2023一轮复习重难点专题突破专题09 函数零点问题的综合应用（解析版）.docx

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1、2023 一轮复习重难点专题突破专题09函数零点问题的综合应用【方法技巧与总结】1.函数零点问题的常见题型：判断函数是否存在零点或者求零点的个数；根据含参函数零点情况，求 参数的值或取值范围.求解步骤：第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图像与X轴(或直线歹=%)在某区间上的交 点问题；第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质，进而画出其图像；第三步：结合图像判断零点或根据零点分析参数.【题型归纳目录】题型一：零点问题之一个零点题型二：零点问题之二个零点题型三：零点问题之三个零点题型四：零点问题之max, min问题题型五：零点问题之同构法题型六：零点问

2、题之零点差问题题型七：零点问题之三角函数题型八：零点问题之取点技巧【典例例题】题型一：零点问题之一个零点例 1.已知。0,函数/()=2以3-3(/+l)x?+6办-2 .(1)讨论x)的单调性；(2)若在R上仅有一个零点，求a的取值范围.【解答】解：(1)由题可知：fx) = 6ax2 - 6(a2 + l)x + 6a- 6(x - a)(ax -1) .令 / x) = 0,则,x = a或x = L当 a,即0 a 0 ,此时，/(x)在(Y,a), (L+oo)单调递增，/(x)在(a-)单调递减：aa当a = l时，/(x).O恒成立，所以/(x)在R上单调递增.当即，时，或x卜时

3、,(工)0,此时，/W在(F,1),(a,+o)上单调递增，fM在(-,a)单调递减. aa综上，当0al时，/(x)的增区间为1-8-和(a,+oo), /(x)的减区间为(La). k a)a(2)由题可得:/ (a) =-a4+3a2-2 = (a2-l)(2-a2)；A1) = 1-4 a a由(1)可得：当Ova 1时，/(a)0,/d)1时，/(-)0,又x)在R上仅有一个零点，则/ (a) 0,即2-/o解得i 0 时，h(x) 0=0x)上单调递减，在(0,)递增.综上，当&, 0时，人(外在(。,茁)上单调递减.当60时，力(x)在(扬，+8)上单调递减，在(0,)递增.(2

4、) f(x)在R上有且仅有一个零点，即方程3加-2 =工有唯一解，令g(x)= ；T，g(x) = J)，令g(x) = ，可得x = 或x = 2, 2e2ex(-8,0)时，gf(x) 0 , xw(2,+oo)时，gf(x) +o)时，g(x) - 0, Xf-00 时，g(x) - 4-0021. 3加- 2 丁 或 3加一 2 = 0 .e22-2TH + yy , 或加=所以，的取值范围(弓+？，+)|J-.例 3.已知函数/(x) = (x-l)e*-ox?+6 .(I )讨论x)的单调性；(II)从下面两个条件中选一个，证明：“X)恰有一个零点.l、 1e?一 2a ；22(2

5、)0 a 0时，fx)0 ,当x0时，f(x)0时，令/(x) = 0,可得x = 0或x = /(2a),当0a0 或 x0,当/(2a)x0 时，/(x) 1 时，2当x加(2a)时,fx)Q,当 0x/(2a)时，f(x)0, /(x)在(-8,0),(历(2a),依)上单调递增，在(0,仞2幻)上单调递减. 综上所述：当a, 0时，f(x)在(-a),0)上单调递减；在(0,田)上 单调递增;当0。；时，/(x)在(yo,0)和(历(2a), +oo)上单调递增；在(0,加(2a)上单调递减.(II)证明：若选，由(1 )知，/(x)在(yo,0)上单调递增，(0, /”(2a)单调递

6、减，(ln(2a), +8)/(x)单调递增.注意到 /(_,)= (_甘-1把 2a- l0 ./(X)在(#Q上有一个零点；f(/n(2a) = (ln(2a) -1) - 2a - a /n2 2a + h 2aln(2a) -2a- alrr 2a + 2a = aln(2a)(2 -ln(2a),1 /由-v4 得00,当 x.O 时,/(x)./(/(2a) 0 ,此时/(x)无零点.综上：f(X)在R上仅有一个零点.另解：当 aeg，时，有/(2a)e(0, 2,而/(x) = b-ll = 0，于是 f(ln(2a) = (ln(2a)-1)- 2a-aln2(2a) + b=

7、ln(2a)(2 -ln(2a) + (b-2a)0 ,所以/(x)在(0,+8)没有零点，当x0时，-(0,1),于是幻-以2+6 = /(-2)(2a)上单调递增，在(加(2a), 0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增.f(ln(2a) = (ln(2a)-l)2a -aln22a + b.、2aln(2a)-2a-aln22a + 2a = aln(2a)(2-ln(2a),/心0, .加2硕2-加(2初。，Mg”。，.当 X. 0 时，/(xl，/(/n(2a)0时，/(x)单调递增，注意至iJ/(0) = b-L, 2a-l0,取 c = J2Q - b) + 2 , 9： b

8、2a V2 1 又易证 e，c + l，f(c) = (c-l)el -ac2 +b(c-l)(c + )-ac2 +b = (l-a)c2 +b-l-c2 +b- = -b + + b- = l0,/(x)在(0,c)上有唯一零点，即/(X)在(0,+oo)上有唯一零点.综上：/(x)在R上有唯一零点.题型二：零点问题之二个零点例 4.已知函数/(x) = (x-2)e*, a e R .(1)讨论/(x)的单调性：(2)若x)有两个零点，求的取值范围.【解答】解：(I)由 “x) = (x-2)e，-a(x-l)2,可得 f(x) = (x-l)e*- 2a(x -l) = (x-l)(e

9、x - 2a),当 a. 0 时，由/(x)0,可得 xl；由/，(x)0,可得 x)递增;当a0时，由/，(x) = 0,解得x = l 或x = /2a ,若 =1，则(x).O恒成立，即有/(外在R上递增;若00,可得x 1 或；由 f(x) 0 ,可得加(2a) x ,由 f(x) 0 ,可得 x ln(2a)；由 fx) 0 ,可得 1 x 0时，a = 时，f(x)在H上递增;0a时，/(x)在(-8,1)，(/(2a),内)递增；在(1，/(2a)递减(2)由(1)可得，当。0时，/(x)在(yo,1)递减；在(l,+oo)递增，且/ (1) =-e0,故 x)在(1,2)上存在

10、 1 个零点,取 6 满足 b0, fib0,故/(x)在S,l)是也存在1个零点，故a0时，若。=二时，“X)在R递增，/(x)不存在2个零点，不合题意；若0。且，/(x)在(l,+oo)递增，又当x, 1时，/(x)0 , /(x)不存在2个零点，不合题意，当时，X)在(-00,1)单调增，在(1, 加(2a)递减，在(/(2a), +8)递增，/(x)极大值=/ (1) =-e0,此时/(x)在(0,+oo)上单调递增；当a0时，由r(x)0解得0也，由(幻也，此时/(x)在(0,也)上单调递增， aaa在(也,+8)上单调递减；a综上，当a, 0时，/(x)在(0,+8)上单调递增；当

11、。0时，x)在(0,也)上单调递增，在(,+oo)上单调递减； aa(2)由(1)知，当a, 0时，/(x)在(0,+8)上单调递增，函数“X)至多一个零点，不合题意；当。0时，/(x)在(0,近)上单调递增，在(江,+8)上单调递减，则aafMmax = /() = /n-1 a (-=)2 =-1/n(a + l).a y/a 2 y/a 2当a.时，/(x)max = /() = -ln(a +1) 0 ,函数x)至多有一个零点，不合题意；ea 2当00， ea 2由于le(0,-J=), H/(l) = /nl-fl-l2 = -!-a4=，且/(2)=历2-_1.(2)2=历2-22

12、-2=0 (由于/”、 0 ) 则x0 时，/(x)0 时，f(x) 0 , /(x)在(0,+oo)递增,当 a 0 时，由/，(x) = 0 得$ =/a , x2 = 0 , 若。=1,则 f(x).O ,故 f(x)在 R 递增， 若0 a 1 ,则当 x 0 时，f(x) 0 ) x 0 时，f(x) 0 ,故/(x)在(0,+oo)递增，在(0a,0)递减;综上：a. 0时，/(x)在(-oo,0)递减，在(0,+8)递增，0al 时，f(x)在(-oo,/a) , (0,+)递增，在(/“a,0)递减； a = l时，x)在R递增；(2)a = l时，/(x)在R递增，不可能有2

13、个零点，当 0al 时，/(x)在(Y0,/a) , (0,+8)递增，(/a,0)递减，故当x =痴时，x)取极大值，极大值为/(茄)=-“5+2) + 2必”0, 此时，/(x)不可能有2个零点，当 a = 0 时，f(x) = ex(ex -2),由/(x) = 0 得 x = /2 ,此时，/(x)仅有1个零点，当0时，/(x)在(-8,0)递减，在(0,+oo)递增， 故 f (x)min = /(0) = -1 -2a ,/(x)有 2 个零点，./() , 40,取 b eb (a +1)2. .0 , 2a故f(x)在(-00,0), (0,+x)各有1个零点，综上，a的取值范

14、围是(-1, 0). 2题型三：零点问题之三个零点例 7.已知函数/(x) = a(/”x + ), a&R . x(1)求x)的极值；(2)若方程2/(x)-/”x + x + 2=0有三个解，求实数a的取值范围.【解答】解：(1) /(x)的定义域为(0,+8),XXX当 0时，/(x)在(0,1)上递减，在(L+oo)上递增,所以/(x)在x = 1处取得极小值a ,当。=0时，/(x) = 0 ,所以无极值，当。 0).X XX若a.O,则当xw(0/)时，Y(x) 0 ,力(x)单调递增，力(x)至多有两个零点.若 4 = 一；，则 X(0,+8), Ar(x).O (仅“ (1 )

15、 =0),以工)单调递增，至多有一个零点.若- a 0 ,则 0 -2a 0, (x)单调递增;当工(一2凡1)时，hx) 0 , /z(x)单调递减，要使3)有三个零点，必须有需成立.由力(1) 0 ,得一 m，这与-10矛盾，所以力(x)不可能有三个零点.若 0 (x)单调递增;当xe(1,-2q)时，Y(x)v0,力(外单调递减，要使Mx)有三个零点，必须有 成立， h(-2a) 0 ,得,2由 (2a) = (2a 1)/(2tz) 1 0 及 a ,得 a ,-a.并且,当一3av-g 时,0e-2 -2a ,2222人(2) = 4 + -2 + 2矶/-2)4 + 1-&2-2)

16、4 + 1-5? / - 3, +2) = e2-6-3e2 e2-70.综上，使 (x)有三个零点的的取值范围为(-，-/.例 8.已知函数/(x) = x/x-(a + l)x + l , a w R .(1)求函数/(外的单调区间和极值(2)若方程(2a-l)(13 + a + l) + L + x + 2 = 0有三个解，求实数a的取值范围. XX【解答】解：(1)函数的定义域(0,+oo), fx) = lnx-a ,当xe“时，/r(x) 0 ,函数单调递增，当0xe。时，fx) 0即歹= x/x+ 1 0 , ee故原方程可转化为-2a =与小匚,xlnx-l令 g(x)=(xl

17、nx + ,则 g，(x) =(x + D(/)(l) (x/nx +1)因为x0 ,易得当或0x 0 ,函数单调递增，当1cxec时，gf(x) 0故当x = l时，函数取得极大值g (1) =4,当x = e时，函数取得极小值g (e)函数单调递减,= e + l ,由题意可得，y = l-2a与g(x)3个交点，则e + ll-2a0时，令/(外0,解得：x号或x-令八x) 0 时，/(x)在(一8,3)递增，在f勺递减，在嗜,+8)递增;(2)由(1)得：& 0，/(x)极小值=/(x)极大值二若/(X)有三个零点,左0Td只需，,解得：0 k V327八4。4 故丘(0,).27题型

18、四：零点问题之max, min问题例 10.已知函数/Xx) = x3+qx +，, g(x) = -Inx .4(1)当为何值时，工轴为曲线y = /(x)的切线.(2)设尸a)=/a)-g(x)在口, +8)单调递增，求的取值范围.(3)用加加，处表示加，差中的最小值,设函数/?(工)=加屋/(幻，g(x)(x0),讨论力(幻零点的 个数.【解答】解：(1)八x) = 3f+.设曲线y = /(x)与工轴相切于点P&o，0),则 /) = 0, /缶)=0,；元；+ cIXq d- 03/2 +。= o, i 3解得 / = ， a =-,因此当4 = -士时，X轴为曲线y = /(幻的切

19、线；4(2) F(x) = /(x)- g(x) = x3 + ax + + /azx ,4导数为尸(x) = 3x2 + a + Lx由题意可得3/+。+上.0在1, +oo)恒成立，X即有-a, 3/+工的最小值，X由3x2 H的导数为6x - 0在x1递增， XX即有最小值为4,贝ij 一a, 4 ,解得 a.- 4 ；(3)当 xe(l,+x)时，g(x) = -Inx 0 ,/.函数人(x) = min f(x), g(x) g(x) 0 ,故力(X)在R (l,+8)时无零点.当 x = l 时，若 a一 *,则/ ( I ) = a + .0 44/.h(x) = min f (

20、1), g (1 ) = g (1) =0,故x = l是函数(x)的一个零点；若a-2,则/ (1) =a + 0 , 44:.h(x) = min f (1), g (1) = / (1) 0 ,因此只考虑/(x)在(0,1)内的零点个数即可.当4 -3或a.O时，/V) = 3f+。在(0,1)内无零点,因此“X)在区间(0,1)内单调，而 f (0) = ， f ( 1 ) =。4,44当a, -3时，函数/(X)在区间(0,1)内有一个零点，当a.0时,函数/(x)在区间(0,1)内没有零点.当-3a 0 即 a 0 t则f(x)在(0,1)内无零点. V 34若唔)皿 7,则/在(

21、。)内有唯一零点.若杵)0,即由/(o)= ，f (I) =。+ (，.当时，/(x)在(0,1)内有两个零点. 44当-3a. 时，/(x)在(0,1)内有一个零点. 4 35综上可得：当-一或a-一时，(x)有一个零点； 443 5当。=-2或-士时，力(x)有两个零点；4 4当-2a 0)讨论 (x)零点的个数.【解答】解：(1)若函数g/(x)的定义域为H,则任意 xwR ,使得 /(x) = x2 -I- ar + 0 4所以 = / 4x 1 x， 0 ,所以3,1,且/ (1) 0,即2. 1,且 1+4 + 10,24解得a ,4所以a的取值范围为(-：, 4-00).(3)因

22、为当工1 时，g(x) = -Inx 0 ,所以 h(x) = minf(x), g(x) g(x) 0 ,所以h(x)在(l,+oo)上无零点，当a.0时，/(x)过(0)点，且对称轴-2.0，作出(x)的图象，可得Mx)只有一个零点x = l ,-1时，令，(x) = 0,解得石且0 0).若函数 6(x)在(0,+8)上恰有2个零点，求实数的取值范围.【解答】解：(1) ff(x) = 3x2-3a,当a. 0时，r(x).O, /(X)在R上单调递增，当 a 0 时，fx) = 3(x 4- 4a )(x - y/a),当xc(-8,-布)，(，+oo), /r(x)0, /(x)单调

23、递增，当XE (-右，筋)，fx) 0,力(x).g(x)0, A(x)在(0,e)无零点，当 x = e 时，g (e) =0, f (e) = e3 - 3ae + e ,若/ (e) 0 ,即则e是力(x)的一个零点，若/ (e) 0 ,即a-,则e不是力(x)的零点，当xe(e,+8)时，g(x)3e?-3a , 当a,/时，/(x)0, /(x)在(e,x)上单调递增.所以：(i )当a, 宁时，f .0, /(x)在(e,+oo)上无零点；(ii )当一-a. /时，/ (e) 0 ,所以此时 f(x)在(e,-f-oo)上恰有一个零点；当a/时，由(1)知，/(x)在3,近)递减

24、，(&，+oo)递增，又因为/ (e) =e3 -3ae + e e3 -3e3 + e 8a2 -6a2 + e = 2a2 + e 0 ,所以此 时/(x)恰有一个零点.综上，a .3题型五：零点问题之同构法例13.已知函数/(幻= +-/(0)-2(40),若函数/(X)在区间(0,+8)内存在零点，求实数4的 e取值范围,v1【解答】解：方法一：由/() = + %一/()一2(。0)可得r(x) = J(a),ee xplx- f t _ )设 y =a , x 0 , a 0 ,则 y=；，令 y = 0 n x = 1 ,y 在 x w (0,1)单调递减，在 x (1, +oo

25、)XX单调递增，故y. = y=1-。当0a0,此时/(x)在区间(0,+8)内无零点;当a = 1时，f (1) =a-l-/na = O,此时/(x)在区间(0,+8)内有零点;V _ 1 pX-l当 al 时，令/(x) = (a) = 0 ,解得x = X1 或 1 或X2,0 x, 1 一+1 + /n(ax)-l = 0,因为e、.j + l当x = 0时等号成立,所以-x +1+ /(ar) = 0 ,即 ax = e、T, 令g(x) = J，g(x) =1xxxe易知g(x)在(0,1)单减,在(1,+oo)上单增,所以g(x).g(1)=1, 又X趋近于0和正无穷时，g(x

26、)趋近于正无穷，例14.已知/()=%/内+ 2+.(1)若函数8(%)=/。) +工(：05-5后-17内-1在(0,5上有1个零点，求头数a的取值氾围.(2)若关于x的方程x/R =/(x)-1工2+一 1有两个不同的实数解，求a的取值范围.【解答】解：(1) g(x) = x2 +xcosx-sinx , xg(0 ,所以 g(x) =- sin x) 9当a.时，a?sinx.O,所以g(x)在(0,自单调递增，又因为g(0) = 0,所以g(x)在(0,上无零点；当 0a0,即a2时，g(x)在(0,马上无零点， 8k2若Q?L0,即0a, W时，g(x)在(0,马上有一个零点， 8

27、乃2当a. 0时，gx) = a-xsinx0 , g(x)在(0,工上单调递减，g(x)在(0,刍上无零点，综上当0 0),即 xexa = xlnx + ar ,即 exa =加工 + a ,则有/一。+(x-Q)= x + /u,令 h(x) = x + lnx , x 0 ,则 hexa) = exa + (x - a),(x) = l + 10,所以函数(x)在(0,+oo)上递增， X所以则有x-a = /nx, BP a = x-Inx , x0 因为关于x的方程一 = /(x)-yx2 4-ar-l有两个不同的实数解，则方程4 =无-勿 , x0有两个不同的实数解，令(p(x)

28、 = x Inx ,贝lj(px) = 1 =-, X X当 0 x v 1 时,(px) 1 时，(px) 0 ,所以函数o(x) = X -加X在(0,1)上递减，在(1, +00)上递增,所以。(女加=。=1，当 X - 0 时，(p(x) -+00 , 当 X - y 时，(p(x) - +00 , 所以a|al.例 15.已知函数 f(x) = aex - ln(x +1) + Ina 1 .(1)若a = 1,求函数/(x)的极值；(2)若函数/(x)有且仅有两个零点，求a的取值范围.【解答】解析：(1)当。=1 时，/(x) = ex-Zn(x+l)-l, ff(x) = ex一

29、, x-l, x + 1显然T(x)在(-1,+ao)单调递增，且广(0) = 0,当一lx0时，ff(x)0时，/(x)0, /(x)单调递增.在x = 0处取得极小值0) = 0,无极大值.(2)函数力有两个零点,即/(幻=0有两个解，即/(如、)=加阿+1) + (工+ 1)有两个解,设人) = 1 +而，则+力单调递增，t.aex=x(x-1)有两个解,即a = (x-1)有两个解, ex令s(x) = =(x.-l)，贝lj(x) =-三， ee当 XE (-1,0)时，5r(x) 0 , s(x)单调递增；当 xw(0,+oo)时，s，(x)0 时 s(x)0,/. 0 a 1 .

30、题型六：零点问题之零点差问题例16.已知关于x的函数y = /(x) , y = g(x)与O = b + b(左wR)在区间。上恒有f(x)/g(x).(1)若/(工)=/+2%，g(x) = -x2 + 2x , D = (-oo,+ao),求力(x)的表达式；(2)若/(工)=2 - x + l , g(x) = klnx h(x) = kx - k , 0 = (0,+oo),求 的取值范围；(3)若/(x) = / -2x?, g(x) = 4x2 -8 , (x) = 4(r+ 2f2(0|“” 也)，D = m , n c: -V2 V2,求证：一九【解答】解：(1)由/(x) = g(x)得x = 0 ,又八x) = 2x + 2, gx) = -2x + 2,所以-0) = g，(0) = 2,所以，函数(x)的图象为过原点，斜率为2的直线，所以(x) = 2x,经检验：A(x) = 2x ,符合任意，(2) h(x)-g(x) = k(x-lnx),1 y - 1设 o, e(x)单调递增，在(0,1)上，(px) p(0) = 1+ A