九年级数学上册《特殊的平行四边形单元测试》分项练习真题【解析版】.docx

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1、【解析版】专题1.5特殊的平行四边形单元测试(培优卷)姓名:_ 班级:_ 得分:_注意事项:本试卷满分120分,考试时间60分钟,试题共26题答卷前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)在每小题所给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 1(2020春福州期末)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O下列结论不一定成立的是()ABD平分ADCBACBDCACBDDOAOC【分析】利用菱形的性质邻边相等、对角线互相垂直且平分进而分析即可【解析】四边形ABCD是菱形,BD平分ADC,OAOC,A

2、CBD,无法得出ACBD,故选项B符合题意,选项A、C、D不符合题意,故选:B2(2020春滨江区期末)在矩形ABCD中,E,P,G,H分别是边AB,BC,CD,DA上的点(不与端点重合),对于任意矩形ABCD,下面四个结论中正确的是()存在无数个四边形EFGH是平行四边形存在无数个四边形EFGH是矩形存在且仅有一个四边形EFGH是菱形除非矩形ABCD为正方形,否则不存在四边形EFGH是正方形ABCD【分析】根据菱形的判定和性质,矩形的判定,正方形的判定,平行四边形的判定定理即可得到结论【解析】如图,四边形ABCD是矩形,连接AC,BD交于O,过点O直线EG和HF,分别交AB,BC,CD,AD

3、于E,F,G,H,则四边形EFGH是平行四边形,故存在无数个四边形EFGH是平行四边形;故正确;如图,当EGHF时,四边形EFGH是矩形,故存在无数个四边形EFGH是矩形;故正确;如图,当EGHF时,存在无数个四边形EFGH是菱形;故错误;当四边形EFGH是正方形时,EHHG,则AEHDHG,AEHD,AHGD,GDBE,ABAD,四边形ABCD是正方形,当四边形ABCD为正方形时,四边形EFGH是正方形,故正确;故选:C3(2020春玄武区期末)下列说法正确的是()A一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形B对角线相等的四边形是矩形C每一条对角线都平分一组对角的四边形是菱形D对角线互

4、相垂直且相等的四边形是正方形【分析】根据平行四边形的判定,菱形的判定,正方形的判定逐个判断即可【解析】A、一组对边平行,另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形,故本选项不符合题意;B、对角线相等的平行四边形是矩形,故本选项不符合题意;C、在ADB和CDB中,ADBCDB(ASA),ADCD,ABCB,同理ACDACB,ABAD,BCDC,即ABBCCDAD,四边形ABCD是菱形,故本选项符合题意;D、对角线相等且垂直的平行四边形是正方形,故本选项不符合题意;故选:C4(2020宁夏)如图,菱形ABCD的边长为13,对角线AC24,点E、F分别是边CD、BC的中点,连接EF并延长与AB的延长线相交

5、于点G,则EG()A13B10C12D5【分析】连接对角线BD,交AC于点O,证四边形BDEG是平行四边形,得EGBD,利用勾股定理求出OD的长,BD2OD,即可求出EG【解析】连接BD,交AC于点O,如图:菱形ABCD的边长为13,点E、F分别是边CD、BC的中点,ABCD,ABBCCDDA13,EFBD,AC、BD是菱形的对角线,AC24,ACBD,AOCO12,OBOD,又ABCD,EFBD,DEBG,BDEG,DEBG,BDEG,四边形BDEG是平行四边形,BDEG,在COD中,OCOD,CD13,CO12,OBOD5,BD2OD10,EGBD10;故选:B5(2020鸡西)如图,在菱

6、形OABC中,点B在x轴上,点A的坐标为(2,2),将菱形绕点O旋转,当点A落在x轴上时,点C的对应点的坐标为()A(2,2)或(2,2)B(2,2)C(2,2)D(2,2)或(2,2)【分析】依据菱形的性质即可得到菱形的边长为4,AOB是等边三角形,再分两种情况进行讨论,依据ODCO2,CD,即可得到点C的对应点的坐标【解析】菱形OABC中,点B在x轴上,点A的坐标为(2,2),AO4,OB4,菱形的边长为4,AOB是等边三角形,分两种情况讨论:如图所示,当点A在x轴正半轴上时,过C作CDAO于D,则ODCO2,CD,点C的坐标为(2,2);如图所示,当点A在x轴负半轴上时,过C作CDAO于

7、D,则ODCO2,CD,点C的坐标为(2,2);综上所述,点C的对应点的坐标为(2,2)或(2,2),故选:D6(2020广州)如图,矩形ABCD的对角线AC,BD交于点O,AB6,BC8,过点O作OEAC,交AD于点E,过点E作EFBD,垂足为F,则OE+EF的值为()ABCD【分析】依据矩形的性质即可得到AOD的面积为12,再根据SAODSAOE+SDOE,即可得到OE+EF的值【解析】AB6,BC8,矩形ABCD的面积为48,AODOAC5,对角线AC,BD交于点O,AOD的面积为12,EOAO,EFDO,SAODSAOE+SDOE,即12AOEODOEF,125EO5EF,5(EO+E

8、F)24,EO+EF,故选:C7(2020威海)如图,在ABCD中,对角线BDAD,AB10,AD6,O为BD的中点,E为边AB上一点,直线EO交CD于点F,连结DE,BF下列结论不成立的是()A四边形DEBF为平行四边形B若AE3.6,则四边形DEBF为矩形C若AE5,则四边形DEBF为菱形D若AE4.8,则四边形DEBF为正方形【分析】根据平行四边形的判定方法,矩形的判定方法,菱形的判定方法,正方形的判定方法解答即可【解析】O为BD的中点,OBOD,四边形ABCD为平行四边形,DCAB,CDOEBO,DFOOEB,FDOEBO(AAS),OEOF,四边形DEBF为平行四边形,故A选项不符合

9、题意,若AE3.6,AD6,又,DAEBAD,DAEBAD,AEDADB90四边形DEBF为矩形故B选项不符合题意,AB10,AE5,BE5,又ADB90,DEAB5,DEBE,四边形DEBF为菱形故C选项不符合题意,AE3.6时,四边形DEBF为矩形,AE5时,四边形DEBF为菱形,AE4.8时,四边形DEBF不可能是正方形故选项D符合题意故选:D8(2020雁塔区校级模拟)如图,在RtABC中,ACB90,点D是斜边AB的中点,DEAC,垂足为E,若DE1,CD,则BE()AB2CD【分析】首先,根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求得斜边AB2CD2,利用三角形中位线定理求得BC

10、2DE2;则在RtABC中由勾股定理求得线段AC4,最后,在RtBCE中,利用勾股定理来求线段BE的长度【解析】如图,在RtABC中,ACB90,点D是斜边AB的中点,CD,AB2CD2ACB90,DEAC,DEBC点D是斜边AB的中点,DE是ABC的中位线,又DE1,BC2,AC4CEAC2,在RtBCE中,BE2故选:B9(2020通辽)如图,AD是ABC的中线,四边形ADCE是平行四边形,增加下列条件,能判断ADCE是菱形的是()ABAC90BDAE90CABACDABAE【分析】根据菱形的判定定理即可得到结论【解析】添加BAC90时,AD是ABC的中线,ADBCCD,四边形ADCE是菱

11、形,选项A正确;添加DAE90,四边形ADCE是平行四边形四边形ADCE是矩形,选项B错误;添加ABAC,可得到ADBC,ADC90,四边形ADCE是平行四边形是矩形,选项C错误;添加ABAE,四边形ADCE是平行四边形,AECD,AD是ABC的中线,BDCDAE,ABBD,故不能选项D不能判定四边形ADCE是菱形;故选:A10(2020春沙坪坝区期末)如图,正方形ABCD中,AB,点E是对角线AC上一点,EFAB于点F,连结DE,当ADE22.5时,EF的长是()A1B22C1D【分析】证明CDECED67.5,则CDCE,计算AC的长,得AE2,证明AFE是等腰直角三角形,可得EF的长【解

12、析】四边形ABCD是正方形,ABCDBC,BADC90,BACCAD45,ACAB2,ADE22.5,CDE9022.567.5,CEDCAD+ADE45+22.567.5,CDECED,CDCE,AE2,EFAB,AFE90,AFE是等腰直角三角形,EF1,故选:C二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分)请把答案直接填写在横线上11(2020菏泽)如图,矩形ABCD中,AB5,AD12,点P在对角线BD上,且BPBA,连接AP并延长,交DC的延长线于点Q,连接BQ,则BQ的长为3【分析】根据矩形的性质可得BD13,再根据BPBA可得DQDP8,所以得CQ3,在RtBCQ中,根据勾股

13、定理即可得BQ的长【解析】矩形ABCD中,AB5,AD12,BADBCD90,BD13,BPBA5,PDBDBP8,BABP,BAPBPADPQ,ABCD,BAPDQP,DPQDQP,DQDP8,CQDQCDDQAB853,在RtBCQ中,根据勾股定理,得BQ3故答案为:312(2020岳阳)如图,在RtABC中,CD是斜边AB上的中线,A20,则BCD70【分析】根据直角三角形两锐角互余求得B70,然后根据直角三角形斜边上中线定理得出CDBD,求出BCDB即可【解析】在RtABC中,A20,则B70,ACB90,CD是斜边AB上的中线,BDCDAD,BCDB70,故答案为7013(2020红

14、桥区三模)如图,正方形ABCD的边长为6,E是边AB边一点,G是AD延长线上一点,BEDG,连接EG,CFEG交EG于点H,交AD于点F,连接CE,BH,若BH4,则EG的长等于4【分析】首先连接CG,首先证明CGDCEB,得到GCE是等腰直角三角形;过点H作AB、BC的垂线,垂足分别为点M、N,进而证明HEMHCN,得到四边形MBNH为正方形,由此求出HN、AG、AE的长度;最后利用勾股定理可得EG的长【解析】连接CG,四边形ABCD是正方形,CBCD,CBEADC90,在CGD与CEB中,CGDCEB(SAS),CGCE,GCDECB,GCE90,即GCE是等腰直角三角形又CHGE,CHE

15、HGH过点H作AB、BC的垂线,垂足分别为点M、N,则MHN90,又EHC90,12,在HEM与HCN中,HEMHCN(AAS)HMHN,HMBABCBNH90,四边形MBNH为正方形,BH4,BNHN4,HMAG,EHGH,AG2HM2HN8,DGBEAGAD862,AE624,在RtAEG中,EG4故答案为:414(2020春肥东县期末)如图,正方形ABCD中,点E在边BC上,BAEn如果在边AB,CD上分别找一点F,G,使FGAE,FG与AE相交于点O,那么GOE的大小等于90或(902n)【分析】过G作GHAB于点H,根据HL证明RtABERtGHF,分两种情况:当AFBF时,进而证明

16、FAO+AFO90便可;当AFBF时,进而证明FAO+AFO90+2n便可求得结果【解析】过G作GHAB于点H,则AHGFHG90,四边形ABCD是正方形,ABAD,BADD90,四边形AHGD是矩形,ADHG,ABHG,在RtABE和RtGHF中,RtABERtGHF(HL),BAEHGF,HGF+HFG90,当AFBF时,如图1,FAO+AFO90,AOF90,GOEAOF90,当AFBF时,如图2,FAO+HFG90,BAEn,HFG90n,GOEAOFHFGOAF(902n),故答案为90或(902n)15(2020春中山市期末)如图,在菱形ABCD中,C60,E、F分别是AB、AD的

17、中点,若EF5,则菱形ABCD的周长为40【分析】由三角形的中位线定理,求出BD10,根据菱形的性质及A60,得ABD为等边三角形,从而求出菱形ABCD的边长,再乘以4即可得出菱形ABCD的周长【解析】E、F分别是AB、AD的中点,EFBD,EF5,BD10,四边形ABCD为菱形,ABAD,A60,ABD为等边三角形,ABBD10,菱形ABCD的周长41040,故答案为:4016(2020春成都期末)如图,点C为线段AB的中点,以BC为边作正方形BCDE,点F、点G分别在边DE、DC上,且满足DFDG,连接BF,连接AG并延长交BF于点H,连接DH以下结论:ACGBEF;HDHG;AHBF;D

18、HG45其中正确的有(填序号)【分析】由“SAS”可证ACGBEF,可得判定;由全等三角形的性质可得AEBF,AGCBFE,由余角的性质可得AHB90,可判断;过点D作DNBF于N,DMAH于H,由“AAS”可证DHNDHM,可得DHMDHN45,可判断,若若DHDG,可求A22.5,由点F、点G分别在边DE、DC上,则A不是定值,可判断,即可求解【解析】点C为线段AB的中点,ACBC,四边形BCDE是正方形,DEDCBCBEAC,EDCB90,又DFDG,CGEF,又EACG90,ACGBEF(SAS),故正确,AEBF,AGCBFE,EBF+FBC90,A+FBC90,AHB90,AHBF

19、;故正确,过点D作DNBF于N,DMAH于H,AGCBFE,DGMNFD,又DNFDMG90,DFDG,DHNDHM(AAS),DHMDHN,又AHF90,DHG45,故正确;若DHDG,DHG45,HDGHGD67.5,A22.5,点F、点G分别在边DE、DC上,A不是定值,DH与HG不一定相等,故错误故答案为:17(2020春彭州市期末)如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,过点A作AEBD于点E,已知EAD3BAE,则EOA45【分析】根据矩形的性质得出BAD90,ACBD,OAOC,OBOD,求出OAOB,求出OABABO,求出ABO即可【解析】四边形ABCD是矩形,BAD

20、90,EAD3BAE,BAE9022.5,AEBD,AEB90,ABO180AEBBAE1809022.567.5,四边形ABCD是矩形,ACBD,OAOC,OBOD,OAOB,OABABO67.5,EOA18067.567.545,故答案为:4518(2020春肇源县期末)如图,菱形ABCD的边长为4,E,F分别是AB,AD边上的动点,BEAF,BAD120,则下列结论:BECAFC;ECF为等边三角形;AGEAFC;其中正确结论的序号有【分析】可证明BECAFC (SAS),正确;由BECAFC,得CECF,BCEACF,由BCE+ECABCA60,得ACF+ECA60,所以CEF是等边三

21、角形,正确;因为AGECAF+AFG60+AFG,AFCCFG+AFG60+AFG,所以AGEAFC,故正确【解析】四边形ABCD是菱形,ABADBCCD,BACCAD,BAD120,BACCAD60,ABC和ACD都是等边三角形,BCAD60,BCAC,BEAF,BECAFC (SAS),故正确;BECAFC,CECF,BCEACF,BCE+ECABCA60,ACF+ECA60,CEF是等边三角形,故正确;AGECAF+AFG60+AFG;AFCCFG+AFG60+AFG,AGEAFC,故正确正确故答案为:三、解答题(本大题共8小题,共66分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)19(2

22、020春翠屏区期末)如图,在菱形ABCD中,ABAC2,对角线AC、BD相交于点O(1)求ABC的大小;(2)求菱形ABCD的面积(结果保留根号)【分析】(1)证ABC是等边三角形,即可得出结果;(2)由菱形的性质得BDAC,OAOCAC2,S菱形ABCD2SABC,由勾股定理得OB,即可得出结果【解析】(1)四边形ABCD是菱形,ABBC,ABAC2,ABBCAC2,ABC是等边三角形,ABC60;(2)四边形ABCD是菱形,BDAC,OAOCAC2,S菱形ABCD2SABC,在RtAOB中,由勾股定理得:OB,S菱形ABCD2SABC22220(2020春海淀区校级期末)如图,在矩形ABC

23、D中,点E在BC边上,且DEAD,过点A作AFDE交CB的延长线于点F(1)求证:四边形AFED是菱形;(2)若AB1,CF2求AD的长;AE、FD交于点O,连接OC,求OC的长【分析】(1)由矩形的性质可得ADBC,C90,由菱形的判定可证四边形AFED是菱形;(2)由菱形的性质可得ADDEEF,利用勾股定理可求AD的长;由勾股定理可求DF的长,由菱形的性质可得DOFO,由直角三角形的性质可求解【解析】(1)四边形ABCD是矩形,ADBC,C90,ABCD,又AFDE,四边形AFED是平行四边形,又ADDE,四边形AFED是菱形;(2)四边形AFED是菱形;ADDEEF,DE2CD2+CE2

24、,DE21+(2DE)2,DE,AD;如图,DCF90,ABCD1,CF2,DF,四边形AFED是菱形,DOFO,又DCF90,CODF21(2020春包河区期末)菱形ABCD中,AD6,AEBC,垂足为E,F为AB边中点,DFEF(1)直接写出结果:EF3;(2)求证:ADFEDF; (3)求DE的长【分析】(1)根据直角三角形的性质即可求解;(2)延长EF交DA于G,根据AAS可证AGFBEF,根据全等三角形的性质可得GFEF,再根据等腰三角形的性质即可求解;(3)可设BEx,则AGx,可得DEDG6+x,再根据勾股定理可求BE,进一步得到DE【解析】(1)AEBC,AEB90,AD6,F

25、为AB边中点,EFABAD3故答案为:3;(2)延长EF交DA于G,ADBC,GFEB,GABB,AFBF,AGFBEF(AAS),GFEF,DFEF,DGDE,ADFEDF; (3)设BEx,则AGx,则DEDG6+x,AE2AB2BE262x2,AE2DE2AD2(x+6)262,62x2(x+6)262,解得x33,BE3+3,DE3+363+322(2020春海州区期末)平行四边形ABCD中,过点D作DEAB于点E,点F在CD上,CFAE,连接BF,AF(1)求证:四边形BFDE是矩形;(2)若AF平分BAD,且AE2,DE4,求矩形BFDE的面积【分析】(1)根据有一个角是90度的平

26、行四边形是矩形即可判定(2)首先证明ADDF,求出AD即可解决问题【解答】(1)证明:四边形ABCD是平行四边形,ABCD,ABCD,DFBE,CFAE,DFBE,四边形BFDE是平行四边形,DEAB,DEB90,四边形BFDE是矩形(2)解:ABCD,BAFAFD,AF平分BAD,DAFAFD,ADDF,在RtADE中,AE2,DE4,AD2,DF2,矩形BFDE的面积DFDE24823(2020春迁西县期末)如图,ABC的中线AD、BE、CF相交于点G,H、I分别是BG、CG的中点(1)EF是ABC的中位线,EF与BC位置关系是EFBC、数量关系是EFBC;HI是GBC的中位线,HI与BC

27、位置关系是HIBC、数量关系是HIBC;(2)求证:四边形EFHI是平行四边形;(3)当AD与BC满足条件ADBC时,四边形EFHI是矩形(直接写出结论)当AD与BC满足条件BCAD时,四边形EFHI是菱形(直接写出结论)【分析】(1)证出EF、HI分别是ABC、BCG的中位线,根据三角形中位线定理即可得出答案;(2)由三角形中位线定理可得EFHI且EFHI根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得结论;(3)由三角形中位线定理得出FHAD,再证出EFFH,即可得出四边形EFHI是矩形;根据三角形重心定理得出AGAD,证出AGBC,由三角形中位线定理和添加条件得出FHEF,即可得出四边形E

28、FHI是菱形【解答】(1)解:BE、CF是ABC的中线,AECE,AFBF,EF是ABC的中位线,EFBC,EFBC,H、I分别是BG、CG的中点,HI是GBC的中位线,HIBC,HIBC,故答案为:EF,EFBC、EFBC;HI,HIBC、HIBC;(2)证明:由(1)得:EFBC,EFBC,HIBC,HIBC,EFHI,EFHI,四边形EFHI是平行四边形;(3)当AD与BC满足条件ADBC时,四边形EFHI是矩形;理由如下:同(1)得:FH是ABG的中位线,FHAG,FHAG,FHAD,EFBC,ADBC,EFFH,EFH90,四边形EFHI是平行四边形,四边形EFHI是矩形;当AD与B

29、C满足条件BCAD时,四边形EFHI是菱形;理由如下:ABC的中线AD、BE、CF相交于点G,AGAD,BCAD,AGBC,FHAG,EFBC,FHEF,又四边形EFHI是平行四边形,四边形EFHI是菱形;故答案为:ADBC,BCAD24(2020春嘉定区期末)已知平行四边形ABCD,对角线AC、BD相交于点O,且CACB,延长BC至点E,使CEBC,连接DE(1)当ACBD时,求证:BE2CD;(2)当ACB90时,求证:四边形ACED是正方形【分析】(1)根据已知条件得到四边形ABCD是菱形求得BCCD得到BE2BC,于是得到结论;(2)根据平行四边形的性质得到ADBC,ADBE,求得AD

30、CE,ADCE,推出平行四边形ACED是矩形,根据正方形的判定定理即可得到结论【解答】(1)证明:四边形ABCD是平行四边形,又ACBD,四边形ABCD是菱形BCCD又CEBC,BE2BC,BE2CD;(2)证明:四边形ABCD是平行四边形,ADBC,ADBE,又CEBC,ADCE,ADCE,四边形ACED是平行四边形ACB90,平行四边形ACED是矩形,又CACB,CACE,矩形ACED是正方形25(2020春巴南区期末)如图,在长方形OABC中,O为平面直角坐标系的原点,点A的坐标为(4,0),点C的坐标为(0,6),点B在第一象限内,点P从原点出发,以每秒2个单位长度的速度沿着OCBAO

31、的路线移动一周,设点P移动的时间为t(1)写出点B的坐标;(2)在移动过程中,当点P到x轴的距离为5时,求点P移动的时间;(3)当三角形OBP的面积为8时,直接写出点P的坐标【分析】(1)由矩形的性质可得ABOC6,BCOA4,可求点B坐标;(2)由点P到x轴的距离为5得出点P运动的路程,从而得出答案(3)分点P在OC上,在BC上,在AB上,在AO上四种情况讨论,由三角形的面积公式可求点P坐标;【解析】(1)A点的坐标为(4,0),C点的坐标为(0,6),OA4,OC6,四边形ABCO是矩形,ABOC6,BCOA4,点B(4,6);(2)当点P到x轴的距离为5时,OP5或OC+CB+BP11,

32、点P移动的时间为s或s(3)如图,当点P在OC上时,SOBPOP148,OP14,点P(0,4);当点P在BC上,SOBPBP268,BP2,CP24,点P( ,6);当点P在AB上,SOBPBP348,BP34,AP32,点P(4,2);当点P在AO上,SOBPOP468,OP4,点P(,0)综上,点P的坐标为(0,4)或(,6)或(4,2)或(,0)26(2020春拱墅区期末)如图1,在正方形ABCD中,点E在边CD上(不与点C,D重合),AE交对角线BD于点G,GFAE交BC于点F(1)求证:AGFG(2)若AB10,BF4,求BG的长(3)如图2,连接AF,EF,若AFAE,求正方形A

33、BCD与CEF的面积之比【分析】(1)由“SAS”可证ABGCBG,可得AGCG,BAGBCG,由四边形内角和定理可证BCGGFC,可得GCGFAG;(2)过点G作GHBC于H,利用勾股定理可求GH的长,即可求解;(3)在AB上截取BFBN,连接NF,由“HL”可证RtABFRtADE,可得BAFDAE22.5,BFDE,可得FCBF,即可求解【解答】证明:(1)连接GC,四边形ABCD是正方形,ABBC,ABC90,ABDCBD45,又BGBG,ABGCBG(SAS),AGCG,BAGBCG,ABC+BAG+AGF+BFG360,且ABCAGF90,BAG+BFG180,BCG+BFG180

34、,BFG+GFC180,BCGGFC,GCGF,AGFG;(2)如图2,过点G作GHBC于H,AB10,BF4,AF2AB2+BF2AG2+GF2,GF258,DBC45,GHBC,BHGH,BGGH,GF2GH2+FH2,58GH2+(GH4)2,GH7,(负值舍去),BG7;(3)如图,在AB上截取BFBN,连接NF,AGGF,AGGF,EAF45,AEAF,ABAD,RtABFRtADE(HL),BAFDAE22.5,BFDE,CFCE,BFBN,ABC90,NFBF,BNFBFN45,BAFAFN22.5,ANNFBF,ABBC,BN+ANBF+FC,FCBF,BC(1)BF,正方形ABCD与CEF的面积之比BC2:FC23+230