相关与回归分析 (2)讲稿.ppt

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1、关于相关与回归分析(2)第一页，讲稿共八十一页哦第一节 相关与回归分析的基本概念一、函数关系与相关关系1.函数关系函数关系当一个或几个变量取一定的值时，当一个或几个变量取一定的值时，另一个变量有确定值与之相对应，另一个变量有确定值与之相对应，这种这种确定性的数量依存关系确定性的数量依存关系称为函称为函数关系。数关系。第二页，讲稿共八十一页哦（函数关系）（1）是一一对应的确定关系（2）设有两个变量 x 和 y，变量 y 随变量 x 一起变化，并完全依赖于 x，当变量 x 取某个数值时，y 依确定的关系取相应的值，则称 y 是 x 的函数，记为 y=f(x)，其中 x 称为自变量，y 称为因变量（

2、3）如是线性关系则各观测点落在一条线上 x xy y第三页，讲稿共八十一页哦现象之间客观存在的不严格、不确定的现象之间客观存在的不严格、不确定的数量依存关系称为相关关系。数量依存关系称为相关关系。2 2.相关相关 关系关系当一个或几个变量取一定的值时，当一个或几个变量取一定的值时，另一个变量有不确定值与之相对另一个变量有不确定值与之相对应，这种应，这种不确定性的数量依存关不确定性的数量依存关系系称为相关关系。称为相关关系。第四页，讲稿共八十一页哦变量间的关系（相关关系）（1）变量间关系不能用函数关系精确表达；（2）一个变量的取值不能由另一个变量唯一确定；（3）当变量 x 取某个值时，变量 y

3、的取值可能有几个；（4）如果是线性关系，各观测点分布在直线周围。x xy y第五页，讲稿共八十一页哦（相关关系）相关关系的例子相关关系的例子商品的消费量商品的消费量(y)与居民收入与居民收入(x)之间的关系之间的关系商品销售额商品销售额(y)与广告费支出与广告费支出(x)之间的关系之间的关系粮粮食食亩亩产产量量(y)与与施施肥肥量量(x1)、降降雨雨量量(x2)、温温度度(x3)之间的关系之间的关系收入水平收入水平(y)与受教育程度与受教育程度(x)之间的关系之间的关系父亲身高父亲身高(y)与子女身高与子女身高(x)之间的关系之间的关系第六页，讲稿共八十一页哦3、相关关系与函数关系的区别与联系

4、、相关关系与函数关系的区别与联系（1）函数关系是数学研究的范畴，相关关系是统计学研究的范畴。（2）相关分析需要利用函数关系数学表达式来研究，所以相关关系是相关分析的研究对象，函数关系是相关分析的工具第七页，讲稿共八十一页哦二、相关关系的种类 相关关系 自变量个数的多少自变量个数的多少 相关的密切程度相关的密切程度 一元相关一元相关学习成绩与学习时间；血压与年龄；亩产量与施肥量 多元相关多元相关经济增长与人口增长、科技水平、自然资源、管理水平等之间的关系；相关的方向（线性）相关的方向（线性）相关的形式相关的形式 线性相关线性相关收入与收入与支出支出 非线性相关非线性相关施肥施肥量与农产量量与农产

5、量 完全相关完全相关 不完全相关不完全相关 不相关不相关 正相关正相关同增同减同增同减 负相关负相关一增一减一增一减第八页，讲稿共八十一页哦三、相关分析的主要内容相关分析是指对两个或两个以上现象之间数量上的不确定依存关系进行的统计分析。具体来说：1、判断现象之间有无相关关系以及具体的表现形式；2、确定相关关系的密切程度和方向3、检验现象统计相关的显著性4、广义讲，相关分析包括回归分析。第九页，讲稿共八十一页哦定性分析定性分析是依据研究者的理论知识和实践经验，是依据研究者的理论知识和实践经验，对客观现象之间是否存在相关关系，以对客观现象之间是否存在相关关系，以及何种关系作出判断。及何种关系作出判

6、断。定量分析定量分析在定性分析的基础上，通过编制在定性分析的基础上，通过编制相关表相关表、绘制绘制相关图相关图、计算、计算相关系数相关系数等方法，等方法，来判断现象之间相关的方向、形态来判断现象之间相关的方向、形态及密切程度。及密切程度。第二节相关分析的方法一、一、相关关系的判断相关关系的判断第十页，讲稿共八十一页哦（一）相关表判断（一）相关表判断1.1.简单相关表：未分组资料（对自变量数列有序排列后观简单相关表：未分组资料（对自变量数列有序排列后观察相应的因变量数值的变化，以判断是否相关，方向如何？）察相应的因变量数值的变化，以判断是否相关，方向如何？）2.2.分组相关表：分组相关表：（1

7、1）单变量分组相关表（对自变量分组并计算次数，对应）单变量分组相关表（对自变量分组并计算次数，对应的因变量不分组，计算平均值，进行比较判断。）的因变量不分组，计算平均值，进行比较判断。）（2 2）双变量分组相关表（对自变量因变量都进行分组）双变量分组相关表（对自变量因变量都进行分组后制成的相关表。注意：自变量放在纵栏，因变量放后制成的相关表。注意：自变量放在纵栏，因变量放在横栏。在横栏。第十一页，讲稿共八十一页哦单变量分组相关表单变量分组相关表：自变量分组且计算次数，因变量只计算平均：自变量分组且计算次数，因变量只计算平均数。数。第十二页，讲稿共八十一页哦2、双变量分组相关表：双变量分组相关表

8、：对自变量与因变量均进行分对自变量与因变量均进行分组。组。注：自变量注：自变量X X轴；因变量轴；因变量Y Y轴。轴。第十三页，讲稿共八十一页哦（二）利用散点图判断(scatter diagram)不相关不相关不相关不相关不相关不相关 负线性相关负线性相关负线性相关负线性相关负线性相关负线性相关 正线性相关正线性相关正线性相关正线性相关正线性相关正线性相关 非线性相关非线性相关非线性相关非线性相关非线性相关非线性相关 完全负线性相关完全负线性相关完全负线性相关完全负线性相关完全负线性相关完全负线性相关完全正线性相关完全正线性相关完全正线性相关完全正线性相关完全正线性相关完全正线性相关 第十四页

9、，讲稿共八十一页哦（三）通过计算相关系数进行判断（三）通过计算相关系数进行判断这是利用有关的两变量的具体数值，采用一定的方法计算出这是利用有关的两变量的具体数值，采用一定的方法计算出能反映变量之间相互关系的统计数字（相关系数），以说明能反映变量之间相互关系的统计数字（相关系数），以说明变量之间相关的密切程度。变量之间相关的密切程度。常用的有皮尔逊线性相关系常用的有皮尔逊线性相关系数。数。第十五页，讲稿共八十一页哦二、相关系数的计算1、含义 说明两变量之间线性相关密切程度的统计分析指标。用r表示。也称积差法计算的相关系数。相关系数r界于-1与1之间 当r0表示正相关 绝对值r 越接近1，线性相关

10、越密切 绝对值r 越接近0，相关程度越弱数值说明（一）皮尔逊线性相关系数（一）皮尔逊线性相关系数r第十六页，讲稿共八十一页哦-1.0+1.00-0.5+0.5完全负相关完全负相关无线性相关无线性相关完全正相关完全正相关负相关程度增加负相关程度增加r正相关程度增加正相关程度增加第十七页，讲稿共八十一页哦 通常：当相关系数的绝对值通常：当相关系数的绝对值：小于小于0.30.3时时,表示不相关或微弱相关表示不相关或微弱相关 介于介于0.30.3至至0.50.5，表示低度相关，表示低度相关 介于介于0.50.5至至0.80.8，表示显著（中度）相关，表示显著（中度）相关 大于大于0.8 0.8 时，表

11、示高度相关时，表示高度相关第十八页，讲稿共八十一页哦2、直线单相关系数、直线单相关系数r的计算公式（过程）的计算公式（过程）（1）计算自变量数列的标准差）计算自变量数列的标准差（2）计算因变量的标准差计算因变量的标准差（3）计算两者的协方差计算两者的协方差协方差表示X和Y两变量相对与各自均值所造成的共同平均离差（4）计算相关系数计算相关系数第十九页，讲稿共八十一页哦3.相关系数的其他公式相关系数的其他公式（1）积差法公式：）积差法公式：（2）积差法展开式：积差法展开式：（3）简捷公式：简捷公式：第二十页，讲稿共八十一页哦第二十一页，讲稿共八十一页哦 的作用1、显示x与y之间的相关方向正相关第二

12、十二页，讲稿共八十一页哦负相关第二十三页，讲稿共八十一页哦2、显示x与y之间的相关程度。第二十四页，讲稿共八十一页哦负相关第二十五页，讲稿共八十一页哦不相关第二十六页，讲稿共八十一页哦归纳 的作用第一、显示x与y之间的相关方向第二、显示x与y之间的相关密切程度第二十七页，讲稿共八十一页哦 x、y的作用1、使不同变量的协方差标准化标准化直接对比。r第二十八页，讲稿共八十一页哦试根据下列资料计算直线相关系数：第二十九页，讲稿共八十一页哦 第三十页，讲稿共八十一页哦例如：某企业某种产品产量与单位成本的资料如下：计算直线例如：某企业某种产品产量与单位成本的资料如下：计算直线相关系数相关系数产量（千件）

13、单位成本（元/件）273372471373469568理论上可以先通过定性判断、画散理论上可以先通过定性判断、画散点图等确定两个变量间是否有关系，点图等确定两个变量间是否有关系，在此基础上可以直接用公式计算相在此基础上可以直接用公式计算相关系数。公式的选择可以根据实际关系数。公式的选择可以根据实际的资料和计算条件来确定。的资料和计算条件来确定。注意注意：在计算相关系数时，无需：在计算相关系数时，无需确定自变量和因变量，所以确定自变量和因变量，所以x,y 的确定是任意的。的确定是任意的。第三十一页，讲稿共八十一页哦相关系数计算表产量x（千件）单位成本y（元/件）xyx2y227314645329

14、3722169518447128416504137321995329469276164761568340254624合计 2135514817930268 r=-0.9091即单位成本与产量间存在着即单位成本与产量间存在着高度的线性负相关高度的线性负相关关系。关系。第三十二页，讲稿共八十一页哦解答：即账单消费额与小费之间存在着高度的正线性相关关系。第三十三页，讲稿共八十一页哦关于相关系数的解释1、相关系数为0，不一定不相关,只能说明不存在线性相关。2、基于平均数进行相关分析与基于个体数据进行相关分析，其相关程度不一样。如：一项研究中，关于个人收入和教育的成对数据产生了一个0.4的线性相关系数，

15、但当使用区域平均时，线性相关系数变为0.7。3、相关系数具有对称性。第三十四页，讲稿共八十一页哦注意事项：注意事项：（1）注意）注意实际意义实际意义 进行相关回归分析要有实际意义，不可把毫无关系进行相关回归分析要有实际意义，不可把毫无关系的两个事物或现象用来作相关回归分析的两个事物或现象用来作相关回归分析。例如，有人。例如，有人说，孩子长，公园里的小树也在长。求孩子和小树之间说，孩子长，公园里的小树也在长。求孩子和小树之间的相关关系就毫无意义，用孩子的身高推测小树的高度的相关关系就毫无意义，用孩子的身高推测小树的高度则更加荒谬。则更加荒谬。（2）注意）注意虚假相关虚假相关 两个事物间能计算出相

16、关系数，并不一定能证明事两个事物间能计算出相关系数，并不一定能证明事物间有内在联系物间有内在联系，例如，有人发现，对于在校儿童，鞋，例如，有人发现，对于在校儿童，鞋的大小与阅读技能有很强的相关关系。然而，学会新词的大小与阅读技能有很强的相关关系。然而，学会新词并不能使脚变大，而是涉及到第三个因素并不能使脚变大，而是涉及到第三个因素 年龄。当儿年龄。当儿童长大一些，他们的阅读能力会提高而且由于长大也穿童长大一些，他们的阅读能力会提高而且由于长大也穿不下原来的鞋。不下原来的鞋。第三十五页，讲稿共八十一页哦 （3）利用）利用散点图散点图 对于性质不明确的两组数据，可先做散点图，在图对于性质不明确的两

17、组数据，可先做散点图，在图上看它们有无关系、关系的密切程度、是正相关还是负上看它们有无关系、关系的密切程度、是正相关还是负相关，是直线相关还是曲线相关，然后再进行相关分相关，是直线相关还是曲线相关，然后再进行相关分析。析。（4）注意）注意变量范围变量范围 相关分析和回归方程仅适用于产生样本的原始数据相关分析和回归方程仅适用于产生样本的原始数据范围之内，出了这个范围，两变量的相关关系和回归关范围之内，出了这个范围，两变量的相关关系和回归关系不能就此得到说明。系不能就此得到说明。第三十六页，讲稿共八十一页哦4 4、相关系数的显著性检验、相关系数的显著性检验一般情况下，总体相关系数是未知的，通常有样

18、本相关系数一般情况下，总体相关系数是未知的，通常有样本相关系数r r作为近似的估计值。样本不同，作为近似的估计值。样本不同，r r的值不同，是随机变量，能的值不同，是随机变量，能否用否用r r说明总体的相关程度，就需要考察样本说明总体的相关程度，就需要考察样本r r的可靠程度，也的可靠程度，也就是进行显著性检验。就是进行显著性检验。如如r r的抽样分布服从正态分布的假设成立，用正态分布来检验。但的抽样分布服从正态分布的假设成立，用正态分布来检验。但对对r r抽样分布的讨论可知，这种假设的风险很大，所以通常对抽样分布的讨论可知，这种假设的风险很大，所以通常对r r用用t t分布检验，该检验可用于

19、小样本也可用大样本。分布检验，该检验可用于小样本也可用大样本。检验步骤检验步骤 （1 1）（2 2）计算检验的统计量计算检验的统计量 （3 3）进行判断）进行判断第三十七页，讲稿共八十一页哦第三十八页，讲稿共八十一页哦相关系数的显著性检验（实例）对相关系数进行显著性检(0.05)1.提出假设：H0：；H1：02.计算检验的统计量3.3.根据显著性水平根据显著性水平根据显著性水平根据显著性水平 0.050.05，查，查，查，查t t分布表得分布表得分布表得分布表得t t(n n-2)=2.160 由于由于由于由于 t t =48.385=48.385t(15-2)=2.160(15-2)=2.1

20、60，拒绝拒绝拒绝拒绝H0 0，该该种食种食物需求量和地区人口增加量物需求量和地区人口增加量之间的相关关系显著。之间的相关关系显著。之间的相关关系显著。之间的相关关系显著。第三十九页，讲稿共八十一页哦（三）斯皮尔曼等级相关系数的计算1.等级相关的含义等级相关的含义 就是把有关联的数量标志或品质标志的具体表现按等就是把有关联的数量标志或品质标志的具体表现按等级次序排列，形成级次序排列，形成X X和和Y Y这两个序列，再测定这两个序列之这两个序列，再测定这两个序列之间的相关程度，得到的相关系数即为等级相关系数。常用的间的相关程度，得到的相关系数即为等级相关系数。常用的有有斯皮尔曼相关系数斯皮尔曼相

21、关系数、肯特尔相关系数等。、肯特尔相关系数等。2.等级相关的优缺点等级相关的优缺点 优点：简单易行、应用广泛，适用于不便精确计量优点：简单易行、应用广泛，适用于不便精确计量 的标志的标志(即定序尺度衡量的现象即定序尺度衡量的现象)缺点：精确度稍差于按积差法计算的相关系数缺点：精确度稍差于按积差法计算的相关系数第四十页，讲稿共八十一页哦3.3.斯皮尔曼等级相关系数的计算斯皮尔曼等级相关系数的计算斯皮尔曼等级相关系数的计算斯皮尔曼等级相关系数的计算计算步骤 定等级 依此计算每对观察值相应的等级差D 计算D2 代入公式第四十一页，讲稿共八十一页哦例：以下是两组消费者对十种商品的评分资料，据此计算两组

22、资料间的等级相关系数编号甲组评分乙组评分183 8786280 684 8.5385 984 8.5490 10807579 575 4.5672 373 2.5777 48610868 1701970 275 4.51081 773 2.5合计计算等级相关系数，计算等级相关系数，首先应将原数据转化首先应将原数据转化为等级，本例中甲组为等级，本例中甲组最低分是最低分是68分，则可分，则可将它的等级数定为将它的等级数定为1，70分的等级数就是分的等级数就是2，72分的为分的为3，依次，依次类推，如果两个数值类推，如果两个数值相等，则值以平均位相等，则值以平均位置数代替。置数代替。第四十二页，讲稿

23、共八十一页哦等级相关系数计算表编号甲组评分乙组评分等级x 等级yD2183788 6 4280846 8.56.25385849 8.50.254908010 7 9579755 4.50.25672733 2.50.25777864 1036868701 10970752 4.56.251081737 2.520.25合计82.25第四十三页，讲稿共八十一页哦第四十四页，讲稿共八十一页哦第三节回归分析的基本问题“回归”一词最早源于生物学。英国生物学家高尔顿，根据1078对父子身高的散点图发现，虽然身材高的父母比身材矮的父母倾向有高的孩子。但平均而言，身材高大的其子要矮些，身材矮小的其子要高些

24、。这种遗传上身高区域一般，退化到平均的现象，高尔顿称为回归。一、回归分析的含义（一）回归分析的目的：探求变量间的不确定性数量关系。（一）回归分析的目的：探求变量间的不确定性数量关系。（二）回归分析的概念及实质（二）回归分析的概念及实质1.回归分析概念回归分析概念：是对具有相关关系的两个或两个以上变量之间的数量变：是对具有相关关系的两个或两个以上变量之间的数量变化进行测定，配合一定的模型，以便给出自变量的值对因变量进行估计或预化进行测定，配合一定的模型，以便给出自变量的值对因变量进行估计或预测的一种统计分析方法。测的一种统计分析方法。2.回归分析的实质回归分析的实质：是在相关分析的基础上，研究现

25、象间的数量变化规律在相关分析的基础上，研究现象间的数量变化规律。第四十五页，讲稿共八十一页哦二、回归分析与相关分析的区别二、回归分析与相关分析的区别（1）相关分析中，变量 x 变量 y 处于平等的地位，毋需确定自变量、因变量，而回归分析必须区别。变量之间有前后因果关系时，确定较为容易；变量之间互为因果关系或没有明显因果关系时，根据研究目的确定。（2）相关分析中所涉及的变量 x 和 y 都是随机变量；回归分析中，因变量 y 是随机变量，自变量 x 则是给定的。（3）相关分析主要是描述变量之间有无关系？密切程度如何？回归分析则进一步揭示变量 x 对变量 y 的影响大小，并可以由回归方程进行预测或估

26、计，具有较强的应用性（4）在没有明显因果关系的两个变量 x 和 y 中可求得两个回归方程,也就是回归方程不具有对等性。而相关系数却只有一个,也就是相关系数具有对等性。（5）在线性回归方程中，自变量的系数称为回归系数，它与相关系数同号,也能表明相关的方向。第四十六页，讲稿共八十一页哦三、回归分析的内容（一）根据研究目的和变量间的内在联系，确定自变量和因变量（一）根据研究目的和变量间的内在联系，确定自变量和因变量 例例 粮食产量（粮食产量（y y）施肥量（施肥量（x x）；）；消费支出（消费支出（y y）国民收入（国民收入（x x）；）；火灾损失额（火灾损失额（y y）火灾发生地与最近一个消防站之

27、间的距离（火灾发生地与最近一个消防站之间的距离（x x）。）。（二）确定回归分析模型的类型及数学表达式（二）确定回归分析模型的类型及数学表达式（三）建立模型（解参数）（三）建立模型（解参数）（四）对回归分析模型进行评价（四）对回归分析模型进行评价（五）预测（五）预测 例例 消费与收入的回归方程：消费与收入的回归方程：y=a+bx=200+0.15xy=a+bx=200+0.15x 已知已知 x x确定确定y y：估计或预测：估计或预测 第四十七页，讲稿共八十一页哦四、回归模型的种类第四十八页，讲稿共八十一页哦（一）简单回归与多元回归：根据变量个数划分（一）简单回归与多元回归：根据变量个数划分1

28、.1.简单回归分析模型是指只有一个自变量和一个因变量的回归简单回归分析模型是指只有一个自变量和一个因变量的回归分析模型；分析模型；2.2.多元回归分析模型是指多个自变量与一个因变量组成的回归分多元回归分析模型是指多个自变量与一个因变量组成的回归分析模型。（增加了自变量的个数）析模型。（增加了自变量的个数）（二）线性回归与非线性回归：按变量间相互关系的形态分（二）线性回归与非线性回归：按变量间相互关系的形态分1.1.线性回归模型是指变量间的关系为直线趋势的模型形态；线性回归模型是指变量间的关系为直线趋势的模型形态；2.2.非线性回归模型是指变量间的关系为曲线趋势的模型形态非线性回归模型是指变量间

29、的关系为曲线趋势的模型形态上述四种情况交叉结合为简单线性回归和简单非线性回归，上述四种情况交叉结合为简单线性回归和简单非线性回归，多元线性回归和多元非线性回归等不同类型多元线性回归和多元非线性回归等不同类型第四十九页，讲稿共八十一页哦五、一元(简单)线性回归模型（一一)描描述述因因变变量量 Y Y如如何何依依赖赖于于自自变变量量 X X 和和误误差差项项 的的方方程称为程称为回归模型回归模型（二）一元线性回归模型可表示为（二）一元线性回归模型可表示为 Y Y=+=+X X+Y Y是是 X X 的线性函数部分加上误差项的线性函数部分加上误差项 线性部分反映了由于线性部分反映了由于 X X 的变化

30、而引起的的变化而引起的 Y Y 的变化的变化误误差差项项 是是随随机机变变量量,反反映映了了除除 X X和和 Y Y之之间间的的线线性性关关系系之之外外的的随随机机因因素素对对Y Y的的影影响响，是是不不能能由由 X X 和和 Y Y之之间间的的线线性性关关系系所所解解释释的的变变异异性性。由由于于 的的值值是是非非固固定定的的，从从而而使使X X和和 Y Y呈现非确定性关系呈现非确定性关系 和和 称为模型的参数称为模型的参数误误差差项项 是是一一个个服服从从正正态态分分布布的的随随机机变变量量,且且独独立立.即即 _ _N(0,N(0,)。第五十页，讲稿共八十一页哦回归估计方程 1.在回归模

31、型中，在回归模型中，X是自变量，是可控的，是自变量，是可控的，Y是随机变量对上是随机变量对上述的一元线性回归模型两端取数学期望，即得一元线性回归述的一元线性回归模型两端取数学期望，即得一元线性回归方程：方程：E（Y）=+X这一模型表明这一模型表明Y的期望值是的期望值是X的线性函数。的线性函数。其中：其中：和和 是待定系数，是待定系数，是回归系数，它表示自变量是回归系数，它表示自变量 x 每变动一个单每变动一个单位时，位时，因变量因变量Y的平均变动值的平均变动值。由于总体回归参数由于总体回归参数 和和 是未知的，必需利用样本数据去估计。得是未知的，必需利用样本数据去估计。得一元线性回归估计方程一

32、元线性回归估计方程第五十一页，讲稿共八十一页哦（六）方程的参数的估计方法（六）方程的参数的估计方法-最小二乘法最小二乘法 要使所拟合的直线最理想，必须使实际值与估计值的偏差最小，因此需数学的方法，即利用“离差平方和最小”原理，拟合出最佳直线。最小二乘法最小二乘法：通过使Y的实际值与Y的预测值之间垂直离差的平方和达到最小所确定的回归方程。第五十二页，讲稿共八十一页哦根据上述的论述，最小平方法满足的条件是：和把回归方程 代入对a、b参数求导得：第五十三页，讲稿共八十一页哦整理得两个方程 求得 b回归系数，反映自变量回归系数，反映自变量X每变动（增加或减少）一个单位所引起因变量每变动（增加或减少）一

33、个单位所引起因变量 平均变动平均变动b个单位的量个单位的量。第五十四页，讲稿共八十一页哦（七）回归分析的应用（七）回归分析的应用（七）回归分析的应用（七）回归分析的应用在计算相关系数时，我们曾列出了一个企业的产量和单位成本的两组在计算相关系数时，我们曾列出了一个企业的产量和单位成本的两组数据，通过计算，我们得出了这两个变量呈现高度负相关的结论。那数据，通过计算，我们得出了这两个变量呈现高度负相关的结论。那么进一步研究，来看看它们之间到底呈现怎样的数量关系呢？产量的么进一步研究，来看看它们之间到底呈现怎样的数量关系呢？产量的变动对成本的具体影响又是如何呢？我们可以用最小二乘法来求解参变动对成本的

34、具体影响又是如何呢？我们可以用最小二乘法来求解参数，作出判断和预测。数，作出判断和预测。第五十五页，讲稿共八十一页哦例3 回归分析计算表产量x（千件）单位成本y（元/件）xyx2273146437221694712841637321994692761656834025合计 21426148179由于是进行回归分析，所以由于是进行回归分析，所以必须确定自变量和因变量，必须确定自变量和因变量，在无明显因果关系时，理论在无明显因果关系时，理论上可以拟合两条回归方程，上可以拟合两条回归方程，视要求选择。而如果变量间视要求选择。而如果变量间有明显因果关系时，必须将有明显因果关系时，必须将“因因”作为自变

35、量，作为自变量，“果果”作为因变量。本例中我们研作为因变量。本例中我们研究产量变动对成本的影响，究产量变动对成本的影响，故以产量为故以产量为 x，成本为成本为y。第五十六页，讲稿共八十一页哦解得：解得：则成本依产量回归的方程为则成本依产量回归的方程为:yc=77.37-1.82x回归系数回归系数b=-1.82说明当产量每增加说明当产量每增加1千件时，单位成本平均下降千件时，单位成本平均下降1.82元。元。两者呈负相关。两者呈负相关。同时，用回归方程还可以进行预测，例：当产量达到同时，用回归方程还可以进行预测，例：当产量达到10千件时，单位成本千件时，单位成本yc=77.37-1.82 10=6

36、6.55元。元。第五十七页，讲稿共八十一页哦例为研究用餐消费与小费支出的关系，随机抽取了10位用餐顾客，得样本数据如下（用EXCEL软件生成的散点图）请请拟拟合合样样本本回回归归方方程程第五十八页，讲稿共八十一页哦解：通过散点图可近似看出呈线性关系，故设两者有关系经济意义：用餐消费每增加经济意义：用餐消费每增加100100美元，小费支出平均增加美元，小费支出平均增加16.616.6美元。美元。第五十九页，讲稿共八十一页哦六、回归系数与相关系数的关系 第六十页，讲稿共八十一页哦（1）两者是同向的两者是同向的；（2）r反映变量的相关方向与密切程度反映变量的相关方向与密切程度；b反映自变量变动一个单

37、位时因变量的平均变动反映自变量变动一个单位时因变量的平均变动b个单位个单位。第六十一页，讲稿共八十一页哦1.已知变量y依x的直线回归方程的斜率为b，又知变量y和x之间的相关系数是r，那么x变量依y变量的直线回归方程斜率是多少？2.已知直线回归方程yc=1.35+4.2x,=6,r=0.9 试求第六十二页，讲稿共八十一页哦八、判断回归方程拟合程度的指标八、判断回归方程拟合程度的指标1.说明回归直线的拟合程度的指标。是对回归直线的代表性大小的衡量。2.实际观察值与回归估计值离差平方和的均方根。3.反映实际观察值在回归直线周围的分散状况。如果所有的点都落在直线上说明观测值与预测值之间没有差异，所以估

38、计不存在误差，显然这种精确估计是不可能的，所以需要一个指标来反映根据X得到的Y预测值的精确程度，即估计标准误差，用于度量相对于回归直线的离散程度4.计算公式为由样本资料计算由样本资料计算（一）回归估计标准误差（一）回归估计标准误差第六十三页，讲稿共八十一页哦计计算算例例子子下表是有关下表是有关15个地区某种食物需求量和地区人口增加量的资料。个地区某种食物需求量和地区人口增加量的资料。第六十四页，讲稿共八十一页哦.回归估计标准误的简化计算公式（利用 可推导出上述公式）第六十五页，讲稿共八十一页哦（二）判定系数(回归模型拟合程度的评价回归模型拟合程度的评价)（一）离差平方和（总变差）的分解（一）离

39、差平方和（总变差）的分解1.因变量 y 的取值是不同的，y 取值的这种波动称为总变差。变差来源于两个方面：由于自变量 x 的取值不同造成的；除 x 以外的其他随机因素的影响。2.对一个具体的观测值来说，总变差的大小可以通过该实际观测值与其均值之差 来表示。判定系数是从另一角度说明回归直线拟合程度的又一度量值。判定系数是从另一角度说明回归直线拟合程度的又一度量值。它的引入是从离差平方和的分解入手的。它的引入是从离差平方和的分解入手的。第六十六页，讲稿共八十一页哦xyy y 总变差构成图解：总变差构成图解：第六十七页，讲稿共八十一页哦SST=SSR+SSE总平方和总平方和总平方和总平方和(SSTS

40、ST)回归平方和回归平方和回归平方和回归平方和(SSRSSR)残差平方和残差平方和残差平方和残差平方和(SSESSE)从图中我们可将总变差分解从图中我们可将总变差分解、变差的分解、变差的分解 第六十八页，讲稿共八十一页哦（1 1）总平方和）总平方和(SST)SST)反映因变量的反映因变量的 n n 个观察值与其均值的总离差个观察值与其均值的总离差（2 2）回归平方和）回归平方和(SSRSSR)反反映映由由于于 x x 与与 y y 之之间间的的线线性性关关系系引引起起的的 y y 的的取取值值变变化化，也也称称可可解解释释的的平平方方和和。说说明明自自变变量量 x x 的的变变化化对因变量对因

41、变量 y y 取值变化的影响。取值变化的影响。（3 3）残差平方和）残差平方和(SSESSE)反反映映除除 x x 以以外外的的其其他他因因素素对对 y y 取取值值的的影影响响，也也称称为为不不可解释的平方和或剩余平方和。可解释的平方和或剩余平方和。第六十九页，讲稿共八十一页哦（二）判定系数（二）判定系数判定系数判定系数：也称决定系数或确定系数也称决定系数或确定系数也称决定系数或确定系数也称决定系数或确定系数。是指。是指。是指。是指回归变差占总变差的回归变差占总变差的比重比重是反映回归直线的是反映回归直线的是反映回归直线的是反映回归直线的拟合优度的统计指标。也就是说因变量拟合优度的统计指标。

42、也就是说因变量拟合优度的统计指标。也就是说因变量拟合优度的统计指标。也就是说因变量Y Y的总变差中能被自变量的总变差中能被自变量的总变差中能被自变量的总变差中能被自变量X X的变差所解释或说明的比例。的变差所解释或说明的比例。的变差所解释或说明的比例。的变差所解释或说明的比例。第七十页，讲稿共八十一页哦在在直线相关中，判定系数就是相关系数的平方。直线相关中，判定系数就是相关系数的平方。直线相关中判定系数的作用直线相关中判定系数的作用 第七十一页，讲稿共八十一页哦由于此外，判定系数就测量变量之间的相关关系而言，具有独立的意义。它不仅适用此外，判定系数就测量变量之间的相关关系而言，具有独立的意义。

43、它不仅适用线性相关，也适用非线性相关。线性相关，也适用非线性相关。公式如下：公式如下：第七十二页，讲稿共八十一页哦 例已知下列资料，试计算判定系数与估计标准误。第七十三页，讲稿共八十一页哦答：观察值与回归值之间的平均离差为答：观察值与回归值之间的平均离差为0.730.73，总离差中的总离差中的88.03%88.03%是因为是因为x x的变动所引起的的变动所引起的。或者说支出数值的变动中。或者说支出数值的变动中,有有88.03%88.03%是由收是由收入的变动所决定的入的变动所决定的.可见支出和收入之间有较强的相关关可见支出和收入之间有较强的相关关系系.r=0.95第七十四页，讲稿共八十一页哦已

44、知回归直线的斜率是0.8，自变量的方差是200，样本容量是20，那么回归离差平方和是多少。第七十五页，讲稿共八十一页哦总结：1、线性相关系数的计算2、简单线性回归模型的建立3、相关系数和回归系数的关系4、回归估计标准误和判定系数的计算第七十六页，讲稿共八十一页哦一、填空题1、在相关关系中，把具有因果关系相互联系的两个变量中起影响作用的变量称为_，把另一个说明观察结果的变量称为_。2、现象之间的相关关系按相关的程度分有_相关、_相关和_相关；按相关的方向分_相关和_相关；按相关的形式分有_相关和_相关；按影响因素的多少分有_相关和_相关。3、对现象之间变量关系的研究中，对于变量之间相互关系密切程

45、度的研究，称为_；研究变量之间关系的方程式，根据给定的变量数值以推断另一变量的可能值，则称为_。4、完全相关即是_关系，其相关系数为_。5、在相关分析中，要求两个变量都是_；在回归分析中，要求自变量是_，因变量是_。6、相关系数是在_相关条件下用来说明两个变量相关_的统计分析指标。7、相关系数的变动范围介于_与_之间，其绝对值愈接近于_，两个变量之间线性相关程度愈高；愈接近于_，两个变量之间线性相关程度愈低。当_时表示两变量正相关；_时表示两变量负相关。8、当一个变量值增加，另一变量值也增加，这是_相关关系；当一个变量值减少，另一变量值也减少，这是_相关关系。第七十七页，讲稿共八十一页哦二、单

46、项选择题二、单项选择题1、当自变量的数值确定后，因变量的数值也随之完全确定，这种关系属于（、当自变量的数值确定后，因变量的数值也随之完全确定，这种关系属于（）A A、相关关系相关关系 B B、回归关系回归关系 C C、函数关系函数关系 D D、随机关系随机关系2 2、测定变量之间相关密切程度的代表性指标是（、测定变量之间相关密切程度的代表性指标是（）。）。A A、相关系数相关系数 B B、两个变量的协方差两个变量的协方差C C、估计标准误估计标准误 D D、两个变量的标准差两个变量的标准差4 4、变量之间的相关程度越低，则相关系数的数值（变量之间的相关程度越低，则相关系数的数值（）。）。A A

47、、越接近于越接近于 0 0 B B、越小越小 C C、越接近于越接近于-1 -1 D D、越接近于越接近于1 15 5、下列哪两个变量之间的相关程度高（、下列哪两个变量之间的相关程度高（）。）。A A、商品销售额和商品销售量的相关系数是商品销售额和商品销售量的相关系数是0.90.9；B B、商品销售额与商业利润率的相关系数是商品销售额与商业利润率的相关系数是0.840.84；C C、平均流通费用率与商业利润率的相关系数是平均流通费用率与商业利润率的相关系数是-0.94-0.94；D D、商品销售价格与销售量的相关系数是商品销售价格与销售量的相关系数是-0.91-0.916 6、回归分析中的两个

48、变量（、回归分析中的两个变量（）。）。A A、都是随机变量都是随机变量 B B、都是给定的量都是给定的量C C、自变量给定的，因变量随机变量自变量给定的，因变量随机变量 D D、关系是对等的关系是对等的7 7、相关关系是（、相关关系是（）。）。A A、现象之间客观存在的依存关系现象之间客观存在的依存关系 B B、函数关系函数关系 C C、现象之间客观存在的，关系数值不固定的依存关系现象之间客观存在的，关系数值不固定的依存关系 D D、现象之间客观存在的，关系数值是固定的依存关系现象之间客观存在的，关系数值是固定的依存关系第七十八页，讲稿共八十一页哦8 8、每一吨铸铁成本（元）倚铸件废品率（、每

49、一吨铸铁成本（元）倚铸件废品率（%）变动的回归方程为：）变动的回归方程为：这意味着（这意味着（）。）。A A、废品率每增加废品率每增加1%1%，成本每吨增加，成本每吨增加6464元元B B、废品率每增加废品率每增加1%1%，成本每吨增加，成本每吨增加8%8%C C、废品率每增加废品率每增加1%1%，成本每吨平均增加，成本每吨平均增加8 8元元D D、如果废品率增加如果废品率增加1%1%，则每吨成本为，则每吨成本为5656元。元。9 9、现象之间的相互关系可以归纳为两种类型，即（、现象之间的相互关系可以归纳为两种类型，即（）。）。A A、相关关系和因果关系相关关系和因果关系 B B、相关关系和函

50、数关系相关关系和函数关系C C、相关关系和随机关系相关关系和随机关系 D D、函数关系和因果关系函数关系和因果关系1010、两个变量间的相关关系称为（、两个变量间的相关关系称为（）。）。A A、无相关无相关 B B、单相关单相关 C C、复相关复相关 D D、多相关多相关三、简答题三、简答题1 1、什么是相关关系？它与函数关系有何不同？、什么是相关关系？它与函数关系有何不同？2 2、相关分析与回归分析有何区别与联系？、相关分析与回归分析有何区别与联系？3 3、相关关系的种类有哪些？、相关关系的种类有哪些？4 4、说明相关系数的取值范围及其判断标准。、说明相关系数的取值范围及其判断标准。第七十九