2023一轮复习重难点专题突破专题07 不等式恒成立问题（解析版）.docx

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1、2023 一轮复习重难点专题突破 专题 07 不等式恒成立问题【方法技巧与总结】1.利用导数研究不等式恒成立问题的求解策略：(1)通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取 值范围；(2)利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题；(3)根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少 碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问 题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别.2.利用参变量分离法求解函数不等式恒(能)成立，可根据以下原则进行求解：(1)VxeD,(2)Vx

2、eD,加1ra-(3)BxeD,m/(x)m/(x)/(x)m.ii.3.不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数尸/(x),xea,b,y=g(x),xec,d,若匕 ea,b,Vx2ec,/,有/(xJvgG)成立,则 f(x)1nMg(x)1nbi;(2)若 可，3X2&c,d,有/(xjg(z)成立，则/(心(gGL；(3)若肛 ea,b,3x2c,d,有/(xjvg)成立，则/(*)1nhi0,/(x)和 g(x)在(-oo,4)与(4+o)上可导,且 g(x)H0；/(x)理鬲=/(x)f(x)那么 lim-=1 而 04=/。Z8 g(x)18 g(X)法则

3、3 若函数/(x)和 g(x)满足下列条件：(1)lim/(x)=8 及蚓 g(x)=oo.(2)在点。的去心邻域(。-,。)5。，。+)内，./。)与 8 口)可导且 8口)H0；f(x/(%)f(x)那么 hm=hm-f g(x)x-g(x)注意：利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意:(1)将上面公式中的 Xf a,xT+8,xf-8,x-a+.x.，洛必达法则也 成立。(2)洛必达法则可处理，/，0-OO,00,0,8-8 型。(3)在着手求极限以前，首先要检查是否满足蓝，?，Ooo,f,00,0,8-8 型定式，否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件

4、时，就不能用洛必达法则,这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。(4)若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。【题【题型归纳目录】题型一：直接法题型二：端点恒成立题型三：端点不成立题型四：分离参数之全分离，半分离，换元分离题型五：洛必达法则题型六：同构法题型七：必要性探路题型八：max,min 函数问题题型九：构造函数技巧题型十：双变量最变量最值问题【典例例题】题型一：直接法例 1.已知函数/(x)=a/x-x2+(2a-l)x,(a.O).limxa/(x)g(x),如满足条件，可继续使用洛必达法则。(1)讨论/(x)的单调性；(2)若 f(x),0,求 a 的取值范围.

5、【解答】解：(1)/，(x)=且2x+(2a-1)=-2x，Qa二l)x=_Qx 1)(二),XXXa=0 时，/)0 时，由/，(x)0,解得：x0,解得：0 xa,故/(x)在(0,a)单调递增，在(a,内)单调递减；(2)由(1)可得，当 a=0 时，/(x)在(0,+oo)单调递减，f(x)=x2 x 0 时,/(x)在(0,a)单调递增，在(a,+8)单调递减，/(x)0M*=/(a)=alna-a2+(2a-l)a=alna+a2-a=a(lna+a-1),令 g(a)=Ina+a-1.a0,易知函数 g(a)在(0,+)单调递增，又 g(1)=0,.当 0l 时，g(a)0,即/

6、(x)20,不满足题意，综上所述 a 的取值范围为0,1.例 2.已知函数/(x)=a2/x-x2+ax.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x.0,求 a 的取值范围.【解 答】解：(1)f(x)=a2lnx-x2+ax,定 义域为(0,+),.a2.2x2 ax-a2(x a)(2x+a)f(x)=-2x+a=-=-.XXX1。当 a0 时,xe(0,a),fx)0；xe(a,+8),f(x)0；/(x)在(0,a)上单调递增,/(x)在(a,+8)上单调递减；2。当。=0 时，f(x)=-x2,此时/(x)在(0,+8)上单调递减；3。当 a0；xe(-,+oo),八 x)0 时，f

7、(x)max=f(a)=a1Ina-a1+a2=a2lna.0,解得 0a,1；2。当 a=0 时，f(x)=-x0,在(0,+oo)上恒成立；3。当。0 时，/(-1)=2/(-f)-j-y=小岭-拳 0，a 3-W即/(-|).；，解得2e a+(1-4a)ex-2ax(a.0).(1)讨论/(x)的单调性；(2)若/(x).O,求 a 的取值范围.【解答】解：f(x)=(2er+l)(ex-2a),当 a=0 时，ex-2a.0,又 2e*+l0,故/，(x).O,/(x)递增，当。0 时，令八 x)0,解得：x ln2a,令/，(x)0,解得：x 0 恒成立，a 0 时，f=f(ln2

8、a)=(2a)2+(1-4a)2a-2aln2a.0,故 1-2a-ln2a.0,令 g(a)=1-2a-Inla.g(a)=-2-0,a故 g(a)递减，又 g(L)=0，故 0 0 和/(x)1,令/(x)=0nX1=1,乂 2=lna,讨论 la0=xl,/(x)0=0 x0.xw(0,l)时：/(、)0,/。)单调递减=/。)1 时：令/(x)=0nX=1,2=lna,若 la，令/(x)O=Oxl,/(x)On Ina x 2【分析】(1)根据/(x)=alnx+bx,求得/(x)=q+b,再根据/。)=l 时，12 里恒成立，令(x)=坐，求得其最大值即可.r-1尸 一(1)解：,

9、*/(x)=alnx+Zx,f(%)=十-；x函数/(x)=alnx+bx(a,be/?)在 x=；处取得极值，/.f(-)=2a+b=0t又.曲线 V=/(x)在点。，/)处的切线与直线 x-y+l=O 垂直,f(l)=a+b=-l.解得：a=l,b=-2；(2)Hini不等式/(x)0(w-2)x-恒成立可化为 lnxmx-XX即 In x m(x)；xrln r当时恒成立；当时，立了口恒成立,令(X)令厂-1(lnx+l)(x2-l)-2xxlnxx2-x2lnx-lnx-1令m(x)=x2 x2In x-In x-1,则叭 x)=2x-2xnx-x-=-;XX令n(x)=x2-2x2i

10、n x-1,则n x)=2x-4xn x-2x=-4x In x 0；得心)=/一 2/In x-1 在(1,+8)是减函数,故n(x)n(l)=0,则力 a)=(x2-l)2(x2-l)2进而研 x)0(或 a*(x)=x-2xnx,mn(x)=21nx 1+r-0,XX得 M(x)=x-2xlnx-J 在(l,+8)是减函数，进而加(x)0).XY In V可得：Mx)Mi)=o,故次(x).2例 6.(2022黑龙江模拟预测(理)已知函数x)=xlnx+h-3 左,求：(1)当=1 时，求曲线/(x)在点(I,/)处的切线方程；(2)当 x3 时，总有/(x)l,求整数上的最小值.【答案

11、】(1)2x-y-4-0(2)-3【分析】(1)先对函数求导，计算出斜率，再用点斜式即可；(2)分离参数转化为函数的最值 问题.(1)当=1 时，f(x)=xnx+x-3/(x)=lnx+2.r(i)=2/(i)=-2/a)在点(1J(1)处的切线方程为 y+2=2(x l)即 2%一 k4=0(2)由题意,f(x)1,即 xlnx+Ax3A 1,BP A(x-3)l-xlnx,#1 一 xlnx一又 x3,:k-恒成x-3h(x)在(3,+8)上递减,令 g(x)=1-x In xx-3g(x)=31nx-x+2(x-3)2令人(x)=31nx-x+20,A(9)=31n9-70,当 xe(

12、Xo，+oo)时，g(x)g(x)a，S.keZ,.-.k-3,即整数 k 的最小值为-3【点睛】方法点睛：对于零点不可求问题，可以设而不求，整体替换从而求出范围。题型三：端点不成立例 7.(2022辽宁大连高三月考)已知函数 f(x)=axe;(x+l)2(其中 aeR,e 为自 然对数的底数).(1)讨论函数“X)的单调性；(2)当 x0 时，/(x)Inx 厂x 3,求 a 的取值范围.【答案】(1)答案见解析；【分析】(1)计算/(x)=(x+D(ae，-2),分别讨论 a/0、0a2e 时，解 不等式/(x)0和/(x)0 对 x0 恒成立，分离“可得n 令 8(力=吟=(0),利用

13、导数求 g(x)的最大值即可求解.(1)由/(x)=axex-(x+l)2可得/x)=6r(x+l)ex-2(x+l)=(x+l)(aer-2),当 aVO 时，aer-2 当 x0；当 x-l 时，/r(x)0 时，由/(x)=0 得，Xj=-1,x2=In,2若 ln=-l,即 a=2e 时，/(x)20 恒成立，故x)在 R 上单调递增；a2若 In 2c时9 a70由/(x)0 可得：x-1；令/()。可得：In x1,即 0 a 0 可得：xln；由/(力。可得：-lx2e 时，x)的单调递增区间为 1-co,lnj)和(-1,+8),单调递减区间为卜当 0“Inx x2x 3 可得

14、 ore*-Inx-x+20 对 x。怛成立,1nx+x-2即:对任意的 x0 恒成立,xe+1 jXQX(x+1)e*(in x+x2)x2e2x令x)=3-lnx-x,则=则”x)在(0,+8)上单调递减,又=20,A(e)=2-e0),xe则 gx)=(x+l)(3 Inx x),故当 xw(O,x()时，A(x)0,g，(x)0,g(x)单调递增:当 XG(Xo，+oo)时,A(x)0,g(x)0.(1)若 a=l,证明：/(x)0；(2)若恒成立，求 a 的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2)1,+0,易知 y=/(x)在(0,+动单调递增，且/=o,所以 0 xl 时，/(x)

15、1 时，fx)0./(x)在(0,1)单调递减，(1,+8)单调递增，(2)；/(x)0,.”1)20,a 1,f(x)=a2ex-,x0,易知 y=/(x)在(0,+s)单调递增,X且=12y=a2ea-a2-lx+l,当 a21 时，/(x)0,实数 a 的取值范围是例 9.(2022江苏镇江高三期中)已知函数/(x)=lnx,g(x)=kx2-2x(k e R).(1)若 y=/(x)在 x=l 处的切线也是 y=g(x)的切线，求左的值；(2)若 xe(0,+oo),/(x)4g(x)恒成立，求人的最小整数值.【答案】？4(2)7【分析】(1)先用导数法求得 y=/(x)在 x=l 处

16、的切线，再根据 y=/(x)在 x=l 处的切线也是 y=g(x)的切线，将切线方程与 y=g(x)联立，利用判别式法求解；(2)令 MxbgN-yXxhAxLZx-lnx,将 xe(0,+8),/(x)4g(x)恒成立，转化为吗，对 xe(0,+)恒成立，利用导数法求解.X X(1)因为函数/(x)Tnx,所以 ra)=LX则八 1)=1,1)=0,所以 y=/(x)在 x=l 处的切线方程为 y=x-i,y=x-,由.2c，得 AX?-31+1=0，y=kx-zx因为 y=/(x)在 x=i 处的切线也是 y=g(x)的切线,9 所以 A=9 4%=0,解得 =；4(2)令力(x)=g(x

17、)-f(x)=kx2-2x-In x,因为 xw(0,+oo),/(x)Kg(x)恒成立,所以/+坐，对 xe(0,+8)恒成立，X X令夕(力=2+与，X Xn.，/、2 l-21nxl-21nx-2x贝IJ“(X)=-7+？=，令 r(x)=l-21nx-21,2则/(%)=-20,所以厂(工)在(0,+8)上递减，又乂 1)=-11+2-乙0,所以存在有 r(x()=0,即(Xo)=O,因为夕(x)在(0,x)递增，在(%,+oo)上递减,所以小)皿力?詈/2 1 2x011所以夕(%)=+)2=+9x0Zx0X02X0令由得x 2xe J2所以所以上 2e?+e as 6.32故人的最

18、小整数值是 7.题型四：分离参数之全分离，半分离，换元分离例 10.已知函数/(x)=e*+#-x.(1)当 a=l 时，讨论/(x)的单调性；(2)当 X.0 时，/(xl.gx+l,求 a 的取值范围.【解答】解：(1)当 a=l 时，f(x)=ex+x2-x,f(x)=ex+2x-l,设 g(x)=/0,可得 g(x)在 H 上递增，即/X)在 R 上递增，因为八 0)=0,所以当 x0 时，fx)0；当 x0 时，fx)0 时，可得 a.2-恒成立，X-x3+x+l-ex设h(x)=-7-，则X(2-x)ex+(-X3-X-2)(2-x)ex+(-x3-x2)+(x2-x-2)hx)=

19、-?-=-2-5-AX_ 17.17(2 x)ex4x(x 2)+(x 2)(x+1)(2 x x 1)=P=可设 m(x)=e”一一一 i,可得mx)=ex-x-I,设k(x)=e-x-1,%(x)=er-1,由 x0,可得(x)0 恒成立，可得左(x)在(0,+oo)递增,M在(0,m)递增，所以“(x)加(0)=0,RPmx)0 恒成立，即?(x)在(0,+oo)递增,所以m(x)m(0)=0,再令内(%)=0,可得 x=2,当0 x0,力。)在(0,2)递增；7-e2x2 时，hx)0 时，f(x x4+ex,求 a 的取值范围.【解答】解：(1)当 a=l 时，/(x)=x4+x2+

20、l,所以fx)=4x3+2x=2x(2x2+1),当 x0 时，f(x)0,函数单调递增，当 x0 时，f(x)0 时，X，+2+(a-l)x+L X”+e恒成立，即 f+(a-l)x+L e*恒成立，ex_ r2_i所以为,Xpx工 2 _ 1令 g(x)-，x0,X由重要不等式可知，当 x0 时，exx+l,则 g1 时，g(x)0,g(x)单调递增，当 0 xl 时，g(x)0 时，f(x)0,函数x)单调递增，当 x0,函数x)单调 递减，所以X)在(0,+8)上单调递增，在(-00,0)上单调递减；()当 X=0 时，不等式/(工).；3 一 2k2 恒成立，工 3+x+1 e*当

21、x0 时，由/a).；/一 2 办 2 恒成立可得 a-恒成立，-x3+x+l-ex令 g(x)=-2-，X0,(2 x)e+_ x-2(2 x)(e*x x 1)则 g(x)=?=?令m(x)=e*-x-1,则m(x)=e-x-,令 A(x)=e、-x-l,x0,贝 i(x)=e，一 l0,所以(x)在(0,yo)上单调递增，/i(x)/i(O)=O,所以 W(x)0,加(x)在(0,+oo)上单调递增，m(x)m(0)=0,所以当 0 x 0,g(x)单调递增，当 x2 时，g(x)=0；又曲线y=/(%)在点(1,/(1)处的切线与直线 x-y+l=0 垂直，f(y)=a+b=-,解得：

22、a=i,b=-2 77ni(2)不等式/(x)V(m-2)x-恒成立可化为 InxWmx-,即 InxV 加(x)；XXXr In r当 x=l 时，恒成立；当 xl 时，m恒成立,x 1人、xlnx、(In x+1)(x2 1)2x-xlnx x2 x2Inx-Inx 1令(x)二，则=-八？-=-弓-；x2-l(x T)(工 T)人/、2 2ii1x-2r Inx 1令加(x)=x-x Inx-lnx-1,WJTH(x)=2x-2xnx-x=-；xx令(乃二/一？/。、-1,则 1(x)=2x-4xlnx-2x=4xlnx0；得(%)=/一 2/lnx-l 在(L+8)是减函数，故(%)(

23、1)=0,进而加(x)vO(或 m(x)=x-2xlnx,/nn(x)=-21nx-l+-0，XX得 m(x)=x-2xlnx-L 在(i,+oo)是减函数，进而卅(x)0).xY In V可得：/w(x)w(l)=0,故(x)-l 时，/(x)；x+1X(2)设当 X20 时，/(x)W一，求。的取值范围.ax+解：(1)易证.(2)由题设 x0,此时/(x)NO.XX当 Q，则一0,f(x)-不成立；aor+1ax+xx当时，当 xNO 时，/(x)0,Plijl-e-x0.因此，(x)=2xer 在(0，+8)上单调递增，且(0)=0,所以(x)0,即(x)在(0,+oo)上单调递增，且

24、(0)=0,所以(x)0.因此g x)=Jy/zQ)0,所以 g(x)在(0,+00)上单调递增.(xe-x)xcx-c 1xec*+xc*由洛必达法则有 limg(x)=lim-=lim-=lim-=-ioZOxe-xXTO/+X/_1-o2ex+xex2即当 x0 时，g(x)3,即有 g(x)5，所以 OVQW/.综上所述，。的取值范围是0,；.cinY例 15.设函数/(x)=-.如果对任何 x2O,都有 x)Wax,求 a 的取值范2+cosx围.einx【解析】f(x)=0,则smx4ax等价于 a Nmx2+cosxx(2+cosx)2xcos x-2sinx-sinx cos

25、x+xX2(2+COSX)2记(x)=2xcos x-2 sin x-sinxcosx+x,hx)=2 cos x-2xsinx-2 cosx-cos 2x+1=-2xsinx-cos2x+1=2 sin2x-2xsinx=2sin x(sinx-x)因此，当 xw(0,乃)时，hx)Ot力(x)在(0,乃)上单调递减，且力(0)=0,故 g(x)0,所以 g(x)在(0/)上单调递减,.,、sinx.cosx 1即 g(x)=sinxx(2+cosx)贝 ljg(x)=而 limg(x)=hm-=hm-；=.D7 x(2+cosx)22+cosx-xsinx 3r、,，、sinx 111另一

26、方面，当工肛+8)时，g(x)=-7X(2+COSX)X 715因此 Q 2 一.3题型六：同构法例 16.已知函数/(x)=ae*-/(x+2)+/”a-2,(1)若x)在 x=0 处取得极值，求。的值及函数的单调区间.(2)请在下列两问中选择一问作答，答题前请标好选择.如果多写按第一个计分.若/(x).O 恒成立，求 a 的取值范围；若x)仅有两个零点，求 a 的取值范围.【解答】解：(1)函数/(x)=ae-/(x+2)+/a 2,则/(x)的定义域为(-2,*),且fx)=aex-5.x+2因为/(x)在 x=0 处取得极值，所以 r(0)=0,即 a-g=0,解得 a=g；此时f(x

27、)-ex,2 x+2所以/(x)在(-2,+00)上单调递增，则当-2x0 时，f(x)0 时,fx)0,则/(x)单调递增，所以幻的单调递减区间为(-2,0),单调递增区间为(0,+8):(2)若选：因为x).O 恒成立，则aex-ln(x+2)+lna-2.f)恒成立，整理可得eI+lna+x+lna.Jn(x+2)+x+2恒成立，即ea+x+lna.Jn(x+2)+e(x+2恒成立，令(x)=e、+x,则 A(x+/“a)./i(/(x+2)恒成立，因为(x)=，+10 恒成立，则幽外为单调递增函数，所以 x+/a.历(x+2)恒成立，即Ina.Jn(x+2)-x 恒成立，令 9(x)=

28、ln(x+2)-x,x 0,则 0(x)单调递增，当 xT 时,(px)0 恒成立,则 A(x)为单调递增函数，所以 x+Ina=ln(x+2),即历 a=ln(x+2)-x 在(-2,+oo)上有两个根，令(p(x)=ln(x+2)x,x-2 则(px)=-1=产+1,x+2x+2当一 2 Vx0,则夕(x)单调递增,当-1 时,(px)0,则 0(x)单调递减，所以夕(X)在 x=-l 处取得极大值，即最大值夕(-1)=1,要想加 Q=/(工+2)-%在(-2,+8)上有两个根，只需小解得 04 0,恒有+1)2 2(x+，Jlnx,求实数 a 的最小值解解析析a(e+1)2 21+4 卜

29、*=皿泮+1)(x2+1)In x2(eax+l)h/(x2+l)ln?,令 4)=Cr+l)lnx,贝 ij f G)=+,)=-3=J，XX)cA2易知/CO 在(0,1)上单调递减，在(1,例)上单调递增，所以，G)f(i)=20,所以/to 在(o,+8)单调递增.则位+l)lny(炉+1)10/=4e)(V)oe-foaxeZlnxoa到空，X/、2 In x/2(1-In x)令名卜)=丁，则，卜)=一 3 一当 xc(0,e)时，/卜)0,当 xw(e,+8)时，/卜)0),若关于 x 的不等式f(x)0 恒成立，求实数 a 的取值范围解析解析私)=ex-alnfeA-a)+a0

30、 e1 lnaGr-l)-l eA-ha-In a In(x-1)-1a=e*ia+x-lna ehU-n+In(x-1),令 ga)=e+x,则/(x)=e、+l0,所以函数 gG)为 R 上的增函数.则原命题又等价于g(x-In a)g(ln(x-1)ux-lna In(x-1)ha x-ln(Y-l).由于 x-ln(x-l)2x-G-2)=2,所以 Ma2,即得 0 a 0,不等式 2 匹 2,-In x+Ina 2 0 恒成立，求实数 a 的最小值 解析 2ae-hx+lnaO。2ae2x2 1n 2o2xe21-In-(x0)a a a=2x+ln2*In-+In I In I(x

31、 a).设x)=x+lnx,则？(x)=l+)0,所以函数在(0,+oo)上单调递增 所以由人 2 力彳卜口，得 2x2ln,即 a2-恒成立.令 ga)=?,则 13=与当下证人=1 时，x/-2x+l0 恒成立由 e*N 1+x=xex-2x+1 x(x+1)-2x+1 0当 00,上单调递增，在;,+oo 上单调递减例 20.是否存在正整数a,使得ex-axf Inx 对一切 x0 恒成立?试求出 a 的最大 值.解:易知 e-acNx2 1nx 对一切 x0 恒成立，当 x=l 可得 aWe,则 a 仅可取 1、2er2下证Q=2 时不等式恒成立，设 g(x)=1-Inx,g(x)=(

32、x-2)(er-x)g(x)在(0,2)单调递减，(2,+8)单调递增，g(x)g(2)=x3l(e2-4-41n2)0当。=2 时，不等式恒成立，所以。最大为 2.例 21j2,左 型丝土巴，求 k 的最大整数值.x-2械人 xlnx+x 日欹(23/解:令/(x)=-,显然 k In 1-fiJ Inx3-所以/(万)=独立?x-2x卡一:=4+江4x-2例 22.求使得 xe-2x+上 0 在0,+)上恒成立的最小整数k解:令 g(x)=xe、-2x+%,则必有 g(0)0 成立，此时解得后0 即 4=1 符合条件当 X/卜)-2x2 恒成立.【解答】解：(I)fx)=xex-ax.假设

33、函数f(x)的图象与 x 轴相切于点亿 0),则有卜)=,即卜呢?鼻.1 八。=。U-a/=0显然 zwO,D=Q0,代入方程(，一 1)/一中得，/-2/+2=0.=-4(占一工 2)一(石+7)O f(X+工 2)+区+工 2)/区-工 2)+(西-工 2)恒成立设 g(x)=/(工)+工则上式等价于 g(+x2)g(x)-x2),要使 g(Xj+x2)g(Xj-x2)对任意xxe R,x2e(0,4-oo)恒成立，即使g(x)=(x-1)/一 1/+X 在 H 上单调递增，gr(x)-xex-ax+L。在 R 上恒成立 g(1)=e-a+L.O,则 a.e+1,g(x)0 在 R 上成立

34、的必要条件是：a.e+l.下面证明：当。=3 时，xe-3x+10 恒成立.设力(x)=/一工一 1,则hx)=ex-1,当 x0 时，hx)0 时，hx)0,(外而“=0,EP VxG/?,H.x+1.那么，当 X.0 时，xex.jc2+x，xex-3x+L.2-2x+l=(x-l)2.O；当 x0 时，ex 0,i.xe-3x+l0 恒成立.因此，4 的最大整数值为 3 题型八：max,min 函数问题例 24.(2022云南师大附中高三月考(文)已知函数/(x)=(x-l)e-gx2+,g(x)=sinx-or,其中 aeR.(D 证明:当 X.时，/(x)0；当 xl 时，/(x)0

35、,x0,x=0 讨论即可得 答案：(2)由题意，将/(x).O 恒成立转化为当 x0 时，g(x)NO 恒成立即可，对 g(x)求导 得 g(x)=cosx-a,分 aSO、00 时，ex-l0，则/(x)0；当 x0 时，-10,当 x=0 时，/(0)=0,所以当 xeR 时，f(x)0,/(x)在 R 上是增函数，又/(0)=0,所以当 x20 时，/(x)/(0)=0；当 x0 时，/(x)0,又尸(x)=max/(x),g(x)，/(x),所以当 x20 时，尸(x)20 恒成立，由于当 x0 时，/(x)0 恒成立，所以产(x)NO 等价于:当 x0.g(x)=cosx-a.7T若

36、 a W0,当-x0 时，0cosx0,g(x)递增,此时故 x)g(0)=0,不合题意；若 0。0,g(x)递增，此时 g(x)g(O)=O,不合题意；若当 x0 时，由 cosx41 知，对任意 x0,g(x)g(O)=O,符合题意.综上可知：存在实数。满足题意，。的取值范围是1，+8).例 25.(2022云南师大附中高三月考(理)已知函数/(x)=(x-2)ei；x2+x+g,g(x)=ar-sin x-ln(x+1),其中 awR.(1)证明：当 X.1 时,f(x).O；当 xl 时，/(x)l,x0 两种情况讨论，结合 g(x)的单调性及零点存在性定理可得到满足题意的 a.【详解

37、】(1)f(x)=(x-l)e,_|-x+l=(x-IXe-1-1),xeR,当 xl 时，x-l0,e*T-l0，则/(x)0；当 xl 时，x-l0,尸-10,当 x=i 时，ra)=o.所以当 xeR 时，r(x)0,/(x)在 R 上是增函数，又/=0,所以当 x21 时，/(x)2l)=0；当 xl 时，/0,又尸(x)=max/(x),g(x)2/(x),所以当 x21 时，/(x)20 恒成立.由于当时，/(x)0 恒成立，故 F(x)2 0 等价于：当时，g(x)N0 恒成立.g(x)=i7 cosx-,g(x)=sinx+-7.x+1(x+1)从而当-1X0,g(x)单调递增

38、.若 g40,即 aWcosl+；,则当 xw(-L 1)时，g(x)gWO,g(x)单调递减,故当 xe(O,I)时,g(x)0,HP a cos 1+,取 1,-1H-2(a+l)则一 1 一 1-I 0,且s(b)a cosb-W a+1-0,a+1b+1b+1故存在唯一 XoW(-l,1),满足 g(Xo)=O,当 x)时，g(x)0,g(x)单调递增.若%0,则当 xw(x0,0)时，g(x)单调递增，g(x)0,则当 xe(0,%)时，g(x)单调递减，g(x)0 的解集；(2)若 a=l,证明：当 x0 时，g(x)2；(3)用 maxm,表示 m,中的最大值，设函数 A(x)=

39、max/(x),g(x),若(x)20 在(0,+8)上恒成立，求实数。的取值范围.【分析】当一 1 xv0 时，-1 sinx1,故 g”(x)0：当 OVx0,故 g(x)0.(x+l【答案】(1)/(x)在 R 上是增函数，(3,+oo)(2)证明见解析；(3)旦 V 2(1)利用导数讨论 y=f(x)的单调性，由/(3)=0,得到不等式幻0 的解集;(2)利用导数讨论 y=g(x)的单调性，求出最小值，即可证明；(3)先判断当 x23 时，由/(X)2 0 恒成立得到人(X)2 0 恒成立；再研究当 x3 时，x-30,e、T-l0，A/V)0,当 x3 时，x-30,当 x=3 时，

40、f(x)=0,所以当 xwR 时,fx)0,即/(x)在 R 上是增函数；又/(3)=0,所以/(幻0 的解集为(3,+00).(2)g(x)=ex sinx.由 x0,得 e、l,sinxe-1,1,则g(x)=e*-sin x 0,即 g(x)在(0,+功上为增函数.故 g(x)g(0)=2,即g(x)2.(3)由(1)知，当 x2 3 时，/(x)2 0 恒成立，故(x)2 0 恒成立；当 x3 时，/(x)0 时，0 x,时，/(x)0,ee当 时，0 x0,xL 时，/(x)0 时，/(x)在(0,1)单调递减，在(1,+00)上单调递增，ee当机即 x+minx.0 在(0,+8)

41、上恒成立，exe令p(x)=x+-minx-,则=-=”-,x ex x x对于二 f 一 mi,=/W2+40,故其必有 2 个零点，且 2 个零点的积为-1,则 2 个零点一正一负，设其正零点为 4w(0,+8),则 x02-znx0-1=0,即且 p(x)在(0,x0)上单调递减，在(Xo，内)上单调递增,12故P(XQ).0 即X。H(XQ-)lnxQ.0 X X则q，(x)=1-(1H)/wx (17)=-(1 7)lnx,XXXX当 xw(0,1)时，qx)0,当 xw(l,+oo)时,qx)0,则 g(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，又夕(!)=q(e)=0

42、,故与 e，e,ee显然函数加=x。-上在L e上是关于%的单调递增函数，X。e则加 w-e,e-9 ee故实数机的取值范围是L-e,e且ee例 28.已知关于 x 的函数 y=/(x),y=g(x)与 A(x)=Ax+b/，bwH)在区间。上恒有/(x)(x).g(x).(1)若/(x)=/+2 工，g(x)=-x2+2x,D=(-oo,+ao),求力(x)的表达式；(2)若/(x)=工 2 4+1,g(x)=klnx,h(x)=kx-k,D=(0,4-oo),求 k 的取值范围；(3)/(x)=x4-2x2fg(x)=4x2-8,A(x)=4(/?-t)x-3t+2/2(0|/|yjl),

43、D=m,nc:-V2,V2,求证：一九 g.【解答】解：(1)由/(x)=g(x)得 x=0,又/，(x)=2x+2,gx)=-2x+2,所以 r(0)=g0,p(x)单调递增，在(0,1)上,(px)p(0)=1+%.0，h,-l,所以 4=1,当+10 时，即 Q-1 时，0,即 0l+l)2-4(k+n,0,解得1 综上，Jte0,3.(3)当 Lt”应 时，由 g(x1.h(x),得4/_&4(t-t)x-3t4+2t2,整理得-(尸-1+?*2/二80,(*)4令=(-T)2-(3-2-8),则=r-5+3+8,t 己 9(f)=/一 5+3+8(1/应),则叭 t)=6/5-20?

44、+6t=2t(3t2-1)(产-3)0,恒成立，所以夕在1,&J 上是减函数,则夕(血,例“，s(I),即 2.夕(“，7,所以不等式(*)有解，设解为国“工吃，因此n m,x2X|=yf,.当 0f 1 时，/(-I)-A(-l)=3r+4f3-2t2-4t-,设 v(f)=3/+4?-2*一 4 一 1,则式=12/+12/-4f-4=4(r+1X3f-1),令 v)=0,得 t=,当 rw(0,J)时，vf(r)0,V是增函数，v(0)=-1,v(1)=0,则当 0fl 时,v(00,则/(一 1)一(一 1)0,因此一 1e(见)，因为加，n-y/29V2,所以一九&+14，当-V2.

45、Z 0 时，因为f(x),g(x)为偶函数，因此-九不也成立，综上所述，一九 77.例 29.已知函数/(x)=e*-6？+0(及).(1)若/(外在(0,1)上单调，求Q的取值范围.(2)若 y=/(x)+ex/x 的图象恒在 x 轴上方，求 a 的取值范围.【解答】解：(1)fx)=ex-lex4-a,由/(x)在(0,1)上单调，知 r(x)=F-26+。在(0,1)上大于等于 0 或小于等于 0 恒成立,令 g(x)=，-2ex+。，贝 U g(x)=e*-2e,令 g(x)=0,解得x=ln(2e),当 0 xl/(2e)时，gx)0 恒成立，ex，一、亦即aex-e/nr 在(0,

46、+oo)上恒成乂，x令 g)=er-J 法，则(x)=2一(1)=(一(1),XXX令t(x)=ex-ex,求导可得/(x)=e e,令 f(x)=0,解得 x=l,当 01 时，x)单调递减，故t(1)=0,Z(x)=ex-ex0,即ex.,e1,令(x)0,解得 0 xl；令(x)l,函数幽 X)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，.Mx)在 x=l 处取得最大值，最大值为/z(1)=0,实数 a 的取值范围为(0,+oo).题型十：双变量最值问题例 30.(2022 山西晋中三模(理)已知函数)=山肛 g(x)=ax2+bx+l,其中 a,6eR.(1)当 a=0 时，直线

47、 y=g(x)与函数 y=/(x)的图象相切，求 b 的值；(2)当“HO 时，若对任意 x0,都有x)4g(x)恒成立，求的最小值.a【答案】(1)6=1：(2)2 的最小值为-e.ea【分析】(1)利用切线求出人；In X 1(2)先把/(x)Kg(x)恒成立，转化为-Wax+b 对任意 x0 恒成立，研究单调性,X利用图像得到-2e,从而求出 2 的最小值.aa【详解】(1)当 a=O 时，直线 g(x)=H+l 与函数 y=x)的图象相切于 p(x0,%),因为/(x)=lnx,所以/(x)=LX则一=6 且如)+1=后工 0，即 b，+l=ln,解得：b=xo b be(2)若对任意

48、 x0,都有x)4g(x)恒成立，得 Inx-lSa+x.假设 ae 时，lnx-l0,而当 xmax。,-3时，ax2+bxXo 时，lnx-1 0,而ax2+bxe.a下证：3 能取到一 e.当 a=,b=_，时，-=-e.e e a记/(x)=lnx_(x0),则 F(x)=-,eex令尸(x)0,得 0 xe；令尸(x)e；所以尸(x)在(00 上单调递增，在(。，+8)上单调递增,所以尸“尸(e)=0,即 InxJ.e22所以/(x)-g(x)=lnx-+-l0,/(%)4g(x)恒成立,故 2 的最小值为-e.a【点睛】导数的应用主要有：(1)利用导函数几何意义求切线方程；(2)利

49、用导数研究原函数的单调性，求极值(最值)；(3)利用导数求参数的取值范围.例 31.(2022浙江台州三模)己知函数 x)=e*+(l+x)+-a-2,g(x)=bx2+x,1+x其中 aeR,beR.(e=2.718281828为自然对数的底数)(1)求/(x)在点(OJ(O)处的切线方程；(2)若时，/(x)2g(x)在(0,+8)上恒成立.当 b 取得最大值时，求=三卫的最a小值.0,而(0)=0,则/(0)20,b 0,E(x)=/+。(1)(1+x 广 2+-2b,(1+x)所以(O)=e+Q(a l)(l+O)0-2+-2 2b=2+4+1 2620,(1+0)r：r-|VI.,+

50、。+1 l、l,Q+Q+l所以 bv-，所以心,=-电I、Iat6+12 tz+Q+25 所以 M=-=-令*()=+l(tz4),则/(。)=1 一一f,当 4Vav5 时，/(。)5 时，夕(。)0,所以。(。)在45)上单调递减，在(5,”)上单调递增，2511所以所以 min=。(5)=5+1+1=11,此时所=万,综上，=巳的最小值为二a 2【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数解决恒成立问题，解题的关键是由题意求出丝 1,从而得河=处乜=竺=_Lg+1),令 2a 2a 2 a254),然后利用导数求出其最小值即可，考查数学转化思想和计算能力，a属于较难题例 32.(