12-25】试计算图示刚架的

8、自振频率和主振型。】试计算图示刚架的自振频率和主振型。解：解：取集中质量取集中质量m处竖向处竖向位移位移y和刚性杆和刚性杆CD绕绕C点的点的转角转角q q 作为独立的几何作为独立的几何位移位移。由于本题是由线。由于本题是由线位移和角位移耦合组成位移和角位移耦合组成的振动，因此，不能简的振动，因此，不能简单地利用前面按柔度法单地利用前面按柔度法推出的公式计算自振频推出的公式计算自振频率和主振型，而应从考率和主振型，而应从考虑结构整体平衡，建立虑结构整体平衡，建立运动方程入手。运动方程入手。第19页，本讲稿共58页某一瞬时某一瞬时t，刚架上作用的惯性力如图所示。，刚架上作用的惯性力如图所示。由分布

9、质量所产生的惯性力对由分布质量所产生的惯性力对C点的点的合力矩为合力矩为(1)计算柔度系数计算柔度系数d dij 图图 图图 惯性力惯性力 第20页，本讲稿共58页建立运动方程建立运动方程:惯性力惯性力 将将 及各柔度系数及各柔度系数d dij代入式代入式(a)，经整理后，得，经整理后，得(a)与运动方程对比可知：与运动方程对比可知：m1=m，第21页，本讲稿共58页(3)求自振频率求自振频率w wi(4)求主振型求主振型r ri第22页，本讲稿共58页(5)作振型曲线作振型曲线 第一主振型第一主振型 第二主振型第二主振型 第23页，本讲稿共58页12.6.2（推广）（推广）n个自由度体系的自

10、由振动个自由度体系的自由振动1.刚度法刚度法(1)运动方程的建立运动方程的建立平衡方程为平衡方程为第24页，本讲稿共58页其中其中式中，式中，kij是结构的刚度系数，即使是结构的刚度系数，即使j方向产生单位位移（其他各点的位方向产生单位位移（其他各点的位移保持为零）时所在点移保持为零）时所在点i所需施加之力。所需施加之力。即得自由振动微分方程组即得自由振动微分方程组其矩阵形式为其矩阵形式为或简写为或简写为第25页，本讲稿共58页(2)运动方程的求解运动方程的求解 设特解设特解(3)求自振频率求自振频率将将 和和 代入式代入式 ，得，得 这是关于位移幅值的齐次线性代数方程，称为这是关于位移幅值的

11、齐次线性代数方程，称为振型方程振型方程或或特征方程特征方程。第26页，本讲稿共58页频率方程为频率方程为其展开形式为其展开形式为（4）求主振型）求主振型令令 表示与频率表示与频率w wi相应的第相应的第i个主振型向量，即个主振型向量，即将将w wi和和 代入振型方程，得代入振型方程，得第27页，本讲稿共58页令令i=1,2,n，可得出，可得出n个振型方程，由此可求出个振型方程，由此可求出n个主振型：个主振型：可求出可求出由振型方程可以惟一地确定主振型的形状，即由振型方程可以惟一地确定主振型的形状，即 中各幅中各幅值的相对值，但不能惟一地确定它的幅值值的相对值，但不能惟一地确定它的幅值(因方程右

12、端项因方程右端项干扰力为零干扰力为零)。第28页，本讲稿共58页（5）标准化主振型）标准化主振型(规一化主振型规一化主振型)一般常用以下两种作法：一般常用以下两种作法：1)规定主振型规定主振型 中的某个元素为某个给定值。通常规定中的某个元素为某个给定值。通常规定第一个元素第一个元素Y1i或最后一个元素或最后一个元素Yni等于等于1，也可以规定最大的，也可以规定最大的一个元素等于一个元素等于1。2)规定主振型规定主振型 满足满足第29页，本讲稿共58页【例【例12-26】试求图示三层刚架的自振频率和主振型（横梁变形略去不计）。各层间侧移刚度】试求图示三层刚架的自振频率和主振型（横梁变形略去不计）

13、。各层间侧移刚度（亦称抗剪刚度，为该层上下两端发生单位水平相对位移时该层各柱剪力之和）分别为（亦称抗剪刚度，为该层上下两端发生单位水平相对位移时该层各柱剪力之和）分别为k1、k2、k3，其单位为，其单位为MN/m。解：以各楼层的水平位移为几何坐标。解：以各楼层的水平位移为几何坐标。第30页，本讲稿共58页（1）求自振频率）求自振频率w wi1)建立刚度矩阵建立刚度矩阵K k11=k1+k2=441k21=k12=-k2=-196 k31=k13=0k22=k2+k3=294k32=k23=-k3=-98k33=k3=98于是，得到刚度矩阵为于是，得到刚度矩阵为N/m 第31页，本讲稿共58页2

14、)建立质量矩阵建立质量矩阵M kg 3)引入符号引入符号 ，并求自振频率，并求自振频率则则第32页，本讲稿共58页频率方程为频率方程为 其展开式为其展开式为 解得上式的三个根为解得上式的三个根为于是得于是得第33页，本讲稿共58页（2）求主振型）求主振型设取各标准化振型的第一个元素设取各标准化振型的第一个元素Y1i为为1，确定，确定Y(i)的方程为的方程为 可得可得 为求第一标准化振型，令为求第一标准化振型，令i=1，并将，并将 代入上式，利用其代入上式，利用其前两个方程，得前两个方程，得第34页，本讲稿共58页设设Y11=1，解出，解出Y21=2Y31=3将将Y11、Y21、Y31三个元素汇

15、总在一起，得第一振型为三个元素汇总在一起，得第一振型为依照以上作法，可得第二和第三标准化振型为依照以上作法，可得第二和第三标准化振型为第35页，本讲稿共58页第一主振型第一主振型第二主振型第二主振型 第三主振型第三主振型第36页，本讲稿共58页2.柔度法柔度法(推广到推广到n个自由度个自由度)(1)振型方程振型方程刚度法导出的特征向量方程刚度法导出的特征向量方程 为为用用d d左乘上式得左乘上式得 上式通除以上式通除以w w2，再令，再令可得柔度法的振型方程可得柔度法的振型方程第37页，本讲稿共58页其展开式为其展开式为由此得到关于由此得到关于l l的的n次代数方程，可解出次代数方程，可解出n

16、个根个根l l1，l l2，l ln，进而可求，进而可求n个频率个频率w w1 1，w w2 2，w wn。将所有的频率从小到大排列，得频率谱。将所有的频率从小到大排列，得频率谱。(3)主振型主振型(2)频率方程频率方程第38页，本讲稿共58页【例【例12-27】试求图示刚架的自振频率和主振型。已知各杆】试求图示刚架的自振频率和主振型。已知各杆EI常数。常数。解：解：本刚架具有三个自由度本刚架具有三个自由度(1)求柔度系数求柔度系数 图图 图图 图图第39页，本讲稿共58页(2)求自振频率求自振频率 体系的柔度矩阵和质量矩阵为体系的柔度矩阵和质量矩阵为频率方程频率方程 并解得并解得故自振频率为

17、故自振频率为第40页，本讲稿共58页(3)求主振型并绘振型图求主振型并绘振型图将将l li(i=1,2,3)分别代入振型方程分别代入振型方程 并令并令Y3i1，即可求得各阶各振型为，即可求得各阶各振型为:1)第一主振型第一主振型2)第二主振型第二主振型3)第三主振型第三主振型第41页，本讲稿共58页主振型图主振型图 第一主振型第一主振型 第二主振型第二主振型 第三主振型第三主振型第42页，本讲稿共58页【例【例12-28】求图示刚架的自振频率和振型。已知】求图示刚架的自振频率和振型。已知m1=m4=100kg，m2=m3=150kg，EI1=6MNm2，EI2=3EI1。五个自由度的体系五个自

18、由度的体系 正对称自由振动正对称自由振动反对称自由振动反对称自由振动 第43页，本讲稿共58页解：此刚架具有五个自由度。利用对称性，分解为有两个自由度的正对称自由解：此刚架具有五个自由度。利用对称性，分解为有两个自由度的正对称自由振动和有三个自由度的反对称自由振动分别进行计算，其结果列于下面线框内。振动和有三个自由度的反对称自由振动分别进行计算，其结果列于下面线框内。从小到大重新排列从小到大重新排列正对称自由振动正对称自由振动反对称自由振动反对称自由振动第44页，本讲稿共58页主主 振振 型型 图图 第一主振型第一主振型 第二主振型第二主振型第三主振型第三主振型 第四主振型第四主振型第五主振型

19、第五主振型第45页，本讲稿共58页12.7 主振型的正交性主振型的正交性在同一体系中，不同的两个固有振型之间，无论对于在同一体系中，不同的两个固有振型之间，无论对于M或是或是K，都具有正交的性质（分别称为第一正交性和，都具有正交的性质（分别称为第一正交性和第二正交性。第二正交性。利用这一特性，利用这一特性，一是可以将多自由度体系的强迫振动简化为单自由度一是可以将多自由度体系的强迫振动简化为单自由度问题（主要应用在任意干扰力作用下的强迫振动）问题（主要应用在任意干扰力作用下的强迫振动）二是可以检查主振型的计算是否正确，并判断主振型的二是可以检查主振型的计算是否正确，并判断主振型的形状特点。形状特

20、点。第46页，本讲稿共58页12.7.1 主振型的第一正交性主振型的第一正交性 n个自由度体系的振型方程为个自由度体系的振型方程为设设w wi为第为第i个自振频率，其相应的振型为个自振频率，其相应的振型为 ；w wj为第为第j个自振频率，个自振频率，其相应的振型为其相应的振型为 。将它们分别代入上式，可得。将它们分别代入上式，可得(a)(b)对式对式(a)两边左乘以两边左乘以 ，对式，对式(b)两边左乘以两边左乘以 ，则，则有有(c)(d)第47页，本讲稿共58页将式将式(c)减去式减去式(e)，得，得当当 时，得时，得为为主振型的第一正交性主振型的第一正交性，它表明，对于质量矩阵，它表明，对

21、于质量矩阵M，不同频，不同频率的两个主振型是彼此正交的。率的两个主振型是彼此正交的。即即将式将式(d)两边转置，将有两边转置，将有(e)第48页，本讲稿共58页12.7.2 主振型的第二正交性主振型的第二正交性将式将式(12-83a)代入式代入式(c)，可得，可得称为主振型的第二正交性，它表明，对于刚度矩阵称为主振型的第二正交性，它表明，对于刚度矩阵K，不同频率的两个主振型也是彼此正交的。不同频率的两个主振型也是彼此正交的。12.7.3 主振型正交性的物理意义主振型正交性的物理意义1.第一正交性的物理意义第一正交性的物理意义将式将式 分别乘以分别乘以 和和 ，可以得出以下，可以得出以下两式两式

22、第49页，本讲稿共58页式式(a)说明第说明第i主振型惯性力在第主振型惯性力在第j主振型上所做的虚功为零；式主振型上所做的虚功为零；式(b)说明第说明第j主振型惯性力在第主振型惯性力在第i主振型上所做的虚功为零。因主振型上所做的虚功为零。因此，此，第一正交性的物理意义是：相应于某一主振型的惯性力不会第一正交性的物理意义是：相应于某一主振型的惯性力不会在其他主振型上做功。在其他主振型上做功。(a)(b)第50页，本讲稿共58页2.第二正交性的物理意义第二正交性的物理意义由由可知，可知，第二正交性的物理意义是：相应于某一主振型的弹第二正交性的物理意义是：相应于某一主振型的弹性力不会在其他主振型上做

23、功。性力不会在其他主振型上做功。3.小结小结主振型的正交性可理解为：相应于某一主振型作简谐振动的能量不会转移主振型的正交性可理解为：相应于某一主振型作简谐振动的能量不会转移到其他振型上去，也就不会引起其他振型的振动。因此，各主振型可单独到其他振型上去，也就不会引起其他振型的振动。因此，各主振型可单独存在而不互相干扰。存在而不互相干扰。可推导出可推导出第51页，本讲稿共58页【例【例12-29】试验算例】试验算例12-26所求得的主振型是否满足正交关系。所求得的主振型是否满足正交关系。解：解：由例由例12-26得知质量矩阵和刚度矩阵分别为得知质量矩阵和刚度矩阵分别为又三个主振型分别为又三个主振型

24、分别为 第52页，本讲稿共58页(1)验算第一正交性验算第一正交性 同时，有同时，有第53页，本讲稿共58页(2)验算第二正交性验算第二正交性同时，有同时，有经以上检验表明，例经以上检验表明，例12-26所求得的主振型是满足第一、第二正交关系的，其所求得的主振型是满足第一、第二正交关系的，其计算是正确无误的。计算是正确无误的。第54页，本讲稿共58页12.8 多自由度体系在简谐荷载作用下的强迫振动多自由度体系在简谐荷载作用下的强迫振动(无阻无阻尼尼)12.8.1 刚度法刚度法1.运动方程的建立运动方程的建立以质点为隔离体，其振动方程为以质点为隔离体，其振动方程为2.运动方程的求解运动方程的求解

25、简谐荷载简谐荷载，即，即(1)设特解形式设特解形式第55页，本讲稿共58页(2)求位移幅值求位移幅值代入得代入得由此可解得质点位移的幅值。位移幅值由此可解得质点位移的幅值。位移幅值Yi为正号，表示与为正号，表示与FPi(t)同方向达同方向达到最大值，负号表示与到最大值，负号表示与FPi(t)反方向达到最大值。反方向达到最大值。(3)方程的解答方程的解答任意时刻的位移任意时刻的位移第56页，本讲稿共58页3.惯性力幅值的确定惯性力幅值的确定 式中式中I1、I2为质点为质点m1、m2的惯性力幅值。的惯性力幅值。4.求最大动位移求最大动位移(位移幅值位移幅值)第57页，本讲稿共58页5.求最大动内力求最大动内力(内力幅值内力幅值)常采用列写幅值方程法。即将常采用列写幅值方程法。即将位移达到幅值位移达到幅值Y1、Y2时的干扰时的干扰力幅值力幅值FP1和和FP2以及惯性力幅值以及惯性力幅值 、一起，沿一起，沿y坐标方向施加坐标方向施加于结构上，如图示于结构上，如图示(注意：所含注意：所含Yi要自带本身正负号要自带本身正负号)，然后按，然后按静力计算静力计算M动动（即（即Md,max）即可。）即可。第58页，本讲稿共58页