第二章 解析函数精选PPT.ppt

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1、第二章 解析函数第1页，本讲稿共63页1、导数与微分、导数与微分1 解析函数的概念解析函数的概念 定义定义：设 定义于区域D，为D中一点，且点 ，若极限 存在，则称 在 点可导，此极限值称为 在 点的导数，记第2页，本讲稿共63页（3）可导必然连续，反之不然。若 在D内处处可导，则称 在D内可导。注:（1）定义中极限可改为 ；（2）的方式是任意的，因此较一元实变函数具有许多独特的性质和应用。第3页，本讲稿共63页求导法则求导法则 例例1 证明：在复平面上处处不可导。（1）（c为常数）（2）（n为正整数）（3）第4页，本讲稿共63页（4）（5）（6）（7）其中 与 互为反函数。第5页，本讲稿共6

2、3页可微与可导等价微分：微分：在 点可导，则有则 称为函数 在 的微分记为 。若函数 在 点的微分存在，则称 在 处可微。第6页，本讲稿共63页2、解析的概念、解析的概念 定定义义：若 在 的某邻域内处处可微，则称 在 点解析。若 在区域D内每一点解析，则称 在D内解析，或称 是D内的一个解析函数（全纯函数、正则函数）。若 在 点不解析，则称 为 的奇点。第7页，本讲稿共63页 注注：可微与解析在区域内等价。但对点不等价。定理定理 ：（1）解析函数的和、差、积、商（分母不为0）仍为解析函数。（2）解析函数的复合函数仍为解析函数。例例1 讨论 的解析性。例例2 讨论 的解析性。第8页，本讲稿共6

3、3页3、函数解析的充要条件、函数解析的充要条件 定理定理（Cauchy-Riemann条件）函数 在区域D内解析的充要条件是：与 在D内任一点 可微，且满足Cauchy-Riemann方程第9页，本讲稿共63页 注意注意：（1）若 在D内满足C-R方程，且u，v具有一阶连续偏导，则 在D解析。（2）定理中“D内任一点”改为“D中某一点”，则变为 在D内某一点可导的充要条件。且第10页，本讲稿共63页 例例1：判定下列函数的解析性（1）（2）（3）例例2：设函数 问常数a，b，c，d取何值时，在复平面内处处解析？第11页，本讲稿共63页 推论推论1：若 在区域D内解析，且 则在D内 。推论推论2

4、：若函数 在区域D内解析，且 ，则 （为常数）是D内两组正交曲线族。第12页，本讲稿共63页证明证明：由于 ，故在D内 点 与 不全为0。1）设在 点 。则曲线 的斜率：由 得 曲线 的斜率：结论得证。第13页，本讲稿共63页 2）若 中有一个为0，此时过交点的两条切线，必然一条为水平线，另一条为铅直线。结论自然成立。第14页，本讲稿共63页1、指数函数指数函数2 初等函数初等函数性质：性质：（1），；（2）时，其中 ；（3）在复平面上解析，且 第15页，本讲稿共63页2、三角函数与双曲函数、三角函数与双曲函数（4）加法定理：（5）是以 为周期的周期函数。三角函数三角函数第16页，本讲稿共63

5、页余弦函数：正弦函数：第17页，本讲稿共63页性质性质（1）在复平面内解析，且（2）第18页，本讲稿共63页（3）是奇函数，是偶函数，且它们均是以 为周期的周期函数。（4）在复数域内 不成立。如：，则第19页，本讲稿共63页其它三角函数定义：例1:求 的值。例2:对任意的复数 ，若 则必有 （为整数）。正切正切 余切余切 正割正割 余割余割第20页，本讲稿共63页 性质：（1）这四个函数都在复平面上使分母不为零的点处解析，且（2）正切和余切的周期为 ，正割和余割的周期为 。第21页，本讲稿共63页双曲函数它们的性质类似于三角函数可通过定义来讨论.双曲正弦 双曲余弦 双曲正切 双曲余切 双曲正割

6、 双曲余割第22页，本讲稿共63页、根式函数、根式函数3 初等多值函数初等多值函数 定义:设函数 在区域D内有定义，且对D内任意不同的两点及，有，则称函数 在D内是单叶的并且称区域D为的单叶性区域 根式函数为幂函数的反函数（n是大于的整数）第23页，本讲稿共63页（）幂幂函函数数的的变变换换（映映射射）性性质质及及其其单单叶叶性区域性区域 函数在平面上是单值解析，它将扩充平面变成扩充平面，且 分别对应于 而由函数知对每一个不为零或的，在平面上有n个原象令令 ，则，则第24页，本讲稿共63页 结论：）变换将从原点出发的射线变成从原点出发的射线，并将圆周变成圆周（如下图）平面上的角形区域 变成 平

7、面上的角形区域 第25页，本讲稿共63页第26页，本讲稿共63页 特别：将平面上的角形区域变成平面上除原点与负实轴的区域 一般：将张角为的角形区域都变成平面除去原点与负实轴的区域第27页，本讲稿共63页 幂幂函函数数 的的单单叶叶性性区区域域是是顶顶点点在在原原点，张角不超过点，张角不超过 的角形区域的角形区域（）分出的单值解析分支（）分出的单值解析分支 函数函数 出现多值性的原因是由于出现多值性的原因是由于 确定后，其确定后，其辐角并不唯一确定。辐角并不唯一确定。第28页，本讲稿共63页 处处理理方方法法：在在 平平面面上上从从原原点点 到到 任任意意引引一一条条射射线线（或或一一条条无无界

8、界简简单单曲曲线线），将将 平平面面割割破破，割割破破的的 平平面面构构成成一一个个以以此此割割线线为为边边界界的的区区域域，记记为为G（同同时时也表示该区域中的某一子区域）。也表示该区域中的某一子区域）。第29页，本讲稿共63页 假定从原点起割破负实轴，C为G内过 的一条简单闭曲线，即C不穿过负实轴，它的内部不包含原点，则当变点从出发绕C一周时，它的象点 各画出一条闭曲线（包含在角形区域内）而回到它原来的位置，因为这时 回到其起始的值（下图为n=3的情形）第30页，本讲稿共63页第31页，本讲稿共63页 结论结论：上述的：上述的n个单值连续函数都个单值连续函数都是解析函数，且是解析函数，且

9、在区域在区域G内得到的内得到的n个不同的单值个不同的单值连续分支函数连续分支函数第32页，本讲稿共63页 支支点点：使使当当变变点点绕绕这这一一点点一一周周时时，多多值值函函数数从从其其一一支支变变到到另另一一支支，即即当当变变点点回回到到原原来来的的位位置置时时，函函数数值值与与原原来来的的值值相相异异，则则称称此此点点为此多值函数的支点为此多值函数的支点（）（）的支点及支割线的支点及支割线如：和都为的支点如：和都为的支点第33页，本讲稿共63页 支割线支割线：用来割破：用来割破 平面，借以分出平面，借以分出 的的单单值值解解析析分分支支的的割割线线，称称为为 的的支支割割线线 例：设例：设

10、 确定在从原点起沿负实轴确定在从原点起沿负实轴割破的平面上，且割破的平面上，且 ，求，求 的值的值第34页，本讲稿共63页2、对数函数、对数函数 (1)对数函数对数函数：满足方程 的函数称为对数函数，记为 。令 ，则 故 第35页，本讲稿共63页主值主值：注：对每个固定的 ，上式为一单值函数，称为 的一个分支。例例1、求 ，以及它们的主值。第36页，本讲稿共63页性质性质：1）2）(2)指指数数函函数数 的的变变换换性性质质及及其其单单叶叶性性区域区域令 ，则第37页，本讲稿共63页 结论:1)变换 将 平面上的直线 变成 平面上从原点出发的射线 ，将线段 变成圆周 .2)将 平面上的带形区域

11、 变成 平面上的角形区域 (如下图).第38页，本讲稿共63页第39页，本讲稿共63页 特别:变换 将 平面上的带形区域 变成 平面上除去原点及负实轴的区域.一般:变换 将宽为 的带形区域 都变成 平面上除去原点及负实轴的区域(如下图).第40页，本讲稿共63页第41页，本讲稿共63页 指数函数指数函数 的单叶性区域是：的单叶性区域是：平面平面上平行于实轴，宽不超过上平行于实轴，宽不超过 的带形区域的带形区域.(3)分出分出 的单值解析分支的单值解析分支 参照下图类似于对函数 的讨论.在 平面上从原点 起割破负实轴的区域G内，可得到 的多个不同的单值连续分支函数第42页，本讲稿共63页第43页

12、，本讲稿共63页3、一般幂函数与一般指数函数、一般幂函数与一般指数函数 在区域G内解析，且以与为支点，以连接它们的广义简单曲线（特别是负实轴）为支割线幂函数幂函数：第44页，本讲稿共63页关于a的三种特殊情形：设 表示 中的任意一个确定值，表示 所有值中的一个.则（）a为正整数n时，故是的单值函数第45页，本讲稿共63页（）a为无理数或虚数时，有无限多值（）a为有理数（既约分数）时，于是 ，有p个不同的值第46页，本讲稿共63页 综述综述：由于的多值性，一般也是多值的（仅当a为整数时例外）将分成单值解析分支的方法与相同，且仍以与为支点当从原点起沿负实轴割破平面后，的每一分支都解析，且第47页，

13、本讲稿共63页 一般指数函数：一般指数函数：它是无穷多个独立的，在平面上单值解析的函数 例例：求与 的值及主值第48页，本讲稿共63页、具有多个有限支点的情形、具有多个有限支点的情形 根式函数 与对数函数 的支点都是一个有限支点和无穷远点 .支割线可以是从0到 的一条射线(如包含原点的负实轴)，与限制变点 的辐角范围(如 )是一致的.从而，在 平面上以此割线为边界的区域G内，能分出单值解析分支第49页，本讲稿共63页 对具有多个有限支点的多值函数，就不能采用限制辐角范围的方法，而首先求出函数的一切支点，然后适当连接支点割破平面在平面上以此割线为边界的区域G内，分出该函数的单值解析分支第50页，

14、本讲稿共63页（）讨论函数的支点其中 是 的所有相异零点，分别是它们的重数，且 例例讨论下列函数的支点：（）（）第51页，本讲稿共63页解解：（）当z沿包含（但不包含）的简单闭曲线正方向绕行一周后，得到辐角增量 的值较初值增加了一个因子发生了变化，由此是的支点类似讨论可得也是其支点第52页，本讲稿共63页 当z沿同时包含与的简单闭曲线C绕行一周后，结果为初值乘以，并不改变其值故不是的支点第53页，本讲稿共63页（）的可能支点是，由于第54页，本讲稿共63页 结果 的值均较初值发生了变化故，都是的支点，且此外别无支点第55页，本讲稿共63页结论结论：）的可能支点是 和；）当且仅当n不能整除时，是

15、的支点；）当且仅当n不能整除N时，是的支点；第56页，本讲稿共63页）如果n能整除 中若干个之和，则 中对应的那几个可以连接成割线，即变点沿只包含它们在内部的简单闭曲线转一周后，函数值不变（）由已给单值解析分支的初值，计算终值第57页，本讲稿共63页 例例试证在将z平面适当割开后能分出三个单值解析分支并求出在点取负值的那个分支在的值 解解:由上可知 的支点是0、1、.将z平面沿正实轴从到割开，再沿负虚轴割开。在这样割开后的z平面区域G上，就能分出三个单值解析分支第58页，本讲稿共63页由于又由题设，可以认为，得第59页，本讲稿共63页（）关于对数函数的已给单值解析分支 计算它的终值：第60页，本讲稿共63页 、反三角函数、反三角函数 设 ，则称 为 的反余弦函数。记为：由 得 它的根为：第61页，本讲稿共63页 类似可定义：反余弦函数：反正切函数：例例3 求 ，的值。第62页，本讲稿共63页o1o2o3o4第63页，本讲稿共63页