第二章控制系统的数学模型教案.doc

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1、第二章：控制系统的数学模型2.1 引言系统数学模型描述系统输入、输出及系统内部变量之间关系的数学表达式。建模方法本章所讲的模型形式2.2控制系统时域数学模型1、 线性元部件、系统微分方程的建立（1）L-R-C网络 2阶线性定常微分方程（2）弹簧阻尼器机械位移系统 分析A、B点受力情况 由 解出 代入B等式： 得： 一阶线性定常微分方程（3）电枢控制式直流电动机电枢回路：克希霍夫电枢及电势：楞次电磁力矩：安培力矩方程： 牛顿变量关系： 消去中间变量有： （4）X-Y记录仪（不加内电路） 消去中间变量得：二阶线性定常微分方程即：2、 线性系统特性满足齐次性、可加性l 线性系统便于分析研究。l 在实

2、际工程问题中，应尽量将问题化到线性系统范围内研究。l 非线性元部件微分方程的线性化。例：某元件输入输出关系如下，导出在工作点处的线性化增量方程解：在处线性化展开，只取线性项： 令 得 3、 用拉氏变换解微分方程 （初条件为0） 复习拉普拉斯变换的有关内容1 复数有关概念 （1）复数、复函数 复数 复函数 例： （2）复数模、相角 （3）复数的共轭 （4）解析：若F(s)在s点的各阶导数都存在，称F(s)在s点解析。2 拉氏变换定义 3 几种常见函数的拉氏变换1. 单位阶跃：2. 指数函数：3. 正弦函数：4拉氏变换的几个重要定理 （1）线性性质： （2）微分定理： 零初始条件下有：l 例1：求

3、 l 例2：求 解：（3）积分定理： （证略）零初始条件下有：进一步有：l 例3：求Lt=? 解： l 例4：求 解： （4）位移定理 实位移定理：l 例5： 解： 虚位移定理：（证略）l 例6：求l 例7：l 例8：（5）终值定理（极限确实存在时）证明：由微分定理取极限：有：证毕l 例9：求l 例10：拉氏变换附加作业一 已知f(t),求F(s)=?二已知F(s),求f(t)=? 5.拉氏反变换(1) 反变换公式：(2) 查表法分解部分分式(留数法，待定系数法，试凑法)微分方程一般形式： 的一般表达式为：（I）其中分母多项式可以分解因式为： (II)的根(特征根)，分两种情形讨论：I：无重根

4、时：(依代数定理可以把表示为：)即：若可以定出来，则可得解：而计算公式：()()(说明()的原理，推导() )例2：求解：例3：，求解：不是真分式，必须先分解：(可以用长除法)例4：解法一： （）解法二：II：有重根时：设为m阶重根，为单根 .则可表示为：其中单根的计算仍由(1)中公式() ()来计算.重根项系数的计算公式：(说明原理)例5 求解：3.用拉氏变换方法解微分方程 例：解：举例说明拉氏变换的用途之一解线性常微分方程，引出传函概念。如右图电路：初条件：输入依克西霍夫定律：L变换：依（）式可见，影响电路响应的因素有三个：分析系统时，为在统一条件下衡量其性能输入都用阶跃，初条件影响不考虑

5、3:系统的结构参数只有此项决定系统性能零初条件下输入/出拉氏变换之比（不随输入形式而变）2-3线性定常系统的传递函数上述电路的结论适用于一般情况一般情况下：线性系统的微分方程：简单讲一下：传递函数的标准形式：I:为首1多项式型： II:为尾1多项式型：开环增益的意义：一般情况下：首1型： (1)尾1型： (2)由(1)式： (3)比较(1)(2): (4)首1型多用于根轨迹法中.尾1型多用于时域法，频域法中.一 .传递函数定义：条件：定义：有关概念：特征式，特征方程，特征根零点使的s值极点使的s值：传递函数，增益，放大倍数结构图系统的表示方法G(s)分子分母与相应的微分方程之间的联系：完全取决

6、于系统本身的结构参数注(1)为何要规定零初始条件？分析系统性能时，需要在统一条件下考查系统：输入：都用阶跃输入.初条件：都规定为零为确定一个系统的起跑线而定.则系统的性能只取决于系统本身的特性(结构参数) (2) 为何初条件可以为零？1) 我们研究系统的响应，都是从研究它的瞬时才把信号加上去的.2) 绝大多数系统，当输入为0时，都处于相对静止状态.3) 零初始条件是相对的，常可以以平衡点为基点(如小扰动为线性化时) (3) 零初条件的规定，并不妨碍非零初条件时系统全响应的求解.可以由G(s)回到系统微分方程，加上初条件求解.二 .传递函数的性质：1. G(s) : 复函数，是自变量为s的有理真

7、分式(mn) 均为实常数.mn则：说明：2. G(s): 只与系统本身的结构参数有关与输入的具体形式无关.输入变时，C(s)=G(s)R(s)变，但G(s)本身并不变化但G(s)与输入、输出信号的选择有关.r(t),c(t)选择不同，G(s)不同.(见前CR电路.) 3. G(s)与系统的微分方程有直接联系4. G(s)是系统单位脉冲响应的拉氏变换5. G(s)与系统相应的零极点分布图对应G(s)的零极点均是复数，可在复平面上表示：若不计传递函数，G(s)与其零极点分布图等价.例： G(s)系统零极点分布图 系统性能若当系统参数发生变化时，分析其特性：1) 用解微分方程法十分繁琐一个元部件参数

8、改变，影响，得反复解2) 若掌握了零极点分布与系统性能之间的规律性，则当某个元部件的参数改变时，变化，零极点位置变化，系统性能的变化规律就能掌握了，这样，我们可以有目的地改变某些参数，改善系统的性能，且免除了解微分方程的烦恼。这是为什么采用G(s)这种数模的原因之一。三. 采用传递函数的局限：1. G(s)原则上不反映C(0)0时的系统的全部运动规律.(虽然由G(s)转到微分方程，可以考虑初条件的影响。)2. G(s)只适用于单输入，单输出系统。3. G(s)只适用于线性定常系统由于拉氏变换是一种线性变换.例：传递函数是古典控制理论中采用的数学模型形式，经常要用。（典型元部件传递函数略讲，重点

9、以伺服电机引出结构图的概念）例1 已知某系统，当输入为时，输出为求：1) 系统传递函数2) 系统增益？3) 系统的特征根及相应的模态？ 4) 画出系统对应的零极点图；5) 系统的单位脉冲响应6) 系统微分方程；7) 当时，系统响应解 1） 2）由式，增益K=13）由式：特征根模态 4）零极点图见右5）6）隐含零初始条件不受零初始条件限制7）对上式进行拉氏变换，注意代上初条件例2 系统如右图所示已知方框对应的微分方程为求系统的传递函数解：对相应的微分方程进行拉氏变换 又由运算放大器特性，有 有 4.典型元部件的传递函数1. 电位器(无负载时) 2. 电桥式误差角(位置)检测器3. 自整角机注 自

10、整角机与电桥式误差检测器功能相同，只是有以下几点区别1) 前者工作于交流状态，后者直流2) 自整角机无摩擦，精度高3) 自整角机可以大于4. 测速发电机1）直流测速发电机楞次定律2）交流发电机5. 电枢控制式直流电动机(结构同发电机) 楞次定律：克希霍夫：安培定律：牛顿定律： 利用前四个方程中的三个消去中间变量得出：时间常数传递系数同一系统输入输出量选择不同有不同形式的传递函数若分别对每一个方程分别求传递函数，则可构成以下结构图：分析问题的角度不同，同一系统可以有不同形式的结构图，但彼此等价。此图清楚的表明了电动机内部各变量间的传递关系，经简化后可得上面形式结构图6. 两相交流伺服电动机堵转力

11、矩：机械特性：牛顿定律：利用前两式消去可得：分别各式进行拉氏变换得：方框图7. 齿轮系：传动比负载轴上的粘滞阻尼，惯量向电机轴上的折算：对于电机轴: 为负载轴转矩对于负载轴： 在啮合点： 又有： （4）利用4式中的3个,消去中间变量:一般地，有多级齿轮转动时： 可见：由于一般减速器总有越靠近电机轴的惯量、粘滞摩擦，对电机轴的影响越大， 远离电机轴的负载影响则较小 若一级减速比很大，则负载轴的影响可以忽略不计8. 调制器，解调器用于1) 交、直流元件协调工作时 2) 交流元件，但工作频率不同时 调制：把直流或低频信号驮在交流元件的工作频率上的过程解调：把驮在交流元件频率上的有用低频(或直流)信号

12、取出来的过程一般不考虑调制、解调器的动态过程，认为其传函为15.典型环节依上讨论可见：输入输出信号选择不同，同一元部件可以有不同的传递函数。不同的元部件可以有相同形式的传递函数1. 环节把传函形式相同的元部件归并在一起的分类具有抽象性，概括性。如，电位器，自整角机，测速发电机等等。同属比例环节。2. 典型环节及其传递函数序号微分方程环节名称传递函数例1比例环节电位器，放大器，自整角机2惯性环节CR电路，交、直流电动机3振荡环节R-L-C电路，弹簧质块阻尼系统4积分环节减速器5微分环节测速发电机6一阶复合微分环节7二阶复合微分环节注:1) 环节与部件并非一一对应，有时一个环节可代表几个部件，有时

13、一个部件可表成几个环节2) 任一个系统的传递，可以视为典型环节的组合如：6.负载效应问题：传递函数要在系统正常工作，考虑负载影响条件下推导出来例如右电网络，当两级相联时：用算子法： (1)当两级断开时：第一级：第二级： 而 (2)比较(1)(2)，可见两式不等。当两级相联时，后级有分流，对前级有负载影响。2 典型环节及其传递函数序号微分方程环节名称传递函数例1比例环节电位器，放大器，自整角机2惯性环节CR电路，交、直流电动机3振荡环节R-L-C电路，弹簧质块阻尼系统4积分环节减速器5微分环节测速发电机6一阶复合微分环节7二阶复合微分环节五、求时须注意的问题负载效应要在系统正常工作的条件下考虑其

14、传递函数，把后一级对前一级的负载效应考虑进去。例：如右电路，求解1当成整体看：回路I：回路II: 节点A: 电容： 电容： : （7）（3）： (8)（8）（1）：即：L变换：所以，解2：分解成两部分看：对后一部分：变换： 所以 同理对前一部分：而比较：分母少一项项解2中未考虑前一级的负载效应 (3)积分定理： 消去2.4控制系统的结构图及其等效变换1.结构图的组成及绘制（1）组成：信号线；方框（环节）；比较点；引出点。（2）结构的绘制：l 从系统微分方程组：例：电枢控制式直流伺服电动机：电枢回路：克希霍夫 反电势：楞次定律 电磁力矩：安培力矩平衡：牛顿l 工作原理图方框图结构图例：x-y记录

15、仪：2.结构图的等效变换和化简：1）.环节串联：2）.环节并联：3）.反馈等效：l 例1：4）.比较点、引出点的移动：比较点换位：引出点换位：比较点前移：比较点后移：引出点前移：引出点后移：比较点、引出点换位：l 例2：x-y记录仪结构图如下：求 l 作业题（216）讲解：（以便解决作业问题）调速系统工作原理图见课本P67图2-57（1）依运算放大器原理速度调节器：电流调节器：（2）依题画结构图：（3）等效化简：（略）l 例3.化简结构图：求.例4.系统结构图如右：分别用等效变换和梅逊公式法求系统的闭环传递函数.解（1）：等效变换法：解（2）：梅逊公式法：系统有2条前向通道，5个回路，无不相交

16、回路。l 例5：化简结构图。求.例8：化简结构图，求系统传递函数2.5 信号流图(1).信号流图的组成(2).信号流图与结构图的关系信号流图结构图前向通道数：1； 回路数：4（、不接触）l 源节点输入信号l 阱节点输出信号l 混合节点引出点，比较点l 支路环节l 支路增益环节传递函数l 前向通道(从源节点到阱节点)l 回路(信号流动形成的封闭回路)l 互不接触电路(无公共点或公共支路)u 信号流图结构图结构图信号流图前向通道路：1回路数：34.梅逊公式用梅逊公式，可不经过任何结构变换，一步写出系统的传递函数(1) 公式：其中：称为特征式：从输入端到输出端第k条前向通路的总传递函数：在中，将与第

17、i条前向通路相接触的回路所在项除去后所余下的部分，称为余子式：所有单回路的“回路传递函数”之和：两两不接触回路，其“回路传递函数”乘积之和：所有三个互不接触回路，其“回路传递函数”乘积之和“回路传递函数”指反馈回路的前向通路和反馈通路的传递函数只积并且包含表示反馈极性的正负号。(2).举例:例1: 共有4个单回路：只有II、III两个回路不接触：只有一条前向通路所有回路均与之接触例2:有五个回路：两条前向通路：例3:有五个单回路：并且 可找出六组两两互不接触的回路：-; -;-; -; -; -有一组三个互不接触回路-前向通路一条：例4:回路4个：两两不接触回路两个：-， -前向通道两条：例5

18、 已知系统结构图，求解：本结构图有2条前向通道，6个回路(其中I，V两回路不相交) 例6 求解：共有3个单回路(全部有公共接触部分) 前向通道共有6条：由梅逊公式：例7 已知系统结构图1).画出系统信号流图2).求解：1).2).例6 求 解：对R(s)： 对N(s)： 例7 求 解：例8 求解：作业 27（c）解一：化简法：(如右)解二：梅森公式法：2-9（b）解：用梅森公式：仅求1）.对：2）.对：2.6.反馈控制系统的传递函数一、闭环系统对应的开环传递函数打开主反馈回路，R(s)对B(s)的传递函数（1）二、控制作用r(t)下的系统闭环传递函数1.(2)2.（3）三、干扰n(t)作用下的

19、系统闭环传递函数1.（4）2.（5）四、系统的总输出及总偏差（由叠加原理）(6)(7)五、问题讨论1.如果一个系统的性能好，则应有输出。在反馈系统中，若参数调配适当，可以提高系统性能。由（6）式：如果使（设置参数），并且，则总输出可见，适当选配元部件结构参数，可使系统有很强的抗干扰能力，同时，输出主要取决于反馈通路传递函数H(s)及输入信号r(t)，而与前向通路几乎无关。特别当单位反馈时，H(s)1,可以近似有，表明系统几乎实现对输入信号（希望值）的完全复现，获得较高的控制精度。2.同一系统，不论从何输入，从何处输出，其传递函数的分母，或1开环传递函数是相同的。而分子部分则与其相应的前向通路有关即闭环传递函数分子随外作用的作用点和输出量的引出点不同而不同。外作用加在不同的地方，对系统运动影响也就不同。3.第二章思路：